数学建模之稳定性模型详解共48页
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数学建模-稳定性问题
一般的微分方程或微分方程组可以写成：
dx f (t , x ) dt
定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点 Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。
dx f ( x) dt
（3.28）
例 Logistic模型
考察（3.2Байду номын сангаас）的线性近似方程组: 其中：
dx1 ax1 bx2 dt dx2 cx dx 1 2 dt
' d gx (0,0) 2
（3.30）
' a f x'1 (0,0) b f x'2 (0,0) c gx (0,0) 1
a b 讨论特征值与零点稳定的关系 记 A λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程： c d >0，可能出现以下情形： （1 ）若△ det（A-λI）=λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 ① 若q>0，λ1λ2>0。 1 2 2 当 p >0 时，零点不稳定； ( p p 4 q ) p 4q。 1,2 令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 2 当p<0时，零点稳定 ② 若q<0，λ 1λ2<0 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点 ③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。
解析方法 定理1 设xo是微分方程
dx 的平衡点： f ( x) dt
若 f ' (xo ) ,则 xo是渐近稳定的 0
0 若 f '( xo ),则 xo是渐近不稳定的
dx f (t , x ) dt
定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点 Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。
dx f ( x) dt
（3.28）
例 Logistic模型
考察（3.2Байду номын сангаас）的线性近似方程组: 其中：
dx1 ax1 bx2 dt dx2 cx dx 1 2 dt
' d gx (0,0) 2
（3.30）
' a f x'1 (0,0) b f x'2 (0,0) c gx (0,0) 1
a b 讨论特征值与零点稳定的关系 记 A λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程： c d >0，可能出现以下情形： （1 ）若△ det（A-λI）=λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 ① 若q>0，λ1λ2>0。 1 2 2 当 p >0 时，零点不稳定； ( p p 4 q ) p 4q。 1,2 令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 2 当p<0时，零点稳定 ② 若q<0，λ 1λ2<0 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点 ③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。
解析方法 定理1 设xo是微分方程
dx 的平衡点： f ( x) dt
若 f ' (xo ) ,则 xo是渐近稳定的 0
0 若 f '( xo ),则 xo是渐近不稳定的
数学建模-稳定性模型
x (t ) F ( x) rx(1 ) Ex x N E F ( x) 0 x0 N (1 ), x1 0 r 平衡点
产量模型
稳定性判断
F ( x0 ) E r, F ( x1 ) r E
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
捕鱼业的持续收获
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
产量模型 假设
稳定平衡点 x0 N (1 E / r )
捕捞 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 过度 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
令 E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE =0 r
ER
r c (1 ) 2 pN
c Es r (1 ) pN
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量
c Es xs N (1 ) p r
S(E)
p , c
Es , xs
0
ER E*
T(E) Es r E
捕捞过度
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE r r c r E ( 1 ) E* 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x N (1 E R ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
数学建模-稳定性问题
例 5.4.5 讨论非线性方程组 的零解的稳定性。
dx 2 2 x 3 y x z dt dy 2 2 x y y x dt dz 2 2 x 3 z z y dt
(5.4.33)
解
原方程组在原点处 的线性近似方程组 的系数矩阵为
稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统 与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在 研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量， 但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯 救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要 用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下面，我们将研 究几个与稳定性有关的问题。
1 34 0, 21
0 3 986 0 29
故(5.4.29)的根均具有负实部，因此方程组(5.4.28) 的零解是渐近稳定的。
下面考虑非线性微分方程组
dx Ax F x dt
(5.4.31)
其中 A, x 定义同 (5.4.27) ，
f 1 x1, x 2, , xn F x fn x1, x 2, , xn
特征方程为
21 29 0
3 2
特征方程的不容易求得，无法判断其正负
Routh-Hurwitz 判据 定理5.3 对一元 n 次常系数代数方程 a0 n a1 n1 a2 n2 an 1 an 0 (5.4.30) 其中 a 0 0 ，做行列式
f x1 (0, 0) x1 f x2 (0, 0) x2 o( x1 x2 ) dt dx2 g ' (0, 0) x g ' (0, 0) x o( x 2 x 2 ) x1 1 x2 2 1 2 dt
稳定性模型
有下述结论：
（i） λ1 < λ2 < 0 ， O 是稳定结点； （ii） λ1 = λ2 < 0 ， O 是稳定退化结点； （iii） λ1 > λ2 > 0 ， O 是不稳定结点； （iv） λ1 = λ2 > 0 ， O 是不稳定退化结点； （v） λ1 < 0 < λ2 ， O 是不稳定鞍点； （vi） λ1,2 = α ± βi,α < 0 ， O 是稳定焦点；
⎧ dx(t )
⎪⎪ ⎨ ⎪
dt dy(t)
⎪⎩ dt
= =
ax cx
+ +
by dy
（3）
当 ad − bc = 0 时，有一个连续的奇点的集合。当 ad − bc ≠ 0 时， (0,0) 是这个系统的
1
定理 1 设 F ( x) 是实解析函数，且 x0 系统（2）的奇点。若 F ( x) 在点 x0 处的 Jacobian
（2）当 E > r 时， x&(t) < 0 ，渔场鱼量将逐渐减少至 x1 = 0 ，这时的捕捞其实是
“竭泽而渔”，当然谈不上获得持续产量了。
如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为我们提供最大的收益？从数学上说，就
是在 x&(t) = 0 或 rx(t)(1− x(t) ) = Ex(t) 的条件下极大化所期望的“收益”，这里的“收 N
x&(t) = − x( x − x2 )
（8）
易知，当 0 < x < x2 时， x&(t) > 0 ； x > x2 时， x&(t) < 0 ，即平衡解 x1 是不稳定的，而
x2 是稳定平衡解。即在捕捞强度 E < r 的情况下，渔场鱼量将稳定在 x2 的水平，因此
（i） λ1 < λ2 < 0 ， O 是稳定结点； （ii） λ1 = λ2 < 0 ， O 是稳定退化结点； （iii） λ1 > λ2 > 0 ， O 是不稳定结点； （iv） λ1 = λ2 > 0 ， O 是不稳定退化结点； （v） λ1 < 0 < λ2 ， O 是不稳定鞍点； （vi） λ1,2 = α ± βi,α < 0 ， O 是稳定焦点；
⎧ dx(t )
⎪⎪ ⎨ ⎪
dt dy(t)
⎪⎩ dt
= =
ax cx
+ +
by dy
（3）
当 ad − bc = 0 时，有一个连续的奇点的集合。当 ad − bc ≠ 0 时， (0,0) 是这个系统的
1
定理 1 设 F ( x) 是实解析函数，且 x0 系统（2）的奇点。若 F ( x) 在点 x0 处的 Jacobian
（2）当 E > r 时， x&(t) < 0 ，渔场鱼量将逐渐减少至 x1 = 0 ，这时的捕捞其实是
“竭泽而渔”，当然谈不上获得持续产量了。
如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为我们提供最大的收益？从数学上说，就
是在 x&(t) = 0 或 rx(t)(1− x(t) ) = Ex(t) 的条件下极大化所期望的“收益”，这里的“收 N
x&(t) = − x( x − x2 )
（8）
易知，当 0 < x < x2 时， x&(t) > 0 ； x > x2 时， x&(t) < 0 ，即平衡解 x1 是不稳定的，而
x2 是稳定平衡解。即在捕捞强度 E < r 的情况下，渔场鱼量将稳定在 x2 的水平，因此
数学建模4-稳定性模型
稳定性模型
一、微分方程和差分方程的稳定性理论简介
详见《数学模型》7.7节（Page242-Page247），包括一阶微分方程、二阶微分方程和差分方程的平衡点及稳定性，关键记住结论。
二、捕鱼业的持续收获模型
1.渔场鱼量（x）满足的方程：r固有增长率，E单位时间捕捞率（捕捞强度）。
2.根据F（x）=0，当E＜r时有平衡点。
进一步根据图解法（作f（x）=rx（1-x/N）
和h（x）=Ex的图像，求交点）可得最大产量模型：
3．最大效益模型：R单位时间利润，p鱼的销售单价，c单位捕捞率费用
4．捕捞过度模型：令R（E）=0，得E S=r（1-c/pN），为盲目捕捞下的临界强度。
图解法可得，E S存在的必要条件是p>c/N。
三、食饵-捕食者模型
（也首先求微分方程的数值解，然后研究其平衡点和相轨线，得到平衡点为P（，）可以求x（t）和y（t）在一个周期内的平均值）。
得到模型解释如下：
四、差分形式的阻滞增长模型
1．阻滞增长模型的差分形式：（r最大增长率，N最大容量）
2．平衡点及其稳定性
解代数方程x=f（x）=bx（1-x），得非零平衡点x*=1-1/b。
根据|f（x*）|＜1，得1＜b＜3。
图解法：
3．倍周期收敛。
第六章稳定性模型
p 0, q 0
不稳定退化 不稳定 结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 稳定 不稳定 不稳定
1， 2 i, 0 1， 2 i, 0 1， 2 i, 0
以上是对线性方程的平衡点（0，0）稳定性 的结论，对于一般的非线性方程（5），可以用 0 0 近似线性方法判断其平衡点 P 0 ( x1 , x2 ) 的稳定性 。 在该点将方程右端作Taylor展开，得近似线性方 程
* E* hm / x0 r/2
