平面直角坐标系点的坐标的特征知识讲解
平面直角坐标系内点的坐标特征
横坐标的绝 对值
③点P（a，b）与坐标原点的距离是 a2 b2
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练一练
1.点M〔-5，12〕到x轴的距离是__1_2_；到y轴的距 离是__5__；到原点的距离是__1_3_. 2.点M〔m，-5〕. ①点M到x轴的距离是__5__； ②假设点M到y轴的距离是4；那么 m 为±_4___.
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7.点P(a－2，2a+8)，分别根据以下条件求出点P的 坐标． 〔3〕点Q的坐标为〔1，5〕，直线PQ∥y轴；
解：∵点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴， ∴a－2=1， 解得 a=3， 故2a+8=14，那么P(1，14)；
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7.点P(a－2，2a+8)，分别根据以下条件求出点P的 坐标．
2
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问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关 于y轴的对称点吗?
y
A′(-2,3)
A (2,3)
你能说出点A 与点A'坐标的 关系吗？
O
x
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做一做：在平面直角坐标系中画出以下各点关于y轴
的对称点.
y
(x , y)
关于 y轴 对称
( -x, y )
B(-4,2)
O
C '(-3,-4)
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
E
-1 -2
H
F
-3 -4
Q
G
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总结归纳 y
O L（-x，-y）
M〔x，y〕 x
关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为 相反数.
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做一做
点〔4，3〕与点〔4，- 3〕的关系是〔 B 〕 A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系
有关平面直角坐标系的知识点及考点归纳
数学篇数苑纵横坐标系与其它数学知识存在不可分割的联系.许多知识在平面直角坐标系中进行研究会更加直观易懂.所以只有牢固掌握了与直角坐标系有关的知识点与考点，才能更好地学习一次函数、反比例函数和二次函数等相关知识.一、平面直角坐标系相关知识点归纳1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，竖直的数轴称为y 轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.2.各个象限内点的特征：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限.坐标在四个象限的特点：点P (x ，y )在第一象限则x >0，y >0；在第二象限则x <0，y >0；在第三象限则x <0，y <0；在第四象限则x >0，y <0.3.点到坐标轴的距离：点P (x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |.到坐标原点的距离为x 2+y 2.4.点的对称：点P (m ，n )，关于x 轴的对称点坐标是(m ，-n )，关于y 轴的对称点坐标是(-m ，n )，关于原点的对称点坐标是(-m ，-n ).5.平行线：平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等，如直线PQ ，P (m ,n )Q (p ,n )；平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等，如直线PQ 、P (m ,n )、Q (m ,p ).6.象限角的平分线：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：P (m ,m )；点P (a ，b )关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ，a )；第二、四象限角P (m ,-m )；点P (a ，b )关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b ，-a ).7.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x ，y )向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x +a ，y ）;向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x -a ，y ）；向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y +b ）；向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y -b ）.