应用随机过程第5章马尔科夫链中及应用
马尔可夫链的均匀化理论及应用
马尔可夫链的均匀化理论及应用马尔可夫链是一种随机过程模型，它具有“无记忆”的特点，即下一状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
由于其简洁的数学形式和广泛的应用领域，马尔可夫链吸引了众多研究者的关注。
本文将介绍马尔可夫链的均匀化理论以及其在各个领域的应用。
一、马尔可夫链的均匀化理论马尔可夫链的均匀化理论是对马尔可夫链进行状态平衡分析的方法。
均匀化理论旨在寻找马尔可夫链的平稳分布，即在长时间的演化后，链式系统中状态的分布趋于稳定。
在实际应用中，均匀化理论提供了对系统的稳定性、收敛速度等重要指标的分析手段。
1. 马尔可夫链的平稳分布马尔可夫链的平稳分布指的是在马尔可夫链的状态转移过程中，状态的分布呈现稳定的特征。
这种稳定性由平稳分布来描述，即当状态经过足够长的时间演化后，状态分布不再发生改变。
2. 马尔可夫链的细致平衡条件马尔可夫链的细致平衡条件是均匀化理论的基础，它表明链式系统中每对状态的转移概率与从目标状态返回到原状态的转移概率之比必须等于两个状态的平稳分布之比。
3. 马尔可夫链的时间平衡方程马尔可夫链的时间平衡方程描述了状态转移概率与平稳分布之间的关系。
通过求解时间平衡方程，可以得到马尔可夫链的平稳分布，并进一步分析系统的稳定性和性能指标。
二、马尔可夫链在实际应用中的应用马尔可夫链作为一种强大的数学工具，被广泛应用于多个领域。
以下是一些典型的应用案例：1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中被用于语言模型的建立和文本生成。
通过分析语料库中的马尔可夫链特性，可以实现自动的文本生成和语言生成。
2. 金融风险管理马尔可夫链可以用于金融领域的风险管理和投资组合优化。
基于历史数据的马尔可夫链模型可以帮助分析市场趋势和资产价格的演化规律，提供决策支持。
3. 生物信息学马尔可夫链在生物信息学中应用广泛，例如用于DNA序列分析和蛋白质结构预测。
通过马尔可夫链模型，可以揭示基因序列和蛋白质结构之间的关联性和演化规律。
马尔可夫链及其应用
马尔可夫链及其应用马尔可夫链是一种描述状态间转移概率的随机过程，它具有很好的数学性质和广泛的应用。
在马尔可夫链中，每个状态依赖于前一个状态，而与之前的状态无关。
从一个状态到另一个状态的概率只取决于它们之间的距离，而不受过去的历史状态的影响。
这种性质使得马尔可夫链在许多领域中都有广泛的应用。
随机游走马尔可夫链常常被用来模拟随机游走。
随机游走是一种随机性非常强的运动，每一步都以一定概率向前或向后进行。
马尔可夫链的状态可以表示一个随机游走的位置，而状态间的转移概率可以表示每一步前进的概率。
这种模型可以用来研究股票价格、气温变化等随机过程。
谷歌的页面排名算法谷歌使用的页面排名算法PageRank就是基于马尔可夫链的模型。
假设网页之间存在链接，每个网页可以看做是一个状态，而链接可以看做是状态间的转移概率。
从一个网页到另一个网页的概率取决于两个网页之间的链接数量和其它网页的质量。
通过计算每个网页的PageRank值，可以得到一个基于链接结构的网页排名结果。
蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法也是基于马尔可夫链的。
在蒙特卡罗方法中，随机样本被用来近似数学问题的解。
通过生成大量的随机样本，并对它们进行一系列的操作，在统计学意义下得到问题的解。
马尔可夫链的链式结构和各个状态间的转移概率为蒙特卡罗方法提供了一种随机抽样的方式，从而使得蒙特卡罗方法能够在各种复杂问题中得到广泛的应用。
总结马尔可夫链是一种简单而强大的随机过程，它具有很好的数学性质和广泛的应用。
马尔可夫链可以用来模拟随机游走、谷歌的页面排名算法、蒙特卡罗方法等。
通过运用马尔可夫链，我们可以更好地理解和解决各种复杂的随机过程。
随机过程-第五章-连续时间的马尔可夫链
第五章 连续时间的马尔可夫链5.1连续时间的马尔可夫链考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有})(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链.由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关.记(5.1)式条件概率一般形式为),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率.定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij =其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程.