马尔科夫及其应用(02129057)
马尔可夫模型简介及应用(Ⅱ)
马尔可夫模型简介及应用马尔可夫模型是一种概率模型，被广泛应用于各种领域，包括自然语言处理、金融市场分析、天气预测等。
它的核心思想是用状态和状态之间的转移概率来描述系统的演化规律。
在本文中，我们将介绍马尔可夫模型的基本原理、常见的应用场景以及一些相关的进展。
马尔可夫模型的基本原理马尔可夫模型的核心思想是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个性质可以用数学表示为：P(X_{n+1}|X_n,X_{n-1},...,X_1) = P(X_{n+1}|X_n)其中，X表示系统的状态，n表示时间步。
这个性质意味着系统的未来状态只受当前状态的影响，而与过去的状态无关。
基于这个性质，我们可以建立马尔可夫链，描述系统在不同状态之间的转移概率。
如果系统的状态空间是有限的，那么我们可以用状态转移矩阵来表示这些转移概率。
状态转移矩阵的(i,j)元素表示系统从状态i转移到状态j的概率。
常见的应用场景马尔可夫模型在自然语言处理中有着广泛的应用。
例如，在语言模型中，我们可以用马尔可夫链来描述单词之间的转移规律，从而建立一个自动文本生成模型。
在金融市场分析中，马尔可夫模型可以用来建立股票价格的模型，从而预测未来的价格走势。
在天气预测中，我们可以用马尔可夫链来描述天气状态之间的转移规律，从而预测未来的天气情况。
此外，马尔可夫模型还被广泛应用于生物信息学、图像处理、信号处理等领域。
在生物信息学中，马尔可夫模型可以用来建立DNA序列的模型，从而研究基因的演化规律。
在图像处理中，马尔可夫随机场可以用来建立像素之间的相关性模型，从而进行图像分割、降噪等任务。
在信号处理中，马尔可夫模型可以用来建立信号的模型，从而进行语音识别、音频压缩等任务。
进展与展望随着深度学习的兴起，马尔可夫模型也得到了更深入的研究。
例如，一些研究者将马尔可夫模型与神经网络相结合，提出了深度马尔可夫模型，用于处理时间序列数据。
此外，一些研究者还提出了非线性马尔可夫模型，用于描述一些复杂的系统。
马尔可夫模型在生物网络的应用
马尔可夫模型在生物网络的应用在当今科技发展的背景下，人们越来越依赖大数据和机器学习技术来分析和预测未来的趋势和变化。
其中，马尔可夫模型是一种非常常见的机器学习算法，被广泛应用于生物网络的研究中。
马尔可夫模型是一种基于概率的模型，它可以根据过去的事件预测未来的事件。
具体来说，马尔可夫模型会根据当前的状态，预测下一个状态的发生概率。
这个模型的核心是“马尔可夫链”，即当前状态只跟前一个状态有关，与更早的状态无关。
这个模型的优点在于可以通过有限的历史数据来建立可靠的预测模型。
生物网络通常是指由生物体内各种分子、基因和细胞组成的复杂网络。
生物网络的分析对于理解生物学和医学方面的问题至关重要，因此如何利用机器学习技术对生物网络进行分析就成为了一个热门的研究方向。
在这个方向上，马尔可夫模型被广泛应用，并取得了令人瞩目的成果。
例如，研究人员可以利用马尔可夫模型来分析生物网络中各分子之间的关系。
通过测量这些分子的相互作用，可以将生物网络建模成一个马尔可夫模型，从而预测未来可能发生的事件，如蛋白质结构的变化等。
这种方法被称为“马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC）”。
除了上述基础生物学研究以外，马尔可夫模型还被应用于了药物研发和临床医学方面。
例如，研究人员可以利用马尔可夫模型来对药物治疗方案进行模拟，寻找最佳的治疗方案，从而提高治疗效果，预防并发症的发生。
类似的方法也可以应用于肿瘤治疗的研究中，预测治疗方法的效果，并根据结果调整治疗方案。
在总结上述应用案例后，我们可以发现马尔可夫模型在生物网络研究中的应用是非常广泛的，包括基础研究、药物研发和临床应用等多个领域。
更重要的是，马尔可夫模型是一种基于数据的建模技术，其优点在于可以根据有限的历史数据建立可靠的预测模型。
因此，我们相信生物网络研究领域对于马尔可夫模型的应用将会不断增加，并为生物学和医学研究提供更准确的预测和指导。
综上所述，马尔可夫模型在生物网络研究中的应用前景非常广阔，无论是基础研究、药物研发还是临床应用方面，都具有非常重要的意义。
马尔可夫过程的研究及其应用
马尔可夫过程的研究及其应用概率论的思想通常都很微秒，即使在今天看来仍没有被很好地理解。
尽管构成概率论的思想有点含糊，但是概率论的结果被应用在整个社会当中，当工程师估计核反应堆的安全时，他们用概率论确定某个部件及备用系统出故障的似然性。
当工程师设计电话网络时，他们用概率论决定网络的容量是否足够处理预期的流量。
当卫生部门的官员决定推荐或不推荐公众使用一种疫苗时，他们的决定部分的依据概率分析，即疫苗对个人的危害及保证公众健康的益处。
概率论在工程实际、安全分析，乃至整个文化的决定中，都起着必不可少的作用。
关于概率的信息虽然不能让我们肯定的预测接下来发生个什么，但是它允许我们预测某一事件或时间链的长期频率，而这个能力十分有用。
概率论的思想不断渗透到我们的文化当中，人们逐渐熟悉运用概率论的语言思考大自然。
世界并不是完全确定的，不是每个“事件”都是已知“原因”的必然结果。
当科学家们对自然了解的更多，他们才能认知现象—例如，气体或液体中分子的运动，或液体的波动。
由此引入了人们对布朗运动的定性与定量描述。
在人们思考布朗运动的同时，俄国数学家马尔可夫开始研究现在所谓的随机过程。
在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。
