在平面直角坐标系中求几何图形的面积
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】❖ 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤：①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】1．已知一次函数图象经过A （﹣4，﹣10）和B （3，4）两点，与x 轴的交于点C ，与y 轴的交于点D ． （1）求该一次函数解析式；（2）点C 坐标为 ，点D 坐标为 ；（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．【分析】（1）用待定系数法求直线AB 的解析式； （2）令y ＝0求得点C 的坐标，令x ＝0求得点D 的坐标；（3）利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象，然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）当x ＝0时，y ＝﹣2，当y ＝0时，x ＝1， ∴C （1，0），D （0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）．（3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示，∵C（1，0），D（0，﹣2），∴OC＝1，OD＝2，∴S△OCD＝＝1，∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1．2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（2）联立方程，解方程即可．【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，解得，∴直线解析式为y＝﹣2x+3，将x＝0代入得y＝3，∴与y轴交于点（0，3），将y=0代入得x＝，∴与x轴交于点（，0），∴S＝×3×＝．（2）解得，∴点C的坐标是（2，﹣1）．变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），∴2k+b＝0，b＝﹣2k，∴y＝kx﹣2k，令x＝0，则y＝﹣2k，∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，解得：k＝±，则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC 的面积为．【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3）又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC•|x B|＝×3×1＝．故答案为．2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为．【分析】利用一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）可得直线l1与直线l2：与y轴交点，然后可求出△PAB 的面积．【解答】解：∵直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），∴﹣1＝﹣2×1+b，解得：b＝1，∴A点坐标为（0，1），∵直线l2：y＝kx﹣2交y轴于B，∴B（0，﹣2），∴AB＝3，∴△PAB的面积为：3×1＝，故答案为：．变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（）A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k 的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式．【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0），∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×（﹣）×0.5＝4，解得k＝﹣2，则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4．故选：B．类型三三条直线围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式，再确定直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式和以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC进行计算．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，4）、B（﹣2，2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝x+3，当y＝0时，y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，则D点坐标为（﹣6，0），所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC＝×（4+6）×4﹣×（4+6）×2＝10．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA +AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；（2）根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点，联立两直线解析式可求出点E 坐标，再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ，得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积，即可求出△ADE 的面积；（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|，利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y ＝0时，﹣x +4＝0， 解得：x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）． 在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝＝5．由折叠的性质，可知：∠BDA ＝∠CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5， ∴OC ＝OA +AC ＝8， ∴点C 的坐标为（8，0）． （2）∵C （8，0），D （0，﹣6）， ∴直线CD 的解析式为：y=43x-6， ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524，， ∴S △ADE ＝S △BDE ﹣S △ABD ＝BD •|x E |﹣BD •|x A |＝9（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵S △PAD ＝S △ADE ，即DP •OA ＝×OD •OA ，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝S△ADE．