假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有},{}{t h P s h t s h P i i i >=>+>可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布.由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;(2) 当过程离开状态i 时,接着以概率ij p 进行状态j,1=∑≠ij ij p .上述性质也是我们构造连续时间马尔可夫链的一种方法.当∞=i v 时,称状态i 为瞬时状态,因为过程一旦进入此状态立即就离开.0=i v 时,称状态i 为吸收状态,因为过程一旦进入状态就永远不再离开了.尽管瞬时状态在理论上是可能的,但以后假设对一切i, ∞<≤i v 0.因此,实际上一个连续时间的马尔可夫链是一个这样的随机过程,它按照一个离散时间的马尔可夫链从一个状态转移到另一个状态,但在转移到下一个状态之前,它在各个状态停留的时间服从指数分布.此外在状态i 过程停留的时间与下一个到达的状态必须是相互独立的随机变量.因此下一个到达的状态依赖于i h ,那么过程处于状态i 已有多久的信息与一个状态的预报有关,这与马尔可夫性的假定相矛盾.定理5.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质:;0)1(≥ij p (2);1=∑∈ij Ij p(3) ∑∈=+Ik kj ik ij s p t p s t p )()()(.其中(3)式即为连续时间齐次马尔可夫链的切普曼—柯尔哥洛夫方程. 证明 只证(3).由全概率公式及马尔可夫性可得 ===+=+)})0()({)(i X j s t X P s t p ij =∑∈===+Ik i X k t X j s t X P })0()(,)({=})()({})0()({k t X j s t X P i X k t X P Ik ==+==∑∈∑∈=Ik kj ik s p t p )()(.对于转移概率)(t p ij ,一般还假定它满足:⎩⎨⎧≠==→.,0,1)(lim 0j i ji t p ij t(5.3)称(5.3)式为正则条件.正则条件说明,过程刚进入某状态不可能立即又跳跃到另一状态.这正好说明一个物理系统要在有限时间内发生限多次跳跃,从而消耗无穷多的能量这是不可能的.定义5.3 对于任 一0≥t 记 },)({)(j t X P t p j ==,},)0({)0(I j j X P p p j j ∈===分别称}{},),({,I j p I j t p j j ∈∈ 齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布.定理5.2齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质: (1) ,0)(≥t p j (2),1)(=∑∈t p j Ij(3) )()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=;(4) );()()(h p t p h t p ij Ii i j ∑∈=+(5)).()...(})(,...,)({112111211-∈--====-∑n n i i i i ii Ii i n n t t p t t p p p i t X i t X p n n例5.1试证明泊松过程}0),({≥t t X 为连续时间齐次马尔可夫链. 证明 先证泊松过程具有马尔可夫性,再证明齐次性.由泊松过程的定义 它是独立增量过程,且X(0)=0.11,...0+<<<n n t t t ,有})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++= ,.)0()()()({1111i X t X i i t X t X P n n n n =--==-++ =,111212)()(,...)()(---=--=-n n n n i i t X t X i i t X t X } = })()({11n n n n i i t X t X P -=-++ . 另一方面,因为})()({11n n n n i t X i t X P ==++=})0()()()({11n n n n n n i X t X i i t X t X P =--=-++ =})()({11n n n n i i t X t X P -=-++所以})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++. 即泊松过程是一个连续时间马尔可夫过程.以下证明齐次性. 