y
y=rx y=E*x
P*
h
y=h(x)=Ex
y=f(x)
N
P
0
x0*=N/2
x0
x
效益模型
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效 益最大。 假设 1、 鱼销售价格p； 收入 T = ph(x) = pEx 2、单位捕捞强度费用c； 支出 S = cE 单位时间利润（效益模型）
系数矩阵记作
f x1 A g x1
f x2 g x2 p0 ( x10 , x20 )
特征方程系数为
p ( f x1 g x2 ) p ( x0 , x0 ) , q det A
0 1 2
结论：若方程（10）的特征根不为零或实 部不为零，则P0点对于方程（5）的稳定性与对 于方程（10）的稳定性相同。由p ，q决定
dx / dt x ky g dy / dt lx y h
, 表示本方经济实力的制约；
k, l 表示对方军备数量的刺激； g, h 表示本方军备竞赛的潜力。 3、若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某 0, y 0 ，也会重整 时x(t), y(t)很小，但因 x 军备。
不稳定退化 不稳定 结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 稳定 不稳定 不稳定
1， 2 i, 0 1， 2 i, 0 1， 2 i, 0
以上是对线性方程的平衡点（0，0）稳定性 的结论，对于一般的非线性方程（5），可以用 0 0 近似线性方法判断其平衡点 P 0 ( x1 , x2 ) 的稳定性 。 在该点将方程右端作Taylor展开，得近似线性方 程
* E* hm / x0 r/2
y
y=rx y=E*x
P*
h
y=h(x)=Ex
y=f(x)
N
P
0
x0*=N/2
x0
x
效益模型
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效 益最大。 假设 1、 鱼销售价格p； 收入 T = ph(x) = pEx 2、单位捕捞强度费用c； 支出 S = cE 单位时间利润（效益模型）
系数矩阵记作
f x1 A g x1
f x2 g x2 p0 ( x10 , x20 )
特征方程系数为
p ( f x1 g x2 ) p ( x0 , x0 ) , q det A
0 1 2
结论：若方程（10）的特征根不为零或实 部不为零，则P0点对于方程（5）的稳定性与对 于方程（10）的稳定性相同。由p ，q决定
dx / dt x ky g dy / dt lx y h
, 表示本方经济实力的制约；
k, l 表示对方军备数量的刺激； g, h 表示本方军备竞赛的潜力。 3、若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某 0, y 0 ，也会重整 时x(t), y(t)很小，但因 x 军备。
《稳定性模型》课件
根据扰动类型
分为线性稳定性和非线性稳定性。线 性稳定性主要关注线性系统的稳定性 ，而非线性稳定性则关注非线性系统 的稳定性。
02
CATALOGUE
线性稳定性模型
线性稳定性模型的原理
01
线性稳定性模型是一种数学模型，用于描述系统的 动态行为和稳定性。
02
它基于线性微分方程或差分方程，通过分析系统的 平衡点和稳定性来预测系统的长期行为。
稳定性模型的重要性
预测系统行为
通过稳定性模型，可以预测系统在受到扰动后的行为 ，从而提前采取措施进行控制。
系统优化
通过调整系统参数，提高系统的稳定性，优化系统的 性能。
安全保障
稳定性模型有助于确保系统的安全运行，预防系统崩 溃或失控。
稳定性模型的分类
根据时间尺度
分为长期稳定性和短期稳定性。长期 稳定性关注系统在长时间内的行为， 而短期稳定性关注系统在短时间内的 行为。
THANKS
感谢观看
动态稳定性模型的应用实例
气候模型的稳定性分析
动态稳定性模型可以用于分析气候系统的稳 定性和动态行为，预测气候变化和极端气候 事件。
经济模型的稳定性分析
在经济模型中，动态稳定性模型可以用于分析经济 系统的稳定性和周期性波动，预测经济趋势和政策 效果。
社会动态模型的稳定性分 析
在社会动态模型中，动态稳定性模型可以用 于分析社会系统的稳定性和动态行为，研究 社会现象和演化过程。
非线性稳定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型的应用实例
1 2 3
机械系统中的振动分析
非线性稳定性模型可以用于分析机械系统的振动 行为，研究系统的共振和稳定性，优化机械设计 。
化学反应动力学模型
在化学反应动力学中，非线性稳定性模型可以用 于研究化学反应的动态行为和稳定性，预测化学 反应的产物和反应速率。
分为线性稳定性和非线性稳定性。线 性稳定性主要关注线性系统的稳定性 ，而非线性稳定性则关注非线性系统 的稳定性。
02
CATALOGUE
线性稳定性模型
线性稳定性模型的原理
01
线性稳定性模型是一种数学模型，用于描述系统的 动态行为和稳定性。
02
它基于线性微分方程或差分方程，通过分析系统的 平衡点和稳定性来预测系统的长期行为。
稳定性模型的重要性
预测系统行为
通过稳定性模型，可以预测系统在受到扰动后的行为 ，从而提前采取措施进行控制。
系统优化
通过调整系统参数，提高系统的稳定性，优化系统的 性能。
安全保障
稳定性模型有助于确保系统的安全运行，预防系统崩 溃或失控。
稳定性模型的分类
根据时间尺度
分为长期稳定性和短期稳定性。长期 稳定性关注系统在长时间内的行为， 而短期稳定性关注系统在短时间内的 行为。
THANKS
感谢观看
动态稳定性模型的应用实例
气候模型的稳定性分析
动态稳定性模型可以用于分析气候系统的稳 定性和动态行为，预测气候变化和极端气候 事件。
经济模型的稳定性分析
在经济模型中，动态稳定性模型可以用于分析经济 系统的稳定性和周期性波动，预测经济趋势和政策 效果。
社会动态模型的稳定性分 析
在社会动态模型中，动态稳定性模型可以用 于分析社会系统的稳定性和动态行为，研究 社会现象和演化过程。
非线性稳定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型的应用实例
1 2 3
机械系统中的振动分析
非线性稳定性模型可以用于分析机械系统的振动 行为，研究系统的共振和稳定性，优化机械设计 。
化学反应动力学模型
