直角坐标系中的关系
平面直角坐标系中特殊点的横、纵坐标关系
平面直角坐标系（课堂实录）————找准你的位置师：同学们，在日常生活中，我们经常要确定物体所在的位置，也经常要确定并准确表示我们自己所处的位置。
今天，就让我们一起来学习这方面的知识。
师：现在先让我们一起来看一幅地图。
（展示地图）这是成都市部分中学的简要地图。
我们此时正位于青羊区教培中心。
大家都知道，成都市的街道纵横交错，犹如一块块方格。
图中每块方格的边长代表一公里。
今天啊，从外地有一批老师到了我们成都的中心——天府广场，他们准备兵分两路。
其中一部分老师想到教培中心来进行交流和学习，他们现在不知道怎样到这儿来，你通过这张简要地图，你会怎样告诉他？（学生答：他可以向北走两公里就到了）那么，我们能不能用数字来表示这一点呢？如果能，我们怎样做？（学生答：我们可以过天府广场和青羊区教培中心画一条直线，取向上的方向为正方向，一公里为单位长度构建数轴，这时候青羊区教培中心就可以用2来表示）另一部分老师想到我们学校——青羊实验中学去参观访问，我们又如何告诉他们该怎样走呢？（学生答：向北走3公里，向东走1公里）但我们学校现在并不在这条数轴上，要表示青羊实验中学的位置，一条数轴还够不够？（学生答：不够）那么我们需要再建立一条数轴来表示我们学校的位置。
你怎样建立？但是，这时两条数轴，就有了两个原点，我们能否将原点重叠在一起呢？（学生答：可以。
演示课件）好！像这样有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成了确定平面上一点位置的参照系。
我们把这种参照系称为笛卡尔平面直角坐标系，简称为平面直角坐标系。
（板书标题：平面直角坐标系）师：平面直角坐标系是法国著名的数学家、物理学家、哲学家笛卡尔发明的。
我们先来看看有关他的资料（展示图片）。
传说中，笛卡尔发明平面直角坐标系是看到蜘蛛结网而得来的灵感，也有人说他是从渔夫结网当中受到了启发。
事实的真相究竟如何，至今已难于考证。
但是，我们知道笛卡尔是一位勤于思考的人，他的一生都在思考当中渡过。
平面直角坐标系中的点与坐标关系
平面直角坐标系中的点与坐标关系在平面直角坐标系中，我们可以用一对有序数对来表示一个点的位置。
这对有序数对就是坐标。
平面直角坐标系由横坐标轴（x轴）和纵坐标轴（y轴）组成，它们相互垂直于彼此，并在原点O交汇。
1. 坐标表示坐标表示是指用一对有序数对来表示一个点的位置。
例如，点A位于x轴上，它的坐标为(A, 0)，其中A是点的横坐标。
点B位于y轴上，它的坐标为(0,B)，其中B是点的纵坐标。
而对于其他点C，它的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx表示点C的横坐标，Cy表示点C的纵坐标。
2. 坐标系的象限平面直角坐标系被分为四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限是位于x轴和y轴的右上方，第二象限是位于x轴的左上方，第三象限是位于x轴和y轴的左下方，而第四象限是位于x轴的右下方。
根据象限划分，点的坐标可以判别出它们所在的象限。
3. 点与线的位置关系对于一个平面直角坐标系中的点P(x, y)，我们可以通过比较其坐标与坐标轴上的值来确定它与坐标轴、坐标系中的线的位置关系。
- P点在x轴上当且仅当y=0；- P点在y轴上当且仅当x=0；- P点在x轴的上方当且仅当y>0；- P点在y轴的右侧当且仅当x>0；- P点在第一象限当且仅当x>0且y>0；- P点在第二象限当且仅当x<0且y>0；- P点在第三象限当且仅当x<0且y<0；- P点在第四象限当且仅当x>0且y<0。
4. 点到原点的距离在平面直角坐标系中，点P(x, y)到原点O的距离可以通过勾股定理来计算。
距离的公式为：d=√(x²+y²)。
5. 点的对称性在平面直角坐标系中，点P(x, y)的关于x轴的对称点为P'(x, -y)，关于y轴的对称点为P'(-x, y)，关于原点O的对称点为P'(-x, -y)。
利用对称性可以简化一些计算和问题的解决。
平面直角坐标系中特殊点的横、纵坐标关系
y
4
A3
A
1
2
C 1 B1
C1
2.写出△ABC与△A1B1C1各点
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
的坐标，它们有怎样的变化？
-1
A(-1,3) B(-4,2) C(-2,1)
-2 -3
A1(4,3) B1(1,2) C1(3,1)
平移后对应点的横坐标增加了5，纵坐标不变；
-2 -3
B2
可以通过将原来的图
形作一次平移得到。
A
1
C1 23 4 x
A2
C2
例2：线段A1B1是由线段AB平移得到的点A(-1，4)的对应点
为A1(4，7)，则点B(-A4(,--11，)的4)对应点B1的坐标为___(_1_，__2_).
