功率谱密度函数(课堂PPT)
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《功率谱密度》课件
功率谱密度的定义
用来反映随机信号法雷氏中各频率成分功率大小关 系的统计量。
功率谱密度的计算方法
Welch方法
将信号分段，通过FFT计算每个片段的功率谱，最后求平均得到总功率谱。
Burg方法
基于自回归模型的估计方法，具有高分辨能力和良好的拟合性，适合于对非平稳信号的分析。
Blackman-Tukey方法
功率谱密度提供了一种对 信号分析的定量方法，有 助于进行精确的信号识别 和判别。
3 方法选择
在实际应用中，不同领域 对功率谱密度的选择方法 和计算方式也不尽相同， 需要根据具体需求进行选 择。
2
性质
功率谱密度是非负的实数函数，具有对称性、线性性和可加性。
3
宽度功率谱密度的宽Fra bibliotek反映了信号持续时间的长短，宽度越窄说明信号持续时间越短。
功率谱密度的优缺点
优点
提供了信号的频率分布信息，有助于对信号进行定 性分析和判断。
缺点
需要缩小测量范围，降低噪声干扰，且测量值精确 度高。
功率谱密度的实际案例
《功率谱密度》PPT课件
欢迎来到本节课程。本节课我们将会学习功率谱密度的定义、计算方法和应 用领域等。希望大家能够认真听讲，掌握这一重要的电子工程概念。
功率谱密度的定义
谱的概念
将随时间变化的信号，即时域信号拆分成一系列不 同频率的正弦波成分，这些正弦波的振幅、频率和 相位都可以唯一确定，这种方法称为"频域分析"。
直接估计信号的自相关函数，然后将其FFT得到功率谱，计算比较方便。
功率谱密度的应用领域
通信 信号处理 机械 地震学
频谱分析，调制识别，通信安全 降噪，滤波，自适应控制 振动分析，故障诊断，结构健康监测 地震波处理和分析
谱密度PPT
Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt
反演公式
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
x(t)[
解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
T T
e
j (t s)
RX
(t
s)dsdt
(令
u t s
v
t
) s
2T 2T
(1
|u | 2T
)e
ju
R
X
(u
)du
e
ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)
（ 1
2T
)RX
(
)
0
2T ,
2T
则
lim
T
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则
功率谱分析ppt课件
以模下拟是信库号G利自x(-f谱杜) 的T开2 |X估法( 值f的)|计2估算值式计：算式：
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
第4章_功率谱分析(课堂PPT)
H
f
Yf Xf
Yf Xf
X f X f
Sxy f Sxf
▪ 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
▪
X(t)
系统1
系统2
y(t)
n t 1
n t 2
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x't n1' t n2 ' t n3' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
➢ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)
➢ 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)
➢ 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
xy
arctan
Qxy Cxy
随机信号的功率谱密度
▪ 互谱分析的估计
▪ 离散点
S k xy
1 N
X
k
i
Y
k
i
Sxy k
1 N
X
k
i
Y
k
i
▪ 对应于数字信号
Sxy fi
1 T
X
fi
Y fi
S xy
fi
1 T
X
fi Y fi
随机信号的功率谱密度
▪ 工程应用
▪ 可利用互谱求系统的 H f H f f
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度
自功率谱密度函数互功率谱密度函数演示文档.ppt
第二章 信号及其描述
1
主要内容
–信号的分类与定义 随机信号与确定性信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号
–确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析
–随机信号特性及分析 2
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
9
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
总响应
n
rt skt t ht kt
k 0
17
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt• t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
3
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
随机信号不是确定的时间函数，只知道该信 号取某一数值的概率。
带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。
1
主要内容
–信号的分类与定义 随机信号与确定性信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号
–确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析
–随机信号特性及分析 2
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
9
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
总响应
n
rt skt t ht kt
k 0
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S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt• t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
3
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
随机信号不是确定的时间函数，只知道该信 号取某一数值的概率。
带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
四随机过程的功率谱密度概况PPT课件
向量范数
定义1. 对于 n维向量R空 n中间 任意一x个 , 向量 若存在唯一x一 R与 个 x对 实应 数，且满足
( 1 )( 正 )x 定 0 , 且 x R 性 n ,x 0 x 0 ;
