垂直于弦的直径.ppt
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垂直于弦的直径ppt课件
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
A
进一步，我们还可以得到结论：
B
E
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧。
•即：如果CD过圆心，且AE=BE
则CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
7
C
O
垂径定理：
A
M
B 由
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
推论：
O
由 ① CD是直径 可推得
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。 9
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
D
B
O
O
O
O
A
E
B
A
E
BA
EB
D
是
不是
是
D
不是
注意：定理中的两个条件（直 径，垂直于弦）缺一不可！
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
17
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作
垂直于弦的直径课件
。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
第课时 垂直于弦的直径(共26张PPT)
24.1 圆
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
《垂直于弦的直径》圆PPT课件
·O
或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股
定理求解.
A
C
B
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质
垂直于弦的直径
1
理解圆的轴对称性及垂径定理的推 导.(难点)
学
习 目
2
能初步应用垂径定理进行计算和证明. （重点）
标
3
通过圆的对称性，培养学生对数学的 审美观，并激发学生对数学的热爱.
观察思考 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
你发现了什么？由此你能得到什么结论？
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
.
O
4
A1E B
2.⊙O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的距离OE=4cm，
则弦AB 的长是 6cm .
O
54
A EB
达标练习
3.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
(0, 若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
a 2
2
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
方法总结
《垂直于弦的直径》ppt
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
AD=BD
O · A
E D
新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（ ）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚 距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一， 个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (， 物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线 ：计物设设相相行DA，确到物,⊙上 如.B划线每 每等 等符于在区=直线O是 果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否 两排足足的？？条m1三O平，的:存 条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在 直xC工为为点，的直2根与与DA离-一 线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元
《垂直于弦的直径》圆PPT精品课件
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C
OE
A
B
D
（4）
没有垂直
AB、CD都 不是直径
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
想一想
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
C
O AE B
D
（1）
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C A OE B
DD
（4）
垂径定理： 过圆心
垂径定理的推论：
①③→②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧弧, , ⑤平分弦所对的劣弧.
还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
合作探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？
①圆是轴对称图形，
O
②任何一条直径所在的直线
都是圆的对称轴.
你能证明上面的结论吗？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以 外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
A
D
R
由题设可知：AB37，CD7.23，
B ∴AD 1 AB 1 3718.5，
22 ODOCCDR7.23，
O
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
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2020-7-19
x
14
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
2020-7-19
x
15
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
B
2020-7-19
•
O
x
22
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的 跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？
2020-7-19
C
18.7 7.2
A
D (R-7.2) B
R
•
O
x
23
练习：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为 5cm .
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
2020-7-19
x
16
如图，A垂B是径⊙定O的理一：条垂弦，直作于直弦径的CD直，径使平CD分⊥弦AB，，并垂且足为E .
（1）这个平图分形弦是所轴对对的称图两形条吗弧？．如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
CD=OD－OC =10－6=4
2020-7-19
x
20
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
若弦心距为d，半径为R，弦长
d +( ) =R 为a,则2这三者之a 间2有怎样2的关
系？
2
截面圆心O到水面的距离OC=6，
xx
2020-7-19
x
1
2020-7-19
x
2
说课内容
学 教 教 教计板 教
情 分
材 分
法 与 学
学 过
书 设
学 评
析 析法程
价
2020-7-19
x
3
一、学情分析
初三学生一般是14或15岁，根据皮亚 杰的智力发展理论，这个时期的青少年和 成人的思维接近，但他们理解抽象词语仍 有困难，他们的判断和逻辑推理能力还没 有很好的发展。大多数青少年已经能相当 熟练地操作具体对象，并喜欢通过具体手 段进行学习，需要把新的抽象概念跟具体 现实和他们的经验联系起来。
19
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
排水管中水最深是多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
AC=BC= 1 AB= 1 ×16=8 由2勾股定2 理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
6 10 8C 8
D
答:截面圆心O到水面的距离为6.
求水面宽AB。
变式二：
若已知排水管的水面宽AB=16。 截面圆心O到水面的距离OC=6， 求排水管的半径OB。
d6 8C
10R
a28
D
2020-7-19
x
21
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
教学 手段
问题化解陌决生及为引熟导悉探，寻求解决问题的 究思师教教路生学具，互法：发动多展，媒合生体情生、推互黑理动板能力。
学具：圆形纸片
2020-7-19
x
12
四、教学过程
1 创设情境、引入课题 2 合作交流，探究新知
3 应用性质，解决问题
2020-7-19
4 灵活应用，提高能力 5 小结升华，独立练习
B
●O
A D
（1）
B
D
（2）
D
√（3）
AE=BE吗？
2020-7-19
x
18
垂径定理的推论1:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
ACDE⊥=BABE
CD⊥AB
结论
⌒⌒ A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
2020-7-19
Cx
x
13
第一环节：创设情境，导入新课
活动1：实例导入，激疑引趣
1、实例： 同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册
第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州） 而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有 1300多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世 界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2、运用探索、推理，充分把握圆中的垂 径定理及其逆定理；
3、拓展思维，与实践相结合，运用垂径 定理及其逆定理进行有关的计算和证明。
1、 在探索问题的过程中，培养学生的动 手操作能力，发展初步的合情推理能力；
2、 能从探索性质和利用性质解题的结果 中选择有用的数学信息，作出合理的推断和 大胆的猜想。
2020-7-19
2020-7-19
x
4
二、教材分析
1、教材的地位和作用 2、教学目标 3、教学重点和难点
2020-7-19
x
5
1、教材的地位和作用
圆的有关性质和过三点的圆
对一些圆的计算和作图问题提供了方 法和依据
2020-7-19
x
6
2、教学目标
知识技能
数学思考
解决问题
2020-7-19
x
情感态度
7
1、通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称 性；
C
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
O·
A
E
B
D
2020-7-19
x
17
在找下一列找哪个图中有AE=BEA⌒，C=B⌒C，A⌒D=B⌒D.
C
C
B
●O
E
C
A
A
E ●O
2020-7-19
x
9
3、教学重点和难点
重点
垂直于弦的直径所具有的性 质以及证明。难点Leabharlann 把数学语言转化 为几何语言。
垂径定理及其推论的条件 和结论的相关应用。
2020-7-19
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三、教法与学法
教法 选择
教学组 织形式
教学 手段
学法 指导
2020-7-19
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教法 选择
教学组 织形式
学法 指导
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通过对运用垂弦定理解决问题过程 的反思，进一步体会和理解研究几何图形 的各种方法，获得解决问题经验；培养学 生独立探索，相互合作交流的精神 。
<1> 通过观察、归纳获得数学猜想，体 验数学活动充满着探索性和创造性。
<2> 通过对垂弦定理的证明过程，感受 证明的意义和数学的严谨性
<3> 通过互动交流，融洽师生关系，培 养学生的合作意识，体验合作的快乐。