在直角坐标系中表示角
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
直角坐标系转化为球坐标系矢量
直角坐标系转化为球坐标系矢量直角坐标系和球坐标系是两种常用的坐标系，它们分别适用于不同的几何问题。
在某些情况下，我们需要将直角坐标系中的矢量转化为球坐标系下的表示，以便于进行分析和计算。
本文将介绍直角坐标系向球坐标系的转换方法。
1. 直角坐标系和球坐标系的定义直角坐标系是三维空间中最常见的坐标系，其中一个点的位置可以由三个坐标值表示，分别表示在x轴、y轴和z轴上的投影距离。
球坐标系则以原点为起点，通过径向距离、方位角和极角来描述一个点的位置。
径向距离表示点到原点的距离，方位角表示点在x-y平面上的角度（通常用弧度表示），而极角表示点与z轴的夹角（同样以弧度表示）。
2. 直角坐标系到球坐标系的转换方法要将直角坐标系下的矢量转换为球坐标系下的表示，我们需要通过一些数学公式进行计算。
假设我们有一个直角坐标系下的矢量V(x, y, z)，我们希望将其表示为球坐标系下的矢量V(r, θ, φ)。
下面是具体的转换方法：2.1 求解径向距离（r）径向距离表示点到原点的距离，可以通过以下公式计算：r = √(x^2 + y^2 + z^2)其中 x, y, z 分别表示直角坐标系下的矢量的三个分量。
2.2 求解方位角（θ）方位角表示点在x-y平面上的角度，可以通过以下公式计算：θ = arctan(y / x)其中 arctan 是反正切函数。
注意，在计算方位角时需要考虑特殊情况。
当 x = 0 时，方位角θ 为π/2 或3π/2，取决于 y 的正负。
当 x = 0 且 y = 0 时，方位角θ 可以取任意值。
2.3 求解极角（φ）极角表示点与z轴的夹角，可以通过以下公式计算：φ = arccos(z / r)其中 arccos 是反余弦函数。
2.4 得到球坐标系下的矢量（r, θ, φ）通过以上计算得到径向距离 r、方位角θ 和极角φ，我们就可以表示直角坐标系下的矢量 V(x, y, z) 为球坐标系下的矢量V(r, θ, φ)。
空间向量的坐标表示与几何应用
空间向量的坐标表示与几何应用在三维空间中，空间向量是研究物体运动和位置的重要工具。
为了准确地描述和计算空间向量，我们需要用坐标来表示它们。
本文将详细介绍空间向量的坐标表示方法，并探讨其在几何应用中的重要性。
一、坐标表示方法1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的表示空间向量的方法。
在直角坐标系中，我们以三个相互垂直的坐标轴为基准，分别表示x、y、z三个方向。
一个空间向量可以通过三个坐标值(x,y,z)来表示，分别表示它在x轴、y 轴和z轴上的投影长度。
例如，对于一个空间向量v，在直角坐标系中，我们可以表示为v=(x,y,z)。
2. 球坐标系球坐标系是另一种表示空间向量的方法，它是通过一个原点、一个偏离原点的距离、一个与z轴的夹角和一个与x轴的投影角来确定一个空间向量的位置。
在球坐标系中，一个空间向量的坐标通常表示为(r,θ,φ)，其中r表示向量到原点的距离，θ表示向量与z轴的夹角，φ表示向量在x-y平面上的投影与x轴的夹角。
二、坐标表示的几何应用1. 向量的加法与减法通过坐标表示，我们可以方便地对空间向量进行加法与减法运算。
只需将对应坐标相加或相减即可得到结果。
例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的和可以表示为v+w=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
2. 向量的数量积与夹角坐标表示还可以用于计算向量的数量积和夹角。
向量的数量积可以通过坐标之间的乘积运算得到。
例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为v·w=x1x2+y1y2+z1z2。
夹角可以通过向量的数量积公式求解：cosθ = (v·w) / (|v| |w|)其中，|v|和|w|分别表示向量v和w的模长。
3. 点与直线的相对位置通过点和直线的坐标表示，我们可以判断一个点与直线的相对位置关系。
以直线的方程和点的坐标为基础，我们可以计算点到直线的距离，从而判断点在直线上方、下方还是与直线相交。
点的坐标的知识点总结
点的坐标的知识点总结一、概念点是几何中最基本的元素之一，它是没有大小和形状的，只有位置的概念。
在平面几何中，一个点的位置可以由其和参考坐标系中的两个坐标值来确定。
这两个坐标值分别叫做横坐标和纵坐标，通常用小括号分别括起来，中间用逗号隔开表示。
例如，点A的坐标为（x,y）。
其中，x是横坐标，y是纵坐标。
横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
二、表示方法在平面直角坐标系中，点的位置是由两个坐标值确定的。
横坐标和纵坐标的取值范围可以是实数，也可以是整数，具体取决于所使用的坐标系和具体问题的要求。
通常，我们可以使用平面直角坐标系、极坐标系和球面坐标系来表示点的位置。
1、平面直角坐标系：平面直角坐标系是最常用的表示点的坐标的方法之一。
在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，起始于原点O，并且正方向分别被定义为正的方向。
点的坐标表示为（x,y），其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。
2、极坐标系：极坐标系是另一种表示点的坐标的方法。
在极坐标系中，点的位置不是由横纵坐标确定，而是由极径和极角确定。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点在极轴上的极角。
点的坐标表示为（r,θ），其中r是点到原点的距离，θ是点在极轴上的极角。
3、球面坐标系：球面坐标系用来描述三维空间中点的位置。
在球面坐标系中，点的坐标表示为（r,θ,φ），其中r是点到原点的距离，θ是点在xz平面上的极角，φ是点与z轴的夹角。
