马尔科夫链的介绍.doc
一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态
一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态1. 介绍马尔可夫链是指具有马尔可夫性质的随机过程。
具体而言，如果一个随机过程具有无记忆性，即在时刻t的状态只依赖于时刻t-1的状态，那么这个随机过程就是一个马尔可夫链。
在本文中，将着重讨论一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态的概念及其相关内容。
2. 转移概率一阶马尔可夫链的转移概率是指在已知当前状态的情况下，下一个状态为各可能状态的概率分布。
假设一阶马尔可夫链有N个状态，那么转移概率矩阵P的定义如下：P = [p(i, j)](i, j=1, 2, ..., N)其中，p(i, j)表示在当前状态为i的条件下，转移到状态j的概率。
由于马尔可夫链满足马尔可夫性质，因此转移概率满足条件：(1) p(i, j) ≥ 0, ∀i, j=1, 2, ..., N(2) Σ p(i, j) = 1, ∀i=1, 2, ..., N转移概率矩阵P的性质保证了转移概率的有效性和准确性。
3. 初始状态一阶马尔可夫链的初始状态是指在时刻0的状态分布。
假设一阶马尔可夫链的初始状态分布为π，那么π的定义如下：π = [π(i)](i=1, 2, ..., N)其中，π(i)表示时刻0处于状态i的概率。
同样地，初始状态分布π也需要满足概率分布的性质：(1) π(i) ≥ 0, ∀i=1, 2, ..., N(2) Σ π(i) = 1, i=1, 2, ..., N初始状态的定义是马尔可夫链的重要组成部分，它对于随机过程的演化和预测具有重要意义。
4. 性质一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态具有以下几个重要性质：(1) 稳态分布：对于一阶马尔可夫链，如果存在一个稳态分布π*，使得π* = π*P，那么称π*为一阶马尔可夫链的稳态分布。
稳态分布表示了马尔可夫链长时间演化后的状态分布，对于许多实际问题具有重要意义。
(2) 转移概率的计算：转移概率矩阵P可以通过统计样本数据来计算得到，也可以通过最大似然估计等方法来估计转移概率。
马尔可夫链的均匀化理论及应用
马尔可夫链的均匀化理论及应用马尔可夫链是一种随机过程模型，它具有“无记忆”的特点，即下一状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
由于其简洁的数学形式和广泛的应用领域，马尔可夫链吸引了众多研究者的关注。
本文将介绍马尔可夫链的均匀化理论以及其在各个领域的应用。
一、马尔可夫链的均匀化理论马尔可夫链的均匀化理论是对马尔可夫链进行状态平衡分析的方法。
均匀化理论旨在寻找马尔可夫链的平稳分布，即在长时间的演化后，链式系统中状态的分布趋于稳定。
在实际应用中，均匀化理论提供了对系统的稳定性、收敛速度等重要指标的分析手段。
1. 马尔可夫链的平稳分布马尔可夫链的平稳分布指的是在马尔可夫链的状态转移过程中，状态的分布呈现稳定的特征。
这种稳定性由平稳分布来描述，即当状态经过足够长的时间演化后，状态分布不再发生改变。
2. 马尔可夫链的细致平衡条件马尔可夫链的细致平衡条件是均匀化理论的基础，它表明链式系统中每对状态的转移概率与从目标状态返回到原状态的转移概率之比必须等于两个状态的平稳分布之比。
3. 马尔可夫链的时间平衡方程马尔可夫链的时间平衡方程描述了状态转移概率与平稳分布之间的关系。
通过求解时间平衡方程，可以得到马尔可夫链的平稳分布，并进一步分析系统的稳定性和性能指标。
二、马尔可夫链在实际应用中的应用马尔可夫链作为一种强大的数学工具，被广泛应用于多个领域。
以下是一些典型的应用案例：1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中被用于语言模型的建立和文本生成。
通过分析语料库中的马尔可夫链特性，可以实现自动的文本生成和语言生成。
2. 金融风险管理马尔可夫链可以用于金融领域的风险管理和投资组合优化。
基于历史数据的马尔可夫链模型可以帮助分析市场趋势和资产价格的演化规律，提供决策支持。
3. 生物信息学马尔可夫链在生物信息学中应用广泛，例如用于DNA序列分析和蛋白质结构预测。
通过马尔可夫链模型，可以揭示基因序列和蛋白质结构之间的关联性和演化规律。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
马尔可夫链
(3) P( n) P P( n1) (4) P( n) P n
初始概率和绝对概率
初始概率： 绝对概率：
p j (n) P{X n j}, ( j I )
p j P{X 0 j}, ( j I )
初始分布：
{ p j } { p j , j I}
绝对分布：
(第七章)马尔可夫链
马尔可夫链的概念及转移概率 马尔可夫链的状态分类 状态空间的分解 遍历性与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型