二、平面直角坐标系相关考点归纳1.求坐标求点的坐标的方法是过这个点向x 轴作垂线，则垂足对应的数就是该点的横坐标；过这个点向y 轴作垂线，则垂足对应的数就是该点的纵坐标.确定了一个点的横坐标和纵坐标，就知道这个点的坐标.例1如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（3，4），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA ′，则点A ′的坐标是．解：如图2，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点A ′作A ′B ′⊥x 轴于B ′，∵OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA ′，∴OA =OA ′，∠AOA ′=90°，∵∠A ′OB ′+∠AOB =90°，∠AOB +∠OAB =90°，∴∠OAB =∠A ′OB ′.在△AOB 和△OA ′B ′中，ìíîïï∠OAB =∠A ′OB ′,∠ABO =∠OB ′A ′,OA =OA ′,∴△AOB ≌△OA ′B ′（AAS ），∴OB ′=AB =4，A ′B ′=OB =3，有关平面直角坐标系的知识点及考点归纳湖南怀化顾建明图123数学篇数苑纵横图2例2在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标．解：∵点A（-5，0），B（3，0），都在x轴上，∴AB=8.∵△ABC的面积为12，点C在y轴上，∴△ABC的面积=12AB⋅OC=12.解得OC=3，若点C在y轴的正半轴上，则点C的坐标为（0，3），若点C在y轴的负半轴上，则点C的坐标为（0，-3），综上所述，点C的坐标为（0，3）或（0，-3）.2.求象限在平面直角坐标系中，各象限内点的符号特点是：第一象限内的点，横坐标和纵坐标都为正；第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限内点的横坐标和纵坐标都为负；第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负.确定了点横坐标及纵坐标的正负，就确定了象限.例3若点M(x,y)满足(x+y)2=x2+y2-2，则点M所在象限是（）.A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限D.不能确定解：∵(x+y)2=x2+y2+2xy，∴原式可化为xy=-1，∴x、y异号，∴点M(x,y)在第二象限或第四象限．故选B项．例4已知点P(x,y)在函数y=1x2+-x的图象上，那么点P在平面直角坐标系中的（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由题意x2≠0且-x≥0,∴x<0,∴1x2>0，x>0，∴y>0.∴点P(x,y)在第二象限.故选B项．3.求面积当三角形有一边在x轴上时，则以x轴上的边为底边，其长等于x轴上两个顶点横坐标差的绝对值，此边上的高就等于另一个顶点纵坐标的绝对值；当三角形的一边在y 轴上时，则以y轴上的边为底边，其长等于y 轴上两个顶点纵坐标差的绝对值，此边上的高就等于另一个顶点横坐标的绝对值.确定了三角形的底边和高就能求出面积.例5如图3，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2,4），B（-2,0），C（3,0），求△ABC的面积.图3解：过A作AD⊥x轴，垂足为D，∵A的坐标是（2,4），∴AD=4，24数学篇∵B （-2,0），C （3,0），∴BC =5，∴S △ABC =12BC ∙AD =12×5×4=10.例6如图4，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1），B （1，3），C （2，-3），求三角形ABC 的面积.图4分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一个坐标轴平行，高（宽）与另一个坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积就容易求出，然后再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图5，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线，与过点B 平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ADEC 为梯形.图5因为A （-3，-1），B （1，3），C （2，-3），所以AD =4，CE =6，DB =4，BE =1，DE =5.所以S △ABC =12(AD +CE )×DE -12×AD ×DB-12×CE ×BE =12×（4+6）×5-12×4×4-12×6×1=14.平面直角坐标系可以帮助我们建立图形与数量间的联系，并为几何问题和代数问题的相互转化提供条件.