263实际问题与二次函数第3课时
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计3
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计3一. 教材分析人教版数学九年级上册第26.3.2节《实际问题与二次函数》是学生在学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步探究二次函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数解决实际问题的方法，提高解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例，引导学生运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会遇到难以将实际问题转化为二次函数模型的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生对二次函数知识的理解和应用情况，引导学生将实际问题与二次函数模型有效结合。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用，提高解决实际问题的能力。
2.能够将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
3.培养学生的数学应用意识和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探究二次函数的运用。
2.案例分析法：分析典型实例，让学生从中总结二次函数解决实际问题的方法。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于引导学生分析和解题。
2.准备教学PPT，展示二次函数在实际问题中的运用。
3.准备黑板和粉笔，用于板书重要知识点和解题步骤。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题情境，引导学生思考如何运用二次函数解决实际问题。
例如：某商店进行促销活动，商品的原价为80元，现进行打折销售，设折扣率为x（0≤x≤1），求商店的销售额y与折扣率x的关系。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的实际问题案例，让学生分析问题并尝试将其转化为二次函数模型。
九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
人教版初三数学上册26.3实际问题与二次函数(第3课时).3 实际问题与二次函数 (第3 课时)
（1）如何建坐标系；
（2）如何设抛物线的解析式？
图26.3.3－2
（3）水面下降1米的含义是什么，怎样把距离转化成坐标？
（4）如何求宽度增加多少？
2．解决问题
解：设抛物线表示的二次函数为 ．如图26.3.3－3.
图26.3.3－3
由题意知抛物线经过点 ，可得 ， ．
这条抛物线表示的二次函数为 ．
（3）如果题中不给图象，关注学生怎样建立抛物线模型.
成果展示
1.本节课你有哪些收获？还有那些疑惑？
2.在课上你参与了多少问题的讨论，哪些问题得到了其他同学的认可？你最赞同哪一位同学的发言.
学习小组内互相交流，讨论，展示.
补
偿
提
高
1.如图26.3.3—6，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的和距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系. （1）求抛物线的解析式（2）求两盏景观丁之间的水平距离.
26.3实际问题与二次函数（第3课时）
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.利用二次函数解决有关拱桥等问题
2.用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题.
过程
方法
1.在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
2.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维．
3.在转化、建模中，学会合作、交流.
情境
引入
欣赏一组石拱桥的图片26.3.3－1，观察桥拱的形状．
图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6.3.3－1
九年级数学下册 263 实际问题与二次函数(第3课时)教学设计2 新人教版 教案
26.3 实际问题与二次函数一、授课内容的本质、地位和作用分析本节课选自人教版九年级数学下册二十六章第三节《实际问题与二次函数》的第3课时。
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象和性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
而拱桥问题和投篮问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它的生活背景丰富，学生比较感兴趣。
目的在于让学生通过解决拱桥问题、投篮问题这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的实际问题，此部分内容既是学习一次函数、反比例函数及其应用后的延伸，又为高中乃至以后学习更多的函数打下坚实的理论和思想方法基础。
二、教学目标分析对于函数知识来说它是从生活中广泛的实际问题中抽象出来的数学知识，所以它是解决实际问题中被广泛应用的工具，这部分知识的学习无论对提高学生在生活中应用函数知识的意识，还是对掌握运用函数知识的方法，都具有重要意义。
而二次函数的知识是九年级数学学习的重要内容之一，同样它也是从生活实际问题中抽象出的知识，又是在解决实际问题时广泛应用的数学工具。
课程标准强调学生的应用意识的培养，让学生面对实际问题时，能尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
本节课是在学习了二次函数的概念、图象和性质后进一步学习二次函数的应用，学生有了一定的二次函数的知识，并且在前面两节课已经接触到运用二次函数的知识解决函数的最值问题，而本节课需要利用建模的思想，将实际问题转化为二次函数的问题，从而使问题得到解决。
如何建立适当的平面直角坐标系对学生而言比较困难，尤其是将已知条件如何正确的转化为点坐标，需要学生经历思考、分析等过程，进而得出结论。
数学：26.3实际问题与二次函数(3课时)教案(人教新课标九年级下)
课题：26.3实际问题与二次函数（1）教学目标：1、知识与技能：经历数学建模的基本过程.2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值. 教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用.难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解.教学方法：学生学法：教学设计：一、创设情境、提出问题给你长8m的铝合金条，设问：①你能用它制成一矩形窗框吗？②怎样设计，窗框的透光面积最大？③如何验证？二、观察分析，研究问题演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变.深入探究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym 2,则它们的函数关系式为x x y 42+-=，并当x =2时，即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.三、例练应用，解决问题在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 引导学生分析，板书解题过程.变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0.01米）四、知识整理，形成系统1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3、学到了哪些思考问题的方法？三、布置作业：1、必做题：2、选做题：课题：26.3实际问题与二次函数(2)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、方法与技能：会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题.3、情感、态度与价值观：发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.教学重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.教学难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂.教学方法：学生学法：教学过程：一、复习：1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值.2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题.出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（L）是否也有最值？如果有怎样求？L与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值.引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）.指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值.二、例题讲解例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？(2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676 .（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s 的最小值.解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为S=A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0） 当t=1013 时，被开方式169（t-1013）2+576有最小值576. 所以当t=1013 时，S 最小值=576 =24（km ）答：经过1013时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值.三、小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、 布置作业1、必做题：2、选做题：课题：26.3实际问题与二次函数(3)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题.3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂.教学方法：学生学法：教学过程：一、例题讲解例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元.(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？二、作业：1、必做题：2、选做题：。
