直角坐标系中距离公式31页PPT
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北师大版数学必修二：2.1.5平面直角坐标系中的距离公式ppt课件
3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
2
3
4
4
6
5
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为
4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|27-(-12)|
2
122 +(-5)2
=
13
2
13
1
= .
2
探求一
探求二
探求三
易错辨析
未思索直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的间隔等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的间隔为1,
∴
|- +2|
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探求一
探求二
探求三
易错辨析
探求二点到直线的间隔公式及其运用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的间隔;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y=4x+4 的间隔.
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2 +1
3
=1,解得 k= ,
1.6 平面直角坐标系中的距离公式 (教学课件)高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
1
2
两条平行直线间的距离是指夹在两
条平行直线间的公垂线段的长.
求两条平行直线间的
距离可转化为点到直
线的距离
03 两条平行线间的距离公式
在直线1 上任取一点（1 ，1 ），则有1 + 1 + 1＝0，此时，两条平
行直线1，2间的距离也就是点（1，1）到直线2的距离.
＝
1 −0 + 1 −0
2 +2
.
02 点到直线的距离公式
思路二：面积法
求出点的
坐标
求出
||
求出点的坐
标
求出
||
y
S
Ax0 C
x
0,
B
N
利用勾股定理求出
||
等面积法求出
||
l
(0，0)
O
By0 C
,
y
R A 0
x
02 点到直线的距离公式
点（0，0），直线 ： + + ＝0的距离
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
说明：(1) 当A=0或B=0时，公式也成立；
(2) 直线的方程要化成一般式．
02 点到直线的距离公式
例4 求点0 (−1,2)到下列直线的距离：
（1）2 + − 10 = 0
＝（2 − 1，2 − 1），
那么，两点间的距离||可以理解成向量的
长度，即
||＝||＝ · ＝
2 − 1
2
+ 2 − 1 2 .
01 两点间的距离公式
2
两条平行直线间的距离是指夹在两
条平行直线间的公垂线段的长.
求两条平行直线间的
距离可转化为点到直
线的距离
03 两条平行线间的距离公式
在直线1 上任取一点（1 ，1 ），则有1 + 1 + 1＝0，此时，两条平
行直线1，2间的距离也就是点（1，1）到直线2的距离.
＝
1 −0 + 1 −0
2 +2
.
02 点到直线的距离公式
思路二：面积法
求出点的
坐标
求出
||
求出点的坐
标
求出
||
y
S
Ax0 C
x
0,
B
N
利用勾股定理求出
||
等面积法求出
||
l
(0，0)
O
By0 C
,
y
R A 0
x
02 点到直线的距离公式
点（0，0），直线 ： + + ＝0的距离
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
说明：(1) 当A=0或B=0时，公式也成立；
(2) 直线的方程要化成一般式．
02 点到直线的距离公式
例4 求点0 (−1,2)到下列直线的距离：
（1）2 + − 10 = 0
＝（2 − 1，2 − 1），
那么，两点间的距离||可以理解成向量的
长度，即
||＝||＝ · ＝
2 − 1
2
+ 2 − 1 2 .