描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。
例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
马尔科夫及其应用
传统马尔科夫没有涉及到由于知识局限而引起的错误，该文献同时考虑的偶 然性和知识局限性，将传统马尔科夫的概率全部转为广义区间概率。结果表 明，GHMM在状态识别方面的表现优于HMM。通过广义区间概率量化的两种 不确定性，分析结果提供了更多的信息，可以做出更有力的决策。
连续隐半马尔科夫模型在轴承性能退化评估中的应用
通常情况下，过程或系统的状态是不可见的。状态隐藏，只能通过观 测序列来推测隐藏的状态。 隐马尔可夫模型是一个双离散随机过程。 状态和状态的转移是不可观测的。 观测值只和当前状态有关，与之前的状态和观测值无关。 …………
X1
X2
XT
O1
O2
…………
OT
2.隐马尔可夫的参数 一个隐马尔可夫模型 (HMM) 是一个五元组：
(N , M, A, B, π )
其中： N= {q1,...qN}：状态的集合 M = {v1,...,vM}：观察值的集合 A = {aij}，aij = p(Xt+1 = qj |Xt = qi)：状态转移概率 B = {bik}，bik = p(Ot = vk | Xt = qi)：输出观测概率 π = {πi}， πi = p(X1 = qi)：初始状态分布
马尔可夫及其应用
一.马尔可夫过程的概念 二.隐马尔可夫模型 三.隐马尔可夫的应用
一.马尔可夫过程的概念
1.马尔可夫性（无后效性） 过程或系统在时刻t0状态已知的情况下，过程 在t> t0所处的状态的条件分布与过程在时刻t0之前 所处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。
即：过程“将来”的情况与过程“过去”的情况是 无关的
假定齿轮构件在某时刻的劣化状态只有 2 种过程: 一是维持现状， 二是向下一状态转移，如每次状态转移概率为 Px， 则保持现状的 概率就为( 1 － Px) ，其过程和状态间转移的概率如图下图所示。
马尔可夫模型简介及应用
马尔可夫模型简介及应用马尔可夫模型是由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫于20世纪初提出的一种数学模型，用于描述随机过程中状态的转移规律。
在马尔可夫模型中，每个状态的转移只依赖于前一个状态，而与更早的状态无关。
这种特性使得马尔可夫模型在很多领域都有着广泛的应用，尤其在自然语言处理、金融市场预测、医学诊断等方面。
一、马尔可夫模型的基本概念马尔可夫模型是一个描述离散时间的随机过程的数学模型。
在马尔可夫模型中，我们假设系统处于某一状态，然后在下一个时间步转移到另一个状态。
这个状态转移的过程是随机的，但是具有一定的概率分布。
而且在马尔可夫模型中，状态的转移只依赖于前一个状态，与更早的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性。
马尔可夫模型可以用一个状态转移矩阵来描述。
假设有N个状态，那么状态转移矩阵是一个N×N的矩阵，其中第i行第j列的元素表示从状态i转移到状态j的概率。
这个状态转移矩阵可以完全描述马尔可夫链的演化规律。
二、马尔可夫模型的应用在自然语言处理领域，马尔可夫模型被广泛应用于语言模型的建模。
通过统计语料库中单词的出现顺序，可以构建一个马尔可夫链来描述语言的演化规律。
这种语言模型可以用于自动文本生成、语音识别等任务。
在金融市场预测中，马尔可夫模型也有着重要的应用。
通过分析历史市场数据，可以构建一个马尔可夫链来描述市场的演化规律。
然后可以利用这个模型来预测未来市场的走势，帮助投资者做出合理的决策。
在医学诊断领域，马尔可夫模型被用来建立疾病的诊断模型。
通过分析患者的病历数据，可以构建一个马尔可夫链来描述疾病的发展规律。
然后可以利用这个模型来进行疾病的早期诊断和预测。
三、马尔可夫模型的改进与发展虽然马尔可夫模型在很多领域都有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。
最大的问题在于马尔可夫链的状态转移概率是固定的，而且只依赖于前一个状态。
这种假设在很多实际问题中并不成立，因此需要对马尔可夫模型进行改进和发展。
马尔可夫模型简介及应用(十)
马尔可夫模型简介及应用马尔可夫模型是一种随机过程模型，它以马尔可夫性质为基础，描述了一个随机系统状态的演化过程。
马尔可夫模型广泛应用于自然语言处理、信号处理、金融预测和生物信息学等领域。
本文将为大家介绍马尔可夫模型的基本原理及其在实际应用中的一些案例。
马尔可夫链：基本原理马尔可夫链是马尔可夫模型的基本形式，它描述了一个离散时间随机过程的状态转移过程。
具体而言，马尔可夫链包括一个状态空间和一个状态转移矩阵。
状态空间表示系统可能处于的所有状态，状态转移矩阵描述了系统在不同状态之间转移的概率。
马尔可夫链具有“无记忆”的特性，即系统在某一时刻的状态只依赖于前一时刻的状态，而与更早的状态无关。
马尔可夫链的数学表示如下：P(Xn+1=j|Xn=i) = P(Xn+1=j|Xn=i, Xn-1, Xn-2, ...)其中，P(Xn+1=j|Xn=i)表示在时刻n状态为i的条件下，时刻n+1状态为j的概率。
这一性质使得马尔可夫模型在描述一些随机过程时具有简洁而有效的特点。
马尔可夫模型应用举例马尔可夫模型在自然语言处理领域有着广泛的应用。
例如，在语音识别中，马尔可夫模型被用来建模语音信号中的语音单元，如音素或音节。
