专题：平面直角坐标系中的变化规律(含答案)
中考数学小专题(五) 平面直角坐标系中点的变化规律
是
.
第4题 图
5 . （ 2 0 2 2 ·咸 宁 市 通 城 县 期 末 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系
中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），
（3，1（）7，，（6）3，0），…，根据这个规律，第22个点的
坐标为
.
类型三 沿坐标轴延伸运动的点的坐标规律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.（2022·恩施州来凤县期末）如图，动点P在平面直角坐标
系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动
到点（3，2A）……按这样的运动规律，经过第2 022次运动
A后.（，2动0点22P，的坐B标.（是2（022， ）
类型四 环绕型运动中点的坐标规律
6.在平面直角坐标系中，设一动点自点P0（1，0）处向上运
动1个单位长度至点P1（1，1），然后向左运动2个单位长
度至点P2处，再向下运动3个单位长度至点P3处，再向右运
动4个单位长度至点P4处，再向上运动5个单位长度至点P5
处，如此继续B 运动下去，设点Pn（xn，yn），n＝1，2，
小专题（五） 平面直角坐标系中点的
变化规律
类型一 利用有序数对表示数列中的规律 1.（2022·孝感市安陆市期末）将从1开始的连续自然数按以下规律
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如：
（3，2）表示6，（则1表0，示1989）的有序数对是
.
类型二 新定义中的坐标规律
2.（2022·随州市曾都区期末）在平面直角坐标系中，对于点
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊点的变化规律，这个话题可真是有点儿意思呢！你知道吗，点在平面直角坐标系中可是有着千丝万缕的关系，它们之间的关系就像是一家人一样，有时候亲密无间，有时候又各自为政。
好了，废话不多说，让我们一起来揭开点的变化规律吧！我们来看看点的基本概念。
在平面直角坐标系中，点是指一个具有特定横纵坐标的确定位置。
我们可以把点想象成生活中的一个标志性建筑，比如一家餐厅、一座公园或者一条小巷子。
这些地方都有自己的特色和位置，而点也是如此。
它们在平面直角坐标系中的位置是固定的，不会随着时间的推移而发生改变。
接下来，我们来聊聊点的坐标。
在平面直角坐标系中，点的位置是由横纵坐标共同决定的。
横坐标表示点在水平方向上的位置，而纵坐标表示点在垂直方向上的位置。
有了横纵坐标，我们就可以准确地找到一个点在哪里。
这就像是我们在找朋友的时候，知道他们家的地址和电话号码，就能轻松地找到他们一样。
那么，点之间又是如何相互关联的呢？这就涉及到了点的平移、旋转和缩放等变换。
平移是指点沿着某一方向按照一定距离进行移动；旋转是指点绕着某一点按照一定角度进行旋转；缩放是指点的大小按照一定比例进行变化。
这些变换在我们日常生活中是非常常见的，比如我们去外地旅游时，可能会选择乘坐火车、飞机或者汽车等交通工具；在学习过程中，我们可能会阅读课本、做笔记或者参加讨论等活动。
这些都是点之间相互关联的例子。
点还有着丰富的性质。
比如，我们可以发现，在同一平面直角坐标系中，任意两点之间的距离是固定的；如果两个点的横纵坐标互为相反数，那么这两个点就是关于原点的对称点；如果一个点的横纵坐标分别等于另一个点的横纵坐标的一半，那么这两个点就是关于对角线的中点对称的。
这些性质在我们的日常生活中也是非常实用的，比如我们可以用来计算两点之间的距离、判断两个点是否关于某一点对称等等。
点在平面直角坐标系中的变化规律是丰富多彩的，它们之间的关系既有趣又实用。
直角坐标系规律专题-含答案
坐标规律点专题一．选择题（共13小题）1．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，﹣2）C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）3．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A．（13，13）B．（﹣13，﹣13）C．（14，14）D．（﹣14，﹣14）4．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886 B．903 C．946 D．9905．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）6．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）7．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2017的坐标为（）A．（504，﹣504）B．（﹣504，504）C．（﹣504，503）D．（﹣505，504）8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0 ）B．（14，﹣1）C．（14，1 ）D．（14，2 ）9．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A﹣B﹣C﹣D﹣A…循环爬行，其中A的坐标为（1，﹣1），B的坐标为（﹣1，﹣1），C的坐标为（﹣1，3），D 的坐标为（1，3），当蚂蚁爬了2014个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，2）10．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9） B．（9，0） C．（0，8） D．（8，0）11．如图，在平面直角坐标系中，半径为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2016秒时，点P的坐标是（）A．（2016，1）B．（2016，0）C．（2016，﹣1）D．（2016π，0）。