马尔可夫链
时间、状态都离散 时间离散、状态连续
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程
时间连续、状态离散
时间、状态都连续
连续马尔可夫过程（或扩散过程）
（3）函数表达式
[例3] 设 { Xn , nT } 是一个马尔可夫链，其状态
空间 I = {a, b, c}，转移矩阵为
1 / 2 1 / 4 1 / 4 P 2 / 3 0 1 / 3 3 / 5 2 / 5 0
求： (1) P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c X 0 c};
一步转移概率矩阵
p11 P p21 p12 p22 p1n p2 n
性质： (1) pij 0 , i, j I
(2)
p
jI
ij
1, i I
（随机矩阵）
n 步转移概率
[定义] 称条件概率
( n) pij P{X mn j X m i}, (i, j I , m 0, n 1)
( n) n 0, 0 l < n 和 i , j I ，n 步转移概率 pij 具有下 列性质：
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
使用马尔科夫链进行DNA序列分析的技巧(九)
DNA序列是构成生物遗传信息的重要组成部分，其分析对于揭示生物遗传信息的规律和特征具有重要意义。
马尔科夫链是一种数学工具，被广泛应用于DNA序列分析中。
本文将介绍使用马尔科夫链进行DNA序列分析的技巧。
1. 马尔科夫链简介马尔科夫链是一种随机过程，具有“马尔科夫性质”，即下一个状态的概率只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
在DNA序列分析中，我们可以将碱基的排列看作一个马尔科夫链，每个碱基作为一个状态，转换概率则代表了不同碱基之间的转换关系。
利用马尔科夫链的性质，我们可以对DNA序列的特征进行建模和分析。
2. 马尔科夫链在基因预测中的应用基因是DNA序列中的功能单位，基因预测是DNA序列分析的重要任务之一。
利用马尔科夫链，可以建立基因识别模型，通过计算DNA序列中不同区域的转换概率，来判断该区域是否为基因。
通过训练大量已知基因的DNA序列，可以建立一个准确的基因识别模型，从而对未知DNA序列进行基因预测。
3. 马尔科夫链在序列比对中的应用序列比对是DNA序列分析中的常用技术，用于寻找不同DNA序列之间的相似性和差异性。
马尔科夫链可以用来构建序列比对算法，通过计算DNA序列中不同区域的转换概率，来寻找相似的序列片段。
利用马尔科夫链进行序列比对，可以提高比对的准确性和效率。
4. 马尔科夫链在DNA序列模式识别中的应用DNA序列中存在许多重要的模式，如启动子、终止子等。
利用马尔科夫链，可以建立模式识别模型，来识别DNA序列中的不同模式。
通过训练大量已知模式的DNA序列，可以建立一个准确的模式识别模型，从而对未知DNA序列进行模式识别。
5. 马尔科夫链在进化分析中的应用DNA序列的变异和进化是生物遗传信息的重要特征，马尔科夫链可以用来建立DNA序列的进化模型，从而揭示DNA序列的进化规律和特征。
利用马尔科夫链进行进化分析，可以帮助我们更好地理解生物遗传信息的演化过程。
结语马尔科夫链作为一种重要的数学工具，在DNA序列分析中具有重要的应用价值。
第2章-马尔可夫链
0.4834
0.5009
例
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率是p，
乙胜的概率是q，和局的概率是r ，（p q r 1）。
设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，
和局不记分。当两人中有一人获得2分结束比赛。X以n
表示比赛至第n局时甲获得的分数。
（1）写出状态空间；（2）求P(2)；
pij a0j,i ,
ji ji
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
例2 M/G/1排队系统
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马 尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数， Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
X
n1
Xn 1 Yn ,
CHAPTER 2 马尔可夫链
第一节 基本概念
一、马尔可夫链的定义及例子
1、定义
随机过程Xn, n 0,1, 2, 称为马尔可夫链，若它只
取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，…），
并且，对任意
及状态
，有
n0
i, j, i0 , i1, , in1
