第五章-功率谱密度函数
能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。
帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。
通常将定义为能量信号的能量谱密度。
显然，是一个偶函数。
信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。
2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。
通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。
设则为能量信号，且设。
由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。
比较以上两式有
显然，且为偶函数。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱密度函数范文
功率谱密度函数范文功率谱密度函数是一种统计工具，它在信号处理、通信系统、控制系统等领域广泛应用。
在这些领域中，我们经常需要分析信号的频谱特性，如频带宽度、峰值功率等。
功率谱密度函数提供了一种有效的方式来描述信号的频谱特性，从而使我们能够更好地理解和处理信号。
对于一个信号x(t)，其功率谱密度函数为S(f)，表示信号在频率f上的功率。
其中，S(f)的单位是功率/Hz。
这表示在单位频率范围内信号所包含的平均功率。
功率谱密度函数是一个非负实函数。
对于连续时间信号，其功率谱密度函数可以通过傅里叶变换得到：S(f)=，X(f)，^2其中，X(f)是信号x(t)的傅里叶变换表示。
功率谱密度函数是傅里叶变换的幅度平方。
对于离散时间信号，其功率谱密度函数可以通过离散傅里叶变换得到：S(f)=，X(f)，^2其中，X(f)是信号x[n]的离散傅里叶变换表示。
1.非负性：功率谱密度函数始终为非负实函数。
2.对称性：功率谱密度函数关于f=0轴对称。
3.平坦性：有些信号的功率谱密度函数在所有频率上都接近常数，这表示信号在所有频率上的能量相对平均扩散。
4.功率：功率谱密度函数积分得到信号的总功率。
5.带宽：功率谱密度函数的带宽表示信号在频域上的最高频率。
6.相干性：两个信号的功率谱密度函数互为傅里叶变换对。
1.频谱分析：通过功率谱密度函数可以分析信号的频率成分，提取感兴趣的频率信息。
2.通信系统：功率谱密度函数在频率分割多路复用系统、随机过程建模等方面有重要应用。
3.信号检测：功率谱密度函数可用于信号检测以及噪声抑制等问题。
4.控制系统：功率谱密度函数在控制系统中常用于分析信号产生的原因，设计控制器等。
5.随机过程：功率谱密度函数是随机过程的核心概念，用于描述信号的随机性质。
需要注意的是，功率谱密度函数是一个统计量，它描述的是信号的平均功率分布。
在具体应用中，我们需要根据实际需求选择合适的窗函数、采样频率等参数，以获得准确的功率谱密度函数估计。
第五章 功率谱的估计
5. 功率谱的估计（周期图与窗函数）5.1. 随机信号的功率谱 5.1.1. 功率谱的定义由前面的讨论，我们知道，Fourier 变换是从频域上描述信号的基本工具。
在确定性信号的情况下，当信号是周期时，可以分解为傅氏级数，构成离散频谱。
当信号是非周期性的，只在有限时间段内有值，满足狄拉克绝对可积(平方可积)条件，可以通过傅立叶变换，获得频谱。
但是，对于随机信号，一般既不是周期的，又不是绝对可积的，因此，严格意义上，随机信号既不能进行傅氏级数分解，又不能进行傅氏变换。
为了解决这一困难，维纳首先提出了广义谐波分析的概念。
所谓广义谐波分析是指：随机信号的傅氏分析可以从极限意义上来讨论。
1. 广义谐波分析取随机信号)(t x 在有限时间内的（-T~+T ）的一段，并定义⎩⎨⎧+<<-=其他0)()(Tt T t x t x T 由于时间有限，所以)(t x T 存在傅氏变换，即)()(ωX t x FTT −→←取极限值，并就全部样本集合从总集意义上求平均值，便可以获得随机信号的功率谱定义如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∞→T X E S T T x 2)(lim )(2ωω2. 维纳-辛钦定理可以证明，如果)(t x 是零均值的，上式又可以写成维纳-辛钦定理的形式，表示成自相关函数的傅氏变换。
即：⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞∞--∞∞-ωωπωττωωτωτd e S R d e R S j x x j x x)(21)()()(根据傅氏变换的卷积定理：2*)()()()(*)(ωωωT T T FT T T X X X t x t x =⋅−→←-亦即⎰∞∞--=ττωωτd e R X j T T )()(2式中dt t x t x dt t x t x R TT T T T T T ⎰⎰+-∞∞-+=+=ττττ)()()()()(因此[]ττωωτωτd dt t x t x E Te TX E S TT T T T j T T ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰+-∞→∞∞--∞→)()(21lim 2)(lim)(2注意到[][])(21)()2(21lim )(21lim )()(21lim )()(21lim )()(21lim τττττττττττττx T x T x T T T x TT x T T T T T T T T T R T R T T R dt T R dt R T dt t x t x E T dt t x t x E T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→∞→+-∞→+-∞→+-∞→+-∞→⎰⎰⎰⎰所以ττωωτd e R S j x x -∞∞-⎰=)()(3. 