随机信号的功率谱密度
功率谱和功率谱密度计算公式
功率谱和功率谱密度计算公式
功率谱（Power Spectrum）
是描述随机信号或时间序列在不同频率下功率分布情况的工具。
对于离散信号，功率谱的计算通常涉及到傅里叶变换（Fourier Transform）或者更一般的傅里叶分析方法。
假设有一个离散信号(x(n))（其中(n)表示时间或样本序号），其功率谱(P(f))可以通过以下步骤计算：
傅里叶变换：首先，对信号(x(n))进行傅里叶变换，得到其频谱(X(f))：
(X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j2\pi fn})
计算功率谱：然后，计算频谱的模的平方，即得到功率谱(P(f))：
(P(f) = |X(f)|^2)
功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）
是单位频率范围内的平均功率，通常用于描述连续信号的功率分布。
对于连续信号(x(t))（其中(t)表示时间），其功率谱密度(S_{xx}(f))可以通过自相关函数和傅里叶变换得到：
自相关函数：首先，计算信号(x(t))的自相关函数(R_{xx}(\tau))：
(R{xx}(\tau) = \int{-\infty}^{\infty} x(t) x(t+\tau) dt)
傅里叶变换：然后，对自相关函数(R{xx}(\tau))进行傅里叶变换，得到功率谱密度(S{xx}(f))：(S{xx}(f) = \int{-\infty}^{\infty} R_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau)。
随机信号分析__2.3功率谱密度
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
随机信号名词解释
随机信号名词解释一、定义随机信号是指在任何时间都无法确定其确切值的信号。
这种信号的值是随机的，即每个样本函数都是不同的，且遵循某种统计规律。
二、特点1.随机性：随机信号的值是不确定的，其具体取值无法事前预测。
2.统计规律性：尽管随机信号的每个样本函数是不同的，但它们遵循一定的统计规律。
这些规律可以通过概率论和统计学进行描述。
3.功率谱密度：随机信号的功率谱密度是一种描述信号中各种频率分量所占的能量比例的函数。
三、产生方式随机信号可以通过自然现象或人为生成的方式产生。
例如，大气噪声、机械振动、电子噪声等都可以作为随机信号的来源。
此外，也可以通过模拟或数字方式生成具有特定统计特性的随机信号。
四、频谱分析频谱分析是研究随机信号的一个重要手段。
通过对随机信号进行频谱分析，可以了解信号中各个频率分量的能量分布情况，从而更好地理解和处理该信号。
五、相关函数相关函数是描述随机信号之间时间关联性的函数。
如果两个信号在某一时刻之前的值相同或相似，则可以说这两个信号在该时刻是相关的。
相关函数在信号处理、系统分析和物理测量等领域中有着广泛的应用。
六、随机过程随机过程是随机信号的扩展，它不仅考虑单个样本函数的随机性，还考虑多个样本函数之间的相互关系。
随机过程在概率论、统计学、通信工程、金融数学等领域中有着广泛的应用。
七、信号处理对于随机信号的处理，常用的方法包括滤波、预测、估计和编码等。
这些方法可以帮助我们从大量的随机信号中提取有用的信息，或者对信号进行有效的传输和存储。
八、应用领域随机信号在许多领域中都有着广泛的应用，如通信、雷达、声呐、地震学、气象学、经济学等。
在这些领域中，我们需要处理大量的随机信号数据，并从中提取有用的信息。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
功率谱密度生成随机信号的方法
功率谱密度生成随机信号的方法
生成随机信号的功率谱密度可以通过以下几种方法进行：
1. 高斯白噪声：可以通过生成服从高斯分布的随机数序列，然后对序列进行傅里叶变换得到频域信号，再求解功率谱密度来生成随机信号的功率谱密度。
2. 随机过程模型：根据已知的随机过程模型，例如自回归模型（AR）、自回归滑动平均模型（ARMA）、自回归移动平均模型（ARIMA）等，可以通过参数估计或拟合来得到随机信号的功率谱密度。
3. 滤波方法：通过对随机信号进行滤波操作，可以达到改变功率谱密度的目的。
可以采用低通、高通、带通、带阻等滤波器进行滤波，从而生成具有特定功率谱密度的随机信号。
4. 频谱修正方法：采用频谱修正的方法可以改变随机信号的功率谱密度。
具体做法是在频域对随机信号的频谱进行修改，例如加窗操作、滤波等，从而得到预期的功率谱密度。
以上是常见的几种生成随机信号功率谱密度的方法，具体选择取决于所需的随机信号特性和应用场景。
功率谱密度的定义
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
如何用MATLAB绘制功率谱密度图形？随机产生一次数据x=randn（1，1024*8）求功率谱密度。
如何应用MATLAB画出来横坐标为频率（Frequency(hz)））纵坐标为功率谱密度（Power Spectrum Magn itude (dB))的图形？MATLAB程序为：function [t,omg,FT,IFT] = prefourier(Trg,N,OMGrg,K)% 输入参数：% Trg : 二维矢量，两个元素分别表示时域信号的起止时间；% N : 时域抽样数量；% OMGrg: 二维矢量，两个元素分别表示频谱的起止频率；% K : 频域抽样数量。