平面直角坐标系点的坐标移动规律
平面直角坐标系点的坐标移动规律平面直角坐标系中的点的坐标移动规律在平面直角坐标系中，点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
点的坐标由x轴和y轴上的数值组成，通过改变这些数值，我们可以改变点在平面上的位置。
点的坐标移动可以有多种方式，下面我们将介绍一些常见的移动规律。
1. 平移：平移是指点在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指点在x轴方向上移动，垂直平移是指点在y轴方向上移动。
在平移过程中，点的x 轴和y轴坐标同时改变，但是它们的差值保持不变。
2. 旋转：旋转是指点围绕某个固定点旋转一定的角度。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指点沿着一个圆周顺时针方向旋转，逆时针旋转是指点沿着一个圆周逆时针方向旋转。
在旋转过程中，点的坐标随着旋转角度的变化而改变。
3. 缩放：缩放是指改变点到固定点的距离。
缩放可以分为放大和缩小两种。
放大是指点到固定点的距离变大，缩小是指点到固定点的距离变小。
在缩放过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的比例保持不变。
4. 对称：对称是指点关于某条直线或某个点对称。
关于直线对称是指点在直线两侧对称，关于点对称是指点关于一个点对称。
在对称过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的符号改变。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用。
通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
在实际应用中，点的坐标移动规律被广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
在几何学中，点的坐标移动规律可以用来描述线段、角度、面积等几何概念。
在物理学中，点的坐标移动规律可以用来描述物体的运动轨迹和变形过程。
在计算机图形学中，点的坐标移动规律可以用来生成图像和动画效果。
点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
通过改变点的x轴和y轴坐标，我们可以改变点在平面上的位置。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用，通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
平面直角坐标系下的图形变换
平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。
在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。
析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。
平面直角坐标系坐标变化
平面直角坐标系中的变换彳----------- 必标系屮的对称平而l'i角坐标系屮的变换坐标系中的平移\------------ 怡标系屮的面枳和规律问题编写思路:本讲求而积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程•让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横.纵坐标关系。
二：(1)对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。
对于任意的平移，可以将貝理解先上下平移、后左右平移的组合。
(2)对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。
从而将图形的平移转化成为点的平移。
并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。
三、简单的数形结合：求三角形而积问题。
让学生充分掌握割补法求三角形而积，并理解为何要用割补法。
让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的讣算关系。