实际问题与二次函数第三课时教案
26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。
人教版九年级数学下册精品教案 实际问题与二次函数3个课时
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程． 【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
九年级数学下册 26.3《实际问题与二次函数》(第3课时)教案 新人教版
《26.3实际问题与二次函数》讲课教师：学科：数学课时：3 总课时数：教学目标知识与技能1、通过图形之间的关系列出函数解析式。
2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题。
过程与方法让学生经历数学建模过程，体会建模思想。
情感态度与价值观通过本节课的教学，使学生能够正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。
教材分析教学重点建立平面直角坐标系解决有关抛物线型问题的实际问题。
教学难点建立函数模型。
教学过程教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）一、设疑启发喷出的水柱，投篮时篮球的运动路线，桥拱等，这些图形有什么共同特点？二、探疑互动互动活动1：抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m。
水面下降1m，水面宽度增加多少？学生自主探究，合作交流，经历构建平面直角坐标系解决抛物线型实际问题的过程。
让学生感到生活中处处有数学。
教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）思考：1、从题目本身的哪些条件，你能联想到用二次函数解决问题？（形状）2、求水面宽度增加多少，就是求解什么数学问题？（线段长的的关系）在明确上述两个问题后，让学生尝试着建立平面直角坐标系，并求出这条抛物线表示的函数关系式。
学生建立不同的坐标系，得到不同解析式，类比总结：三个解析式间的关系，指出恰当的建立坐标系可以使解答简便。
三、解疑归类解决有关抛物线型的实际问题的步骤。
四、查疑落实1、要修建一个圆形喷水池，池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？学生先独立思考，再在小组内交流，教师巡视，适时点拨，最后以小组汇报形式班内交流。
有三种建立直角坐标系的常用方法：1、以水面所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系。
Y=-1/2x2+22、以最下端水面所在直线为x轴，以CD的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系。
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活动4
练习:有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置 时，水面的宽度是 4 6 m，水位上升4 m就达到 警戒线CD，这时水面宽是4 3 米．若洪水到来 时，水位以每小时0.5 m速度上升，求水过警戒 线后几小时淹到拱桥顶端M处．
y
Ｍ ＣＮ ＡＯ
Ｄ Ｂx
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知 球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水 平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到 最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物 线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到 的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
∴汽车能顺利经过大门.
练习
某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所 示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为 4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门， 货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m。请判 断这辆汽车能否顺利通过大门．
练习 1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车
要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图， 已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的 宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面 2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
Thank you
车是否可以通过？
（1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
1O
（2）卡车可以通过.
－3 －1
1
3
－1
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
－3
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为 4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶 部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否 顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若 不能,请简要说明理由.
的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
yax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
0a222
a0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为:
y0.5x22
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
10.5x22 x 6 这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 (2 64)m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
ya(x2)22
∵抛物线过点(0,0)
0a(2)22
y 1 x2，当水位线在AB位置时，水面宽 25
AB30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的
长是8m，宽是2m，抛物线可以用
y
1
x2
4
4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧
道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
2a22
a0.5
∴这条抛物线所表示的二
次函数为:
y0.5x2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
30.5x2
x 6
这时水面宽度2为6mБайду номын сангаас
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 (2 64)m
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上．（1）设矩形的一
边AB＝x m那么AD边的程度如何表示？（2）设矩形
的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值
是多少？
3
AD30 x
4
30m D
C
y3x2 30x
4
B
A
当x=20时，y最大＝300
40m
感谢观赏
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
yax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a4.40
a1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y1.1x24.4
当 x 1 .2 时 y 1 ， .1 1 .2 2 4 .4 2 .8 1 2 .7 6
a0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y0.5(x2)22
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
10.5(x2)22
x126,x226
∴这时水面的宽度为:
x2x12 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 (2 64)m
返回
练习
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，
建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为
2020
263实际问题与二次函数第3课时
探究3
图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱 顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 增加了多少？
解一
如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对y称轴为 轴，
建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2