P( X n1 j X 0 i0 , X1 i1, , X n1 in1, X n i)
（3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以结束比 赛的概率是多少？
解
（1）
记甲获得“负2分”为状态1，获得 “负1分”为状态2，获得“0分”为状态3， 获得“正1分”为状态4，获得“正2分”为 状态5，则状态空间为
I {1，2，3，4，5}
一步转移概率矩阵
1 0 0 0 0
q
r
p
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马尔可夫链（Markov Chain），描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态[1]。
马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。
这些变量的范围，即它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。
如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则P(X_{n+1}=x|X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n) = P(X_{n+1}=x|X_n=x_n).
这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
理论发展
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
物理马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算术编码（著名的LZMA数据压缩算法就使用了马尔可夫链与类似于算术编码的区间编码）。
马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。
隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。
马尔可夫链最近的应用是在地理统计学(geostatistics)中。
其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。
这一应用类似于“克里金”地理统计学(Kriging geostatistics)，被称为是“马尔可夫链地理统计学”。
这一马尔可夫链地理统计学方法仍在发展过程中。
马尔可夫过程
马尔可夫过程的定义：
⑴设{(X(t),t∈T)}是一个随机过程，如果{X(t),t∈T)}在t0时刻所处的状态为已知时，与它在时刻t>t0之前所处的状态无关，则称{X(t),t∈T)}具有马尔可夫性。
⑵设{X(t),t∈T)}的状态空间为S,如果对于任意的n≧2,任意的t1<t2<....<tn∈T,在条件X(ti)=xi,xi∈S,i=1,2,...,n-1下,X(tn)的条件分布函数恰好等于在条件X(tn-1)=xn-1下的条件分布函数，即
P(X(tn)<=xn|X(t1)=x1,X(t2)=x2,...,X(tn-1)=xn-1)
=P(X(tn)<=xn|X(tn-1)=xn-1)
则称{(X(t),t∈T)}为马尔可夫过程。
马尔可夫过程，能为给定样品文本，生成粗略，但看似真实的文本：他们被用于众多供消遣的“模仿生成器”软件。
马尔可夫链还被用于谱曲。
它们是后面进行推导必不可少的条件：⑴尺度间具有马尔可夫性质.随机场从上到下形成了马尔可夫链，即Xi 的分布只依赖于Xi,与其他更粗糙的尺度无关，这是因为Xi 已经包含了所有位于其上层的尺度所含有的信息.⑵随机场像素的条件独立性.若Xi 中像素的父节点已知，则Xi 中的像素彼此独立.这一性质使我们不必再考虑平面网格中相邻像素间的关系，而转为研究尺度间相邻像素（即父子节点）间的关系.⑶设在给定Xn 的情况下,Y 中的像素彼此独立.⑷可分离性.若给定任一节点xs,则以其各子节点为根的子树所对应的变量相互独立.
从只有一个节点的根到和图像大小一致的叶子节点，建立了完整的四叉树模型，各层间的马尔可夫链的因果关系使我们可以由非迭代的推导过程快速计算出X 的最大后验概率或后验边缘概率.
应用
马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算法编码。
马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。
隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。
马尔可夫链最近的应用是在地理统计学(geostatistics)中。
其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。
这一应用类似于“克里金”地理统计学(Kriging geostatistics)，被称为是“马尔可夫链地理统计学”。
这一马尔可夫链地理统计学方法仍在发展过程中。