通过学习语音信号中不同语音单元之间的转移概率，系统可以自动识别和分割语音信号。
另一个应用领域是金融预测。
马尔可夫模型可以用来建模金融市场中的价格变动。
通过分析历史价格数据，建立马尔可夫模型，可以对未来价格趋势进行预测。
这对于投资者制定交易策略和风险管理具有重要意义。
此外，马尔可夫模型还被广泛应用于生物信息学。
例如，在基因组序列分析中，马尔可夫模型可以用来建模DNA或蛋白质序列中的特定模式，从而进行序列比对和基因预测。
总结马尔可夫模型作为一种概率模型，在许多领域都有着重要的应用。
其简洁的数学形式和灵活的建模能力使得它成为描述随机系统的重要工具。
随着人工智能和大数据技术的发展，马尔可夫模型的应用领域将会进一步扩展，并在更多领域发挥重要作用。
马尔可夫模型的应用
马尔可夫模型的应用马尔可夫模型是一种基于状态转移的随机过程模型，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将从多个角度介绍马尔可夫模型的应用。
一. 自然语言处理马尔可夫模型在自然语言处理中的应用非常广泛，例如文本生成、语音识别和机器翻译等。
其中最常见的是文本生成，即利用马尔可夫模型生成新的文本。
这种应用最早出现在20世纪50年代，当时科学家们利用马尔可夫模型生成了一些类似于英文文章的文本。
随着计算机技术的发展，文本生成变得越来越容易实现，马尔可夫模型也成为了自然语言处理领域的重要工具之一。
二. 金融风险评估马尔可夫模型在金融领域中的应用也非常广泛，其中最常见的是用于金融风险评估。
金融市场是一个高度不确定性的环境，而马尔可夫模型可以用来描述金融市场的状态转移过程，从而对风险进行评估。
例如，可以利用马尔可夫模型对股票价格进行预测，进而制定投资策略。
三. 图像处理马尔可夫模型在图像处理领域中也有应用。
例如，在图像分割中，可以利用马尔可夫模型对图像进行分割，将图像分成若干个部分，每个部分都具有相同的状态。
此外，马尔可夫模型还可以用于图像压缩和图像识别等方面。
四. 生物信息学马尔可夫模型在生物信息学中也有广泛的应用。
生物信息学主要研究生物序列的分析和比较，而马尔可夫模型可以用来描述生物序列的状态转移过程，从而对生物序列进行分析和比较。
例如，可以利用马尔可夫模型对DNA序列进行分析，从而确定DNA序列中的编码区域和非编码区域。
五. 社交网络分析马尔可夫模型在社交网络分析中也有应用。
社交网络是一种高度动态的环境，而马尔可夫模型可以用来描述社交网络中用户的状态转移过程，从而对社交网络进行分析。
例如，可以利用马尔可夫模型对用户的行为进行建模，从而预测用户的兴趣、行为和社交网络的发展趋势。
马尔可夫模型在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、金融风险评估、图像处理、生物信息学和社交网络分析等。
随着数据量的增加和计算机技术的发展，马尔可夫模型的应用将会越来越广泛。
机器学习技术中的马尔可夫模型应用
机器学习技术中的马尔可夫模型应用机器学习技术在各个领域都发挥着重要的作用，其中一种常见的技术是马尔可夫模型。
马尔可夫模型是一种用于建模时序数据的概率模型，其基本思想是根据当前状态预测未来的状态。
在机器学习算法中，马尔可夫模型可应用于各个方面，例如文本生成、语音识别和金融市场预测等。
本文将探讨机器学习技术中的马尔可夫模型应用，并介绍其原理和具体案例。
首先，马尔可夫模型在自然语言处理领域中有着广泛的应用。
通过学习大量的文本数据，马尔可夫模型可以对文字的出现情况进行建模，并生成新的文本。
例如，可以通过学习一本小说的文字特征，来生成类似的新章节。
这种技术对于自动化文本生成和内容创作具有重要的意义。
此外，马尔可夫模型还可用于文本分类、情感分析和机器翻译等任务，帮助机器理解和处理自然语言。
其次，马尔可夫模型在语音识别领域也起到了重要的作用。
语音识别是将语音信号转换为文本的技术，可以广泛应用于语音助手、智能家居和智能车辆等领域。
马尔可夫模型可用于建模语音信号的特征，通过预测当前状态的后续状态，进而对语音进行识别。
通过使用大量的语音数据进行训练，马尔可夫模型能够逐渐提高语音识别的准确率和鲁棒性。
此外，马尔可夫模型在金融市场预测和股票交易中也有应用。
金融市场是一个充满不确定性的系统，马尔可夫模型可以对金融市场的价格波动进行建模和预测。
通过学习历史的价格走势和市场变化，马尔可夫模型可以预测未来的价格走势，并为投资者提供决策支持。
这种模型可以基于历史数据对未来市场进行模拟和分析，帮助投资者做出更明智的投资决策。
在实际应用时，马尔可夫模型通常是基于马尔可夫链的思想进行构建的。
马尔可夫链是一种状态转移模型，通过定义状态和状态之间的转移概率，可以表达系统的不确定性和随机性。
马尔可夫模型也分为几种不同的类型，例如隐马尔可夫模型（HMM）和马尔可夫决策过程（MDP），这些模型在不同领域有不同的应用。
同时，为了提高模型的准确性和性能，通常需要结合其他机器学习算法和技术，例如深度学习和强化学习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
马尔可夫过程及其应用一． 马尔可夫过程的简介马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。
设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。
无后效的随机过程称为马尔科夫过程。
马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。