因此，同学们一定要掌握好平面直角坐标系的相关知识点与考点，从而不断提高分析问题和解答问题的能力.上期《<实数>巩固练习》参考答案1.D ；2.C ；3.D ；4.A ；5.B ；6.5；7.-1；8.4；9.14或22；10.-3；11.解：（1）3，14-3；（2）∵2<6<3，4<21<5，∴m =6-2，n =4，∴2m +n -26=2（6-2）+4-26=0；（3）a =15，b =32-5．12.解：（1）原来正方形场地的周长为80m;（2）设长方形场地宽为3a m ，则长为5a m.由题意有：3a ×5a =315，解得：a =±21，∵3a 表示长度，∴a >0，∴a =21，∴这个长方形场地的周长为2（3a +5a ）=16a =1621（m ），∵80=16×5=16×25>1621，∴这些铁栅栏够用．答：这些铁栅栏够用．数苑纵横25。
平面直角坐标系知识点
《平面直角坐标系》知识点一、点的坐标⑴在坐标系中已知点标出它的坐标：过点分别作x 轴与y 轴的垂线，在x 轴上的垂足所表示的数即是点的横坐标，在y 轴上的垂足所表示的数即是纵坐标，坐标需写成（x,y)，（横坐标在前，纵坐标在后。
⑵已知点的坐标在坐标系中描出点。
分别在x 轴与y 轴上找到表示横坐标与纵坐标的点，过这两点分别作x 轴y 轴的垂线，两线的交点即是所求的点。
二、不同位置下点的坐标特征（如图2）a 、象限点：第一象限点（+，+），第二象限点（-，+）第三象限点（-，-）第四象限点（+，-）b 、坐标轴上的点：x 轴上点（x, 0),y 轴上点（0，y) 注：坐标轴上的点不属于任何象限例1、若A （a,b)为第二象限点，则M （-a,b+1)在第 象限。
分析：方法一：推理法,点A 为第二象限的点，所以a 为负数，b 为正数，所以可推知M(-a,b+1)中，-a 为正数，b+1为正数，即M （+，+）所以M 在第一象限。
方法二：取特殊值法：若A （a,b)为第二象限点则a 为负数，b 为正数，不妨设a=-1。
，b=1,代入横、纵坐标得-a=-(-1)=1,b+1=1+1=2,即此时M 坐标为（1，2）在第一象限，故可判定M （-a.b+1)在第一象限。
类似的，点P （-a 2-1,|b|+2)一定在第 象限。
例2、若A(x,y),x+y<0,xy>0,则点A 在第 象限。
分析：xy>0说明x 与y 同号，（两数相乘，同号得正，异号得负），又x+y<0，所以x 与y 应同为负，（同号两数相加，取相同的符号）即A （-，-）在第三象限。
类似的，若A （x,y),xy=0,那么A 在 ，分析：xy=0，说明x 与y 至少有一个是0，分为三种情况：1、x=0，y ≠0（y 轴上），2、x ≠0，y=0(x 轴上），3、x,y 均为0（原点）。
所以答案为：点A 在坐标轴上。
三、点到坐标轴的距离：点到x 轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离=横坐标的绝对值。
平面直角坐标系内点的坐标特征
平面直角坐标系内点的坐标特征1. 坐标系的基本概念嘿，大家好，今天我们来聊聊平面直角坐标系，这听起来是不是有点像数学课上的枯燥内容？别急，让我们把它变得轻松有趣些！想象一下，我们的生活就像是一张大大的地图，而这个坐标系就是给我们定位的工具。
平面直角坐标系有两个轴，一个是横轴（也就是我们常说的X轴），另一个是纵轴（也就是Y轴）。
它们交叉在一个点上，那个点叫原点，通常用“O”表示，像个小圆点，简简单单却意义重大。
在这个坐标系里，每一个点都可以用一对数字来表示，像是一个神秘的通行证！比如说，点A的坐标是(3, 2)，这就像是在告诉你，走3步到右边，再走2步向上，你就能找到A了。
是不是有点像解谜游戏？想想看，如果把我们生活中的一些地方换成坐标，那我们的家、学校、朋友的住处都可以变得超级有趣！1.1 坐标的组成部分那么，坐标到底是由什么组成的呢？简单来说，坐标就是X和Y两个部分。
X代表横向的距离，Y代表纵向的距离。
就像打麻将时，横着走的那一排和竖着走的那一排，虽然看上去没什么关系，但其实它们结合起来，才有了更大的乐趣！而且，X轴和Y轴分别对应着不同的方向，生活中的一切似乎都可以在这两条轴上找到自己的位置。
你有没有想过，为什么有些点的坐标是正的，有些却是负的呢？其实，这就像我们的人生旅程，有时候顺风顺水，有时候却要逆风飞翔。
比如说，(3, 2)就意味着你要向右走3步，但却要往下走2步，这种上下起伏就像过山车一样刺激。
没错，生活就是这样，时而欢笑，时而波折，正负之间的变化才让我们的人生更加丰富多彩！2. 点的四个象限说到坐标，就不得不提到四个象限了。
这四个象限就像四个小世界，每个世界都有它独特的风景。
第一象限位于右上方，所有的坐标都是正数，简直是个阳光明媚的地方，适合开派对！第二象限在左上方，X是负的，Y是正的，像个爱喝咖啡的文艺青年，虽然有些忧伤，但也很有个性。
第三象限则是左下方，这里X和Y都是负数，仿佛在深夜的酒吧里，听着忧伤的旋律。
平面直角坐标系中几种点的坐标的特征