( 2 )( 齐 ) 次 x x ， 性 x R n , R ;
(3 )(三角 )x 不 yx 等 y， 式 x ,y R n . 则称 x为向x的 量范. 数
2
信号s(t)的总能量为 E s2(t)dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即
E s2(t)dt2 1 S()2d
其中 S ( ) 2 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号：
在的条件
s2(t)dt 是能量谱密度存
随机信号的功率4ຫໍສະໝຸດ 功率谱密度可积，即SX()d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
SX()Tli mEXX2(TT,)2
其中
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的
Plim1 T x(t)2dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
xT
(t)
x(t) 0
t T 其他
x(t)
-T
T
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
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15
5.3 互功率谱密度函数及其性质
自功率谱SX(ω)定义为自相关函数的傅里叶变换， 互谱密度(简称互谱)有类似的定义，SXY(ω)与 RXY(τ)；SYX(ω)与RYX(τ)互为傅里叶变换对。
SXY ()
RXY
()e
j
d
RXY
()
1
2
SXY
()ej
d
SYX ()
RYX
()e
j
d
所以：自相关函数蕴藏着随机信号功率的物理意义。
5
研究随机过程时，常需要利用傅立叶变换来确定 随机过程的频率结构，但一个时间函数，在区间 ( t) 内其傅立叶变换是否存在，取决于是 否绝对可积。
X(t)dt
很多时间函数不能满足上述条件，因此不能利用 用时间函数历程函数直接进行傅立叶变换。
6
对于平稳随机过程，x 0 时（不为零时可调节零
正交谱为正交分量之积
Q X Y T li m E T 1 X I Y R X R Y I
25
互谱一般为复数，亦可写成
其中
SX Y SX Y ejX Y
SXY
CX2Y
QX2Y
XY
arctan QXY CXY
26
互谱与自谱满足下列不等式
SX(ω)是ω的函数，表征信号本身“功率”按频率 的分布情况。故定义SX(ω)为自功率谱密度函数
(简称自功率谱或自谱)。 下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
9
下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
设x(t)是遍历过程的一个样本函数，它是定义在
(-∞﹤t﹤∞)区间内的一个非周期函数，不满足
绝对可积条件，不能直接应用傅立叶变换。引入
下述辅助函数xT(ω):
x(t) T/2tT/2Βιβλιοθήκη xT(t) 0tT/2
若xT(t)满足绝对可积条件，则有
XT ()
xT
(t)e
jt
dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jtd
10
xT(t) 的均方值定义为:
11
T
对上式求集合平均得
R X 0 E X 2t 2 1 S Xd
12
自功率谱密度函数定义为 SX()T li m ET 1XT()2
相应地，其傅里叶反变换为
xT(t)21 XT()ejtd
yT(t)2 1
Y T(
)ej(t)d
17
xT(t)21 XT()ejtd
yT(t)2 1
Y T(
)ej(t)d
18
19
SX(Y ) R X(Y)ejd R X(Y )co sdj R X(Y )si nd
RYX
()
1
2
SYX
()ej
d
16
从另一个角度定义互功率谱密度
设x(t)与y(t)为遍历过程的两个子样函数，都是定义 在区间-∞≤t≤∞内的非周期函数，其傅里叶变换 XT(ω)和YT(ω)分别为：
XT() xT(t)ejtdt
Y T () y T ( t) e j td t y T ( t ) e j ( t ) d t
第五章 随机振动的功率谱密度
1
第五章 随机振动的功率谱密度
5-1 自相关函数的物理意义及其傅立叶变换 5-2 自功率谱密度函数及其性质 5-3 互功率谱密度函数及其性质 5-4 共相谱、正交谱和相干函数
2
5-1 自相关函数的物理意义 及其傅立叶变换
一个随机振动过程的特征可以用数学期望、方差和 相关函数来描述。
若令式中τ=0，则可得
R X 0 E X 2t 2 1 S Xd
显然，若自相关函数在τ＝0处表示信号的“功率
”，则式中SX(ω)的量纲为“功率”/频率单位，
代表单位频带上所具有的功率。
8
5.2 自功率谱密度函数及其性质
自相关函数的傅里叶变换对为
SX() RX()ejd
RX21 SXejd
点），当 时，自相关函数趋于 x2 0 ，所
以自相关函数满足绝对可积的条件，用符号SX(ω)
记作它的傅里叶变换
S X F R X R X e j d
相应的逆变换为:
RX21 SXejd
7
S X F R X R X e j d
RX21 SXejd 上两式通常叫做维纳—辛钦关系式。
功率谱密度函数可由相关函数转换而来。 自相关函数
R x()E [X (t)X (t )]
当τ＝0时， Rx ( ) 为X(t) 的均方值
R x(0 ) E [X (t)X (t) ]E [X 2 (t)]
4
若随机过程为各态历经过程，则
Rx(0)E[X(t)X(t)]E[X2(t)]
lim1 TX2(t)dt T0
SX() RX()ejd
可以证明以上两种形式是等价的
13
自谱具有下列性质
▲（1）自谱SX(ω)为一实偶函数 ，由于自相关函数 为实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也是实偶函数 ▲（2）自谱密度SX(ω)曲线下面包围的面积乘以常 数1/2π，即为平稳随机过程X(t)的圴方值E[X2(t)]。
SX(ω)
由于互相关函数不是偶函数，因而上述两项积分 一般均不为零，即互谱函数为一复数。
20
互为共轭函数
21
互功率谱密度的两个性质：
22
5.4 共相谱、正交谱和相干函数
(只要求掌握相干函数的表达式) 互谱一般为复函数，可写成
共相谱 正交谱
23
共相谱、正交谱名称的由来
24
共相谱为同相分量之积
C X Y T li m E T 1 X R Y R X I Y I
但在工程技术问题中，广泛采用从频率域来描述 一个随机振动过程特征的功率谱密度函数。
1、功率谱密度函数能够反映随机振动的功率关于频率的 分布密度。
2、对于一个线性系统，输入功率谱、输出功率谱、系 统本身的传递特性三者之间的关系式非常简便。
3 在对系统进行振动试验时，功率谱有助于振动特性的 模拟
3
功率谱密度与相关函数可分别从频域与时差域这 两个不同的角度反映着同一个统计特性—“功率”。
0
ω
R X 0 E X 2t 2 1 S Xd
14
▲（3）自谱SX(ω) 是一非负函数 SX()T li m ET 1XT()2
▲（4）单边谱密度GX(ω)
GXG(ωX()ω)
GX()20SX()
(0) (0)
SXS(ωX()ω)
0
ω
工程中不存在负频率，按其偶函数特征将负频率范围 内的谱密度折算到正频率范围内获得单边谱密度函数