3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：（1）b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积．【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD＝2可求得D点坐标，代入直线CD：y＝x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标．（2）可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而S△BDP＝|x P|，即可求得．【解答】解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），令x＝0则y＝1∴B（0，1），又∵S△ABD＝2∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2∴|BD|＝2，又B（0，1），∴D（0，﹣1）∴b＝﹣1；∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，解得x＝4，y＝3，∴P（4，3）；（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y＝x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝2x+4；设直线CD的解析式为y＝mx+n，把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得，解得，所以直线CD的解析式为y＝x﹣3；如图所示；（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝×（6+2）×4+×（6+2）×3＝28；（3）解方程组得，所以E点坐标为（﹣，﹣），所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD＝×（6+2）×﹣×（6+2）×3＝．变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．【分析】审题知B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为2，而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示，即x+2的绝对值．已知三角形的面积为10，依此列出方程求解即可．【解答】解：由B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为4﹣2＝2，BC＝|x ﹣（﹣2）|＝|x+2|，因为△ABC的面积为10，所以×2×|x+2|＝10，|x+2|＝10，x+2＝10，或x+2＝﹣10，解得：x＝8，或x＝﹣12．考点二一次函数图象与几何图形动点面积【知识点睛】❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息❖对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点❖动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)
人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D -3+3为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7； （2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0）， （2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ， 由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。
二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。
怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。
例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。
例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ）A 、（0，-2）B 、（2,0）C 、（4,0）D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。
解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。
平面直角坐标系面积问题
平面直角坐标系面积问题介绍平面直角坐标系是数学中常见的一种坐标系，由两条相互垂直的数轴组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置来描述平面上的几何图形。
而面积问题则是研究平面上各种几何图形的大小。
本文将介绍平面直角坐标系中常见的几何图形，并讨论如何计算这些图形的面积。
我们将重点关注矩形、正方形、三角形和圆形这四种常见几何图形。
矩形矩形是平面上最简单的几何图形之一，由四条边和四个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以用两个对角顶点的坐标表示一个矩形。
矩形的面积计算公式为：A=l⋅w，其中A表示矩形的面积，l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度。
对于一个顶点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)的矩形，其长度l=|x2−x1|，宽度w=|y2−y1|。
根据上述公式可以计算出矩形的面积。
正方形正方形是一种特殊的矩形，其四条边长度相等且四个角均为直角。
在平面直角坐标系中，我们可以用一个顶点和边长表示一个正方形。
正方形的面积计算公式为：A=s2，其中A表示正方形的面积，s表示正方形的边长。
对于一个顶点坐标为(x,y)的正方形，其边长s可以通过计算两个对角顶点之间的距离得到。
然后根据上述公式可以计算出正方形的面积。
三角形三角形是平面上最基本的几何图形之一，由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以用三个顶点的坐标表示一个三角形。
三角形的面积计算公式有多种，下面介绍两种常用方法。
海伦公式海伦公式适用于已知三边长度的情况。
假设三边长度分别为a、b和c，则三角形的半周长s=a+b+c。
三角形的面积A可以通过以下公式计算：2A=√s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)矢量叉积法矢量叉积法适用于已知三个顶点坐标的情况。
假设三个顶点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，则三角形的面积A可以通过以下公式计算：A=12|(x1y2+x2y3+x3y1)−(y1x2+y2x3+y3x1)|圆形圆形是平面上最常见的几何图形之一，由一个圆心和半径组成。
面积公式论文：三角形面积公式的坐标表示及简单应用
