北京四中数学必修五教案第二章 数列综合之基础篇
高中数学北京名校人教A必修5教案第二章 数列综合
第二章 数列综合【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、数列的通项公式数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列；③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。
人教版高中必修5第二章数列教学设计
人教版高中必修5第二章数列教学设计教学目标1.理解数列的概念及基本特征，能够正确地用公式计算数列项；2.掌握等差数列和等比数列的求和公式，并能够运用于实际问题的解决；3.培养学生对数学的兴趣和思维能力，提高其数学应用能力和解决问题的能力。
教学重难点1.理解数列的概念及基本特征，掌握常见数列的性质，展现数列的美妙之处；2.掌握等差数列和等比数列的求和公式，能够将问题转化成数列的求和问题。
教学内容及教学步骤导入环节引导学生通过问题引入数列的概念。
示范问题：如果按照1,3,5,7,…的规律一直往下走，你能得出第n 项是什么吗？通过这个问题，让学生明白数列的概念，探究数列的基本性质，引导学生去思考和猜测数列的特征。
讲解环节通过数列的定义和相关例题，让学生掌握数列的概念及基本特征。
数列的定义数列是按照一定规律排列的一列数，数列中每一个数称为该数列的项。
数列的分类常规数列：$a_1, a_2, a_3, …, a_n $特殊数列：•等差数列：a1,a2,a3,...,a n，满足a n+1=a n+d；•等比数列：a1,a2,a3,...,a n，满足a n+1=a n q。
常见数列的性质•等差数列的前n项和：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$；•等比数列的前n项和：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
实践环节练习1观察以下数列，判断其为等差数列还是等比数列并求出公差或公比：1.1,2,4,8,16,32,64,1282.-1,3,7,11,15,19,233.2，-4，8，-16，……答案：1.等比数列，公比为 2；2.等差数列，公差为 4；3.等比数列，公比为 -2。
练习2计算下列数列的前n项和：1.1,2,3,4, (99)2.-1,2,-3,4,-5 (201)3.1,-2,3,-4,…,-99。
答案：1.$S_n = \\frac{n(n+1)}{2}$；2.$S_n =\\frac{n}{2}(-1+(-1)^n(2n+1))$；3.$S_n = (-1)^{n+1}\\frac{n}{2}$。
人教版高中必修5第二章数列课程设计 (2)
人教版高中必修5第二章数列课程设计一、课程背景本课程是人教版高中数学必修5第二章数列课程设计，适用于高一学生。
数列是高中数学的重要内容，通过本章的学习，能够加深学生对数列的认识和理解，掌握数列的概念、性质和应用。
同时，数列也是高考数学的热门考点之一，学好数列对于高考取得好成绩非常重要。
二、教学目标1.掌握数列的概念及其分类；2.掌握数列的通项公式、通项公式的和式及其应用；3.理解等差数列和等比数列的性质及其应用；4.培养学生解决实际问题的数学思维能力。
三、教学内容及进度安排第一课时：数列的概念•数列的定义；•数列的分类；•数列的通项公式。
第二课时：数列的通项公式•等差数列的通项公式；•常数项等差数列的通项公式；•等比数列的通项公式。
第三课时：数列的和式•等差数列的和式；•常数项等差数列的和式；•等比数列的和式。
第四课时：等差数列•等差数列的性质；•等差数列的应用。
第五课时：等比数列•等比数列的性质；•等比数列的应用。
第六至七课时：热身练习与综合应用•课堂练习；•综合应用。
四、教学方法本课程采用“让学生自己去发现、自己去试错”的教学方法，在教师的引导下，让学生通过自己的思考和探究，体会数学的美妙和思维的乐趣。
在课程设计中，注重培养学生的解决实际问题的能力，提高学生的实际运用能力。
同时，体现数学思维的性质和思想方法，培养学生的创造性思维和批判性思维。
五、教学评价通过对学生的课堂发言、课堂作业和课后作业的评价，反映学生在数列概念、性质和应用方面的掌握情况和思维能力的提高情况。
同时，通过对学生在实际问题中的解决能力、创造能力、批判能力和实际运用能力的评价，反映学生在数学思维方面的提高情况。
六、教学资源本课程主要使用以下教学资源：1.人教版高中数学必修5教材；2.PPT资源；3.电子版教学资料。
七、课程总结本课程通过对数列概念、性质和应用方面的教学，旨在帮助学生掌握数列的相关知识，提高实际问题的解决能力和数学思维能力，为高考数学的顺利通过打下基础。
北京四中数学必修五第二章 数列的求和问题基础版
数列的求和问题编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式；3．熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.【要点梳理】要点一、数列的前n 项和S n 的相关公式任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或qqa a S n n --=11要点诠释：等比数列的求和中若q 的范围不确定，要特别注意1q =的情况. 要点二、求数列的前n 项和的几种常用方法 公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前n 项和公式求和；倒序相加法：等差数列前n 项和的推导方法，即将n S 倒写 后再与n S 相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为1(1)n a n n =+的数列求和.常见的拆项公式： ①)11(1)(1kn n k k n n +-=+•；②若{}n a 为等差数列，且公差d 不为0，首项也不为0，则111111()n n n n a a d a a •++=-；③若{}n a 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=.