01 两点间的距离公式
高中数学必修课件第二章平面直角坐标系中的距离公式
给定圆的方程和点P的坐标，计算点P到圆心的距离，并判断点P在圆内、圆上还是圆外。
利用距离公式求解最值问题
结合函数性质和距离公式，求解与距离相关的最值问题，如点到直线的最短距离等。
思考题挑战
探究距离公式在三维空间中的推广
01
思考在三维空间中如何定义两点间的距离，并尝试推
导出三维空间中的距离公式。
利用距离公式解决实际应用问题
利用勾股定理
在平面直角坐标系中，任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离可以 通过勾股定理来推导，即$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
向量法
将点$A$和点$B$分别看作向量$vec{OA}$和$vec{OB}$，则两点间的距离可以 表示为向量$vec{BA}$的模，即$|vec{BA}|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 。
A、B两点间的距离。
02
判断点与直线的位置关系
通过计算点到直线的距离，判断点在直线上、直线外还是与直线重合。
03
求解平行线间的距离
给定两条平行线的方程，利用距离公式求解两条平行线间的距离。
拓展提高题
利用距离公式解决几何问题
通过构建直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，再利用距离公式求解。
求解点到圆心的距离及判断点与圆的位置关系
三角不等式在求解最短路径、证 明几何定理等方面具有广泛应用
。
04
典型例题分析与解答
计算两点间距离问题
例题1
在平面直角坐标系中，给定 点A(1,2)和点B(4,6)，求AB 的距离。
解题思路
利用距离公式 $d=sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代 入点A和点B的坐标进行计算 。
利用距离公式求解最值问题
结合函数性质和距离公式，求解与距离相关的最值问题，如点到直线的最短距离等。
思考题挑战
探究距离公式在三维空间中的推广
01
思考在三维空间中如何定义两点间的距离，并尝试推
导出三维空间中的距离公式。
利用距离公式解决实际应用问题
利用勾股定理
在平面直角坐标系中，任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离可以 通过勾股定理来推导，即$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
向量法
将点$A$和点$B$分别看作向量$vec{OA}$和$vec{OB}$，则两点间的距离可以 表示为向量$vec{BA}$的模，即$|vec{BA}|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 。
A、B两点间的距离。
02
判断点与直线的位置关系
通过计算点到直线的距离，判断点在直线上、直线外还是与直线重合。
03
求解平行线间的距离
给定两条平行线的方程，利用距离公式求解两条平行线间的距离。
拓展提高题
利用距离公式解决几何问题
通过构建直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，再利用距离公式求解。
求解点到圆心的距离及判断点与圆的位置关系
三角不等式在求解最短路径、证 明几何定理等方面具有广泛应用
。
04
典型例题分析与解答
计算两点间距离问题
例题1
在平面直角坐标系中，给定 点A(1,2)和点B(4,6)，求AB 的距离。
解题思路
利用距离公式 $d=sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代 入点A和点B的坐标进行计算 。
两点的距离公式ppt课件
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修
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20XX.XX.XX
平面直角坐标系中的距离公式
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式概述
03 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式推导
04 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式应用
平面直角坐标系中
04
的距离公式应用
求解点到直线的距离
确定直线方程： y=mx+c
确定点坐标： (x0,y0)
计算直线与点之 间的距离： d=|Ax0+By0+C| /√(A^2+B^2)
应用实例：求解 点(1,2)到直线 y=2x+1的距离
求解点到平面的距离
平面直角坐标系中的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 求解点到平面的距离：将点坐标代入公式，计算距离 应用实例：求解点(2,3)到平面x+y=5的距离 注意事项：确保点不在平面上，否则距离为0
距离公式的几何意义
距离公式的几何意义在于， 它可以帮助我们理解两个点 在平面上的相对位置
平面直角坐标系中的距离公 式是描述两个点之间距离的 公式
距离公式的几何意义还可以 帮助我们理解两个点在空间
中的相对位置
距离公式的几何意义还可以 帮助我们理解两个点在平面
上的运动轨迹
距离公式的应用场景
物理：计算物体间的距离
计算两个平面的交点
计算两个平面之间的距离
平面直角坐标系中
05
的距离公式扩展
向量形式的距离公式
向量形式：向量AB的模长等于向量AC 的模长减去向量BC的模长
20XX.XX.XX
平面直角坐标系中的距离公式
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式概述
03 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式推导
04 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式应用
平面直角坐标系中
04
的距离公式应用
求解点到直线的距离
确定直线方程： y=mx+c
确定点坐标： (x0,y0)
计算直线与点之 间的距离： d=|Ax0+By0+C| /√(A^2+B^2)
应用实例：求解 点(1,2)到直线 y=2x+1的距离
求解点到平面的距离
平面直角坐标系中的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 求解点到平面的距离：将点坐标代入公式，计算距离 应用实例：求解点(2,3)到平面x+y=5的距离 注意事项：确保点不在平面上，否则距离为0
距离公式的几何意义
距离公式的几何意义在于， 它可以帮助我们理解两个点 在平面上的相对位置
平面直角坐标系中的距离公 式是描述两个点之间距离的 公式
距离公式的几何意义还可以 帮助我们理解两个点在空间
中的相对位置
距离公式的几何意义还可以 帮助我们理解两个点在平面
上的运动轨迹
距离公式的应用场景
物理：计算物体间的距离
计算两个平面的交点
计算两个平面之间的距离
平面直角坐标系中
05
的距离公式扩展
向量形式的距离公式
向量形式：向量AB的模长等于向量AC 的模长减去向量BC的模长
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式课件
添加文档副标题
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01.