平面直角坐标系中几种点的坐标的特征（1）第一象限内点的坐标特征是：“横正纵正”第一象限内点的坐标特征是：“横负纵正”第一象限内点的坐标特征是：“横负纵负”第一象限内点的坐标特征是：“横正纵负”（2）x轴上的点的坐标特征是：“纵0横任意”y轴上的点的坐标特征是：“横0纵任意”（3）在一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征是：横坐标=纵坐标在二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征是：横坐标+纵坐标=0（4）点P（a，b）关于X 轴对称的点的坐标是：（a，-b）关于Y 轴对称的点的坐标是：（-a，b）关于原点对称的点的坐标是：（-a，-b）练习：1.点M（- 8，12）到x轴的距离是（），到y轴的距离是（）2.若点P（2m - 1，3）在第二象限，则（）（A）m >1/2（B）m <1/2（C）m≥-1/2（D）m ≤1/2.3、如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线（）（A）平行于x轴（B）平行于y轴（C）经过原点（D）以上都不对4.若mn = 0，则点P（m，n）必定在上5.已知点P（a，b），Q（3，6）且PQ ∥x轴，则b的值为( )6.点（m，- 1）和点（2，n）关于x轴对称，则mn等于( )（A）- 2 （B）2 （C）1 （D）- 17.实数x，y满足x2+ y2= 0，则点P（x，y）在( )（A）原点（B）x轴正半轴（C）第一象限（D）任意位置8.点A 在第一象限，当m 为何值（）时，点A（m + 1，3m - 5）到x轴的距离是它到y轴距离的一半.函数图象与方程、不等式的关系1、若不解方程组，你能得到以下方程组的解吗？2、若不解不等式，你能得到以下不等式的解吗？（1）10x＞40x-120 （y A＞y B）（2）10x＜40x-120（y A＜y B）1040120 y xy x=⎧⎨=-⎩两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解以及不等式的解集．练习1.已知函数y ＝4x －3．当x 取何值时，函数的图象在第四象限？2.画出函数y ＝3x －6的图象，根据图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 大于零？(3) x 取什么值时，函数值 y 小于零？3.画出函数y ＝－0.5x －1的图象,根据图象,求：(1)函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标；(2)函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围；(3)函数图象在x 轴下方时，x 的取值范围． 4.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函 的图象交于A 、B 两点． (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．5.学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社 每月收费情况如图所示.m y x根据图象回答:(1)乙复印社的每月承包费是多少?(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社?6.小张准备将平时的零用钱储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元，小王以前没有存过零用钱，听到小张在存钱，表示也从现在起每个月存22元 .1）、请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王存款和月份之间的函数关系的图象；2）、在图上找一找几个月以后小王的存款和小张的一样多？至少几个月后小王的存款能超过小张？图像与解析式1.为了研究某合金材料的体积V (cm3)随温度t (℃)变化的规律,对一个用这种合金2.小明在做电学实验时,电路图如图所示.在保持电压不变的情况下,•改换不同的电阻R,并用电流表测量出通过不同电阻的电流I,记录结果如下:(1)建立适当的平面直角坐标系,在坐标系中描出表格中的各点,•并画出该函数的近似图象;(2)观察图象,猜想I 与R 之间的函数关系,并求出函数解析式;(3)小明将一个未知电阻值的电阻串联到电路中,查得电流表的度数为0.5安培,你)函数解析式：如何求函数的自变量取值范围主要考虑以下四个方面：一、凡是整式函数，其自变量的取值范围都是全体实数；二、分式的分母不等于0；三、平方根的被开方数为非负数；四、对于实际问题，应根据具体情况而定。
冀教版八年级数学_19.2.2 平面直角坐标系点的坐标特征
知1－练
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2. 下列说法错误的是( C ) A．象限内的点的坐标可用一个有序数对来表示 B．坐标轴上的点的坐标可用一个有序数对来表 示 C．过点P向x轴作垂线，点P与垂足之间的线段 长是点P的纵坐标 D．过点P向y轴作垂线，点P与垂足之间的线段 长不一定是点P的横坐标
知1－练
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3. 【中考·荆门】在平面直角坐标系中，若点A(a， 知1－练
标为(0，0)
-2 第三象限 -3 第四象限
（-，-）
-4 -5
（+，-）
知1－讲
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1、点P（x，y）在第一象限 2、点P（x，y）在第二象限 3、点P（x，y）在第三象限 4、点P（x，y）在第四象限
x＞0，y＞0. 知1－讲 x＜0，y＞0. x＜0，y＜0. x＞0，y＜0.
