最新八级数学分式专题培优上课讲义
初二数学 分式经典讲义
第十七章 分式§17.1 分式及其基本性质 一． 知识点：1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。
（分式有意义的条件）2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。
二．学习过程：1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。
（单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：教材中的题目。
典型例题1.23m m是一个分式么？答：是。
虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，另外23m m与3m 中的字母的取值也不同．习题一（1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252-a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x有意义，则.（ ）（A ）x ≠23-(B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23-或x ≠5（3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ）（A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）21a a +（4）. 当x 是什么数时，分式252++x x 的值是零？解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0所以，当x=-2时，分式的值是零习题二一、填空题 1.约简公式= .2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1的值为正整数.3.如果x+x 1=3，则1x x x 242++的值为 .4.已知x=1+a 2,y=1-a 1.用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表示x ，得x= .5．要使代数式3a 2a 3a 2---的值为零，只须 .6.已知s=)y s (q 1yqx ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 .7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .二、解答题8.化简分式232m m 21m m m 1+-+--9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等.10.已知ab=1，证明11b b 1a a =+++11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成32后乙来完成，这样完成工作所用时间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？参考答案【同步达纲练习】一、1. c d a c b a -+-+ 2.-2或-4 3.814.2x 3- 3-2y5.a=-36.q=y S x S --7.2q p pq 2q p ++++二、8.当m ≥0时，且m ≠1时，原式=1+m. 当m ＜0时，且m ≠-1时，原式=m 1)m 1(2+-9.x=c 3b 2a bcac 2ab 3-+-- 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.11.甲单独完成需6天，乙需12天.§17.2 分式的运算 一． 知识点：1.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式培优讲义教学文案
讲义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B ≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
八年级培优课件 第01讲：分式的运算
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。
由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
八年级上册数学同步培优：第14讲 解分式方程--尖子班
第14讲 解分式方程知识点1 分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 （2）解这个整式方程（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.【典例】1.解分式方程223124x x x --=+- 【方法总结】1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.2.解分式方程：21421242x x x x x x +-=---+ 【方法总结】1、去分母时，每一项都要乘以()()22x x +-，“-1”项不要漏乘。
2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根【随堂练习】1．（2018春•市中区期末）探索发现：=1﹣；=﹣；=﹣…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）=﹣ ，= ﹣ ； （2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+=．2．（2018春•砀山县期末）化简与解方程： （1）﹣+．（2）+1=知识点2 分式方程的解1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围．” 2、此类问题的步骤（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式； （3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.【典例】1.关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围． 【方法总结】1、“非负数”是大于等于0的数.2、不要漏掉727k +≠-，717k+≠这两个限制条件. 【随堂练习】1．（2018•重庆）若数a 使关于x 的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程+=1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣10B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣18 2．（2018•北碚区校级模拟）若关于x 的不等式组至少有一个整数解，且关于x 的方程=的解为整数，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个知识点3 分式方程的增根概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根【典例】1.若关于x 的方程2151111k k x x x --+=-+-有增根，则k =________. 【方法总结】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤： ① 去分母，化分式方程为整式方程； ② 让最简公分母为0，从而确定增根；③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2.若方程()()6=1111mx x x -+--有增根，则它的增根是（ ） A. x=0 B. x=1 C. x=﹣1 D. x=1和﹣1【方法总结】此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：① 化分式方程为整式方程；② 让最简公分母为0确定可能的增根；③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.注意：使最简公分母为0的x 值，不一定是分式方程的增根.【随堂练习】1．（2018春•唐河县期中）关于x 的分式方程有增根，则m 的值为___．2．（2017秋•凤庆县期末）若解关于x 的分式方程+=会产生增根，求m 的值．3．（2017春•简阳市期中）当k 为何值时，分式方程有增根？4．（2017春•长泰县月考）已知关于x 的分式方程+=（1）若方程的增根为x=1，求m 的值 （2）若方程有增根，求m 的值 （3）若方程无解，求m 的值．知识点4 分式方程无解分式方程无解的情况：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解. （2）解出的整式方程的根是增根.【典例】1.解分式方程：24163242x x x -=---+ 【方法总结】1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解2、注意增根的检验：检验：当x=2时， ()()22x x +-=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）．A ．1B ．2C ．12D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题）（2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023A B C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）①② ③＝14－（2+ab ac aabc-＋2+bc ab babc-＋2ac bc cabc+-）＝222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中，0＝3 16()164abc ab bc acabc-+++＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153. 184.35. A6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc7.B8. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m39. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x＝1a，y＝1b，c＝1z，∴411a+＋411x+＝411a+＋4111a+＝1，∴原式＝3.14. （1）x＝－11 2（2）x＝123 14（3）（x，y，z）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. －1或8 提示：设a bc+＝b ca+＝c ab+＝k，则k＝－1或2 3.1128354. 0 提示：由xy z+＝1－yz x+－zx y+，得：14＝x－xyz x+－xzx y+5. A6. C7. D 提示：原式＝4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---＝3(2)1x xx-+-＝3261281x x x xx-+-+-＝2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--＝x2－5x＋88. A 提示：由已知条件得x＝3y9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·ca b-＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c ab -）·a bc -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·bc a -＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝910. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc+-＋1）＋222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0b ＋c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16m n -=，m 分别取值，则有②m ＝16－6n ，分别取值，则有 显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级． ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。
湘教版八年级数学 1.1 分式(学习、上课课件)
1
所以当 x ＝ －2 时，分式
的值不存在 .