我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。
马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。
二． 马尔可夫过程的一般概念2.1定义设有一随机过程X(t)，t ∈T ，若在t1,t1,…tn-1,tn(t1<t2<…<tn-1<tn ∈T ) 时刻对X(t)观测得到相应的观测值x1,x2,…,xn-1,xn 满足条件:或则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。
其中代表在X(tn-1)=xn-1,…,X(t2)=x2,X(t1)=x1,的条件下,时刻X(tn)取xn 值的条件分布函数。
若把tn-1看做“现在”，因为t1<t2<…<tn-1<tn 则tn 就可以看成“将来”，t1,t2,…,tn-2就当做“过去”。
因此上述定义可表述为在现在状态X(tn-1)取值为xn-1的条件下，将来状态X(tn)与过去状态X(tn-2)X(tn-3),…,X(t1)是无关的。
2.2转移概率分布定义马氏过程的转移概率分布为或()12211221;|,,,,;,,,,X n n n n n n F x t x x x x t t t t ----()()(){}1111;|;|X n n n n n n n n F x t x t P X t x X t x ----=≤=()()(){}00000;|;|,X F x t x t P X t x X t x t t =≤=>转移概率分布是条件概率分布，对X 而言，它是一个分布函数，有以下性质： 1) FX(x;t|x0;t0)>=0 2) FX(∞;t|x0;t0)=1 3) FX(-∞;t|x0;t0)=04) FX(x;t|x0;t0)是关于x 的单调非降、右连续的函数。
5) 满足切普曼-科尔莫哥洛夫方程应用全概率公式,可以证明上式成立。
2.3转移概率密度如果FX(x;t|x0;t0)关于x 的导数存在,则:称之为马尔科夫过程的转移概率密度。
反之，可得并且还有此时，无后效性可表示为马氏过程的转移概率密度也满足切普曼-科尔莫哥洛夫方程三． 马尔可夫过程的统计特性及性质由前面的内容可知，随机过程的统计特性可由有限维联合概率分布来近似的描述。
对于马尔科夫过程来说，其维概率密度可以表示为()()()()()001111001001100101;|;;|;;|;;|;;|;,X X X X X F x t x t F x t x t dF x t x t dF x t x t f x t x t dx t t t ∞-∞==<<⎰()()0000;|;;|;X X f x t x t F x t x t x ∂=∂()()()000000;|;;|;;|;xxX X X f u t x t dF u t x t F x t x t -∞-∞==⎰⎰()()0000;|;;|;1X X f x t x t dx F t x t ∞-∞=∞=⎰()()000;|;t t X f x t x t x x δ→−−−→-()()1221122111;|;,,;;,,;|;X n n n n n n X n n n n f x t x x x x t t t t f x t x t ------=()()();|;;|;;|;,X n n k k X n n r r X r r k k r n r kf x t x t f x t x t f x t x t dx t t t ∞-∞=>>⎰当取t1为初始时刻时，fx(x1,t1)表示初始概率分布(密度)。
上式表明：马氏过程的统计特性完全由它的初始概率分布（密度）和转移概率分布（密度）所确定。
上面已经介绍了马氏过程的定义及一些特征，下面给出马氏过程的几个有用性质。
1) 同马尔科夫序列的情况一样，逆向的马尔科夫过程仍为马尔科夫过程。
对任意的整数n 和k ，有2) 若马尔科夫过程的现在状态已知，则将来状态与过去状态无关。
若tn>tr>ts 则在已知Xr(过程在t 时刻的条件下)，随机变量Xn 和Xs 是独立的，满足3) 若对每个t<=t1<t2，X(t2)-X(t1)与X(t)皆是独立的，则过程X(t)是马氏过程。
4) 由转移概率密度的无后效性可推出四．马尔可夫过程的应用4.1马尔可夫应用概述马尔可夫随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。
许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。
反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。
下面简略介绍一下马尔可夫随机过程本身在各方面的应用情况。
在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象,在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。
当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。
物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。