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例 1 [中考·湛江]在平面直角坐标系中，点A(2，－3)
在第( D )象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
知1－讲
导引：根据平面直角坐标系中四个象限内的点的坐标 特征，即可确定点的位置. 答案：D
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归纳
知1－讲
由点的坐标(a，b)确定点的位置的方法：
方法一：由点的坐标的符号确定点的位置，即(＋，＋)的
知2－讲
坐标轴上的点的坐标：
点M(x，y)所处的位置
坐标特征
点M在x轴上
在x轴正半轴上：M(正，0) 在x轴负半轴上：M(负，0)
点M在y轴上
在y轴正半轴上：M(0，正) 在y轴负半轴上：M(0，负)
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拓展： 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．
考点01 平面直角坐标系内点的坐标特征(原卷版)
考点一平面直角坐标系内点的坐标特征知识点整合1．有序数对（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．2．点的坐标特征点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限﹢+第二象限-+第三象限--第四象限+-x轴上正半轴上+0负半轴上-0y轴上正半轴上0+负半轴上0-原点003．轴对称（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．4．中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．5．图形在坐标系中的旋转图形（点）的旋转与坐标变化：（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）；（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．6．图形在坐标系中的平移图形（点）的平移与坐标变化（1）点P （x ，y ）向右平移a 个单位，其坐标变为P′（x +a ，y ）；（2）点P （x ，y ）向左平移a 个单位，其坐标变为P′（x -a ，y ）；（3）点P （x ，y ）向上平移b 个单位，其坐标变为P′（x ，y +b ）；（4）点P （x ，y ）向下平移b 个单位，其坐标变为P′（x ，y -b ）．考向一有序数对有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．典例引领1．根据下列表述，能确定具体位置的是（）A ．电影城1号厅6排B ．北京市海淀区C ．北纬31︒，东经103︒D ．南偏西40︒2．下列表述，能确定准确位置的是（）A ．威高广场东面B ．环翠楼北偏西10︒C ．U 度影城2号厅一排D ．北纬37︒，东经122︒3．2023年山西省大学生篮球锦标赛于12月中旬开赛，图1是某大学篮球场座位图，图2是该篮球场部分座位的示意图．小刚、小芳、小美的座位如图所示．若小刚的座位用()1,1-表示，小芳的座位用()3,2表示，则小美的座位可以表示为（）A ．()1,2-B ．()2,0C ．()2,1-D ．()1,04．如图，雷达探测器测得六个目标A ，B ，C ，D ，E ，F ，目标E ，F 的位置分别表示为()()3,330,2,30E F ︒︒．按照此方法，目标A ，B ，C ，D 的位置表示不正确的是（）A ．()5,60A ︒B ．()3,120B ︒C ．()3,210C ︒D ．()5,270D ︒5．如果剧院里“5排2号”记作()5,2，那么()7,9表示（）A ．“7排9号”B ．“9排7号”C ．“7排7号”D ．“9排9号”6．一幢东西走向的5层教学楼，每层共8个教室．若把一楼从东侧数起第3个教室记为()1,3，二楼最东侧教室记为()2,1，则五楼最西侧教室记为（）A ．()5,1B ．()5,8C ．()8,5D ．()1,57．某班级第3组第4排的位置可以用数对()3,4表示，则数对()1,2表示的位置是（）A ．第2组第1排B ．第1组第1排C ．第1组第2排D ．第2组第2排变式拓展9．在平面直角坐标系内，,x y 满足个．11．若教室座位表的6列7行记为12．电影票上“10排8号”记作三、解答题13．如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面．(1)用数对的方法表示校门的位置．9,7在图中表示什么地方？(2)数对()14．在计算机软件Excel中，若将第A列第1行空格记作A1，如图．(1)试在图中找出空格B53，并填上“B53”字样；(2)图中的蜜蜂所在位置记作什么？(3)一只电子“蜜蜂”的行进路线为A52→A51→B52→C51→D52→C53．试在图中描出它的行进路线．考向二点的坐标特征1．象限角平分线上的点的坐标特征（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．典例引领变式拓展11．已知在平面直角坐标系中，点(),P a b 在第三象限，且点P 到x 轴的距离是到y 轴距离的2倍，则下列关系式正确的是（）A ．2a b=B ．2a b=-C ．2b a=D ．2b a=-二、填空题三、解答题16．已知直角坐标系中一点(2,21)M m m -+．(1)若点M 在y 轴上，则点M 的坐标为______；(2)若点M 在过点(2,3)A 且与x 轴平行的直线上，则点M 的坐标为______；(3)若点M 到x 轴、y 轴的距离相等，则点M 的坐标为______．