2x＋4
(2) x 2－1 ＝ 0，解得 x ＝ ± 1，
所以当 x ＝ ± 1 时，分式
x－1
的值不存在．
x2－1
知2－练
感悟新知
知2－练
x－3
3-1. 已知分式
，当x ＝ 2时，分式无意义，则
□5x＋a
－10
解题秘方：利用分式的三要素进行判断即可 .
x－y 1 2
x
a－b
解：整式有
， x y， － ，
，4a；
3π
3
4
2
y 2x ＋ y
5
2
x2 x ＋ y
分式有 ，
，－ ，
， ，
.
x x－y
a 2＋y
x
xy
感悟新知
知1－练
方法点拨：判断一个式子是否是分式的方法：
f
首先要看式子是否具有 的形式，其次
g
f， g (g ≠ 0)是否是整式，最后看分母
中是否含有字母 .分式只注重形式而不
注重结果，分母中含有字母是判断分
式的必要条件 .
感悟新知
知1－练
4
1 3x y x2 － 2y x2 ＋ y m － n
1-1.式子 ， ，
，
，
，
，
x
2
π
3x+3y
5
7ab
5x
4
中，分式有________个．
x
感悟新知
知识点 2 分式的值存在、不存在的条件
知2－讲
f
得的商记作 ，把代数式 叫作分式，其中 f 是分式的分子，
人教版八年级上册数学《分式方程》分式培优说课教学复习课件
=
+1
2x
x+ 3 x - 5
x - 25
x+1 3 x+3
与上面的方程有什么共同特征？
分母中都含有未知数．
．
探究新知
分式方程的概念：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的特征：分母中含有未知数.
追问2：你能再写出几个分式方程吗？
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们
的未知数不在分母中．
2.会解含有字母系数的分式方程.
1.能找出实际问题中的等量关系，熟练地列
出相应的方程.
探究新知
知识点
列分式方程解应用题的步骤
甲、乙两人做某种机器零件，已知
甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件
所用的时间和乙做60个零件所用的时间
相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题
分析题意
设元
探究新知
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个
式子——各分母的最简公分母．
探究新知
90
60
=
追问：你得到的解 v= 6 是分式方程
30+v 30-v
的解吗？
检验：把v=6代入分式方程得：
左边=
90
90 5
30 6 36 2
右边=
60
60 5
30 - 6 24 2
左边=右边，所以v=6是原方程的解.
探究新知
1
10
=
问题3： 解分式方程： x-5 x 2 - 25 .
所以，原方程的解是x=1.
探究新知
素养考点 2
解含有整式项的分式方程
初中八年级数学分式专题辅导讲义.doc
九年级数学分式辅导讲义对分式进行通分的关键是： ___________________________ .最简公分母： _____________________________________________________ . 分母如果是多项式，应该先 __________________ ，再 _________________ ・ 【例】1、如果把分式2xy中的兀和y 都扩大3倍，那么分式的值()x+ yA 、扩大3倍2、填空B 、缩小3倍C 、缩小6倍D 、不变2y _ 2/ 2-m 1 -aa 21 + y ~( 14-m 2()'1-^-()3、约分1+2兀X^r xy 2 2 兀-yX 2-94X 2+4X + 1 ? b-1'3x 2 +6A >, + 3}?29 — 6x + x~4、 一!—,，―^ 的最简公分母是 ______________________________（无+ l ）y 4兀~ 6xy^z 5、 通分【知识点3】分式的加减：1、 同分母的分式相加减：分母 _____________ ,分子 _______________2、 异分母的分式相加减：先 _______________ ,后 _________________1 1 I?2 2h 2【例】计算：（1） —+ —-— （2） -4= ------- —（3） a + b-^-y — x 2y — 2x nV —9 m-3a + b【知识点4］分式的乘除1、 分式乘分式， __________________ 做积的分子， ____________ 做积的分母。
2、 分式除以分式，先 ___________________________ ,再 _____________________ o 【例】计算：（1）（丄-1）子〒：2兀+ 1（2）（ —一三亠x + 2J T-4（J T-4X + 4 x + 2 丿 x-2【知识点5]分式方程1、 分式方程： __________ 中含有未知数的 ___________ 叫做分式方程2、 解分式方程的步骤： ______________________________________________________________ ;3、 在方程的两边同时乘 _________________ ，可以将分式方程转化为一元一次方程求解。
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八年级数学培优试题----分式1
1、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224
x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444
x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
2、下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）2+a ，分式的值不变；（2）分式y -83的值可以等于零；（3）方程11
111-=++++x x x 的解是1-=x ；（4）12+x x 的最小值为零；其中正确的说法有（ ）
A .1个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个
3、关于x 的方程211
x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0
C ．a ＜－1
D ．a ＜－1且a ≠－2
4．若解分式方程x
x x x m x x 11122+=++-+产生增根，则m 的值是（ ）
B. D. 5． 已知,511b a b a +=+则b
a a
b +的值是（ ） A 、5 B 、7 C 、3 D 、
31 6．若x 取整数，则使分式1
-2x 36x +的值为整数的x 值有( )． (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个
7. 已知x