% 输出参数：% t : 抽样时间；% omg : 抽样频率；% FT : 实现傅里叶变换的矩阵~U~及系数；% IFT : 实现傅里叶逆变换的矩阵~V~及系数。
T = Trg(2)-Trg(1);t = linspace(Trg(1),Trg(2)-T/N,N)';OMG = OMGrg(2)-OMGrg(1);omg = linspace(OMGrg(1),OMGrg(2)-OMG/K,K)';FT = T/N*exp(-j*kron(omg,t.'));IFT = OMG/2/pi/K*exp(j*kron(t,omg.'));end在另一个脚本文件中：clc;clear ;close all;N=1024*8;K=500;OMGrg=[0,100];Trg=[0,1];[t,omg,FT,IFT] = prefourier(Trg,N,OMGrg,K);% f0=10;% f=sin(2*pi*f0*t);f=randn(N,1);F=FT*f;figure;plot(t,f);figure;plot(omg/2/pi,abs(F).^2);高斯白噪声的功率谱理论上为一直线，除非它是在某些特定情况下成立，比如经过了滤波器。
1的功率谱密度
1的功率谱密度
功率谱密度是一种衡量随机信号能量的方式，它描述了信号的能量分布情况。
对于离散信号x[n]，其功率谱密度可以定义为信号x[n]的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方，即：|X(e^(jω))|^2。
对于离散信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方。
由于1是一个常数序列，其自相关函数是一个单位脉冲函数，即δ(n)。
将δ(n)进行傅里叶变换可以得到1的频域表示，即：X(e^(j ω))=1。
根据功率谱密度的定义，离散信号1的功率谱密度可以计算为：|X(e^(j ω))|^2=1^2=1。
因此，离散信号1的功率谱密度为1。
对于连续信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的能量谱密度。
由于1是一个常数函数，其能量谱密度可以表示为1的平方乘以频率的函数，即：E(ω)=1^2×ω^2。
根据能量谱密度的定义，连续信号1的能量谱密度可以计算为：E(ω)=1^2×ω^2=1。
因此，连续信号1的能量谱密度也为1。
总之，无论是离散信号还是连续信号，常数序列1的功率谱密度或能量谱密度都为1。
这是因为1是一个常数函数，其能量或功率是恒定的，不随时间或频率变化而变化。
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GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
1 2 lim E[ FT (, ) ] 得: 由 G f () T 2T
2
1 G X ( ) lim E[ T 2T 1 lim T 2T
T T
T
T
jt1 jt 2 x ( t , ) e dt x ( t , ) e dt2 ] 1 T 2 T 1 T
三、相干函数
XY ( )
G XY ( ) [G X ( )GY ( )]
1 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非 零常数，即：
GN ( )
N0
2
,
的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：X T (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
E[ X T ( , )YT ( , )] G XY ( ) lim T 2T E[YT ( , ) X T ( , )] GYX ( ) lim T 2T
其中：
G XY ( ) GYX ( )
j R ( ) e d XY
j R ( ) e d YX
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
性质一：非负性,GX()0; 性质二： GX()是实函数； 性质三： GX()是偶函数； 性质四： G () 2G () X X 性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类 功率谱密度；
4.4 互谱密度及其性质
T
T T
j ( t 2 t1 ) E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt2 T 1 T 2
RXT (t1, t2 ) E[ X T (t1 ) X T (t2 )]
T (t1 , t2 ) T
j ( t 2 t1 )
1 G X ( ) lim T 2T
1 RX ( ) lim T 2T
T
T
RX (t, t )dt
GX ( ) RX ( )e j d
设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即:
GX ( ) RX ( )e j d
GX ( ) RX ( )e j d
式中，XN()是 xN (0 n N 1) 的N点DFT。
2、Blackman-Tukey(BT法)
二、互谱密度的性质 性质一：GXY () GYX () G*YX () 性质二： Re[GXY ( )] 和 Re[GYX ()] 是的偶函数；
Im[GYX ( )]
和Im[GXY ()] 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
G XY ( ) 0
T T
T T