17．已知点(22,5)P a a -+，解答下列各题：(1)若点P 在x 轴上．求出点P 的坐标；(2)若点Q 的坐标为(4,5)，直线PQ x ∥轴，求出点P 的坐标；(3)若点P 到x 轴、y 轴的距离相等，求出点P 的坐标，并说出P 点所在的象限．18．在平面直角坐标系中，点()13,2P m n --和()3,25Q m n -+．(1)如果点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，求m 、n 的值；(2)点P 和点Q 是否能同在第三象限内，若能，求出m 、n 的范围，若不能，请说明理由；(3)如果PQ y ∥轴，且6PQ =，求m 、n 的值．考向三点的坐标规律探索这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．典例引领1．如图，将边长为1的正方形ABOC 沿x 轴正方向连续翻转2014次，点A 依次落在点12A A 、、32014A A 、、的位置，则点2014A 的横坐标为（）A ．1343B ．1510C ．1610D ．20142．已知点0(o E x y ，)，点22)(F x y ，，点11()M x y ，是线段EF 的中点，则1x 0212y y y +=．在平面直角坐标系中有三个点(1,1)(1,1)(01)A B C ---，，，，点A ．()3032,1-B ．()3034,44．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()111,(,)P x y x y x y =+-，()222,P x y =二、填空题变式拓展6．如图，平面直角坐标系内，动点P 按照图中箭头所示方向依次运动，第动到点()11,1P ，第2次运动到点()22,0P ，第3次运动到点3P 律，动点P 第2024次运动到点的坐标为．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，我们把(11,P y x --知点1A 的友好点为2A ，点2A 的友好点为3A ，点3A 的友好点为4A ，这样依次得到各点的坐标为()1,2，设()1,A x y ，则x y +的值是．8．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆1O9．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第()2,2，第2次从点()2,2运动到点()4,0，第3次从点()4,0运动到点规律运动，第2023次运动后动点P 的坐标为．三、解答题10．如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：4A （_________，_________），8A （_________，_________），12A （_________，_________）；(2)写出点4n A 的坐标（n 是正整数）；(3)指出蚂蚁从点2021A 到点2022A 的移动方向．。
平面直角坐标系知识讲解
平面直角坐标系知识讲解【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系及点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对表示位置1．如图是小刚的一张笑脸，他对妹妹说：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）【思路点拨】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置，从而可以确定嘴的位置．【答案】A．【解析】解：根据（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可得嘴的坐标是（1，0），故答案为A．【总结升华】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．举一反三：【变式】下列数据不能表示物体位置的是（）．A．5楼6号B．北偏东30°C．希望路20号D．东经118°，北纬36°【答案】B （提示A. 5楼6号，是有序数对，能确定物体的位置；B.北偏东30°，不是有序数对，不能确定物体的位置；C.希望路20号，“希望路”相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位置；D.东经118°北纬36°，是有序数对，能确定物体的位置．）类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A，B，C，D各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A（0，0），B（5，0），C（5，3）， D （0，3）.解法二：以边AB的中点为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，AB的中点和CD的中点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A（﹣2.5，0），B（2.5，0），C（2.5，3）， D （-2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5），C（2.5，1.5）， D （-2.5，1.5）.