④n n nn -+=++111；)(11n k n knk n -+=++. 分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为a n =2n+3n 的数列求和.错位相减法：如果一个数列{}n a 的通项是由一个非常数列的等差数列{}n b 与等比数列{}n c 的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为n n n c b a ⋅=（其中{}n b 是公差d≠0的等差数列，{}n c 是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n 项和n S .例如对通项公式为(21)2nn a n =-⋅的数列求和.一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q 要点诠释：①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n 项和的两边都乘以等比数列的公比q 后，再错位相减求出其前n 项和；②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.要点三、掌握一些常见数列的前n 项和公式 1. 2)1(321+=++++n n n ； 2. 2135(21)n n ++++-=3. 6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便. 【典型例题】类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式例1．设数列{}n a 的通项为*27(),n a n n N =-∈则1215||||+||a a a ++……= 【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。
高中数学必修五第二章数列教案
科组长签字：数学必修5知识点第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 14、通项公式的变形： ()n m a a n m d =+-；11n a a d n -=-；n m a a d n m-=-．15、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+．16、等差数列的前n 项和的公式：（1）()12n n n a a S +=；（2）()112n n n S na d -=+．17、等差数列{}n a 的前n 项和n S 和n a 的关系：（1）等差数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 有如下关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）若已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 求通项公式n a ，要分两步进行： ①先求2n ≥时，1n n n a S S -=-；②再令1n =求得1a .若11a S =，则n a 即为所求；若11a S ≠，则11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即必须表示为分段函数形式.18、等差数列的前n 项和n S 的性质： （1）项数（下标）的“等和”性质：()11()22n m n m n n a a n a a S -+++==（2）项的个数的“奇偶”性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S a S a +=奇偶．②若项数为()*21n n +∈N ，则()21121n n S n a ++=+，且S偶-S奇1n a +=-，S偶: S奇:1n n =+（3）“片段和”性质：等差数列{}n a 中，公差为d ，前k 项的和为k S ，则k S 、2k k S -、32k k S -，……，(1)m k m k S --，……构成公差为2k d 的等差数列.19、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．20、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．21、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．22、通项公式的变形： n mn m a a q-=；11n n a qa -=；n mn ma qa -=．23、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅． 24、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n nna q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．25、等比数列的前n 项和的性质： （1）项的个数的“奇偶”性质： ①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇②若项数为()*21n n +∈N ，则S奇-S偶1221n a a q++=+（1q ≠±）（2）“片段和”性质：等比数列{}n a 中，公比为q ，前k 项的和为(0)k k S S ≠，则k S 、2k k S -、32k k S -，……，(1)m k m k S --，……构成公比为kq 的等比数列.（3）“相关和”性质：nn m n m S S q S +=+⋅ 26、数列的通项公式的求法（1）观察法（2）代换法（3）迭代法（4）累加法（5）累乘法（6）待定系数法 27、数列的前n 项和的求法（1）公式法（2）倒序相加法（3）裂项相消法（4）错位相减法（5）分段求和法数列单元测试题（满分100分 90分钟）姓名_______________ 一. 选择题：（每题4分，共48分） 1.在数列{}a n 中,311=a,)2(21)1(≥=--n aan nn,则=a 5( )A. 316-B.316 C.38-D.382.在等差数列{}a n中,=++aaa 74139 ,=++a a a 85233 则=++a a a 963( )A. 30B. 27C. 24D. 213.设{}a n 是递增等差数列,前三项的和是12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 64.在等差数列{}a n 中,若8171593=+++a a a a ,则=a 11( )A.1B.-1C.2D.-25. 等差数列前10项和为100，前100项和为10。
