第二十二讲相关函数性质及谱密度
−a τ
2a a2 + ω 2
πτ
1
δ (τ )
a a 2 + (ω + ω 0 ) 2
2πδ (ω )
τ <T τ ≥T
4 sin 2 (ωT / 2) Tω 2
a a 2 + (ω − ω 0 ) 2 +
1
π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )]
e
− a τ cosω 0τ
cosω0τ
付里叶变换和反变换
• 用F表示付里叶变换，F −1 表示反变换。 • 则有(1) F (c1 f1 (τ ) + c2 f 2 (τ )) = c1 F ( f1 (τ )) + c2 F ( f 2 (τ )) • (2) F −1 (c1 f1 (ω ) + c2 f 2 (ω )) = c1 F −1 ( f1 (ω )) + c2 F −1 ( f 2 (ω )) • (3)
+∞ −∞
dτ
1 R X (τ ) = 2π
∫
S X (ω )e i ωτ d ω
• 证明见P358维纳—辛钦定理
常见过程自相关函数和对应谱密度
• 见P360 表12.1 RX (τ ) S (ω )
X
RX (τ )
sin ω 0τ
S X (ω )
1 ω < ω 0 0 ω ≥ ω 0
e
τ 1 − T 0
+∞
1 2 • S X (ω ) = lim E{ Fx (ω , T ) } 称作功率谱密度函数 T →∞ 2T
功率谱密度函数的性质
• 1、 S X (ω ) 是实的、非负偶函数。 • 2、S X (ω ) 和
R X (τ )
+∞ −∞
是一对付里叶变换对
− i ωτ
S X (ω ) =
∫
R X (τ )e
F ( f * g (τ )) = F ( f (τ )) F ( g (τ ))
例：已知X(t)的谱密度函数为
ω2 + 4 S X (ω ) = 4 ω + 10ω 2 + 9
求平稳过程X(t)的自相关函数及均方值。
3 1 5 1 ω2 + 4 ω2 + 4 • 解： (ω ) = SX = 2 = + 4 2 2 2 ω + 10ω + 9 (ω + 1)(ω + 9) 8 ω +1 8 ω 2 + 9
• 定义：若平稳随机过程X(t)满足
P{ X (t + T ) = X (t )} = 1
• 称X(t)是周期为T的平稳随机过程。 • 证明(5) ：因为X(t)平稳，所以 • E(X(t+T)-X(t))=0 • 而P{X(t+T)=X(t)}=1 D(X(t+T)-X(t))=0
E[( X (t + T ) − X (t )) ] = 0
• • • • • • 1、确定信号的功率谱密度(基本概念) 设x(t)表示t时刻的电流强度或电压， 由 W = I 2 R = V 2 / R 取电阻R=1欧姆， 则 x 2 (t ) 表示信号在t时刻的功率. +∞ 考虑信号处理问题：若x(t)满足狄氏条件 ∫−∞ x(t ) dt < ∞ 则x(t)有谱分解 x ( t ) = 1 ∫ +∞ e i ω t F x ( ω ) d ω
= E ( X (t ′) X (t ′ + τ )) = RX (τ ) 只需计算大于零部分
许瓦尔兹不等式
•
[ E ( XY )] ≤ E ( X ) E (Y )
2 2 2
任意实数s,
0 ≤ E{( X + sY ) } = E{ X + 2 sXY + Y }
2 2 2
= E ( X ) + 2 sE ( XY ) + E (Y )
2
• 平均功率 lim 1 T →∞ 2T
1 ∫−T x (t )dt = Tlim 2π →∞
+∞
∫
+∞
−∞
1 Fx (ω , T ) dω 2T
2
1 = 2π
1 2 ∫− ∞ Tlim 2T Fx (ω , T ) dω →∞
1 2 lim Fx (ω , T ) • 称 T → ∞ 2T 为x(t)在 ω 处的功率谱 密度
RX (0) = E ( X (t ) X (t + 0)) = E ( X (t )) ≥ 0
2