面积公式论文：三角形面积公式的坐标表示及简单应用坐标是数学中用于衡量图形具体位置的一个有序实数对，是将几何图形转化为代数形式的有力工具，它在几何学乃至人们的日常生活中起到了极其重要的作用.坐标的出现，为我们定量地研究几何图形的特征、性质提供了方便.三角形作为平面几何中最基本、最重要的图形，其基本元素就是三角形的三条边和三个顶点，那么如何利用三角形的边和顶点坐标来表示三角形的面积公式呢？笔者结合自身的教学实践例谈如下.命题：在△abc中，已知ab=(x1,y1)，ac=(x2,y2)，则三角形的面积公式的坐标表示为：s abc=12x1x 2 y1y 2=12｜x1y2-x2y1｜，其中行列式x1x 2 y1y2=x1y2-x2y 1.证明：因为ab=(x1,y2)，ac=(x2,y2)，所以s abc=12｜ab｜｜ac｜sin〈ab,ac〉=12｜ab｜｜ac｜1-cos2〈ab,ac〉=12｜ab｜｜ac｜1-(ab ac｜ab ｜｜ac｜)2=12(｜ab｜｜ac｜)2-(ab ac)2＝12（x21+y21x22+y22）2-(x1x2+y1y2)2=12(x21+y21)(x22+y22)-(x1x2+y 1y2)2=12x21y22+x22y21-2x1x2y 1y 2=12(x1y2-x2y1)2=12｜x1y2-x2y1｜＝12x1x 2 y1y 2.根据上面的证明，我们可以知道三角形面积公式除了以前学过的s abc=12×底×高，s abc=12absinc=12acsinb=12bcsina之外，还可以用三角形三边的向量坐标表示或三角形的三个顶点坐标表示，即：从三角形某个顶点出发的相邻两边的向量的交叉坐标乘积之差的绝对值的一半就是该三角形的面积.这一公式我们不妨把它称之为三角形面积公式的坐标表示.说明：如果知道了三角形的三个顶点，那么从三角形某个顶点出发的相邻两边的向量也容易表示，为此，还可以直接利用三角形的三个顶点坐标直接表示三角形的面积，即：已知三角形三个顶点坐标分别为 a（x1,y1）、b(x 2,y2)、c(x3,y3)，则ab=(x2-x1,y2-y1)，ac=(x3-x1,y3-y1)，所以s abc=12x2-x1x3-x 1 y2-y1y3-y1=12｜(x2-x1)(y3-y1)-(x 3-x1)(y2-y1)｜=12｜(x1y2+x2y3+x3y1)-(x2y 1+x3y2+x1y３)｜.【例1】已知△abc的三个顶点坐标分别为a(1,1)，b(4,2)，c(3,5)，求s abc的面积．解析：因为ab=(3,1)，ac=(2,4)，所以sabc=12｜34-12｜=5.点评：若采用常规解法，则需利用两点间的距离公式分别求出三角形的边长，再利用余弦定理求出三角形的一个夹角，最后代入s abc＝12absinc=12acsinb=12bcsina公式即可求解，步骤较为繁琐.现采用三角形面积公式的坐标表示，口算即可得出结论，并且直观、简洁、方便、灵活.【例2】已知△abc中，向量ba=(cos23°,cos67°)，bc=(2cos68°,2cos22°)，求△abc的面积．解析：因为ba=(cos23°,sin23°)，bc=(2cos68°,2cos22°)，所以s abc＝12｜cos23°2cos22°-sin23°2cos68°｜=12｜cos23°2cos22°-sin23°2sin22°｜=12｜2cos(23°+22°)｜=22.【例3】平面直角坐标系内有点p(sinx,cosx)，q(cosx,sinx)，x∈［-π24,π12］，o为坐标原点，求△opq 面积的最值．解析：因为点p(sinx,cosx)，q(cosx,sinx)，所以op=(sinx,cosx)，oq=(cosx,sinx)，所以s opq＝12sinxcosx cosxsinx=12|sinxsinx-cosxcosx|=12|cos2x|.因为x∈［-π24,π12］，所以当x=π12时，△opq面积的最小值为34；当x=0时，△opq面积的最大值为12．点评：利用三角形面积公式的坐标表示来求解三角形面积时，避免了对夹角和边长的繁琐运算，大大地提高了解题效率，让学生体会到数学的简洁美和对称美.【例4】（由2007年全国卷（ⅱ）理11改编）已知抛物线y2=4x的焦点为f，准线为l，经过点f且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a，ak⊥l，垂足为k，求△akf的面积.解析：由题意知抛物线y2=4x的焦点坐标为f(1，0)，准线为l：x=-1，经过f且斜率为3的直线方程为：y=3(x-1)，直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a的坐标为a(3，23).又因为ak⊥l，所以垂足的坐标为k(－1，23)，所以fa=(2,23) ，fk=(-2,23),所以△akf的面积为：s akf=12223-2 23=12|2×23-(-2)23=43.点评：本题除了可以利用上述办法解决之外，还可以直接联立抛物线方程：y2=4x和直线方程：y=3(x-1)，解出在x轴上方部分相交于点a的坐标(3，23)，然后易知，点a到准线的距离4为三角形的底边长，点a的纵坐标23为高，此时带入三角形的面积公式s =12×底×高=12×4×23=43.【例5】（由2006年浙江卷理4改编）在平面直角坐标系中，求不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤2表示的平面区域的面积.解析：根据题意，画出不等式组表示的平面区域是一个三角形，由此求不等式组表示的平面区域的面积就转化为求由三条直线相交交点所组成的三角形的面积，所以只要联立方程组分别求出两两直线相交的交点坐标分别为a(2,0),b(0,2),c(2,4)，即ab=(-2,2)，ac=(0,4)，所以三角形的面积为s abc=12-2 204=12|-2×4-02|=4.点评：本题不等式组所表示的平面区域刚好是一个三角形区域，为此，要求此区域的面积就可以转换为求已知三角形三个顶点所在直线围成的三角形面积，这样正好可以把三角形的三个顶点分别联立方程解出来，然后利用三角形面积公式的坐标表示，即可把不等式组表示的平面区域的面积求出来，简化了运算，提高了解题效率，同时，也提高了学生分析问题、解决问题的能力.纵观上述五道例题，我们不难发现，三角形面积公式的坐标表示作为三角形面积公式的有力补充，给人以耳目一新的感觉，不但体现了用坐标方法解决三角形面积问题的优越性和简洁性，还为学生解决已知三角形三个顶点坐标或相邻两边的向量坐标求面积问题提供了便利，同时还为解决三角形面积问题提供了全新的思维模式，也为三角形面积公式增添了活力.。
人教版七年级下册第七章平面直角坐标系中的几何图形面积 教学案(PDF版 无答案)
3、 在直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（4，5.5） （1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a ，1 ) ，使用含a的代数式表示四边形ABOP的面积； 2
（3）若点Q的纵坐标为 1 ，是否存在点Q使△AOQ的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若 2
不存在，请说明理由．
4.在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现 将△ABC平移后得△DEF，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．
（1）画出△DEF；
（2）连接AD、BE，则线段AD与BE的关系是