＋5 ＋3
A1(4 ,7） 变式1：线段A1B1是由线段AB向左平移2个单位长度，向上 平移4个单位长度得到的，则点A(-1，4)平移后的对应点 A1的坐标为__(_-_3_,_8_)_. 变式2：一条线段上其中一点P在平移的过程中，坐标变化 为P(x,y)→ P1 (x+2,y-5),则该线段的平移情况为 _向__右__平__移__2_个__单__位__长__度__，__向__下__平__移__5_个__单__位__长__度____ .
练习：如图,在平面直角坐标系中,P(a,b)是△ABC的边AC上一
点,△ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6,b＋2)．
(1)请写出点A、B、C、A1、B1、C1的坐标， y 并画出平移后的△A1B1C1；
A1
解：(1)各点的坐标分别为 A(－3,2)、B(-5,1)、C(-2,0)
坐标系及其关系描述
图2-7 空间点P在直角坐标系中的坐标
2．空间向量的表示
有向线段可以由起始和终止的坐标来表示。如果一个向量起始于点 A，终止于点 B， 则 Ax ， Ay 和 Az 是点 A 在直角坐标系中的三个坐标分量， Bx ， By 和 Bz 是点 B 在直角坐 标系中的三个坐标分量，则该向量可以表示为
从正 Z 轴来看，自 X 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角，这里 M 为点 P 在 XOY 面上的
投影。我们称 r， ， 这三个数为点 P 的球面坐标。
图2-4 球面坐标系
4．其他形式的坐标系 1）参考坐标系
参考坐标系的位置和方向不随工业机器人各关节的运动而变化，对机器人其他坐标系 起参考定位的作用，通常采用三维空间中的固定坐标系 O-XYZ 来描述，如图 2-5 所示。
图2-1 直角坐标系
图2-2 右手坐标系
2．柱面坐标系 如图 2-3 所示，设 M (x ，y ，z) 为空间内一点，并设点 M 在 XOY 面上的投影 P 的极
坐标为 (r ， ) ，则 r， ，z 这三个数便称为点 M 的柱面坐标。
图2-3 柱面坐标系
3．球面坐标系 如图 2-4 所示，假设 P (x ，y ，z) 为空间内一点，则点 P 也可用三个有次序的数 (r ， ，) 来确定。其中，r 为原点 O 与点 P 间的距离； 为有向线段 OP 与 Z 轴正向的夹角； 为
Omz
则矩阵 M 可简化为
A M
OmO
0 1
也就是说，方向余弦阵 A 表示两坐标系的姿态关系，位置向量 OmO 表示 运动坐标系{m} 的原点 Om 在固定坐标系{O} 中的位置。
空间直角坐标系线面平行公式
空间直角坐标系线面平行公式在空间直角坐标系中，线与面的平行关系是一个重要的几何问题。
它涉及到线段和平面的数学关系，对于解决实际问题和进行几何证明都具有重要意义。
在本文中，我将介绍空间直角坐标系中线与面平行的公式及其推导过程。
一、线与平面的平行定义在三维空间中，一条直线与一个平面平行，是指这条直线与该平面内的任意一条直线平行。
直观上，可以理解为直线沿着平面上的一个方向延伸，而不会与平面相交。
二、平行线面的判定方法要判断一条直线与一个平面是否平行，可以通过以下方法进行判定：1. 利用方向向量判断设直线的方向向量为a，平面的法向量为n。
如果向量a与向量n之间的点积为零，则可以判定直线与平面平行。
2. 利用直线上一点到平面的距离判断选择直线上的一个点作为坐标原点，设该点到平面的距离为 d。
如果平面上的任意一点到原点的矢径与法向量之间的夹角都相等，则可以判定直线与平面平行。
三、线面平行的公式推导在空间直角坐标系中，设直线上一点为A(x₁, y₁, z₁)，直线的方向向量为l（l₁, l₂, l₃），平面的法向量为n（n₁, n₂, n₃），平面上一点为 P(x, y, z)。
根据点积的定义，直线的方向向量与法向量之间的点积为：l ·n= l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃对于直线上的一点A(x₁, y₁, z₁) 和平面上的一点 P(x, y, z)，设 AP 的位置向量为r（x - x₁, y - y₁, z - z₁）。
根据判定方法中的向量点积为零的条件，我们可以得出以下平行公式：(l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃) * (x - x₁) + (l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃) * (y - y₁) + (l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃) * (z - z₁) = 0以上就是线与平面平行的公式推导过程。
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
泽尼克多项式直角坐标系
泽尼克多项式直角坐标系泽尼克多项式是数学中的一种重要多项式，它在许多领域中都有广泛的应用，包括代数、组合数学和数论等。
本文将为您介绍泽尼克多项式的基本概念和性质，并探讨其与直角坐标系之间的关系。
1. 什么是泽尼克多项式泽尼克多项式，又称伦勃木泽尼克多项式或简写为泽尼克多项式，是一类与二项式系数有关的多项式。
它的定义是通过递归关系式来确定的，具体表达式如下：Z_n(x, y) = 2xyZ_{n-1}(x, y) + x^2Z_{n-2}(x, y)其中Z_0(x, y) = 1和Z_1(x, y) = 2xy。
2. 泽尼克多项式的性质泽尼克多项式具有许多有趣的性质，下面列举其中几个重要的性质：2.1 对称性：泽尼克多项式满足对称性，即Z_n(x, y) = Z_n(y, x)。