当i j ≥ 时,由泊松过程的定义})()({i s X j t s X P ==+= })()({i j s X t s X P -=-+=)!()(i j t eij t---λλ j<i.时,由于过程的增量只取非负整数,故,0),(=t s p ij 所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==--i j ij i j t e t p t s p i j t ij ij ,0,)!()()(),(λλ, 即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性.5.2柯尔莫哥洛夫微分方程对于连续时间齐次马尔可夫链转移概率)(t p ij 的求解一般比较复杂.下面首先讨论)(t p ij 的可微性及)(t p ij 满足的柯尔莫哥洛夫微分程.引理5.1 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3),则对于任意固定的)(,,t p I j i ij ∈是t 的一致连续函数.证明 设h>0,由定理5.1得)()()()()(t p t p h p t p h t p ij rj Ir ir ij ij -=-+∑∈)()()()()(t p t p h p t p h p ij ij ii rj ir ir -+=∑≠=)()](1[)()(t p h p t p h p ij ii rj ir ir --=∑≠故有)],(1[)()](1[)()(h p t p h p t p h t p ii ij ii ij ij --≥--=-+ ),(1)()()()()(h p h p t p h p t p h t p ii ir ir rj ir ir ij ij -=≤≤-+∑∑≠≠因此).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+对于h<0,同样有).(1)()(h p t p h t p ii ij ij --≤-+ 综上所述得到).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+ 由正则性条件知,0)()(lim 0=-+→t p h t p ij ij h 即)(t p ij 关于t 是一致连续的.以下我们恒设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3)式.定理5.3 设)(t p ij 是齐次马尔可夫过程的转移概率,则下列极限存在 (1);)(1lim 0∞≤==∆∆-→∆ii i ii t q v t t p (2).,)(lim 0j i q tt p ij ij t ≠∞<=∆∆→∆我们称ij q 为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态j 的转移概率或跳跃强度.定理中的极限的概率意义为:在长为t ∆的时间区间内,过程从状态i 转移到另一其他状态的转移概率为)(1t p ii ∆-等于t q ii ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量,而过程从状态i 转移到状态j 的转移概率为)(t p ij ∆等于t q ij ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量. 推论 对有限齐次马尔可夫过程,有 ∞<=∑≠ij ij ii q q证明 由定理5.1 ,有)()(1,1)(t p t p t pij ij ii Ij ij∆=∆-=∆∑∑≠∈由于求和是在有限集中进行,故有.)(lim )(1lim 00∑∑≠≠→∆→∆=∆∆=∆∆-=ij ij ij i j t ii t ii q t t p t t p q (5.4)对于状态空间无限的齐次马尔可夫过程,一般只有 ∑≠≥ij ij ii q q .若连续时间齐次马尔可夫是具有有限状态空间I={0,1,2,…,n},则其转移速率构成以下形式的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=nn n n n n q q q q q qq q q Q .....................11111000100 (5.5) 由(5.4)式知,Q 矩阵的每一行元素之和为0,对角线元素为负或0,其余.0,≥ij q 利用Q 矩阵可以推出任意时间间隔t 的转移概率所满足的方法组,从而可以求解转移概率.