；
（3）求△DEF的面积．
5. 如图，△A’B’C’是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣4，﹣1)， B(﹣5，﹣4)，C（﹣1，﹣3），△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+ 4）
例1.如图所示的平面直角坐标系，在直角梯形OABC中，已知：CB∥OA，CB=8，OC=8，OA=16． （1）点A、B、C的坐标； （2）求梯形OABC的面积．
例2. 如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7， 5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．
能力展示
限时考场模拟：15 分钟完成
1. 已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A.（﹣4，0）
B.（6，0）
C.（﹣4，0）或（6，0）
D.无法确定
2.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）（4，0）.将 △ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线 y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
13 三角形面积求最大值问题——铅垂法-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
铅垂法求三角形面积最值问题求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S CD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高，=2ABC ABD BCD S S S ⨯-= 水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．方法突破例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据B 、C 两点坐标得B 、C 水平距离为4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1，设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1），得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--；一次函数解析式：1122y x =+．（2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，按铅垂法思路，可得：12233121321312ABC S x y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．专项训练1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -．（1）分别求m 、n 和b 、c 的值；（2）点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；（2）分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．【解答】解：（1） 二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -，∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=， 点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)(2232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++，即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；（3）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；（2）设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-< ，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =，则点P 的坐标为(2,3)-；（3）存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ，则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或13m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去）；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(1-3)或(1--3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；（2）设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标；（3）两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -，11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =，∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--，故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；（2）设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k b b =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-，BC ∴解析式是443y x =-，如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+，3032<< ，32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-，3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A - ，(0,4)C -，(3,0)B ，∴14OA OC =，3OB =， 点Q 在y 轴上，90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应，分两种情况：①如答图2，AOC QOB∆∆∽，则14OQ OAOB OC==即134OQ=，解得34OQ=，13(0,4Q∴或23 (0,)4Q-；②AOC BOQ∆∆∽，则14OB OAOQ OC==即314OQ=，解得12OQ=，3(0,12)Q∴或4(0,12)Q-，综上所述，存在y轴上的点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与AOC∆相似，这样的点一共4个：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，故答案为：存在这样的点Q，坐标分别是：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；（3）设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(|4|)42n n -=+，即可求解．