四.找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点P(-b)关于X轴的对称点是叫，-巧,即横坐标不变，纵坐标互为相反数.点P(a,b)关于y轴的对称点是P©,b),即纵坐标不变，横坐标互为相反数.点P(a.b)关于坐标原点的对称点是P'(—d),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.【引例】在平而直角坐标系中，卩(-4 5)关于X 轴的对称点的坐标是 __________ 坐标是 ________ ,关于原点的对称点是 ___________【例1】(1)点P(3, -5)关于x 轴对称的点的坐标为()⑵点"-2, 1)关于y 轴对称的点的坐标为()⑶ 在平而直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点对称点P 的坐标是 _____________ ⑷ 点P(2, 3)关于直线x = 3的对称点为 ________ ,关于直线y = 5的对称点为 ________ ⑸已知点P(“ + l,加-1)关于x 轴的对称点在第一彖限，求d 的取值范围.【例2】如图，在平而直角坐标系中，直线/是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1) 由图观察易知A(2, 0)关于直线/的对称点/V 的坐标为(0,2),请在图中分别标明3(5,3), C(-2,5)关于直线/的对称点X 、C'的位置，并写岀它们的坐标： B' __________ ，C ____________ ；归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平而内任一点关于第一、三象限的角平分线/的对称点P 的坐标为 ______________ (不必证明)： ⑶点A(a , b)在直线/的下方，则d, 〃的大小关系为 ________________ :若在直线/的上方，则 __________ ・h + d\丁 >・(选讲),关于y 轴的对称点的A. (—3, —5)B. (5, 3)C. (一3, 5) D ・(3, 5)B. (2,1)C. (2, -1)D. (-2, 1)点P(a ,b)和点Q(c , d)的中点是M(1)点平移：①将点(x, y)向右(或向左)平移4个单位可得对应点(x + a t y)或(x-“, y).②将点(x, y)向上(或向下)平移〃个单位可得对应点(x，＞'+/?)或(x, y-h).⑵图形平移：①把一个图形％个点的横坐标都加上(或减去)一个正数d ,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移Q个单位.②如果把图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数d ,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位.注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【弓I例】点M(-3, -5)向上平移7个单位得到点M,的坐标为：再向左平移3个单位得到【例3】(1)平而直角坐标系中，将P(-2,l)向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到P __________ ,□平而直角坐标系中，线段虫妨'是由线段佔经过平移得到的，点A(-1,-4)的对应点为人(1, -1),那么此过程是先向________ 平移____ 个单位再向______ 平移 _____ 个单位得到的，则点B (1, 1)的对应点$坐标为______________ .⑶将点P(m-2,” + 1)沿求轴负方向平移3个单位，得到P^i-rn, 2),则点P坐标是_____________⑷ 平而直角坐标系中，线段A'B'是由线段初经过平移得到的，点A(-2, 1)的对应点为A f (3. 4),点B 的对应点为B'(4,0),则点B 的坐标为()A ・(9,3) B. (一 1，一3) C ・(3, — 3) D. (一3, —1)【例4】二如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案 中左.右眼睛的坐标分别是(-4, 2), (-2, 2),右边图案中左眼的坐标是(3, 4),则右边 图案中右眼的坐标是 _____________________ .-如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作岀将“蘑菇”ABCDE 绕A点逆时针旋转奸 再向右平移2个单位的图形(其中C 、D 为所在小正方形边的中点).二如图，把图1中的04经过平移得到00(如图2),如果图1中04上一点P 的坐标为伽皿),那么平移后在图2中的对应点P 的坐标为 __________ ・大图形的总而积减去周用小三角形的面积.一般方法有割补法和等积变换法.找规律的题目一左要先找/7 = 1、2、3几个图形规律，再推广到“的情况.从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测.归纳出结论，这是创造性思维的特点.i/\ V1例题精讲A ・v图1 图2在平面直角坐标系或网格中求而积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用F二兀一 - —【引例】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，英中点A坐k标为(2,-1),则△4BC 的而积为 _____________ 平方单位.二如上右图，AABC,将△ABC 向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可 以得到△ ・ ① 画出平移后的△人妨6 :② 写出△ AB.C,三个顶点的坐标：(在图中标岀)③ 已知点P 在x 轴上，以B“ P 为顶点的三角形面积为4,求P 点的坐标.