人教版高中必修5第二章数列课程设计
人教版高中必修5第二章数列课程设计一、课程背景高中数学中，数列是一个很重要的内容。
数列的概念和性质是高中数学的基础，并且在初等数学、微积分等更高级的数学学科中也会涉及到数列的内容。
因此，对于高中学生，这是一门十分重要的课程。
二、课程目标本课程设计旨在培养学生对数列的概念和性质的理解，能够运用数列的知识解决实际问题。
具体目标如下：1.理解数列的概念，了解常见数列的类型及性质；2.掌握数列的常用运算方法，并能熟练地运用它们；3.能够解决数列的递推公式和通项公式；4.能够应用数列的知识解决实际问题；5.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
三、教学内容和方法1. 教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.数列的概念；2.常见数列的类型和性质；3.数列的通项公式和递推公式；4.数列的应用。
2. 教学方法本课程采用以下教学方法：1.讲授法：讲解数列概念和性质，引导学生掌握数列的基本特征和常用方法；2.练习法：通过练习，巩固数列的基本知识和方法；3.分组讨论：通过分组讨论，培养学生的团队合作能力，提高学生的解决问题的能力；4.展示法：学生上台做数列的应用题展示，培养学生的表达能力和自信心。
四、教学流程第一节：数列的概念1.引入数列的定义；2.讲解数列的概念和性质；3.练习题。
第二节：常见数列的类型和性质1.引入常见数列类型和性质；2.讲解各种数列的定义和特点；3.练习题。
第三节：数列的通项公式和递推公式1.引入数列的通项公式和递推公式；2.讲解通项公式和递推公式的定义和特点；3.练习题。
第四节：数列的应用1.引入数列的应用；2.分组讨论数列的实际应用；3.展示法呈现数列的应用；4.总结讨论。
五、教学评估1.教师根据学生的课堂表现（包括提问回答、练习情况、分组讨论等）进行定量和定性评估；2.学生根据自我感觉完成学习笔记并提交评估表。
六、教学参考人教版高中数学必修5，第二章数列。
高中数学必修5数列教案
高中数学必修5数列教案
教学内容：数列
教学目标：
1. 了解数列的概念和性质；
2. 能够求解数列的通项公式和前n项和；
3. 能够应用数列的知识解决实际问题。
教学重点：
1. 数列的定义和常见性质；
2. 求解数列的通项公式和前n项和；
3. 应用数列解决实际问题。
教学难点：
1. 应用数列的知识解决实际问题；
2. 思维拓展，提高问题解决能力。
教学方法：讲述、举例、练习
教学过程：
一、引入：
通过一道生活中的问题引入数列的概念，让学生了解数列在实际生活中的应用。
二、概念讲解：
1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列成的一组数字的集合。
2. 数列的常见性质：等差数列、等比数列等。
三、求解数列的通项公式和前n项和：
1. 求解等差数列的通项公式和前n项和；
2. 求解等比数列的通项公式和前n项和。
四、应用实例：
通过一些实际问题，让学生应用数列的知识解决问题，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
五、课堂练习：
让学生进行相关题目的练习，巩固所学知识。
六、作业布置：
布置相关的作业，让学生在家里进行巩固和复习。
七、小结：
总结本节课的内容，强调数列在数学中的重要性和应用价值。
教学反思：
本节课主要介绍了数列的概念和性质，以及如何求解数列的通项公式和前n项和。
通过实际例题的讲解和练习，帮助学生掌握数列的相关知识，并能够应用到实际问题中去解决。
同时也需要引导学生在学习数列的过程中，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
必修五数学高中数列教案
必修五数学高中数列教案【教学目标】1.了解数列的概念和性质；2.掌握数列的基本性质和方法；3.能够应用数列解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学重点】1.数列的定义和性质；2.常见数列的概念和特点；3.数列的求和公式及应用；4.数列的递推关系和通项公式。
【教学内容】1.数列的定义和性质2.等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念和特点3.数列的求和公式及应用4.数列的递推关系和通项公式【教学步骤】一、导入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质。
二、讲解：介绍等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念和特点，引导学生理解数列的基本性质。
三、练习：让学生通过练习掌握数列的求和公式及应用，培养学生解决数列问题的能力。
四、讨论：通过讨论数列的递推关系和通项公式，引导学生探讨数列的规律及应用。
五、总结：对数列的概念和性质进行总结，巩固学生对数列的理解和掌握。
【课堂作业】1.求下列等差数列的前n项和：1, 3, 5, 7, ...2.求下列等比数列的前n项和：2, 6, 18, 54, ...3.求斐波那契数列的通项公式及前n项和。
【教学反馈】1.检查学生上交的课堂作业；2.答疑解惑，巩固学生对数列的理解；3.鼓励学生思考数列问题的方法和策略。
【拓展延伸】1.让学生自主探究其他类型的数列及其性质；2.通过实际问题引导学生应用数列解决实际问题；3.组织数学活动，培养学生的数学兴趣和创新能力。
【教学反思】1.对本节课的教学效果进行评估；2.总结教学经验，优化教学方法；3.为下一节课的教学做好准备。
