平面直角坐标系中的距离
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称 距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
2 2 S3 计算 d＝ d x dy
；
S4 给出两点的距离d．
求两点之间的距离：
（1）A（6，2），B（－2，5）； （2）C（2，－4），D（7，2）．
平面直角坐标系中的距离公式
在直角△P1QP2中，
P2
2
N2
P1P2 P1Q QP2
2
2
P1Q M1M 2 x 2 x1 QP2 N1N 2 y 2 y1
M1 O
M2 N1 P1
x
Q
P1P2
x 2 x1 y2 y1
2
2
一、两点间的距离公式
两点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) 间的距离公式
平行直线间的距离
点到直线的距离
例3. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？
若平行，求l1与l2间的距离.
分析：在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 6 2 ( 9) 2 7 13 13
| AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
练1、已知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x 轴上求一点P，使 PA PB ，并求 PA 的值。
例1、证明：平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
y
D(b,c) C(a+b,c)
坐标法
A(0,0) B(a,0) x
的距离
d Ax0 By0 C A B
2 2
练2. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离. 例2. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是 x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高. 练3. 已知点A(1, 3)，B(3, 1)，C(－1, 0)，
求△ABC的面积.
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
即为直线l1与直线l2间的距离。
思考. 已知直线l1：Ax+By+C1＝0， l2：Ax+By+C2＝0，(C1≠ C2) 求l1与l2间的距离.
【数学】2.1.5 平面直角坐标系中的距离 课件(北师大必修2)
4.我们两条 平行直线间的距离便成为新的课题.
知识探究（一）：点到直线的距离
思考1:你能设计一个方案求点P(x0，y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？
y
B Q
P o
A l
x
思考2:根据上述分析，点P(x0，y0)到直 线l：Ax +By +C=0的距离为：
第二章 解析几何初步
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
一、两点间的距离:连结两点的线段的长度
A B
如图：线段AB的长就是点A、B之间的距离
A B
二、数轴上两点间的距离公式为： AB x x
B A
平面内任意两点间的距离
例如：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如 何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P P | 1 2
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
练习
OP
x y
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1)
(3)、A(6，0),B(0，-2)
d | Ax0 By0 C | A B
2 2
这是点到直线的距离公式.当直线l平行 于坐标轴时，公式是否成立？
知识探究（二）：两平行直线的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平行直线间的距离 的含义是什么？
A
B
思考2:根据上述思路，你能推导出两平 行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？
c 平面坐标系距离公式
c 平面坐标系距离公式一、两点间距离公式。
（一）在平面直角坐标系中。
1. 公式内容。
- 设平面直角坐标系中有两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
2. 推导过程。
- 以A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)两点为例，过A，B两点分别向x轴和y轴作垂线，两垂线相交于点C。
- 则AC = x_2 - x_1，BC=y_2 - y_1。
- 根据勾股定理，在直角三角形ABC中，AB^2 = AC^2+BC^2。
- 所以AB=√(AC^2 + BC^2)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
3. 应用示例。
- 例：已知A(1,2)，B(4,6)，求A，B两点间的距离。
- 解：根据两点间距离公式d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，这里x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 4,y_2 = 6。
- 则d(A,B)=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(3^2+4^2)=√(9 + 16)=√(25)=5。
（二）在平面极坐标系中。
1. 公式内容。
- 设平面极坐标系中有两点A(ρ_1,θ_1)，B(ρ_2,θ_2)，则两点间的距离d(A,B)=√(ρ_1^2)+ρ_2^{2-2ρ_1ρ_2cos(θ_2-θ_1)}。
2. 推导过程（略，超出高中基础要求，可作为拓展知识）3. 应用示例。
- 例：已知A(2,(π)/(3))，B(3,(π)/(6))，求A，B两点间的距离。
- 解：根据公式d(A,B)=√(ρ_1^2)+ρ_2^{2-2ρ_1ρ_2cos(θ_2-θ_1)}，这里ρ_1 = 2,θ_1=(π)/(3),ρ_2 = 3,θ_2=(π)/(6)。
- 首先计算cos(θ_2-θ_1)=cos((π)/(6)-(π)/(3))=cos(-(π)/(6))=cos(π)/(6)=(√(3))/(2)。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的一种坐标系统。
该坐标
系由两个互相垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
任意点在该坐标
系中的位置可以由该点在x轴和y轴上的坐标表示。
在平面直角坐标系中，有一些基本的公式可以帮助我们计算点之间的距离、角度等几何性质。
1.平面直角坐标系中的点表示：
在平面直角坐标系中，任意一点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐
标表示。
常用的表示方法是(x,y)，其中x表示该点在x轴上的坐标，y
表示该点在y轴上的坐标。
2.点之间的距离：
d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
3.点关于原点的对称点：
4.点的中点：
M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
5.点的斜率：
斜率=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