02.
03.
04.
05.
06.
平面直角坐标系中的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 该公式表示点P(x1,y1)与点P(x2,y2)之间的距离 其中，x1、x2、y1、y2分别表示两点的横纵坐标 平方根符号表示取非负数的开方运算
地理学中的应用：确定两点之间的距离，计算地球上任意两地之间的距离 物理学中的应用：计算两点之间的直线距离，研究物体的运动轨迹 计算机科学中的应用：计算两点之间的最短路径，实现地图导航 统计学中的应用：计算样本间的距离，进行聚类分析
题目：求点A(2,3)到原点的距离 题目：求点B(-3,4)到原点的距离 题目：求点C(5,-2)到原点的距离
应用场景：距离公式常用于计算点到直线的距离，中点公式常用于计算两点之间 的中点坐标。
异同点：距离公式中的A、B、C为直线方程系数，而中点公式中的x1、y1、x2、 y2为两点的坐标。
距离公式：适用于 计算两点之间的直 线距离，常用于几 何学、物理学等领 域。
中点公式：适用于 求线段的中点坐标， 常用于解析几何、 线性代数等领域。
两点间的距离公式推导
任意两点间的距离公式推 导
两点间的距离公式与向量 的关系
距离公式的几何意义
两点间的距离 公式
பைடு நூலகம்
两点间的斜率 公式
两点间的中点 公式
两点间的对称 点公式
平面直角坐标系中 的中点公式为： M(x,y)=((x1+x2)/ 2,(y1+y2)/2)
该公式用于求平面直 角坐标系中任意两点 P1(x1,y1)和P2(x2,y2) 的中点M的坐标
平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大必修
之间的距离
求点A(1,2)和点B(3,4)之间的距离 求点C(5,6)和点D(7,8)之间的距离 求点E(9,10)和点F(11,12)之间的距离 求点G(13,14)和点H(15,16)之间的距离 求点I(17,18)和点J(19,20)之间的距离 求点K(21,22)和点L(23,24)之间的距离
确定两点的位置：在平面直角坐标系中，确定两点的坐标 计算距离：使用距离公式计算两点之间的距离 应用举例：例如，计算两点(1,2)和(3,4)之间的距离 应用领域：物理、数学、工程等领域
距离公式：在三维空间中，两点之 间的距离可以通过勾股定理计算
应用：在工程、物理、数学等领域 中，三维空间的距离公式有着广泛 的应用
物理：计算物体间的距离，如重力、 电场、磁场等
数学：计算两点间的距离，如向量、 直线等题
添加标题
地理：计算地图上的距离，如经纬 度、距离等
工程：计算工程上的距离，如建筑、 机械等
设两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)
利用勾股定理， 计算两点间的距 离
推导出距离公式： d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
距离公式：在n维空间中，两点之 间的距离可以通过计算向量的模长 来计算
应用：在数据分析、机器学习等领 域，高维空间的距离公式有着广泛 的应用
向量空间：距离公式可以推广到向量空间中，用于计算向量之间的夹角和模长
几何学：距离公式可以推广到几何学中，用于计算两点之间的距离、线段的长度等
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
平面直角坐标 系中的距离公 式用于计算两 点之间的直线
求点A(1,2)和点B(3,4)之间的距离 求点C(5,6)和点D(7,8)之间的距离 求点E(9,10)和点F(11,12)之间的距离 求点G(13,14)和点H(15,16)之间的距离 求点I(17,18)和点J(19,20)之间的距离 求点K(21,22)和点L(23,24)之间的距离
确定两点的位置：在平面直角坐标系中，确定两点的坐标 计算距离：使用距离公式计算两点之间的距离 应用举例：例如，计算两点(1,2)和(3,4)之间的距离 应用领域：物理、数学、工程等领域
距离公式：在三维空间中，两点之 间的距离可以通过勾股定理计算
应用：在工程、物理、数学等领域 中，三维空间的距离公式有着广泛 的应用
物理：计算物体间的距离，如重力、 电场、磁场等
数学：计算两点间的距离，如向量、 直线等题
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地理：计算地图上的距离，如经纬 度、距离等