R(t1 , t2 )e
T t T T t T
dt1dt2
1 t t1 , t 2 t1 lim T 2T 1 lim T 2T
T
j R ( t , t ) dte d X
j e d RX (t , t )dt T
x(t )
2
dt
f (t )
… O
… t
f T(t )
T － 2
O
T 2
t
图：f(t)及其截断函数
f (t ) f T (t ) 0
fT(t)的傅立叶变换存在：
t T /2 t T /2
FT ( )
fT (t )e
jt
dt
T /2
第四章 随机信号的功率谱密度
对随机过程的频域分析只能研究其功率
谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带
宽以及与系统的相互作用等问题。
4.1 功率谱密度
若一个确定信号 s(t ), 绝对可积，即满足：
t ，满足狄氏条件，且
s(t ) dt
则s(t)的傅立叶变换存在，为：
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱， 而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
W , G N ( ) 0,
自相关函数：
otherwise
sin RN ( ) W
GN() /
RN()
W
-
0
图
-2/ -/ 0 /
1 lim T 2T 1 2
T T
E[ f (t ) ]dt
2
1 1 2 E[ X T ( , ) ]d Tlim 2T 2 (t )] lim T 2T
2
T
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。 谱估值的主要目的：揭示其周期性。
一、两种经典谱估值的方法
1、周期图法 本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计 量，对于有限N，有：
1 2 ˆ GX () X N () N
2
T T
f T (t , )[
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
1 j t F ( , ) [ f ( t , ) e dt ]d T T 2 T
T T 2 | F ( , ) | T
W是样 本函数 的平均 功率
1, N ( ) 0,
0 0
二、热噪声
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动 （布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
其功率谱密度为：
2 E[ NU ( f )] GNU ( f ) 2kTR 2f
三、噪声系数和温度
噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输
两个随机过程之和构成新的随机过程，即：
Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数：
RZ (t , t ) E{[ X (t ) Y (t )][ X (t ) Y (t )]} RX (t , t ) RY (t , t ) RXY (t , t ) RYX (t , t )
机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗 1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱 密度函数。记为Gf(,)。
1 2 G f (, ) lim FT (, ) T 2T 对所有的（实验结果）取统计平均得：
1 2 G f ( ) E[G f ( , )] E[ lim FT ( , ) ] T 2T 1 2 lim E[ FT ( , ) ] T 2T T 1 2 W E[W ] lim E [ f ( t , ) ]dt T 2T T
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
X T (, ) xT (t , )e jt dt
X T (, ) X T (, ) X T (, )
1 RX ( ) 2
j G ( ) e d X
上式称为维纳—辛钦定理。
说明：
1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相 应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频 率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含有
T
E[ f (t )
2
]dt
1 2
1 2 E[ X T ( , ) ]d Tlim 2T
或
1 2 W E[ f (t )] R f (0) 2
G f ()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
1 2 G f () lim FT (, ) T 2T
S ( ) s(t )e jt dt
S()与s(t)满足Parseval定理：
1 2 s (t )dt 2
S ()
2
d
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能
量是无限的，但其平均功率却是有限值，
即：
1 W lim T 2T
T
T
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )