2151两点间的距离公式-课件15079
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2151两点间的距离公式-课件15146 60页PPT文档
故所求直线的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.
8.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所 示，用解析法证明：|AE|=|CD|.
【证明】如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建 立平面直角坐标系xOy.
设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
则A(-a,0),E ( c , 3Cc(c) ,，0),D 22
(- a , 3 a), 22
于是 |AE|=[c-(-a)]2+( 3c-0)2
2
2
= a2+ac+ c2 + 3 c2 44
= a2+ac+c2.
| C D | = [ ( - a ) - c ]2 + ( 3 a - 0 )2
2
2
= a2 +ac+c2+ 3 a2= a2+ac+c2.
4
4
所以|AE|=|CD|.
【解析】| A B | =( a + 1 - 5 ) 2+ a - 4 - ( 2 a - 1 ) 2
= (a-4)2+(a+3)2= 2a2-2a+25
= 2(a2-a)+25= 2(a-1)2+49, 22
∴当a= 1 时，|AB|取最小值 4 9 = 7 2 .
2
22
答案： 1
72
2
2
三、解答题（每题8分，共16分）
一、选择题（每题4分，共16分） 1.以A（5，5）、B（1，4）、C（4，1）为顶点的三角形是
（） （A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
8.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所 示，用解析法证明：|AE|=|CD|.
【证明】如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建 立平面直角坐标系xOy.
设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
则A(-a,0),E ( c , 3Cc(c) ,，0),D 22
(- a , 3 a), 22
于是 |AE|=[c-(-a)]2+( 3c-0)2
2
2
= a2+ac+ c2 + 3 c2 44
= a2+ac+c2.
| C D | = [ ( - a ) - c ]2 + ( 3 a - 0 )2
2
2
= a2 +ac+c2+ 3 a2= a2+ac+c2.
4
4
所以|AE|=|CD|.
【解析】| A B | =( a + 1 - 5 ) 2+ a - 4 - ( 2 a - 1 ) 2
= (a-4)2+(a+3)2= 2a2-2a+25
= 2(a2-a)+25= 2(a-1)2+49, 22
∴当a= 1 时，|AB|取最小值 4 9 = 7 2 .
2
22
答案： 1
72
2
2
三、解答题（每题8分，共16分）
一、选择题（每题4分，共16分） 1.以A（5，5）、B（1，4）、C（4，1）为顶点的三角形是
（） （A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
两点间的距离公式》课件
几何意义：两点间的距离是 两点之间的最短路径
应用实例：计算两点间的距 离，如直线、曲线、平面等
两点间的距离公式
04
在物理中的应用
质点运动学中的距离计算
质点运动学：研究质点在空间中的运动规律 距离公式：描述两个质点之间距离的公式 应用：计算质点在运动过程中的位移、速度和加速度 实例：计算自由落体运动中质点的位移、速度和加速度
两点间的距离公 式：d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
公式中的参数： x1, y1, x2, y2 分别表示两个点 的横坐标和纵坐 标
公式的用途：计 算两点间的直线 距离
公式的推导：利 用勾股定理推导 得出
两点间的距离公式
03
在几何中的应用
两点间线段最短问题
两点间的距离公式： d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式
05
的扩展应用
任意两点间的距离计算
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
扩展应用：适用于 任意两点间的距离 计算
应用场景：地图导 航、GPS定位、物 流配送等
计算方法：输入两 点的坐标，利用公 式进行计算
多边形边长计算
利用两点间的距离公式，可以计算出多边形的边长 例如，已知多边形的顶点坐标，可以计算出每个边的长度 利用这些边长，可以计算出多边形的面积、周长等参数 在实际应用中，如建筑设计、地图绘制等领域，多边形边长计算具有重要意义
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
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两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
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两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
151平面上两点间的距离共17张PPT
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称 直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出 点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出 这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是 指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中 点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
人A数学选择性必修第一册
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
人A数学选择性必修第一册
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
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《两点间的距离》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
课堂训练
求下列两点间的距离：
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0), Q(0, 2)
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案：(1)8
(3)2 10
(2上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是 （2，-1），求线段AB的长度。 解：由题意知：A（4，0）、B（0，-2）所以
y
P2
N2
所以两点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , 间y2的) 距离为
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离为
例题讲解
例1 已知点
在 x轴上求一点 P，使
| PA || PB |，并求 | PA |的值。
AC 2 (a b)2 c2 , BD 2 (a b)2 c2
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 ) AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
两点间的距离
学习目标
1.能够推导两点间距离公式；(重点) 2.会应用两点间距离公式证明几何问题。(难点)
探究新知
探究1：已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离
|P1P2|? |P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2
x2 x1 2 y2 y1 2
解：设所求点为P（x,0），于是
两点间距离公式PPT课件
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和。
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 5】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建 立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由|PA||PB|得 x2 2x 5 x2 4x 11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (1 1)2 (0 2)2 2 2
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 如何点P1和P2的距离|P1P2|？
|AM|＝
0－b22＋0－2c2＝12 b2＋c2，
所以 |AM|＝12|BC|.
练习1：x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和 的最小值是( )． A. 2 B．2＋ 2 C. 10 D. 5 ＋1
解析 作点(1,1)关于x轴的对称点(1，－1)，则距
离之和最小值为 12 (1 2)2 10 .
问题2：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
例题分析
例、判定下列各对直线的位置关系，若相交，
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 5】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建 立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由|PA||PB|得 x2 2x 5 x2 4x 11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (1 1)2 (0 2)2 2 2
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 如何点P1和P2的距离|P1P2|？
|AM|＝
0－b22＋0－2c2＝12 b2＋c2，
所以 |AM|＝12|BC|.
练习1：x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和 的最小值是( )． A. 2 B．2＋ 2 C. 10 D. 5 ＋1
解析 作点(1,1)关于x轴的对称点(1，－1)，则距
离之和最小值为 12 (1 2)2 10 .
问题2：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
例题分析
例、判定下列各对直线的位置关系，若相交，
两点间的距离公式-PPT课件
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
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x,∴x-y= 7 x, 3
由-14≤x-y≤7可知-6≤x≤3,∴x2∈［0,36］,
∴点P到坐标原点的距离
d= x2+y2= x2+16x2=5 x2. 93
∵x2∈［0,36］,∴ 5 ∈x［2 0,10］. 3
答案：［0,10］
6.已知A(5,2a-1)、B(a+1,a-4),当实数a的值是___时，|AB| 取最小值___.
于是直线PM的方程为y - 8 = x - 5或 4-8 2-5
即4x-3y+4=0或24x-7y-64=0.
y-8 64 -8
=
x-5 32 -5
,
5
5
End
4.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A、B，则
|AB|等于（ ）
（A）
8 5
9
（B）1 7 5
（C）1 3 5
（D）1 1 5
【解题提示】先分析两直线的特征，找出A、B的坐标，
然后利用两点间的距离公式求解.
【解析】选C.因直线3ax-y-2=0恒过点(0,-2)，
9.(10分)在已知直线2x-y=0上求一点P，使它到点M（5，8） 的距离为5，并求直线PM的方程.
【解析】因为点P在直线2x-y=0上，
故可以设P(a,2a),
根据两点间的距离公式得
|PM|2=(a-5)2+(2a-8)2=52,
也即5a2-42a+64=0,
32 解得a=2或a=5
,
所以P(2,4)或P ( 3 2 ,6 4 ) , 55
故所求直线的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.
8.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所 示，用解析法证明：|AE|=|CD|.
【证明】如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建 立平面直角坐标系xOy.
设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
则A(-a,0),E ( c , 3Cc(c) ,，0),D 22
∴|AB|=|AC|≠|BC|, ∴△ABC为等腰三角形.
2.（2019·兰州高一检测）过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与
y=x+m平行，则|AB|的值为（ ）
（A）6 （C）2
（B） 2 （D）不能确定
【解析】选B.
kAB
=
b-a 5-4
=b-a.
又∵过A、B的直线与y=x+m平行，
∴b-a=1, | A B | =( 5 - 4 ) 2 + ( b - a ) 2=2 .
(- a , 3 a), 22
于是 |AE|=[c-(-a)]2+( 3c-0)2
2
2
= a2+ac+ c2 + 3 c2 44
= a2+ac+c2.
| C D | = [ ( - a ) - c ]2 + ( 3 a - 0 )2
2
2
= a2 +ac+c2+ 3 a2= a2+ac+c2.
4
4
所以|AE|=|CD|.
2151两点间的距离公式-课件15079
•
•
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一、选择题（每题4分，共16分） 1.以A（5，5）、B（1，4）、C（4，1）为顶点的三角形是
（） （A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
【解析】选B. | A B | = ( 5 - 1 ) 2 + ( 5 - 4 ) 2 = 1 7 , |AC|= (5-4)2+(5-1)2= 17, |BC|= (1-4)2+(4-1)2= 18,
【解析】| A B | =( a + 1 - 5 ) 2+ a - 4 - ( 2 a - 1 ) 2
= (a-4)2+(a+3)2= 2a2-2a+25
= 2(a2-a)+25= 2(a-1)2+49, 22
∴当a= 1 时，|AB|取最小值 2
49 = 7 2 . 22
答案： 1
72
2
2
三、解答题（每题8分，共16分）
3.已知两直线l1:3x+y-1=0,l2:x+2y-7=0相交于点P，则点P到原 点的距离为（ ）
（A） 5
（B） 1 0 （C）3 （D） 1
+ 2
y y
-
1得= 0 7=0
,
∴P(-1,4),
x y
= =
4
1
,
| O P | =( - 1 - 0 ) 2 + ( 4 - 0 ) 2 =1 7 .
直线(2a-1)x+5ay-1=0恒过点(-12 , ), 5
|AB|=(-1-0)2+(5 2+2)2=153.
二、填空题（每题4分，共8分） 5.(2019·泉州高一检测)点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且满足 -14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是________.
【解析】由4x+3y=0得y-=4 3
7.(2019·临沂高一检测)已知直线l经过直线x+y+1=0和 3x-y+7=0的交点A，并且与坐标原点O的距离为 5 ，求直线l的方 程.
【解析】由
x 3
+ x
y -
+ y
1 +
=得0 7=0
又|OA|= 5 ， ∴l⊥OA.
即Ayx (==-1-22 ,，1).
又OA的斜率为- 1 , ∴所求直线的斜率为2. 2