这个性质使得我们能够在不同的变量取值下求解泽尼克多项式。
2.2 正交性：泽尼克多项式在区间[-1, 1]上有正交性。
具体来说，对于不同的自然数i和j，有以下正交性关系成立：∫ Z_i(x, y)Z_j(x, y)dxdy = 0 (i ≠ j)其中积分区间是[-1, 1]。
2.3 递推关系：泽尼克多项式的递推关系对于求解问题非常有用。
通过递推关系，我们可以方便地计算出任意阶数的泽尼克多项式。
3. 泽尼克多项式与直角坐标系的关系泽尼克多项式与直角坐标系有密切的关系。
我们可以用泽尼克多项式来表示直角坐标系中的点。
具体来说，在直角坐标系中，每个点可以表示为(x, y)，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上的坐标。
这时，我们可以使用泽尼克多项式来描述点的位置。
另外，泽尼克多项式在计算机图形学中有广泛的应用。
在计算机绘图中，使用泽尼克多项式可以方便地描述和绘制曲线和曲面。
通过调整泽尼克多项式的参数，我们可以实现对曲线和曲面的灵活控制，达到更好的绘图效果。
泽尼克多项式在组合数学和数论中也有重要应用。
它们与二项式系数有密切的联系，可以用来解决组合数学中的一些计数问题和数论中的一些等式证明问题。
平面直角坐标系中的几何关系
平面直角坐标系中的几何关系在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置和相对关系来描述几何图形的性质和几何关系。
本文将从不同角度探讨平面直角坐标系中常见的几何关系，包括点、直线、线段、圆以及它们之间的关系。
1. 点的坐标表示与位置关系在平面直角坐标系中，点是最基本的几何要素。
每个点都可以通过两个坐标值(x, y)来唯一确定其在坐标系中的位置。
在坐标系中，点的位置可以通过其坐标值的大小和正负来进行判断。
例如，点P(x, y)在第一象限，当且仅当x>0且y>0；点Q(x, y)在x轴上，当且仅当y=0。
点的位置关系可以通过坐标的大小关系来判断，例如两个点的x坐标相等，但y坐标不等，则它们在平行于y轴的直线上。
2. 直线的方程与性质直线在平面直角坐标系中可以通过其方程来表示。
直线的方程可以有不同的形式，如斜截式、点斜式、两点式等。
其中，斜截式方程y = kx + b表示了直线的斜率k和与y轴的截距b之间的关系。
点斜式方程y - y1 = k(x - x1)通过给定的点和斜率来确定直线。
两点式方程(x -x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)通过直线经过的两个点来确定。
在平面直角坐标系中，我们可以通过直线的方程来判断其斜率的正负以及与坐标轴的交点等性质。
3. 线段的长度和中点坐标线段是连接两个点的线段部分，其长度可以通过两点间的距离公式来计算。
设线段的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
线段的中点坐标可以通过两点坐标的平均值来计算。
设线段的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB 的中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段的长度和中点坐标可以帮助我们更好地理解和描述平面中的几何关系。
4. 圆的方程与性质圆是平面上一组等距离于某一点的点的集合，该点称为圆心，等距离称为半径。
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知识点三 点到直线距离
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求点P(2，－3)到直线y=2x-1的距离
知识点四 平行线之间距离
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2020
THANKS
汇报人：
l1的斜率不存在，l2的斜率 为0⇒l1⊥l2
已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)． (1)若l1∥l2，求a的值； (2)若l1⊥l2，求a的值．
知识点二 两点间的距离
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝
中考数学
直角坐标系中各种关系
授课老师：孙老师
知识点一 直线的斜率
知识点一 直线的斜率两条直线(不重合)平源自的判定类型斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
图示
α1＝α2＝90° l1∥l2⇐两直线的斜率都不存在
两条直线垂直的判定 图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－ 1
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的 平方和的算术平方根．
特别提醒：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝
.
例 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积．
例．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(
) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
例．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)， C(2,3)，则BC边上的中线长为_____．