【解答】解：（1） 点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上，∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2） 点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+ ，∴当32m =时，PBC S ∆有最大值，∴点3(2P ，154；（3）存在N 满足条件，理由如下： 抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+ ，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒，NQ MC ⊥ ，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒，MQ NQ ∴=，22MQ NQ ∴==，设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=，222()2MN AN ∴=，222(|4|)42n n ∴-=+，2880n n ∴+-=，46n ∴=-±，∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,426)-+或(1,426)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为3，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为13y x =-+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181(33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则(,1)P n '+，得出2PP n '=-+，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C ，4)3-，设Q ，)m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，(0,1)A ，B ，0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得31k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为13y x =+， 点FF ∴点纵坐标为113=-，F ∴点的坐标为，1)3-，又 点A 在抛物线上，1c ∴=，对称轴为：2b x a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181(33a a a ∴-+=-+--，解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)3P n '+，2733PP n n '∴=-+，2213737493)32222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=--+ ，∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．（3） 231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，0x ∴=或733x =7(33C ∴，43-，设(3Q ，)m ，①当AQ 为对角线时，47(3,)33R m ∴+，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=--+，解得443m =-，44(3,3Q ∴-，437(3,33R -；②当AR 为对角线时，107(3,33R m ∴-，R 在抛物线2(4y x =--+上，2743m ∴-=--+，解得10m =-，Q ∴10)-，37)3R -．综上所述，443Q -，37(3R -；或Q ，10)-，37)3R -．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2122y x y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=，122x x k ∴+=，124x x =- ，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-= ，∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，OP OQ ∴==解得，1m 2m =，31m =，41m =-，31m = ，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =-，当2m =时，点(P 1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =+．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =-或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。
在平面直角坐标系中求几何图形的面积
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法三：
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1 s3
1 2 3 4
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
5P
x
S=S长方形OPMN– S1 – S2 –S3
二、坐标系中四边形面积的求法
例4.如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法一：
5 4 3
•
C(3,4)
• s1 A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1 2
s2
3
4
5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法二：
5 4 3
•
C(3,4)
• A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1
s1
2 3
H
s2
4 =9+4 =13 5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
1
2
3
4
5
x
S=S梯形OAMN– S1 –S2
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法二：
5 4 3 2 1
B(3,4)
•
M
s1
• A(5,2)
s2
1 2 3 4 5P x
-2
o• -1 -1 -2
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3
2
• A(5,2)
1
-2 -1 o• 1 2 3 4 5P x
-1
-2
。
y
5
4
•C(3,4)
3
2•
A(0,2)