【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x轴和y轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x轴、y轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.举一反三：【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．【答案】(2，3)或(-2，3)或(-2，-3)或(2，-3).3.平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面积．【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线与过B 点平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ACED 为梯形，根据点A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD ＝4，CE ＝6，DB ＝4，BE ＝1，DE ＝5，所以△ABC 的面积为：． 【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．举一反三：111()222ABC S AD CE DE AD DB CE BE =+--△111(46)5446114222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=【变式】如图所示，已知A 1(1，0)，A 2(1，1)，A 3(-1，1)，A 4(-1，-1)，A 5(2，-1)，……，则点A 2008的坐标为________．【答案】(-502，-502)．类型三、坐标平面及点的特征4. 在平面直角坐标系中，点（﹣1，m +1）一定在第________象限．【思路点拨】根据点在第二象限的坐标特点解答即可．【答案】二.【解析】解：∵点（﹣1，m +1）的横坐标﹣1＜0，纵坐标m +1＞0，∴符合点在第二象限的条件，故点（﹣1，m2+1）一定在第二象限．【总结升华】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．举一反三：【变式1】点P(－m,n)在第三象限，则m ，n 的取值范围是________.【答案】．【变式2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标满足下面条件的点，分别在第几象限或哪条坐标轴上．(1)点P(x ，y)的坐标满足xy ＞0．(2)点P(x ，y)的坐标满足xy ＜0．（3）点P(x ，y)的坐标满足xy=0．2220,0m n ><【答案】(1)点P在第一、三象限；(2)点P在第二、四象限；（3）x轴或y轴.【变式3】若点C(x,y)满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，-4)，C点坐标为(0，-4)．【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A.（0，0） B.（0，2） C.（2，﹣4） D.（﹣4，2）【答案】A。
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过点作x轴的垂线段的长度叫做点到x轴的距离. 过点作y轴的垂线段的长度叫做点到y轴的距离.
点P（x,y）到x轴的距离等于∣y ∣ 点P（x,y）到y轴的距离等于∣x ∣
1、已知点M（2，-3），则M到x轴的距离为 3 ， 到ｙ轴的距离为 2 。
2、已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求P点的 坐标。 P(5,2) 或P(5,-2) 或P(-5,2)或P(-5,-2)
1
系中找到表示 B(3,-2)的点.
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
B
-3
由坐标找点的方法： 先找到表示横坐标与纵坐标的点， 然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线， 垂线的交点就是该坐标对应的点。
y 纵轴
3叫做点A的横坐标
2由坐标找点：一 5
个点的坐标是一个 4
有序实数对
C（-4，1）
3
填一填
1、在平面直角坐标系中，若点A（1，3）与 B（x，3）点之间的距离为4，则x的值是___。
2、在平面直角坐标系中，若点A（2，y）与 B（2，1）点之间的距离为4，则x的值是___。
3.距已知点P（3，a），并且P点到x轴的 离是2个单位长度，求P点的坐标。
•分析：由一个点到x轴的距离是该点 纵坐标的绝对值，所以a的绝对值等 于2，这样a的值应等于±2。
2.已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且 AB＝5，则B的坐标为 （8，2）或（-2，2） 。
巩固练习：
1.点Ａ（２，３）到x轴的距离为 ３ ；点Ｂ（-４，０） 到y轴的距离为 4 ；点C到x轴的距离为1，到y轴的距 离为3，且在第三象限，则C点坐标是 (-3,-1) 。
2. 点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则C点坐标 是 (3,1) 或(-3,1)或 (-3,-1)或 (3,-1) 。
A、1
B、2
C、3
D、4
巩固练习：
1、点A（0，-1）的位置在平面直角坐标系的y轴负半轴。
2、若点Ｎ（ａ+５，ａ-２）在ｘ轴上，则点Ｎ的 坐标为 (7, 2) 。
3、若点P（x，y）的坐标满足xy=0，则点p在（ D ） A 原点 B x轴上 C y轴上 D x轴上或y轴上
4、如果点（2m,m-4）在第四象限，且m为偶数， 则m= 2 .