B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2
C 、－4
D 、4
8. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
9、当x = 时，分式12
x -无意义． 10、①())0(10 53≠=a axy xy a ②()
1422=-+a a 。
11、分式方程2111339
x x x -=-+-去分母时，两边都乘以 。
12、解方程2223321x x x x --=-时，若设21
x y x =-，则方程可化为 ． 13、若方程a
x x -=-211的解为正数,则a 的取值范围是___________. 14.已知:0112222=-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++b x x a x x ,则a,b 之间的关系式是_____________ 15.已知123421+=-=+x x y y x ,则)(3
23x y -的值是______________. 16．若abc 0≠，且
b a
c a c b c b a +=+=+，则=+++abc
a c c
b b a ))()(( 三、计算或化简： 17．(1)222
24421y
xy x y x y x y x ++-÷+-- (2)x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+
(3))141)(141(+-+-+-a a a a a a (4) 1211111222+-+-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛---x x x x x
18
19.当a 为何值时,
)1)(2(21221+-+=+----x x a x x x x x 的解是负数?
20. m 为何值时，关于x
21.有160个零件,平均分给甲、乙两车间加工，由于乙另有任务，所以在甲开始工作3小时后，乙才开始工作，因此比甲迟20分钟完成任务，已知乙每小时加工零件的个数是甲的3倍，问甲、乙两车间每小时各加工多少零件？
22．为了帮助四川地震灾区尽快发展重建，在修路工人的共同努力下，都江堰到映秀的高速公路全线通车，这条连接都江堰与映秀的生命线全长约26km ．担任建设任务的中铁二十一局全体员工克服种种困难，每月实际修路的长度是原计划的5
6倍，结果比原计划提前2个月完成了打通都江堰至映秀高速公路的任务，求实际每月修路多少km?
23、由Λ,,
4131121431,312161321,21121211-==⨯-==⨯-==⨯你能总结出为正整数）的通式吗？n n n ()
1(1+ 并试着化简：.)
9)(8(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ
24
．(8分)跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的
进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．
(1)求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元?
(2)若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润(利润=售价－进价)超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案?请你设计出来．
八年级数学培优试题----分式2
1、若分式3
132-=-x x x x ，从左到右的变形成立，则x 的取值范围是 ； 2、如果2=b
a ，那么=++-2222
b a b ab a ； 3、若b a b a +=+111，则=+a
b b a ； 4、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
b a b a +-3
2232)1( y x y x 03.025.02.01.0)2(-+
5、如果分式1
12--x x 的值为0，求x 的值。
6、先化简，再求值；222693b ab a ab a +-- ，其中 2
1,8=-=b a 。
7、已知
.411=-b a ，求ab b a b ab a 7222+---的值．
8、已知分式9
1862-+-
a a 的值是正整数，求整数a 的值。
9、已知31=+x
x ，求1242++x x x 的值。
10、已知
0543≠==c b a ，求分式c b a c b a ++-+323的值。
11、先将分式
12662+--x x x 化简，再讨论x 取什么整数时，能使分式的值是正整数。
12、已知31=+
x x ，求分式221x x +的值，能求出331x x +，441x x +的值吗？
13、已知0152=+-x x ，求221x
x +
的值。
14、已知51=+a
a ，求2241a a a ++的值。
15、已知o z y x z y x =-+=--82,043，求xz
yz xy z y x 22
22++++的值。
16、已知
互不相等），c b a a
c z c b y b a x ,,(-=-=-，求z y x ++的值。
17、已知5
1,41,31,,=+=+=+c a ac c b bc b a ab c b a 为实数，且，那么的值是多少？ca
bc ab abc ++
23. 解方程：
2)
10)(9(1)3)(2(1)2)(1(1101=++++++++++x x x x x x x …
24、（12分）已知不等式组 111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩
（１）当k=0.5时，其解集为________________________________；
（2）当k=3时，其解集为________________________；
（3）当k= —2时，其解集__________________________；
（4）由上可知，不等式组的解集随k 值的变化而变化．请仔细思考后，写出当k 为任意实
数时的不等式组的解集．
25、某工厂计划为灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题。
已知一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m2，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m2，工厂现有库存木料302 m2。
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往灾区，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用（总费用＝生产成本+运费）。
（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说理由。