工程：计算工程上的距离，如建筑、 机械等
设两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)
利用勾股定理， 计算两点间的距 离
推导出距离公式： d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
添加标题
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距离公式：在n维空间中，两点之 间的距离可以通过计算向量的模长 来计算
应用：在数据分析、机器学习等领 域，高维空间的距离公式有着广泛 的应用
向量空间：距离公式可以推广到向量空间中，用于计算向量之间的夹角和模长
几何学：距离公式可以推广到几何学中，用于计算两点之间的距离、线段的长度等
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平面直角坐标 系中的距离公 式用于计算两 点之间的直线
高中数学精品课件：点到直线的距离2共31张PPT
PO x2 y2
例3 已知点A(-1 ,2),B(2 , 7 ),在x轴上 求一点P,使 PA PB ,并求PA 的 值
先画图分析解题方法,看看你能找到几种方法?
例4:证明平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和
思考:本题怎样建立直角坐标系? 各点坐标可以怎样规定? 需要进行哪些代数运算? 解决上述问题的基本步骤包括哪些?
Ax0
By0
2
A
B2
C|
的完善 2.当B=0，即L⊥x轴时
yP
y
Q
P
QL
o
x
o
x
A 0 :| PQ | | 0 • x0 By0 C |
02 B2
此时L：y C
又PQ//y轴 B
|
PQ || y0 (
公式成立
C B
)
|
|
By0 |B|
C
|
L
B 0 :| PQ | | Ax0 0 • y0 C |
yy
P
P(x0,y0) Q L
M
o
>x o
M
>x O o
Q
x
>x
M
M点为任意点，所以 坐标不好求。|PM|、 |MQ|均不好求。
M点在x轴上， |PM|,|MQ|易求一些， 但计算量依然较大；
PM//y轴似乎也不好求， 但角∠MPQ与直线L的倾斜角有关，
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, A、B≠0,倾斜角设为
12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 307
12x 5 0 40
例3 已知点A(-1 ,2),B(2 , 7 ),在x轴上 求一点P,使 PA PB ,并求PA 的 值
先画图分析解题方法,看看你能找到几种方法?
例4:证明平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和
思考:本题怎样建立直角坐标系? 各点坐标可以怎样规定? 需要进行哪些代数运算? 解决上述问题的基本步骤包括哪些?
Ax0
By0
2
A
B2
C|
的完善 2.当B=0，即L⊥x轴时
yP
y
Q
P
QL
o
x
o
x
A 0 :| PQ | | 0 • x0 By0 C |
02 B2
此时L：y C
又PQ//y轴 B
|
PQ || y0 (
公式成立
C B
)
|
|
By0 |B|
C
|
L
B 0 :| PQ | | Ax0 0 • y0 C |
yy
P
P(x0,y0) Q L
M
o
>x o
M
>x O o
Q
x
>x
M
M点为任意点，所以 坐标不好求。|PM|、 |MQ|均不好求。
M点在x轴上， |PM|,|MQ|易求一些， 但计算量依然较大；
PM//y轴似乎也不好求， 但角∠MPQ与直线L的倾斜角有关，
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, A、B≠0,倾斜角设为
12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 307
12x 5 0 40
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直角坐标系中距离公式
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来