1、象限及坐标轴上点
根据点所在位置，用“+” “-”或“0”
添表
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
在第一象限
+
+
在第二象限
-
+
在第三象限
-
-
在第四象限
+
-
在正半轴上
+
0
在x轴上 在负半轴上
-
0
在正半轴上
0
+
在y轴上 在负半轴上
0
-
原点
0
0
选一选
1、 下列点中位于第四象限的是（ A）
A、（2，-3）B、（-2，-3）C、（2，3）D、（-2， 3）
口诀:关于哪轴对称那不变， 关于
原点对称全部变
知识点二：点到坐标轴的距离
直角坐标平面内,点p(x,y)到x轴的距离是__y___ ,
到y轴的距离是___x__ .
x轴上两点M1(x1,0), M2(x2,0)的距离M1M2=
x
1
x2
,
Y轴上两点N1(0,y1), N2(0,y2)的距离 N1N2= y1 y2 .
平面直角坐标系点的坐标的特征
写出图中A、B、C、D、E各点的坐标。
纵轴 y 5
4
3
· ( -2，1 ) C
2
1
· -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
· -3
D ( -4，- 3 ) -4
坐标是有序
的实数对。
A ( 2，3 )
· ·B ( 3，2 )
12345
·E ( 1，- 2 )
x 横轴
y
2
在平面直角坐标
知识一：关于坐标轴、原点对称的点的坐 标
y （a，b） P
（－a，b） P2
P1 （a，－b）
O
X
P3
（－a，－b）
想一想
分别写出图中点A、B、C、D的 坐标。观察图形，并回答问题
y
C (-3,2) 3
2
A(3,2)
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
-2
D(-3,-2) -3 -4
B(3,-2)
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
1关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 • 口诀：关于x轴对称的点的坐标，纵变、横不变。 2关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 口诀：关于y轴对称的点的坐标，横变、纵不变。 3关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 口诀：关于原点对称的点的坐标，横、纵都变。
●C ●A
-4 –3 –2 –1 0 1 2●D3 4 5 x -1 ●B -2 -3 -4 ●F ●E
三、平行于坐标轴点的特征
1.平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同；
2.平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同。
练习1:已知点A(m,-2),点B(3,m-1), (1)若直线AB∥x轴,则m=__-_1__ (2)若直线AB∥y轴,则m=___3____
2
C·
1
2叫做点A的纵坐B（标2，3） A点在平面内的坐标为(3, 2)
记作：A（3，2）
·
·A（3，2）
方法：先横后纵
-4 -3 -2 -1 0 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系上-2的点和有序实数对一一对应
-3
D
-4
E
（－3，－3）
（5，－4）
• 口诀：
• 横在前，纵在后， • 两边括，中间逗。
2、
C
如果xy＞0，且x＋y＜0，那么p（x,y）在（ ）
A 、 第一象限 B、 第二象限 C、 第三象限 D、第四象限
3、
B
若点A（x,y）的坐标满足xy＜0,x＜0，则点A在（ ）上
A 、 第一象限 B、 第二象限 C、 第三象限 D、第四象限
4、 在点M（-1，0）、N（0，-1）、P（-2，-1）、O（5，B0）、 R（0，-5）、S（-3，2）中，在x轴上的点的个数是（ ）
解：因为P到X轴的距离是2 ，所以， a的值可以等于±2，因此P（3，2） 或P（3，-2）。
3、点P的坐标为 (3，2)，你知道点P到X轴的距离吗？ 到Y轴的距离又是多少呢？在第二象限，到X轴的距离 为3，到Y轴的距离为2的点的坐标是多少呢？
y
4 3
P（3，2）
1 -3 -2-1-01 1
-2
3 4x
动一动，方格纸上分别描出下列点的看看这
些点在什么位置上，由此你有什y 么发现？
A (2，3) B (2，-1) C (2，4) D (2，0) E (2，-5) F (2，-4)