由切普曼---柯尔莫哥洛夫方程有 ),()()(t p h p h t p Ik kj ik ij ∑∈=+或等价地)()](1[)()()()(t p h p t p h p t p h t p ij ii kj ik ik ij ij --=-+∑≠两边除以h 后令0→h 取极限,应用定理5.3得到 )()()(lim )()(lim 00t p q t p hh p ht p h t p ij ii kj ik ik h ij ij h -=-+∑≠→→ (5.6) 假定在(5.6)式的右边可交换极限与求和,再运用定理5.3,于是得到以下结论: 定理5.4 (柯尔莫哥洛夫向后方程)假设,ii ik ik q q =∑≠则对一切i,j 及0≥t ,有,)()(ij ii ik kj ik ijp q t p q t p -='∑≠ (5.7) 证明 只要证明(5.6)式右边极限与求和可交换次序.现在对于任意固定的N,有≥∑≠→)()(inflim 0t p hh p kj ik ik h )()()(inf lim ,,0t p q t p h h p kj Nk i k ik kj Nk i k ik h ∑∑<≠<≠→= 因为上式对一切N 成立,所以)()()(inflim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≥ (5.8) 为了倒转不等式,注意对于N>i,由于,1)(≤t p kj 所以 ≤∑≠→)()(sup lim ,0t p hh p kj i k ik h ≤+≤∑∑≥<≠→])()()(sup[lim ,0Nk ik kj Nk i k ik h h h p t p h h p ≤--+≤∑∑<≠<≠→])()(1)()(sup[lim ,,0Nk i k ik ii kj Nk i k ik h h h p h h p t p h h p ,)(,,∑∑<≠<≠-+≤Nk i k ikii kj Nk i k ikqq t p q令∞→N ,由定理5.3和条件得)()()(sup lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≤. 上式连同(5.8)可得 )()()(lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→=.定理5.4中)(t p ij 满足的微分方程组以柯尔莫可洛夫向后方程著称.称它们为向后方程,是因为在计算时刻t+h 的状态的概率分布时我们对退后到时刻h 的状态取条件,即我们从)()(})0()({..})(,)0()({)(h p t p i X k h X P k h X i X j h t X P h t p ik Ik kj Ik ij ∑∑∈∈======+=+开始计算.对时刻t 的状态取条件,我们可以导出另一组方程,称为柯尔莫哥洛夫向前方程.可得),()()(h p t p h t p kj Ik ik ij ∑∈=+)()()()()(t p h p t p t p h t p ij kj Ik ik ij ij -=-+∑∈=)()](1[)()(t p h p h p t p ij jj kj jk ik --=∑≠,所以 )}.()(1)()({lim )()(lim 00t p h h p h h p t p ht p h t p ij jj kj jk ik h ij ij h --=-+∑≠→→假定我们能交换极限与求和,则由定理5.3便得到),()()(t p q q t p t p ij ii jk kj ik ij-='∑≠ 令人遗憾的是上述极限与求和的交换不是恒成立,所以上式并非总是成立.然而在大多数模型中----包括全部生灭过程与全部有限状态的模型,它们是成立的. 定理5.5(柯尔莫哥洛夫向前方程) 在适当的正则条件下,,)()()(jj ij kj ik ik ijq t p q t p t p -='∑≠ (5.9) 利用方程组(5.7)或(5.9)及初始条件 .,0)0(,1)0(j i p p ij ii ≠==我们可以解得)(t p ij .柯尔莫哥洛夫向后和向前方程虽然形式不同,但是可以证明它们所求得的解)(t p ij 是相同的.在实际应用中,当固定最后所处状态j,研究)(t p ij 时(i=0,1,2,…,n),采用向后方程比较方便;当固定状态i,研究)(t p ij 时(j=0,1,2,…,),则采用向前方程较方便.向后方程和向前方程可以写成矩阵形式),()(t QP t P =' (5.10) ,)()(Q t P t P =' (5.11) 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---= (222120121110)020100q q q q q qq q q Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=............ (222120121110)020100p p p p p pp p p P 这样,连续时间马尔可夫链的转移概率的求解问题就是矩阵微分方程的求解问题,其转移概率由其转移速率矩阵Q 决定.特别地,若Q 是一个有限维矩阵,则(5.10)和(5.11)的解为 .!)()(0∑∞===j jQtj Qt et P定理5.6 .齐次马尔可夫过程在t 时刻处于状态I j ∈的绝对概率)(t p j 满足下列方程:.)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' (5.12)证明 由定理5.2,有)()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=t将向前方程(5.9)式两边乘以,i p 并对i 求和得.)())(()(kj jk ikiIi jj ijiIi ijIi iq t pp q t pp t p p ∑∑∑∑≠∈∈∈+-='故 .)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' .与离散马尔可夫链类似,我们讨论转移概率 )(t p ij 当 ∞→t 时的极限分布与平稳分布的有限性质.定义5.4 设)(t p ij 为连续时间马尔可夫链的转移概率,若存在时刻 21,t t ,使得 ,0)(1>t p ij ,0)(2>t p ij则称状态i 和j 是互通的.若所有状态都是互通的,则称此马尔可夫链为不可约的.定理5.7 设连续时间的马尔可夫是不可约的,则有下列性质:(1) 若它是正常返的,则极限)(lim t p ij t ∞→存在且等于.,0I j j ∈>π这里.,0I j j ∈>π是方程组1,==∑∑∈≠Ij j kj jk k jj j q q πππ (5.13)的唯一非负解.此时称.,0{I j j ∈>π是该过程的平稳分布,并且有 .)(lim j j t t p π=∞→ (2) 若它是零常返的或非常返的,则.,,0)(lim )(lim I j i t p t p j t ij t ∈==∞→∞→在实际问题中,有些问题可以用柯尔莫哥洛夫方程直接求解,有些问题虽然不能求解但是可以用方程(5.13)求解.例5.2 考虑两个状态的连续时间马尔可夫链,在转移到状态1之前链在状态0停留的时间是参数为λ的指数变量,而在回到状态0之前它停留在状态1的时间是参数为μ的指数变量,显然该链是一个齐次马尔可夫过程,其状态转移概率为 ),()(01h o h h p +=λ),()(10h o h h p +=μ由定理5.3知由柯尔莫哥洛夫向前方程得到)()()(000100t p t p t p λμ-='=,)()(00μμλ++-t p 其中最后一个等式来自).(1)(0001t p t p -=因为,1)0(00=p 由常数变易法得 ,)()(00t e t p μλμλλμλμ+-+++=若记,,00μλμμμλλλ+=+=则,)()(0000t e t p μλλμ+-+=类似地由向前方程)()()(010001t p t p t p μλ-=' ,)()(lim )(1lim 1001010011011q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→μ,)()(lim )(1lim 0100101000000q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→λ可解得 ,)()(0001t e t p μλλλ+--= 由对称性知,)()(0011t e t p μλμλ+-+= ,)()(0010t e t p μλμμ+--= 转移概率的极限为),(lim )(lim 10000t p t p t t ∞→∞→==μ),(lim )(lim 11001t p t p t t ∞→∞→==λ 由此可见,当∞→t 时, )(t p ij 的极限存在且与i 无关.定理5.6知,平稳分布为 0100,λπμπ== 若取初始分布为平稳分布,即,}0)0({00μ===p X P ,}1)0({01λ===p X P 则过程在时刻t 的绝对概率分布为 )()()(1010000t p p t p p t p +==0)(000)(00]1[][μμλμλμμλμλ=-+++-+-t t e e=0)(000)(00][]1[λμλλλμμλμλ=++-+-+-t t e e .例5.3 机器维修问题.设例5.2中状态0代表某机器正常工作状态1代表机器出故障.状态转移概率与例5.2相同,即在h 时间内,机器从正常工作变为出故障的概率为),()(01h o h h p +=λ在h 时间内,机器从有故障变为经修复后正常工作的概率为),()(10h o h h p +=μ试求在t=0时正常工作的机器,在t=5时为正常工作的概率. 解 由例5.2已求得该过程的Q 矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=μμλλQ .根据题意,要求机器最后所处的状态为正常工作,只需计算)(00t p 即可. 由例5.2知,)()(0000t e t p μλλμ+-+=,,00μλμμμλλλ+=+=故 ,)5(5)(0000μλλμ+-+=e p 因为P{X(0)=0}=1=,0p 所以)()()(1010101t p p t p p t p +=====)5()5(}0)5({0000p p p X P .)5(5)(0000μλλμ+-+=e p5.3 生灭过程连续时间马尔可夫链的一类重要特殊情形是生灭过程,它的特征是在很短的时间内,系统的状态只能从状态i 转移到状态i-1或i+1或保持不变,确切定义如下. 定义5.5 设齐次马尔可夫过程}0),({≥t t X 的状态空间为I={0,1,2,…},转移概率为)(t p ij ,如果,0),()(1,>+=+i i i i h o h h p λλ,0,0),()(01,=>+=-μμμi i i i h o h h p),()(1)(,h o h h p i i i i ++-=μλ则称 }0),({≥t t X 为生灭过程,i λ为出生率, i μ为死亡率.若,λλi i =μλμμ,(,i i =是正常数),则称}0),({≥t t X 为线性生灭过程. 若0≡i μ,则称}0),({≥t t X 为纯生过程. 若0≡i λ,则称}0),({≥t t X 为纯灭过程. 生灭过程可作如下概率解释:若以X(t)表示一个生物群体在t 时刻的大小,则在很短的时间h 内(不计高阶无穷小),群体变化有三种可能,状态由i 变到i+1,即增加一个个体,其概率为h i λ;.状态由i 变到i-1,即减少一个个体,.其概率为h i μ;群体大小保持不变,其概率为.)(1h i i μλ+-由定理5.3得到,0,)()(,0≥+=-==i h p dhd t q i i h ii ii μλ ⎩⎨⎧≥-=≥+====,1,1,,0,1,)()(0i i j i i j h p dh d t q ii h ij ij μλ ,2,0≥-=j i q ij故柯尔莫哥洛夫向前方程为.,),()()()()(1,11,1I j i t p t p t p t p j i j ij j j j i j ij∈++-='++--μμλλ 故柯尔莫哥洛夫向后方程为.,),()()()()(,11,I j i t p t p t p t p j i i ij j j j i i ij∈++-='+-λμλμ 因为上述方程组的求解较为困难,我们讨论其平稳分布.由(5.13)式,有 ,2),()(,≥-=j i h o h p j i,1100πμπλ=.1,)(1111≥+=+++--j j j j j j j j πμπλπμλ逐步递推得,0101πμλπ=…, ,11--=j jj j πμλπ 再利用11=∑∞=j j π,得平稳分布,11211100)......1(-∞=-∑+=j j j μμμλλλπ, 112111021110)......1(......-∞=--∑+=j jj j j j μμμλλλμμμλλλπ 例5.4 生灭过程例子M/M/S 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到一个有s 个服务员的服务站,即相继来到之间的时间是均值为λ1的独立指数随机变量,每一个顾客一来到,如果有服务员空闲,则直接进行服务,否则此顾客加入排队系列.当一个服务员结束对一位顾客的服务时顾客就离开服务系统,排队中的下一顾客进入服务. 假定相继的服务时间是独立的指数随机变量,均值为μ1.如果我们以X(t)记时刻t 系统中的人数,则}0),({≥t t X 是生灭过程⎩⎨⎧>≤≤=,,,1,s n s s n n n μμμ .0,≥=n n λλM/M/s 排队系统中M 表示马尔可夫过程,s 代表s 个服务员.特别在M/M/1排队系统中,μμλλ==n n ,,若1<μλ,则由(5.14)可得 .0),1()()(1)(1≥-=+=∑∞=n n n nnn μλμλμλμλπ。
第五章 连续时间马尔可夫链-随机过程
二、连续时间马尔可夫链的状态逗留时间和转移速率 命题 以 i 记过程在转移到另一状态之前停留在状态 i 的时 间，则对一切 s，t0 有 P{ i t s | i s} P{ i t } ，因此， 随机变量 i 是无记忆的必有指数分布，其参数设为 v i
证明： P{ i t s | i s}
P{T1 t } 1 e t
P{T1 T2 t } P{T1 T2 t | T1 x } e t dx
0 t
= (1 e 2 ( t x ) ) e x dx (1 e t )2
0
t
P{T1 T2 T3 t } P{T1 T2 T3 t | T1 T2 x }dFT1 T2 ( x )
i 1 n
其中 f 是密度函数(5.3.2)
e (t x) ,0 x t f ( x) 1 et 0, 其它
但因为(5.3.1)是 n 个密度为 f 的随机变量的子样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度函数。于是得 命题 5.3.1 一个尤尔过程，其 X(0)=1，则给定 X(t)=n+1 时，出生时刻 S1,S2,, Sn 的分布如同取自密度为(5.3.2)的母体的容量为 n 的子 样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的分布。
0 1 2 3
…Байду номын сангаас
n
n
2
3
… (n 1)
若对一切 n， n 0 (即若死亡是不可能的)，则生灭过程称为纯 生过程，i 个个体开始的纯生过程，生长率为 n , n i 。
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
马尔可夫链基础及应用
马尔可夫链基础及应用马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
马尔可夫链可以用于建模和分析许多实际问题，如天气预测、金融市场分析、自然语言处理等。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链由状态空间、初始状态分布和状态转移概率矩阵组成。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 初始状态分布：初始状态分布是指系统在初始时刻各个状态的概率分布。
通常用向量表示，向量的每个元素表示对应状态的概率。
3. 状态转移概率矩阵：状态转移概率矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有以下性质：1. 马尔可夫性：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 不可约性：任意两个状态之间存在一条路径，使得在有限步骤内可以从一个状态转移到另一个状态。
4. 非周期性：不存在一个状态，使得从该状态出发，经过若干步骤后又回到该状态的路径。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域有广泛的应用，下面以天气预测和自然语言处理为例进行说明。
1. 天气预测：天气是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察历史天气数据，建立一个天气状态的马尔可夫链模型。
根据当前天气状态，可以预测未来几天的天气情况。
2. 自然语言处理：自然语言是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察大量的文本数据，建立一个词语的马尔可夫链模型。
根据当前词语，可以预测下一个可能出现的词语。
马尔可夫链还可以应用于金融市场分析、生物信息学、信号处理等领域。
通过建立合适的状态空间和状态转移概率矩阵，可以对复杂的系统进行建模和分析，从而提供决策支持和预测能力。
随机过程中的马尔可夫链应用
随机过程中的马尔可夫链应用马尔可夫链（Markov Chain）是一种数学模型，用于描述一系列随机事件之间的转移关系。
它是通过状态和概率转移矩阵来表示的。
在现实生活中，马尔可夫链在许多领域中都有广泛的应用，如经济学、生态学、计算机科学等。
本文将从几个具体的应用领域出发，介绍随机过程中马尔可夫链的应用。
一、经济学中的马尔可夫链应用在经济学中，马尔可夫链被广泛用于描述和分析经济系统的状态转移。
例如，在宏观经济中，可以将经济的不同状态定义为就业、通货膨胀和经济增长等。
通过构建一个状态空间和状态转移概率矩阵，可以模拟和预测不同状态之间的转移情况。
这对于政府制定经济政策和公司的投资决策具有重要意义。
二、生态学中的马尔可夫链应用在生态学研究中，马尔可夫链可以用于分析生态系统的演替和物种多样性变化。
生态系统中的物种组成和数量通常会发生变化，而马尔可夫链可以描述不同物种之间的种群转移。
通过观察和记录不同物种间的转移规律，可以更好地理解和预测生态系统的演替过程，为保护生物多样性提供科学依据。
三、计算机科学中的马尔可夫链应用在计算机科学中，马尔可夫链被广泛用于模拟和预测随机过程。
例如，在自然语言处理中，可以通过构建一个基于马尔可夫链的模型来生成自然语言的句子和文本。
通过学习和分析大量的文本数据，模型可以识别出不同单词之间的转移规律，从而生成具有连贯性和自然性的句子。
另外，在搜索引擎中，马尔可夫链也可以用于优化搜索结果的排序。
通过分析用户的搜索行为和点击模式，可以构建一个基于马尔可夫链的模型，预测用户在搜索结果中的点击概率。
这样，搜索引擎可以根据用户的偏好和行为，为其提供更加准确和个性化的搜索结果。
总结：以上介绍了随机过程中马尔可夫链的几个应用领域，包括经济学、生态学和计算机科学。
在这些领域中，马尔可夫链提供了一种有效的数学工具，用于模拟和预测随机事件的转移情况。
通过构建状态空间和转移概率矩阵，我们可以更好地理解和掌握系统的演变规律，并为相关领域的决策和优化提供科学依据。
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5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
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5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
求其平稳分布、极限分布以及个状态的平均返回时间 分析：由转移概率矩阵绘制状态转移图，可知已知马氏链 是遍历链。
5.4 马尔可夫链的应用
› 人口结构变化的Markov连模型
5.4 马尔可夫链的应用
› 人口结构变化的Markov连模型
5.5 遍历性的理解与应用
› 遍历性的本质
› 遍历性的充分条件
– 一个不可约齐次马尔可夫链，如果它的状态是非 周期正常返的，则这个状态具有遍历性，从而它 是一个遍历链。
5.5遍历性的理解与应用
5.3 极限定理即平稳分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 极限定理
5.3 极限定理即平稳分布
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› 极限定理
5.3 极限定理即平稳分布
› 极限定理
5.3 极限定理即平稳分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 平稳分布（不变分布）
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 极限定理 › 平稳分布（不变分布）与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 极限定理 › 平稳分布（不变分布）与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 极限定理 › 平稳分布（不变分布）与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 对于一个马尔科夫链，考虑其长期性质是自然的也是 必要的，本节讨论其极限情况和平稳马氏链的性质。
› 遍历性的必要条件
– 具有遍历性的马尔可夫链，系统无论从哪一个状 态出发，当转移步数n足够大后，转移到状态j的 概率都近似于п i。
› 马尔可夫大数定律
5.5 遍历性的理解与应用
› 马尔可夫大数定律（遍历性大数律）
– 马尔可夫大数定律说明Markov链的实值函数的遍历均值几 乎处处收敛到极限分布下的均值。
› 群体消失模型（分支过程）
5.4 马尔可夫链的应用
› 群体消失模型（分支过程）
5.4 马尔可夫链的应用
› 群体消失模型（分支过程）
5.4 马尔可夫链的应用
› 人口结构变化的Markov连模型
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5.4 马尔可夫链的应用
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5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
分析：由转移概率矩阵绘制状态转移图，可知已知马氏链是遍历链。
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
– 即可以由Markov链在一条轨道上对时间的均值估计其在极 限分布下的数学期望。
– 事实上，遍历性大数律与中心极限定理提供了进行MCMC 推断的基本方法计算与参数估计量精度的思路。
第5章作业2
› P111 习题5 7-9 › 补充
5.3 极限定理即平稳分布
›布
5.3 极限定理即平稳分布
› 遍历链与极限分布
5.4 马尔可夫链的应用
› 群体消失模型（分支过程） › 人口结构变化的Markov连模型
5.4 马尔可夫链的应用
› 群体消失模型（分支过程）
5.4 马尔可夫链的应用
第5章 马尔科夫链（中）
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/5/15
第5章 马尔科夫（Markov）链
› 5.1 基本概念 › 5.2 状态的分类及其性质 › 5.3 极限定理即平稳分布 › 5.4 马尔可夫链的应用 › 5.5 遍历性的理解与应用 › 5.6 连续时间马尔可夫链