随机过程的功率谱密度函数的三种定义(1) 自功率谱密度函数定义为随机过程的傅立叶频谱幅值平方的数学期望：{}2)(21),(ωωT x X E T T S ={}2)(21lim )(ωωT T x X E TS ∞→=(2) 自功率谱密度函数定义为随机过程的自相关函数的傅立叶变换：ττωωτd e R S j x x -∞∞-⎰=)()((3) 自功率谱密度函数在中心频率f 的带宽f ∆内的取值，定义为随机过程样本信号，通过中心频率为f ，带宽f ∆的带通滤波后的平均功率：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∆⎰-∞→TT T T x dt f f t x T f f S 2),,(21lim ),( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎰-∞→→∆T TT T f x dt f f t x T f S 20),,(21lim lim )(5.1.2. 功率谱的性质1. 对称性对于实信号，由于)(τx R 是实偶函数，所以)(ωx S 也是实偶函数。
功率谱密度
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
谱密度,功率谱密度,能量谱密度
谱密度, 功率谱密度, 能量谱密度在应用数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是一个用于信号的通用概念，它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。
解释在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。
功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
定义能量谱密度能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。
如果是一个有限能量信号，即平方可积，那么信号的谱密度就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。
其中是角频率（循环频率的倍），是的连续傅里叶变换。
是的共轭函数。
如果信号是离散的，经过有限的元素之后，仍然得到能量谱密度：其中是的离散时间傅里叶变换。
如果所定义的数值个数是有限的，这个序列可以看作是周期性的，使用离散傅里叶变换得到离散频谱，或者用零值进行扩充从而可以作为无限序列的情况计算谱密度。
乘数因子经常不是绝对的，它随着不同傅里叶变换定义的归一化常数的不同而不同。
功率谱密度上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。
一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
第五章 功率谱密度函数
SX(ω)
0
ω
RX
0
E X 2
t
1
2
SX
d
计算汽车四个输入的振动传递时，需要计算四个车轮输入的自谱和四个
车轮彼此之间的互谱，共16个谱量，其中四个自谱，12个互谱；其中互
谱的计算公式：
Gik
(n)
lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
Gik
(n)
lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
G11(n)
lim
T
1 T
F1* (n) F1 (n)
q2 (l) x(l L) q4 (l) y(l L)
1、2为同侧车轮 3、4为同侧车轮
F[q1(l)] F[x(l)] X (n)
F[q2 (l)] F[x(l L)] X (n)e j2nL
F[q3(l)] F[ y(l)] Y (n)
F[q4 (l)] F[ y(l L)] Y (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
作业：
推导：
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
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0
E
X 2
t
1
2
SX
d
自功率谱密度函数定义为
S
X
()
lim
T
E
1 T
X
T
(
)
2
SX ()
RX
(
)e
j
d
可以证明以上两种形式是等价的
自谱具有下列性质
▲（1）自谱SX(ω)为一实偶函数 ，由于自相关函数 为实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也是实偶函数 ▲（2）自谱密度SX(ω)曲线下面包围的面积乘以常 数1/2π，即为平稳随机过程X(t)的圴方值E[X2(t)]。
计算汽车四个输入的振动传递时，需要计算四个车轮输入的自谱和四个
车轮彼此之间的互谱，共16个谱量，其中四个自谱，12个互谱；其中互
谱的计算公式：
Gik
(n)
lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
Gik
(n)
lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
G11(n)
lim
T
1 T
F1* (n) F1 (n)
RX
(
)e
j
d
RX
1
2
SX
e j d
SX(ω)是ω的函数，表征信号本身“功率”按频率 的分布情况。故定义SX(ω)为自功率谱密度函数
(简称自功率谱或自谱)。 下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
设x(t)是遍历过程的一个样本函数，它是定义在
(-∞﹤t﹤∞)区间内的一个非周期函数，不满足
但在工程技术问题中，广泛采用从频率域来描述 一个随机振动过程特征的功率谱密度函数。
1、功率谱密度函数能够反映随机振动的功率关于频率的 分布密度。
2、对于一个线性系统，输入功率谱、输出功率谱、系 统本身的传递特性三者之间的关系式非常简便。