()()()()()()()()()121212112112112111112222111111111121,,,;,,,;|,,,;,,,,,,;,,,;|;;|;;|;;;;|;,X n n X n n n n X n n X n n n n X n n n n X X n X X i i i i ni f x x x t t t f x t x x x t t t f x x x t t t f x t x t f x t x t f x t x t f x t f x t f x t x t t t t -----------++=====<<<∏()()121211;|,,,;,,,,|;X n n n n n k n n n k X n n n n f x t x x x t t t f x t x t ++++++++=()()(),;,|;;|;;|;X n s n s r r X n n r r X s s r r f x x t t x t f x t x t f x t x t =()()()()()111|,,|n n n n E X t X t X t E X t X t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。
探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。
化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。
随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。
研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生尅模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。
有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。
传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。
在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。
许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。
这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。
排队过程一般不是马尔可夫型的。
当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。
在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。
传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。
这是信息论的主要目的。
噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。
信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。
在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到马尔可夫随机过程。
4.2马尔可夫应用举例假定西安电子科技大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。
根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。
又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。
据此，可以得到如表－1所示的统计表。
表－1 两种牙膏之间的转移概率上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵称为转移概率矩阵。
可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。
在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。
2．用转移概率矩阵预测市场占有率的变化有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。
假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：这里称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。
二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。
一般地，k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。
可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。
转移概率矩阵案例分析案例一: 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化[1]有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。
假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：===(4170,5830)这里称为二步转移矩阵，也即由１２月份的情况通过２步转移到2月份的情况。
二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。