s2
1
s1
-2 -1 o•
1
2
3
4
•
5
B(5,0)x
-1
-2
S=S1+S2
10.如图所示，则△ ABC的面积是 。
返回
10.如图所示，则△ ABC的面积是 8 。
y
5 4N
s1
3
C(•3,4)
M
s2
A(02,2)•
1
-2 -1 o•
-1
-2
s3
• B(5,0)
。
y
5
4
•C(3,4) 利用现在所学过 的知识你能确定
M点的坐标吗？
3
s1
2•
M
A(01,2)
s2
-2 -1 o•
1
2
3
4
• B(5,0)
5x
-1
-2
S=S1+S2
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
5 4N
s1
3
•C(3,4)
M
s2
2•
A(0,2)
1
-2 -1 o•
1
2
3
4
•
5
B(5,0)x
y
5 4 3 2
A(-1,0) 1
-4
-3
-2
•
-1
o
-1
-2 -3
H
B(5,0)
•
12345 x
-4
• C(3, - 4)
4.如图所示， △ ABC的面积是 7.5 。
y
5
4
3 • B(0,3)
2
1
-4
-3•
-2
-1
o -1
H1
2
3
4
5
x
A(-3,-1)
-2 • C(0,-2)
-3
-4
选取在坐标轴上的边作为三角形的底。
y
5
4 • A(0,4)
3 2
1
B(3,0)
-4 -3 -2 -1 o•
1
2
•
3
4
5
x
-1
-2 -3
-4
2.如图所示， △ ABC的面积是
y
5 • A(0,5)
4 3 2
12.5 。
1
•
-4 -3 -2 -1
o
•
12345
x
B(-2,0) -1
C(3,0)
-2
-3
-4
3. 如图所示， △ ABC的面积是 12 。
y
5 4N
3
s1
2
B(•3,4)
M
s2
• A(5,2)
1
-2 -1 o•
-1
-2
s3
1 2 3 4 5P x
S=S长方形OPMN– S1 – S2 –S3
8.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
4
3 2
1
-2 -1 o•
-1 -2
B(3,4) •
M
1234
• A(5,2)
5P x
S=S △ BOM+ S梯形BMPA– S △ AOP
8.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
4
B•(3,4)
3 2
1
-2 -1 o• 1 2 3 4
-1
-2
• A(5,2)
5P x
返回
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是 13 。
y
5
4
• C(3,4)
3
A(0,2)2 •
1
-2 -1 o•
1
2
3
4
• B(5,0)
5x
-1
-2
Ge bu
heng bu
描出下列各点，并求出线段的长度
1、已知：A（0，-2）， B（0，1）， 则AB= ; 2、已知：A（5/2，0）， By （-1/2，0）， 则 AB= ; 3、已知：A（1，2）， B（1，5）， 则AB= ; 4 、已知：A（2，3）， BB（-5，3）， 则AB= ;
O
x
A
描出下列各点，并求出线段的长度
8.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
4
B•(3,4)
Heng
Ge
3
Shu
2
•A(5,2) Ge
1
Heng Ti
-2 -1 o• 1 2 3 4 5P x
Shu Ti
-1
-2
Quan bu
Gebu
8.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
利用现在所学过 4
的知识你能确定
M点的坐标吗？ 3
2
M
B(•3,4)
2
• C(3,3)
1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1
A(-3,-2) •
-2
-3
-4
7.已知：A（4,2），B(-2,4），C（-2,-1），
则△ ABC的面积是 15 。
y
5
B(-2,4)
•
4
3
H
2
1
• A(4,2)
-2 -1 o
12345
x
•
-1
C(-2,-1) -2
选取平行于坐标轴的边作为三角形的底。
12345 x
S=S长方形NOBM– S1 –S2 –S3
返回
10.如图所示，则△ ABC的面积是 8 。
y
5 4N
s1
3
•C(3,4)
2•
A(0,2)
1
-2 -1 o•
-1
-2
s2
1
2
3
4
•
5
B(5,0)x
S=S梯形NOBC– S1 –S2
返回
lianxi
谈谈我们的收获
1.等积变换
方法
2.割补法求面积
-1
-2
S=S长方形NOBM– S1 –S2
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
5
4
3
2•
A(01,2)
-2 -1 o•
-1 -2
•C(3,4)
s3
s1
12
s2
H
34
• B(5,0)
5x
S=S1+S2 +S3
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
5
利用现在所4学
过的知识你能
确定M点的3坐
Shu ge
Heng ge Bu
chang
Zuos yous Sh s Xia s
Yan chang
xige
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
5
4N
3 s1
2•
A(0,2)
1
-2 -1 o• 1
-1 -2
•C(3,4)
s2
M
• B(5,0)
2345 x
S=S长方形NOMC+S2 – S1
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是
2、已知：A（5/2，0）， B（-1/2，0）， 则 AB= ; y
O
B
A
x
描出下列各点，并求出线段的长度
3、已知：A（2，2）， B（2，5）， 则AB= ;
yB
A
O
x
描出下列各点，并求出线段的长度
4 、已知：A（2，3）， B（-5，3）， 则AB= ; y NhomakorabeaB
A
O
x
1.如图所示，△AOB的面积是 6 。
1
-2 -1 o• 1 2 3 4
-1
-2
• A(5,2)
5x
8.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
利4用现在所学过
的知识你能确定
M3点的坐标吗？
2
B(•3,4)
1
M
-2 -1 o• 1 2 3 4
-1
-2
• A(5,2)
5x
8.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5 4N
3
s1
2
B(•3,4)
M
s2
化复杂为简单
转化
化未知为已知
若在坐标轴上存在一点P,使得S△ BCP =2S 四边形
AOBC，求P点坐标y。
5
4
• C(3,4)
3
A(0,2)2 •
1
-2 -1 o•
1
2
3
4
• B(5,0)
5x
-1
-2
S =S 若在坐标轴上存在一点P,使得 △ AOP
△AOB，
求P点坐标。 y
5
4
B•(3,4)
。
y
5
4N
3 s1
2•
A(0,2)
1
-2 -1 o• 1
-1 -2
•C(3,4)
2
3
4
•
5
B(5,0)x
S=S梯形NOBC – S1
9.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
5
4
3
2•
A(01,2)