球面坐标系能够描述点在球面上的位置，适用于球面上的问题。
三、坐标系坐标系是用来描述点的位置的基础工具之一。
在平面几何中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和其他特殊的坐标系。
每种坐标系都有其独特的特点和适用范围。
1、直角坐标系：直角坐标系是最基本，也是最常用的坐标系。
在直角坐标系中，点的位置是由横坐标和纵坐标表示的。
横坐标和纵坐标的取值范围都是实数。
直角坐标系可以用于描述平面上的点的位置，以及平面上的图形和问题。
平面直角坐标系平面直角坐标系
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能 不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度 上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线 性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条 件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和 一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最 大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用 等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何 、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于 描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。
(完整版)平面直角坐标系知识点总结
平面直角坐标系二、知识要点梳理知识点一：有序数对比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。
我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)．要点诠释：对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。
知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。
注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。
2.点的坐标点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。
在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。
注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。
横、纵坐标的位置不能颠倒。
②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离。
知识点三：点坐标的特征l.四个象限内点坐标的特征：两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．2.数轴上点坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)．注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。
空间直角坐标系与球坐标系的转换方法
空间直角坐标系与球坐标系的转换方法简介空间直角坐标系和球坐标系是数学中常用的两种表示空间中点的坐标系。
本文将介绍这两种坐标系之间的转换方法，帮助读者更好地理解它们之间的关系。
空间直角坐标系空间直角坐标系是三维空间中最常见的坐标系，通常用三个坐标轴来表示空间中的点。
假设三个坐标轴分别为x轴、y轴和z轴，一个点在直角坐标系中的坐标可以表示为(x, y, z)。
球坐标系球坐标系是另一种常用的坐标系，它使用点到坐标系原点的距离、点在xy平面上的投影到x轴的角度和点在xz平面上的投影到z轴的角度来表示点的位置。
一个点在球坐标系中的坐标通常表示为(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xy平面上的极角，φ是点在xz平面上的极角。
直角坐标系到球坐标系的转换将一个点的直角坐标系坐标(x, y, z)转换为球坐标系坐标(r, θ, φ)的过程比较简单。
首先可以计算点到原点的距离r： $r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$然后，可以计算极角θ： $θ = \\arctan(\\frac{y}{x})$最后，计算极角φ：$φ = \\arccos(\\frac{z}{r})$球坐标系到直角坐标系的转换如果已知一个点在球坐标系中的坐标(r, θ, φ)，要将其转换为直角坐标系中的坐标(x, y, z)也是可行的。
转换公式如下： $x = r \\cdot \\sin(θ) \\cdot \\cos(φ)$ $y = r \\cdot \\sin(θ) \\cdot \\sin(φ)$ $z = r \\cdot \\cos(θ)$通过这些公式，我们可以方便地在空间直角坐标系和球坐标系之间进行坐标转换，从而更灵活地描述和计算空间中的点的位置。
结论空间直角坐标系和球坐标系是表示空间中点的两种常用方法，它们之间存在简单的转换关系。
这种转换关系在数学和物理等领域有着广泛的应用，帮助人们更好地理解和描述空间中的事物。
角的概念的推广——任意角
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 2100 如α=210º.
负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º.
-1500
零角：没有作任何旋转的角.记作α=0º.