6.点的直线方程：
y-y₁=k(x-x₁)
7.点关于x轴的对称点：
8.点关于y轴的对称点：
9.点关于原点的对称点：
10.点关于一条直线的对称点：
P' = (x - 2 * (m * (mx + c - y) / (1 + m²)), y - 2 * (m * (mx + c - y) / (1 + m²)))
以上是平面直角坐标系中的一些基本公式。
这些公式在求解点之间距离、点关于直线的对称点等问题时非常有用，对于解决各种几何问题具有重要的参考价值。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
平面直角坐标系中的距离公式及应用教案
平面直角坐标系中的距离公式及应用教案引言平面直角坐标系中距离公式是高中数学中的重要内容之一，该内容的重要性不仅在于它是数学基础的一部分，还在于它在实际应用中的广泛性。
本文将基于二元一次方程的平面直角坐标系中的距离公式，详细介绍该公式的基本原理以及其在实际应用中的具体运用。
第二部分：基本原理在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理求得，勾股定理就是数学中著名的毕达哥拉斯定理。
而二元一次方程又可以描述平面直角坐标系中的任意一条直线，因此可以利用二元一次方程求解两点之间的距离。
设平面直角坐标系中两点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则它们之间的距离可表示为：$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$这就是平面直角坐标系中的距离公式。
其中，$d$表示两点之间的距离，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$表示两点的坐标。
由于平面直角坐标系中的距离公式是基于勾股定理推导出来的，因此也被称为勾股定理公式。
第三部分：具体运用在实际应用中，平面直角坐标系中的距离公式具有广泛应用。
以下是该公式在实际问题中的几个具体应用。
1.判断三角形是否为等边三角形对于平面直角坐标系中给定的三个点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$和$(x_3,y_3)$，如果这三个点构成的三角形的三条边相等，则这个三角形就是等边三角形。
利用平面直角坐标系中的距离公式可以判断三角形的三条边是否相等。
具体步骤如下：-计算出三角形的三个顶点之间的距离，即$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，$d_{23}=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$，$d_{31}=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$。
-判断$d_{12}$、$d_{23}$和$d_{31}$是否相等。
如果相等，则表示这个三角形是等边三角形。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
A A2
（3）M2是A2，B2的中点吗？它们的
A1 O M1 B1 x 坐标有怎样的关系？
（4）你能写出点 M 的坐标吗？
精品
中点公式
在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 的中点 M(x，y) 的坐标之间满足：
x x1 x2 ， y y1 y2 ．
2
2
精品
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 2 y2
35 1 2
02 1
2
2
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
精品
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)， 求顶点 D 的坐标．
S3
计算 d＝
d
2 x
d
2 y
；
S4 给出两点的距离d．
精品
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ． 解： 因为
x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3， 所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7． 因此 |A| Bdx 2dy 2(4)2726． 5
x=
x1 x 2 ． 2
精品
如图所示．设 A(-1，1)，B(2，3) ．
y
B2
B
A A2 A1 O
C B1 x
过 A，B 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1，垂足分别为 A1，B1 ；
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∴|AB|=|3|=3，|AC|=|y|，
∴S∆ABC=
1 2
AB
AC
1 2
3
|
y
|
5,
∴ | y | 10 , ∴ y 10 ,
3
3
∴点C (0, 10) 或(0, 10).
3
3
在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(2,-3), B(5,-2),C(2,4),D(-2,2)求四边形ABCD的周长和面积．
y
x
如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点． （1）求△ABC的面积． （2）如果在第二象限内有一点P(m,12)是否存在点P，使四边 形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由．
4
C
3
P
2A
1
B
123
1. 两点距离多用于求长度、周长和面积等； 2. x轴上的两点距离，为两点横坐标的差的绝对值；
y轴上的两点距离，为两点纵坐标的差的绝对值. 3. 求多边形的面积：使用“分割求和”或“补形作差”
来计算面积.
祝同学们学习进步哦！
y
. B(x2,y2)
|y1-y2|
|x1-x2|
| AB |
|x1-x2|
.A(x1,y1)
(x x )2 (y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy )2
1
2
1
2
|y1-y2|
O
x
3. 坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴
或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运
用两点之间的距离公式：L (x x )2 ( y y )2
1
2
1
2
若x轴上点P与点Q(-2,0)的距离是5，则点P的坐标是（ ）
A. (7,0) C. (3,0)
B. (-7,0)； D. (-7,0)或(3,0)
如果点A(0,0) ，B(3,0) ,点C在y轴上，且∆ABC的面积是5，求C点 的坐标．
解：由已知可知，A为原点，B在x轴正方向上,
∵点C在y轴上， ∴设C点坐标为(0,y)，
平面直角坐标系 中的距离
主讲教师：郑 丽
y
. A(a,b)
|a|
|b|
x
1. 每一个点（a,b）的坐标由两部分组成： A. 它的符号，由它在坐标系中的位置决定； B. 它的长度，
. y=b A(a,b)
.A2(-a,b)
. A1 (a,-b) x=a
. A3 (-a,-b)
2. 关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两 个点，x相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反； 于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行 的直线，x相同，y不同；可表示为x=a；