【板书设计】数列- 定义和性质- 等差数列、等比数列、斐波那契数列- 求和公式及应用- 递推关系和通项公式【教学参考】1.高中数学必修5 人教版2.《数列》教学教学实践教程3.高中数学学习指南【习题集】。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列综合 编稿： 审稿：【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、数列的通项公式数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列；②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列。
（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S①当n 为奇数时，12n n S n a +=⋅；12n S S a +-=奇偶；11S n S n +=-奇偶； ②当n 为偶数时，122()2n nn a a S n ++=⋅；12S S dn -=偶奇；212nn a S S a +=奇偶。
（6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则m n m nS S S m n m n+-=-+（m 、n ∈N*，且m ≠n ）。
（7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p qm n S S S S m n p q--=--。
（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =.等差数列前n 项和n S 的最值问题：等差数列{}n a 中① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三、：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：1n na q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：nn a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：n mn m a a q -=（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅= （4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.（5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列。
（6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇。
（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列。
（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a为等差数列，则{}n aa （a ＞0且a≠1）为等比数列。
（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)21(*)n n n n V a q n N -=∈等比数列的通项公式与函数：11n n a a q -=①方程观点：知二求一； ②函数观点：111n nn a a a qq q-==⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；要点诠释：当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列；当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。
要点四、常见的数列求和方法 公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。
分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若1()()n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=，如a n = 1(1)n n +111n n =-+ 错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五、数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-，103，517-，267，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+,241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；【解析】通项公式为：221(1)(1)1nn n a n -=-++. 【总结升华】①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式。
如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】数列：1-，58，157-，924，……的一个通项公式是（ ） A.2(1)21nn n n a n +=-+ B.(3)(1)21n n n n a n +=-+C.2(1)1(1)21nn n a n +-=-- D.(2)(1)21n n n n a n +=-+ 【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】给出数表：1 2 3 4 5 67 8 9 10… … … …（1）前m 行共有几个数？（2）第m 行的第一个数和最后一个数各是多少？ （3）求第m 行的各数之和； （4）数100是第几行的第几个数？ 【答案】（1）)1(21+m m ； （2）1(1)12m m -+，1(1)2m m +；（3）21(1)2m m +；（4）第14行的第9个数。