RX (−τ ) = E ( X (t ) X (t + (−τ ))) = E ( X (t − τ ) X (t − τ + τ ))
RX (−τ ) = RX (τ ) RXY (−τ ) = RXY (τ ) 对称性 (2)
−3 τ
1 + cos 4τ ) 2
= 5F (1) + 2 F (e
−3 τ
) + 2 F (cos(4τ )e
−3 τ
)
2×3 3 3 = 5 × 2πδ (ω ) + 2 2 + 2[ 2 + 2 ] 2 2 2 3 +ω 3 + (ω − 4) 3 + (ω + 4)
互谱密度及其性质
• 设X(t),Y(t)是两个平稳相关的随机过程，称
3 1 5 1 3 −1 1 5 −1 1 RX (τ ) = F { + }= F ( 2 )+ F ( 2 ) 2 2 8 ω +1 8 ω + 9 8 ω +1 8 ω +9
−1
3 1 − τ 5 1 −3 τ 3 −τ 5 −3 τ = e + e = e + e 82 8 2×3 16 48
1 S XY (ω ) = lim E{FX (ω , T ) FY (ω , T )} T →∞ 2T • 为X(t)和Y(t)的互谱密度。 • (1) S (ω ) = S * (ω )
XY YX
• (2) RXY (τ ) 和 S XY (ω ) 是付里叶变换对
互谱密度及其性质
• (3) Re[ S XY (ω )], Re[ SYX (ω )] 是偶函数 Im[S XY (ω )], Im[SYX (ω )] 是奇函数 • • (4)
2、平稳随机信号的功率谱密度
• 设平稳随机信号为X(t),将前面讨论中x(t)换成X(t), T 有 − iω t
F X (ω , T ) =
T 2
∫
−T
X (t ) e
dt
1 lim E[ T →∞ 2T
1 ∫−T X (t )dt ] = 2π
1 2 ∫−∞ Tlim 2T E{ Fx (ω , T ) }dω →∞
即RX (t , t + τ + T ) − RX (t , t + τ ) = 0
由平稳性，RX (τ + T ) = RX (τ )
例：指出图中所列函数曲线哪些不是平 稳过程的相关函数?那些可能是？
•
(a) (b)
(c)
(d)
(a),(c),(d)不是，(b)可能是
第四节 平稳随机过程的功率谱密度
3 5 7 = R X ( 0) = + 16 48 24
例2、已知平稳随机过程X(t)的相关函数 −3 τ 求功率谱密度函数。 RX (τ ) = 5 + 4e
cos 2 2τ
• 解： −3 τ S X (ω ) = F ( RX (τ )) = F (5 + 4e cos 2 2τ )
= 5 F (1) + 4 F (e
= RX (0) RY (0)
(4) RX (τ )
非负定
∀t1 , t 2 ,..., t n ∈ T ∀g (t )实函数，有
i , j =1
∑R
n
X
(ti − t j )g (ti ) g (t j ) ≥ 0
• 意义：若一个连续函数具有非负定性，则它一 定是某平稳过程的自相关函数。
(5)周期为T的平稳过程其自相关函数 必为周期函数，周期也是T。
2π
−∞
• 其中 F x (ω ) = 频谱
∫
+∞
−∞
x ( t ) e − i ω t dt
称作信号x(t)的
巴塞伐等式：若 ∫
+∞
−∞
x 2 (t )dt < ∞
则
2
∫
+∞
−∞
1 2 x (t )dt = 2π
∫
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) dω
• 总能量=各谐分量能量叠加，但是总能量=oo • 考虑平均功率 lim 1 T x 2 (t )dt 用x(t)的截尾函数
2 2
故∆ = [2 E ( XY )] − 4 E ( X ) E (Y ) ≤ 0
2 2 2
(3) 自相关、协方差函数不等式
RX (τ ) ≤ RX (0)
2
C X (τ ) ≤ C X (0) = σ
2
2
RX Y (τ ) ≤ RX (0) RY (0) C XY (τ ) ≤ C X (0)CY (0)
第二十二讲
第三节
