平面直角坐标系中的基本公式

y B2 A(x1,y1) B(x2,y2)
|AC|=|A1B1|=|x2－x1|，|BC|=|A2B2|=|y2－y1|，
由勾股定理得
A2 O
C
|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2，
由此得到计算两点间距离的公式： d(A，B)=|AB| （x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
2 2 （ 53 ） （ 04 ） 20
因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线， 所以△ABC是等腰三角形。
坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直
角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一
步步地计算来解决问件，在适当位置建立坐 标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的 坐标，进而推导结论.
A1
x B1
两点间的距离公式
已知：A ( x1，y1 )，B ( x2 , y2 )
则AB两点间距离的公式：
d(A，B) （x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
A(x1,y1)
y B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
特别地：
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；（y2=y1）
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
1 (2，3)等距离，则M点的坐标是 (0, ) . 2
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
6．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点
是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距
离是
19
。
7．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2， 5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C
解得x=0或x=2,
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12， 若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°得|AB|2=|AC|2+|BC|2， 可得y=0 或y=4， 而其中原点O(0，0)计算了两次，
故选C.
例6．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的 两个等边三角形，用坐标法证明： |AE|=|CE|. 证明：如图，以B点为坐标原点，取AC 所在的直线为x轴建立直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长 分别为a和c， 则A(－a，0)，C(c，0)
当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|； (x2=x1) 当B为原点时，d(A，B)=
x y
2 1
2 1
(x2=y2=0)
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计 算两点之间的距离，我们可分步骤计算：
（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2 －x1，△y=y2－y1. （3）计算 d=
y A(x 1,y 1)
B(x 2,y 2)
M(x ,y) O
x
C(x 3,y 3)
例4．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)， C(5，2)，求顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角 线的中点相同，所以它们的坐标 也相同。设D点的坐标为(x，y)，
则
x 2 3 5 1 2 2 y 2 0 2 1 2 2
c 3c a 3a D ( , )， ) ，E ( , 2 2 2 2
于是|AE|=
|CD|=
2 2 c 3 c 2 2 2 a ac a ac c 4 4
a 3 2 ( c) ( a 0)2 a 2 ac c2 2 2
所以|AE|=|CD|.
例7.求函数y= x2 1 x2 4x 8 的最小值.
x2 1 x2 4 x 8
的最小值为 13
练习题：
1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一 个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标 是－1，则端点B的纵坐标是（ C ） （A）－3 （B）5
（C）－3或5 （D）－1或3
2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得
|AB|=5，则B点的坐标是（ D ）
∴ d(A，B)= x y 65
2 2
例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0), 求证：△ABC是等腰三角形。
证明：因为 d (A，B) =
(3 1) 2 (4 2) 2 8
2 2 d (A，C) = （ 5 1 ） （ 02 ） 20
d (B，C) =
解：函数的解析式可化为
x2 1 x2 4 x 8
( x 0) 2 (0 1) 2 ( x 2) 2 (0 2) 2
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)， 则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使 得|PA|+|PB|取最小值.
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)， ∵ (| PA | | PB |)min | A ' B | 13 即函数y=
AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2， BD2=(b－2a)2+c2， AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab
=2(2a2+b2+c2－2ab)， AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab，
所以 ：AC2+BD2 = 2 (AB2+AD2).
二. 中点坐标公式
已知A(x1，y1), B(x2，y2)两点，M(x，y)是线段AB的
点的坐标是
(2，－7)或(－3，－ 。5)
8． 已知A(1，2)，B(－3，b)两点间的距离 等于4 2 ，则b= 6或－2 。
例3．已知□ABCD，求证: AC2+BD2=2(AB2+AD2).
证明：取A为坐标原点，AB所在的直 y 线为x轴，建立平面直角坐标系xOy， 依据平行四边形的性质可设 点A，B，C，D的坐标为A(0，0)， B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，
x O A B(a,0) D(b-a,c) C(b,c)
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结：
作业：
再见
例5． 已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上， ∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，
得
|AB|2=|AC|2+|BC|2，
（2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的 点坐标为P’(2x0－x，2y0－y).
（3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)，
B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为
x1 x2 x3 x 3 y y y 1 2 3 y 3
x y
2
2
（4）给出两点的距离 d. 通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标， 就可一步步地求值，最后算出两点的距离.
例题解析 例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求 d(A，B)。 解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3， △x=x2－x1=－4， △y=y2－y1=7，
（A）(2，0)或(0，0) （B）( 1 21 ，0) （C）( 1 21 ，0) （D）( 1 21 ，0)或( 1 21 ，0)
3．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的
距离相等，则M点的坐标是（ D ） （A）(－2，0) （B）(1，0)
（C）(1.5，0)
（D）(3.4，0)
2.1.2平面直角坐标系中的 基本公式
一. 两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上时，从点A和点B 分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为 A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线 BB1 和 AA2 相交于点 C。 在直角△ACB中，
中点，则有 x - x1 = x 2 - x, y - y1 = y2 - y
x1 x2 x 2 y y1 y2 2
y A(x 1,y 1) O
B(x 2,y 2) M(x ,y) x
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点 法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借 助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。