平稳过程的谱密度
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
通信原理简答题及答案
通信原理简答题及答案第一章绪论1-2 何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：数字信号：电信号的参量值仅可能取有限个值。
模拟信号：电信号的参量取值连续。
两者的根本区别是携带信号的参量是连续取值还是离散取值。
1-3何谓数字通信？数字通信偶哪些优缺点？答：利用数字信号来传输信息的通信系统为数字通信系统。
优点：抗干扰能力强，无噪声积累传输差错可控；便于现代数字信号处理技术对数字信息进行处理、变换、储存；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。
缺点：一般需要较大的传输带宽；系统设备较复杂。
1-4 数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么？答：信源编码：提高信息传输的有效性（通过数字压缩技术降低码速率），完成A/D转换。
信道编码/译码：增强数字信号的抗干扰能力。
加密与解密：认为扰乱数字序列，加上密码。
数字调制与解调：把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道中传输的带通信号。
同步：使收发两端的信号在时间上保持步调一致。
1-5 按调制方式，通信系统如何分类？答：基带传输系统和带通传输系统。
1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？答：模拟通信系统和数字通信系统。
1-7 按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？答：FDM,TDM,CDM。
1-8 单工、半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方式。
答：按照消息传递的方向与时间关系分类。
单工通信：消息只能单向传输。
半双工：通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发的工作方式。
全双工通信：通信双方可以同时收发消息。
1-9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信方式？他们的适用场合及特点？答：分为并行传输和串行传输方式。
并行传输一般用于设备之间的近距离通信，如计算机和打印机之间的数据传输。
串行传输使用与远距离数据的传输。
1-10 通信系统的主要性能指标是什么？答：有效性和可靠性。
1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：有效性：传输速率，频带利用率。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程的功率谱密度
K XY
( )
2
2 2
XY
若 X (t)与Y (t)是联合平稳的，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳的。
互相关系数：rXY ( )
KXY ( ) RXY ( ) mX mY
KX (0)KY (0)
XY
例1、设 X (t) sin(0t ) Y (t) cos(0t )
第五讲：小 结
平稳随机过程
严格平稳随机过程
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
广义平稳随机过程
mX (t) mX RX (t1,t2 ) RX ( ), t1 t2
平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
RX ( )
其中 0 为常数， 在( , )上均匀分布，求互协方差函数。
复习
频谱： S() s(t)e jtdt s(t) 1 S()e jtd 2
s(t) dt
s2(t)dt
s(t)
1
S()e jtddt
若 K XY (t1,t2 ) 0 ，则X(t)与Y(t)不相关；
联合平稳的定义： 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
性质：
RXY (t1,t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
E[ 1 2
lim 1 T 2T
XT () 2 d]
号的平均功率按 频率分布的情况
1
E[ lim T 2T
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
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借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示。
2018/11/27 14
14
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是 下列矩形波的极限，记
fa
x
1 , x a 2a 0, x a
其中a>0。不妨认为
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10
例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=e
a
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱 密度
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0
2 e
0
a
cos d
2a 2 2 a
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4
通常记作
F RX ( ) S X ( ) F
1
S X ( ) RX ( )
对于平稳序列， X n , n 0、 1、 2，…… （自）谱密度定义为
S X ( ) RX (m)e
m
i n
, .
求 Yn 的谱密度。
Ry (w)
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8
定理3.5（谱密度的性质） 设S X ()是平稳 过程 {X t , t } 的谱密度， RX ( ) d S X () 是取非负实数值的偶函数，即 （i）
S X () 0且S X () S X ()
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质
三、谱密度与相关函数的关系
四、傅立叶变换的性质
2018/11/27
1
谱密度的概念
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以 一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
0
2 e a cos 0 cos d
0
e
0
a
cos 0 d e
0
a
cos 0 d
a a +0
2
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2
a a 0
2 2
12
在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。
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3
维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数 S X () 存在， RX ( ) 绝对可积，即 RX ( ) d 时， 且相关函数
1 RX ( ) 2
S X ( )e d
i
这表明谱函数 S X ( )是相关函数RX ( )的傅立叶 变换，而 RX ( ) 是 S X () 的傅立叶逆变换.
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例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， RX ( ) 即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
PX ( )=e
a
cos 0
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
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赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 RX (m) 满
足
m
RX ( m) 时，
S X ( )
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
1 i n RX (m) S X ( )e d , m 0, 1, 2,……. 2
n
m
i n 2 R ( m ) e R (0) . X X
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1 、 2，…… Yn , n 0、 例3.12 设 是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了 Yn是一个平稳序列。为了方便，我们记
k
0(k 0或k N )
定义3.6 如果函数 x 满足
, x 0 x 且 0, x 0
x dx 1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为 函数。
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引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ( )
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一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{X t , t } 是一个平稳 过程，如果含参变量的广义积分
S X ()Βιβλιοθήκη = RX ( )e
i
d
存在，那么，称 S X () 为平稳过程 X t 的 （自）谱密度
（ii）
S X ( ) 2 RX ( ) 1
0
RX ( ) cos d S X ( ) cos d
0
（iii）巴塞伐等式
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1 R ( ) d X 2
2
S X ( ) d
9
2
谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
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X n , n 0、 1 、 2，…… 例3.11 设 是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n 是一个平稳序列，且相关函数
RX (m) ｛
于是，谱密度
2，m 0
0, m 0
S X ( )
这个谱密度 S X () 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在 X 各个频率 上具有相同的分量，由于物理上白光的谱 为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。