在化学反应动力学中，非线性稳定性模型可以用 于研究化学反应的动态行为和稳定性，预测化学 反应的产物和反应速率。
数学建模之稳定性模型详解
f
(x1, x2)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
0
g(x1,
x 2
)
r 2
x 2
12
x1 N1
x2 N2
0
平衡 P 1(N 点 1,0 )P ,2 ： (0 ,N 2),
P 3 N 11 (1 1 2 1),N 12 (1 1 2 2) ,P 4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
(相对于N1) 的 1 倍。
1
1
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强
模型
模型 分析
x1(t)r1x11N x11 1 N x22
x2(t)r2x212
N x11 N x22
t 时 x1(t),x2(t)的趋 (平向 衡点及其稳定性)
(二阶)非线性
x (t) f (x ,x )
1
1 2 的平衡点及其稳定性
产量模型 x (t)F(x)r(x 1x)Ex N
F(x)0
x N(1E),x0
平衡点
0
r1
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0稳定,x1不稳定
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0不稳,定 x1稳定
3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)
很小，但因 x0,y0，也会重整军备。
4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0，
也会因 xkyg 使该方重整军备，
即存在互不信任( k0) 或固有争端( g 0 ) 的单方面
数学建模,姜启源第六章 稳定性模型
都有
lim x(t ) x0 , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 t
x F ( x0 )(x x0 ) (2)
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
p ( ) 0 q det A kl
平衡点(x0, y0)稳定的条件
p 0, q 0
kl
模型的定性解释
kh g l g h , y0 平衡点 x0 kl kl 双方军备稳定(时间充分 , ~ 本方经济实力的制约；
x x(t ) F ( x) rx(1 ) Ex N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x xx 0 x x0
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
捕捞 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 过度 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
令 E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE =0 r
ER
r c (1 ) 2 pN
c Es r (1 ) pN
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力。
进一步 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数 假设
建模
x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
数学建模稳定状态模型
-167-第十四章 稳定状态模型虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。
譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。
为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
§1 微分方程稳定性理论简介定义1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==)(),(),(1t f t x f t x F dt dx N （1） 中的)(),(x F t x F =，即在F 中不含时间变量t 。
事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定义⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1),()(t x F y G 且引入另一个变量s ，则方程（1）与下述方程)(y G dsdy = 是等价的。
这就是说自治系统的概念是相对的。
下面仅考虑自治系统，这样的系统也称为动力系统。
定义2 系统)(x F dtdx = （2） 的相空间是以),,(1n x x 为坐标的空间n R ，特别，当2=n 时，称相空间为相平面。
空间nR 中的点集},,1,)2()(|),,{(1n i t x x x x i i n ==满足称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。
定义3 相空间中满足0)(0=x F 的点0x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。
奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。
例如，系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dtt dy by ax dt t dx )()( （3）当0=-bc ad 时，有一个连续的奇点的集合。
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31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
数学建模之稳定性模型 详解
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思