角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角 和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
90°+k∙360° y x 0
270°+k∙360°
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+2k·180°,k∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}
00 3600 k 900 3600 k k Z
第二象限角的表示方法：
900 3600 k 1800 3600 k k Z
第三象限角的表示方法：
1800 3600 k 2700 3600 k k Z
第四象限角表示方法：
2700 3600 k 3600 3600 k k Z
◆
10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。09:29:5509:29:5509:291/5/2022 9:29:55 AM
◆
11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。22.1.509:29:5509:29Jan-225-Jan-22
◆
12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。09:29:5509:29:5509:29Wednesday, January 05, 2022
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终 边
B
始 边
O A x
顶 点
角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合。
课前小练：
1、指出下列角的弧度数：
y B
45
O
A
x
(1)
y B
30
O (2)
Ax
5 , 17
4
6
新课：
一、表示“一条终边”的角： 例题一：写出终边落在下列位置的角的集合：
2、请指出下1列、各x角轴终正边半的轴位置：
y
第(2)题：4
45
O
x
O
x
第(1)题：
6
(2k , 2k ], k Z
4
[2k , 2k ), k Z
3
4
3、已知集合A | 2k (2k 1) , k Z, B | 4 4， 则A B [__4_, ] [0, ]
A
B
A
A
2 4 O
4 2 3 x
四、表示对称角：
例六：写出终边落在下面两条射线上的角的集合
1、终边落在30或210角位置的所有角的集合
(2k [2,k2k , 2]k,k Z ], k Z
6 63 3
第2题：
y
60
O 图2
x
2k 2k
[2k
,
2k
),
k
6 Z
,
k
Z
6
三、表示区间角：
例五：在直角坐标系中，用阴影部分表示下列
区间角，并在数轴上表示出来。
2、先指出下列角的终边位置， 再写出该终边所表示的角的集合。
, , 2 , , , 5
2 3 46 6
2 y
2k 3
3
2k
0
O
x
练3习、一指、出分下别列写出角终的边弧落度在数下：列位置的角的集合
1、 y
B
45
O
y
B
A
30
x
O
(1)
(2)
A
x
2k2k5435,4, ,2k2k1761765
,(k Z) ,(k Z)
4
6
练习一： 用弧度制表示下列各角的集合：
2、如图，角的集合为______
y
A O 45 x
B
2k
15
4
,k
Z
第2题 变式一：
将的集合表示成 2k ,0 2 , k Z的形式为：
2、终边在y轴上的角的集合为____
y
2k
k
2
,
k
Z
(2k 1)
O
x
2k
二、表示轴线角之二:“多条终边”的角
例三：写出终边落在坐标轴上的角的集合
第1题图：y
2
2
1
2
x
x
k
2
,k
Z
O
3 3
x
k
4
,
k
Z
三、表示区间角：
例四：请写出终边落在阴影部分的角的集合
y
30
第1题：
2k
3
,k
Z
30
O 图1
x
2k
6
,
k
Z
ห้องสมุดไป่ตู้
2k
62k
62k32,kkZ3,
k
Z
2k
7
4
,
k
Z
y O 45 x
第2题 变式二：
将的集合表示成 2k (k Z, ) 的形式为：
2k
4
,
k
Z
二、表示轴线角之一:“两条终边”的角
例二：请用集合表示下列轴线角：（用弧度制）
1、终边在x轴上的角的集合为____ k , k Z
y
, 4 ,2 , 0, 2 , 4 , 6 ,
2k , k Z
O
x
例题一：写出终边落在下列位置的角的集合：
2、先指出下列角的终边位置， 再写出该终边所表示的角的集合。
, , 2 , , , 5
2 3 46 6
2 y
3
3
0
O
x
例题一：写出终边落在下列位置的角的集合：
第三课时 桃浦中学 付敏忠
三角知识回顾：
1、我们学习了任意角的概念，并学习了角的分类， 请回答：任意角分为哪几类？
（1）按旋转方向分：
正角——按逆时针方向旋转所形成的角。 负角——按顺时针方向旋转所形成的角。 零角——一条射线没有作任何旋转，规定形成零角。
B
O
A
0
D
O
C
0
1、(2k , 2k ], k Z
4
2
2、[k , k ), k Z
4
练习二：
1、请用区间表示下列各角： (1)第三象限角的集合为_____
(2)终边落在x轴上方的角的集合为___
2、请用区间表示下图中的角：
y
y
第(2)题：4
45
O
x
O
x
第(1)题：
6
（2）在直角坐标系中，按照终边的位置分：
象限角——终边位于象限内部的角。 非象限角（轴线角）——终边落在坐标轴上的角。
y
第二象 限角
O
轴线角
第一 象限
x角
2、在直角坐标系中研究角，为了引入象限角的 概念，进而定义任意角的三角比，在没有特别说 明的情况下，角的顶点、始边的位置通常在哪里？
22
x
0 0
x
x
k
2
4
,
k
Z
2
终边落在四个象限的角分线上的角的集合?
2、写出终边落在坐标轴以及 四个象限的角分线上的角的集合
x轴正半轴：x x 2k , k Z
y
x轴：x x k ,k Z
O
x
坐标轴：x
x
k
2
,k
Z
答案：x
练习二：
1、请用区间表示下列各角：
(1)第三象限角的集合为_(_2_k__
,
2k
3
),
k
Z
(2)终边落在x轴上方的角的集合为___
2
y
y
Ox
O
x
图2
图1
(2k , 2k ), k Z
(2k , 2k ), k Z
2
2、请用区间表示下图中的角：
y
【解法一】：在直角坐标系中取交集。
4 y
4 或 0
A
O
x
B
4
3、已知集合A | 2k (2k 1) , k Z, B | 4 4， 则A B [__4_, ] [0, ]
【解法二】：在数轴上取交集。