3 在对系统进行振动试验时，功率谱有助于振动特性的 模拟
功率谱密度与相关函数可分别从频域与时差域这 两个不同的角度反映着同一个统计特性—“功率”。
功率谱密度函数可由相关函数转换而来。 自相关函数
Rx ( ) E[ X (t) X (t )]
当τ＝0时， Rx ( ) 为X(t) 的均方值
Rx (0) E[ X (t) X (t)] E[ X 2 (t)]
若随机过程为各态历经过程，则
Rx (0) E[ X (t) X (t)] E[ X 2 (t)]
对于平稳随机过程，x 0 时（不为零时可调节零
点），当
时，自相关函数趋于
2 x
0
，所
以自相关函数满足绝对可积的条件，用符号SX(ω)
记作它的傅里叶变换
SX F RX
RX
e j d
相应的逆变换为:
RX
1
2
SX
e j d
SX F RX
RX
e j d
XR
YI
互谱一般为复数，亦可写成
其中
SXY SXY e jXY
SXY
CX2Y
QX2Y
XY
arctan QXY CXY
互谱与自谱满足下列不等式
SXY 2 SX SY
（证明略）
由过程X(t)与Y(t)的自谱与互谱，可定义谱相干函数 γXY(ω)（或称凝聚函数）
第五章 随机振动的功率谱密度
第五章 随机振动的功率谱密度
5-1 自相关函数的物理意义及其傅立叶变换 5-2 自功率谱密度函数及其性质 5-3 互功率谱密度函数及其性质 5-4 共相谱、正交谱和相干函数
5-1 自相关函数的物理意义 及其傅立叶变换
一个随机振动过程的特征可以用数学期望、方差 和相关函数来描述。
互谱密度函数
G12 (n)
1 lim
T T
F1*(n)F2 (n)
1 lim T T
X *(n) X (n)e j2nL
Gxx (n)e j2nL
G21 (n)
lim
T
1 T
F2* (n) F1 (n)
lim
T
1 T
X *(n)e j2nL X (n)
Gxx (n)e j2nL
G12 (n) G21* (n) Gxx (n)e j2 nL
lim
T
1 T
X *(n)X (n) lim 1 T T
X (n) 2 Gxx (n)
G22 (n)
lim 1 T T
F2*(n)F2 (n)
lim 1 T T
X * (n)e j2nL X (n)e j2nL
Gxx (n)
G33 (n)
1 lim T T
F3* (n) F3 (n)
SX(ω)
0
ω
RX
0
E X 2
t
1
2
SX
d
▲（3）自谱SX(ω) 是一非负函数
S
X
()
lim
T
E
1 T
X
T
()
2
▲（4）单边谱密度GX(ω)
GXG(ωX()ω)GX源自()2S 0
X
()
( 0) ( 0)
SXS(ωX()ω)
0
ω
工程中不存在负频率，按其偶函数特征将负频率范围 内的谱密度折算到正频率范围内获得单边谱密度函数
互为共轭函数
互功率谱密度的两个性质：
5.4 共相谱、正交谱和相干函数
(只要求掌握相干函数的表达式) 互谱一般为复函数，可写成
共相谱 正交谱
共相谱、正交谱名称的由来
共相谱为同相分量之积
CXY
lim
T
E
1 T
XR
YR
XI
YI
正交谱为正交分量之积
QXY
lim
T
E
1 T
X
I
YR
绝对可积条件，不能直接应用傅立叶变换。引入
下述辅助函数xT(ω):
x(t) T / 2 t T / 2
xT (t)
0
t T/2
若xT(t)满足绝对可积条件，则有
XT ()
xT
(t
)e
jt
dt
xT
(t )
1
2
XT
(
)e
jt
d
xT(t) 的均方值定义为:
T
对上式求集合平均得
RX
q2 (l) x(l L) q4 (l) y(l L)
1、2为同侧车轮 3、4为同侧车轮
F[q1(l)] F[x(l)] X (n)
F[q2 (l)] F[x(l L)] X (n)e j2nL
F[q3(l)] F[ y(l)] Y (n)
F[q4 (l)] F[ y(l L)] Y (n)e j2nL
1 lim T T
Y *(n)Y (n)
1 lim T T
Y (n)
2
Gyy (n)
G44 (n)
lim 1 T T
F4*(n)F4 (n)
lim 1 T T
Y *(n)e j2nLY (n)e j2nL
Gyy (n)
G11(n) G22 (n) Gxx (n) G33 (n) G44 (n) Gyy (n)
RX
1
2
SX
e j d
上两式通常叫做维纳—辛钦关系式。
若令式中τ=0，则可得
RX
0
E
X 2
t
1
2
SX
d
显然，若自相关函数在τ＝0处表示信号的“功率
”，则式中SX(ω)的量纲为“功率”/频率单位，
代表单位频带上所具有的功率。
5.2 自功率谱密度函数及其性质
自相关函数的傅里叶变换对为
SX ()
lim 1 T X 2 (t)dt
T0
所以：自相关函数蕴藏着随机信号功率的物理意义。
研究随机过程时，常需要利用傅立叶变换来确定 随机过程的频率结构，但一个时间函数，在区间 ( t ) 内其傅立叶变换是否存在，取决于是 否绝对可积。
X (t)dt
很多时间函数不能满足上述条件，因此不能利用 用时间函数历程函数直接进行傅立叶变换。
推导：
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
2 XY
SXY 2 SX SY
结合互谱与自谱间的关系不等式，易知
0
2 XY
1
互相关函数与自相关函数之间的关系
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
互谱与自谱满足之间的关系
SXY 2 SX SY
掌握 四个车轮输入的自谱与彼此间的互谱
四个车轮：路面不平度函数
q1(l) x(l) q3(l) y(l)
同理： G34 (n) G43*(n) Gyy (n)e j2nL
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
作业：
RYX
(
)
1
2
SYX
(
)e
j
d
从另一个角度定义互功率谱密度
设x(t)与y(t)为遍历过程的两个子样函数，都是定 义在区间-∞≤t≤∞内的非周期函数，其傅里叶变换 XT(ω)和YT(ω)分别为：