相关函数的性质
• 设X(t),Y(t)是平稳相关随机过程，记互相关函数 • RXY (t , t + τ ) = E ( X (t )Y (t + τ )) = RXY (τ ) 及X(t)和Y(t) 的自相关函数 R X (τ ), R Y (τ ) 则 • (1) R X (0) ≥ 0 (均方值函数非负)
分布函数密度函数
分布函数密度函数分布函数和密度函数是概率论中常用的两个概念，用来描述随机变量的性质和分布规律。
本文将详细介绍分布函数和密度函数的概念、性质以及它们在概率论和统计学中的应用。
一、分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是描述随机变量X的概率分布情况的函数。
对于任意实数x，分布函数F(x)的定义如下：F(x) = P(X ≤ x)其中，P(X ≤ x)表示随机变量X的取值小于等于x的概率。
分布函数具有以下几个重要性质：1. F(x)是一个非递减函数，在整个实数轴上单调不减。
2. 当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1。
3. F(x)是一个右连续函数，即在任意点x处，F(x)的右极限等于F(x)的值。
分布函数的图像通常是一个右连续的阶梯函数，从0开始逐渐上升，最终趋近于1。
分布函数的性质决定了它在统计推断中的重要作用。
二、密度函数密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续型随机变量X的概率分布情况的函数。
对于任意实数x，密度函数f(x)的定义如下：f(x) = dF(x)/dx其中，dF(x)表示分布函数F(x)在x处的微分。
密度函数具有以下几个重要性质：1. f(x)是非负函数，即在整个实数轴上大于等于0。
2. 在整个实数轴上，f(x)的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
密度函数的图像通常是一个曲线，表示随机变量X在不同取值上的概率分布情况。
由于密度函数是概率密度的描述，因此它的取值可以大于1，但概率值仍然在[0,1]之间。
三、分布函数和密度函数的关系对于连续型随机变量X，它的分布函数F(x)和密度函数f(x)之间存在如下关系：F(x) = ∫f(t)dt (从负无穷到x的积分)f(x) = dF(x)/dx也就是说，分布函数是密度函数的积分，密度函数是分布函数的导数。
概率密度函数的性质
19
即
0,
x0
F
(
x)
x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x1 1 x 2
2
1,
x2
对连续型随机变量，若已知 Fx ，我们通过求导
也可求出 px.
20
例6 设X是连续性随机变量，其分布密度为
px 0A 8x 3x2
x
面积为1
14
例1 设有函数
sin x 0 x
F(x)
0 其它
试说明 Fx 能否是某个随机变量的分布函数.
解： 注意到函数 Fx 在 [ 2, ] 上下降，
不满足性质(1)，故 Fx 不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0
x
不满足性质(2)，
A
由P(B )=1, 不能推出 B = S 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
7
p (x) 要注意的是: 密度函数
p(x) 在某点处 a的高度
1
0
x p(a) 并不是 X a 的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线
的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其 导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
P( X x)＝ x p(t)dt
则称X为连续型随机变量， p x为X的概率密度函数，
简称密度函数或密度.
lim P( x X x x)
(完整版)相关函数及其应用
第一专题:1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因）2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真）相关函数的计算方法利用计算机计算自相关估值有两种方法。
一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。
另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。
1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号(t)s 1和(t)2s 互相关函数的定义为⎰+∞∞+=-2112x )dt(t (t)s s (x )R功率信号(t)s 1和(t)2s 的互相关函数定义为⎰+∞→+=2/2/-2112x)dt(t (t)s s 1lim (x)T T T T R （2）自相关函数的估计在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。
假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即∑==∞→++=NNN R k -k N x n]x [k]x [k 121lim [n] 由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用[k]x N 来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即∑-=+=1k N Nn][k [k]x x1(n)N x Nr上式中，对每一固定延迟n ，可利用的数据只有N-n 个，所以自相关函数的估计可以表示成∑-=+=1-n 0k N N]n [k [k]x x1(n)N x Nr2、间接算法间接方法是利用自相关函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。
在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。
由于采用了快速傅里叶变换算法，计算速度较快。
如当N =2P 时，间接算法所需要的运算量约为8NP 次实数乘加运算。
相关函数和功率谱密度
当输入是平稳随机过程时， =t2 t1
R
y
b2
Rs2
4Rs
Rn
2 s2
Ry b2E x(t1)2 x(t2 )2 b2E{x(t1)2}E{x(t2)2} 2E2{x(t1)x(t2)}
b2
4 x
2b2
Rx2
输出功率谱密度
Sy () 2 b2 x4 () 2b2
R 2
x
e jd
通过该非线性系统得到的输出信号Y(t)的统计特性可按下式计算：
E y(t)
f
(x) fx
x;t dx
E yn (t)
f
n (x) fx
x;t dx
R y t1, t2 f (x1) f (x2 ) fx x1, x2;t1, t2 dx1dx2
2 n
Rn2
10
平方律检波器输出端的功率谱密度
SY w SSS w Snn w SSn w
Ss?s
b2
R s2
e j d
Sn?n
b2
R n2
e j d
Ssn 4b2
《概率密度函数》课件
期望和方差
总结词
概率密度函数的期望值和方差描述了随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是概率密度函数在定义域上的积分，表示随机变量的平均值或中心趋势。方差则描述了随机变 量取值离散程度的大小，即各个取值与期望值的偏离程度。期望值和方差是概率密度函数的重要特征 ，用于描述随机变量的统计特性。
二项分布
01
二项分布适用于描述伯努利试 验中成功的次数，例如抛硬币 的结果、遗传学中的基因型等 。
02
二项分布的概率密度函数是 f(k)=C(n, k)p^k(1-p)^(n-k) ，其中n是试验次数，k是成功 的次数，p是每次试验成功的 概率。
03
二项分布在统计学、生物学和 经济学等领域有广泛应用，例 如在可靠性工程、市场调查等 领域。
02
常见概率密度函数
正态分布
正态分布是一种常见的概率密 度函数，其概率密度曲线呈钟 形，对称轴为均值所在直线。
正态分布具有两个参数，即 均值和标准差，它们决定了
分布的形状和范围。
在自然界和社会现象中，许多 随机变量的概率分布都服从正 态分布，例如人类的身高、考
试分数等。
指数分布
01
指数分布适用于描述独立随机事件的时间间隔，例如电子元件 的寿命、排队等待时间等。
概率密度函数是微积分中连续函数概念在概率论中的推广。在微积分中，连续函 数可以用其导数描述其变化率；而在概率论中，概率密度函数描述了随机变量取 值在某个区间的概率与该区间长度的关系。
概率密度函数的积分（即概率质量函数）与微积分中的定积分有相似的性质和计 算方法。
2.3.2功率谱密度的性质
如果X(n)为连续随机序列，则
随机序列X (n)的统计均值(数学期望)定义为:
mX (n) E[X (n)] xf X (x, n)dx
X (n)的函数g(X (n))的统计均值可由下式求出:
E[g(X (n))] g(x) f X (x, n)dx
如果X(n)为离散随机序列，则上面的公式变为：
RXY (m) E[X (n)Y (n m)] CXY (m) E[{X (n) mX }{Y (n m) mY }]
28
相关序列的性质
1、自相关和自协方差序列为偶函数，而互相 关和互协方差序列是非奇非偶的。
RX (m) RX (m) RXY (m) RYX (m)
CX (m) CX (m) CXY (m) CYX (m)
声
若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数， 在频带之外为零，那么称N(t)为理想限带白噪声。
17
一、低通白噪声
低通白噪声的功率谱密度集 中在低频端，且分布均匀。
SN ()
P
S
N
(
)
0
为其它
RN
(
)
P
sin(
)
P Sa( )
18
SN ()
白噪声的平均功率 W RN (0) P
W 1 arctan
2
1 [ ( )] 1 2 2 2 2
W 1
2
4
2
3
2 2
2
d
1
2
1 2
1
d
3
例2.3.2
已知随机电报信号的自
相关函数 RX
( )
1 4
(1
1 4
e2
高中数学中的函数性质与像知识点总结
高中数学中的函数性质与像知识点总结函数作为高中数学的重要内容之一，在各个数学领域中占据着至关重要的位置。
掌握函数性质与像的知识，不仅能够帮助我们理解数学的本质，还能在实际问题中应用数学的思维方式解决各种难题。
本文将总结高中数学中与函数性质与像相关的知识点，帮助读者更好地掌握这一部分内容。
一、函数的性质与基本概念函数是一种特殊的关系，其中每个自变量的取值都对应唯一的因变量的取值。
在函数的定义中，有几个重要的性质和概念需要我们掌握。
1. 定义域与值域：对于函数f(x)，其中x的取值范围称为定义域，记作D(f)；函数所能取的值的集合称为值域，记作R(f)。
了解函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数的有效取值范围和输出范围。
2. 单调性：函数的单调性指的是函数值的变化趋势。
可以分为递增和递减两种单调性。
通过求导或者观察函数值的变化可以确定函数的单调性。
3. 奇偶性：函数在定义域内的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的定义域中存在对于任意x，有f(-x)=-f(x)；偶函数的定义域中存在对于任意x，有f(-x)=f(x)。
奇偶性的判断可以通过观察函数定义式的对称性进行判断。
二、函数的性质与像相关的知识点1. 函数的图像与性质：函数的图像是函数在坐标系上的表示，通过观察函数的图像可以获得一些函数的性质。
例如，通过观察函数的图像可以判断函数的单调性、最值等。
2. 函数的相等与合成：当两个函数具有相同的定义域，并且对于定义域内的每个元素，有相同的函数值，则称这两个函数相等。
函数的合成是指两个函数进行组合运算，合成函数的定义域与原函数相关。
了解函数的相等与合成的性质可以帮助我们在复杂问题中进行函数的转化与简化。
3. 反函数与反函数的性质：函数的反函数是指满足一定条件下的逆运算函数。
对于函数f(x)，若存在函数g(x)，使得f(g(x))=x以及g(f(x))=x成立，则g(x)为f(x)的反函数。
2.3.2 功率谱密度的性质
实随机过程X(t) Y(t)的互谱密度的性质 实随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度的性质 X(t)和
1 XY (ω) = SYX (ω) = SYX (ω) = SXY (ω) 、S
1 SXY (ω) = lim E[ XT (ω)YT (ω)] T →∞ 2 T 1 SYX (ω) = lim E[YT (ω) XT (ω)] T →∞ 2 T
7
16 例 : 平稳过程 X (t )的功率谱密度为 S X (ω ) = 4 ω + 13ω 2 + 36 求其自相关函数和均方 值.
16 RX (τ ) = FT [ S X (ω )] = FT [ 4 ] 2 ω + 13ω + 36
1 1
16 5 16 5 RX (τ ) = FT [ 2 2 ] ω +4 ω +9
RX (∞) ≠ 0, 且 振 形 , 也 引 δ 函 解 呈 荡 式 可 入 数 决
1 S X (ω ) = FT [ R X (τ )] = FT [ (1 + cos ω 0τ )] 2 1 1 = FT [ ] + FT [ cos ω 0τ ] 2 2 1 1 = 2πδ (ω ) + π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω ω0 )] 2 2
αt
9 S XY (ω ) = 3 + jω
9e 3τ 方法一 RYX (τ ) = RXY (τ ) = 0
τ ≤0 τ >0
14
例 : 设两个随机过程X (t )和Y (t )联合平稳, 其互相关函数为 9e 3τ RXY (τ ) = 0
τ ≥0 求互谱密度S XY (ω )和SYX (ω ). τ <0
相关函数与谱密度函数的比较
相关函数与谱密度函数的性质
相关函数
谱密度函数
自相关函数
互相关函数
1.自相关函数为偶函数。
即：)()(ττ-=x x R R
1.互相关函数不是偶
函数。
1.)(ωx S 是ϖ的实的，非负偶函数。
2.当τ＝0 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值。
即：
2
2)(1
)(lim x T
T x dt t x T
R ψτ==⎰
∞
→
2.x(t)与y(t)互换后，它们的互相关函数对称于纵轴。
即)()(ττ-=yx xy R R 2.平稳过程的均方值等于功率谱密度关于频率
)2/(πω的积分。
即：
ωωπ
d S R x x )(21
)0(⎰
+∞
∞
-=
3.若随机信号不含周期成分，当τ趋
于无穷大时， )(R τx 趋于信号平均值的平方。
即：2
)(lim x x R μττ=∞
→
3.若两个随机信号x(t)和y(t)没有同频率周期成分，是两个完全独立的信号，则当0→τ时有：
y x xy R μμττ=∞
→)(lim
3.功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积。
即：
ττd R S x x )()0(⎰+∞
∞
-=
4.周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
4.频率相同的两个周
期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。
5.)(τx R 在),(+∞-∞连续的充分必要条件为)(τx R 在0=τ处连续。
信号谱密度及自相关函数
信号、谱密度及自相关函数 1. 能量有限信号定义：能量有限信号，又称能量信号，是指在所有时间上总能量不为零且有限的信号。
能量信号是一个脉冲式信号，它通常只存在于有限的时间间隔内。
在实际应用中发送的信号总是能量有限的。
一般地，非周期的确定性信号为能量有限信号。
信号能量的计算：E = ∫|x(t)|2dt ∞−∞ = ∫|X(f)|2df ∞−∞X(f)是x(t)的傅里叶变换，它是幅度谱密度。
2. 功率有限信号定义：如果信号的功率是有限的，则称为功率有限信号，简称功率信号。
功率信号的能量为无限大。
它对通信系统的性能有很大影响，决定了无线系统中发射机的电压和电磁场强度。
信号功率的计算： P = lim T→∞12T ∫|x(t)|2dt T −T与能量信号定义的比较，这个很好理解的。
3. 能量信号与功率信号的区分若信号能量有限，即 0<E <∞, 且 P =0 ，则称此信号为能量信号；若信号功率有限，即 0<P <∞, 且E 趋近于∞ ，则称此信号为功率信号。
能量有限信号和功率有限信号是不相容的，即不存在既是能量信号又是功率信号的情况。
4. 能量谱密度ESD能量信号的自相关函数的定义：R x (τ) = ∫x(t)x ∗(t −τ)∞−∞dt 最后推导出： R x (τ) = ∫|X(f)|2∞−∞e −j2πft dfX(f)为x(t)的傅里叶变换，x(t)的能量谱密度：Ψx (f )= |X(f)|2结论： 能量信号的自相关函数与能量谱密度成傅里叶变换对。
R x (τ) ⟷ |X(f)|2一个能量信号x(t)通过一个传递函数为H(f)的LTI 系统，那么，其输出y(t)的能量谱密度为：Ψy (f )= |H(f)|2Ψx (f )=|H(f)|2|X(f)|2如果x (t )为实信号，那么，Ψy (f )为正的实偶函数。
5. 功率谱密度功率信号的自相关函数的定义：R x (τ) =lim T→∞12T ∫x(t)x ∗(t −τ)T −Tdt 可推导出：R x (τ) = ∫lim T→∞12T |X T (f)|2∞−∞e j2πft df 令S x (f )= lim T→∞12T |X T (f)|2，它是功率谱密度。