【探究1】如图所示,4(1,4),B(4,3),(7(5,0),求图形如C 的面积.【例5】□直角坐标系中，已知人(-1,0)、5(3, 0)两点，点C 在y 轴上，△ABC 的而积是4,则点C 的坐标是 ___________ ■0如右图，已知直角坐标系中A(-1,4)、B(0,2),平移线段初,使点B 移到点C(3,0),此时点A 记作点D ，贝IJ 四边形ABCD 的 而积是 ___________ .【例6】□如下左图，在平而直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(0,0), 8(9,0), C(7,5),D(2, 7)・求四边形ABCD 的而积.「41「J 1_1 T 丿r k —厂」I 厂 11- T 4—n T klrLIr典题精练L LIL」I- T -I- +• -1 ~J_L J•V A【探究2】如下图所示，A(-3,5), B(4,3),求图形OAB的而积.【教师备选】方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB的而积.解析：过点A做0B的平行线，交y轴于点C,连接BC由一次函数知识可求出直线OB：y=-x t设直线AC：y=-x+b -2 - 2 求得y=l x+2 ,得C(0,2)由等积变换可知S厶AOB = S^Bg. ―― x 2x 4=4解析：过点A作BC的平行线交y轴于点D,连接DC利用一次函数求得BC：y=2x+2 ,设直线AD：y=2x+b 求得尸2x+7, D(0,7) 由等积变换可知S沁=S沁弓x 1 x 5=|【变式】已知，在平而直角坐标系中，A「B两点分别在才轴、y轴的正半轴上，且OB = OA = 3. ⑴直接写出点A、B的坐标：⑵若点C(-2, 2),求△BOC的面积；⑶点P是与〉，轴平行的直线上一点，且点P的横坐标为1.若的面积是6,求点P的坐标.【例7】□任平而直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点,图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有_______ 个.□如图，在平而直角坐标系中，第1次将MAB变换成△ OA.B.,第二次将变换成第3次将MAB 变换成△0比尽・已知A(l, 3), 4(2, 3), 4(4, 3), A(8, 3), B(2, 0), $(4, 0) , BJ8, 0),耳(16, 0)观察每次变化前后的三角形，找岀规律，按此变化规律再将△OA&3变换成△ O儿则点比的坐标是 _____ ，点厲的坐标是 _____ ,点人的坐标是_______ ，点乞的坐标是 ___________ ・【例8】一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第lmin内它从原点运动到(1, 0),而后接着按如图所示方式在与X轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min后，求这个粒子所处的位置坐标・【变式】将正整数按如图所示的规律在平而直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(X, y)9且x, y均为整数.如数5对应的坐标为(-1,1)，则数_________________ 对应的坐标是(-2,3),数2012对应的坐标是__________________【拓展】数1950对应的坐标是______________ ・【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位，用实数加法表示为3 + （-2） = 1.若坐标平而上的点作如下平移：沿*轴方向平移的数屋为d （向右为正，向左为负，平移冋 个单位），沿y 轴方向平移的数量为方（向上为正，向下为负，平移问个单位），则把有序 数对{“，b}叫做这一平移的“平移量”;“平移量” {a, b}与“平移量” {c, d}的加法运算 法则为{“，b} + {c, d} = {a+c, b + d}. 解决问题：（1） 计算：{3, 1} + {1, 2}；（2） 动点P 从坐标原点O 出发，先按照"平移量”{3, 1}平移到A,再按照"平移量”{1, 2} 平移到若先把动点P 按照“平移量” {1, 2}平移到C,再按照“平移量” {3, 1}平 移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC.（3） 如图2, 一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2,3）,再从码头P 航行到码头0（5, 5）,最后回到出发点O,请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.37 36 35 34 3332 31 30 297 16 15 1413 12 11 18 19 61 2 2() 78 ,10 27 2122 23 2425 26图1【备选2】观察下列有规律的点的坐标：儿(1, 1), 4(2, -4), 4(3, 4),人(4, 一2),人(5, 7),肩6, -寸，4(7, 10), 4(8, —1)依此规律，人|的坐标为______________ ，州2的坐标为 ______________________________【备选3】一个动点P在平而直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到(b 1)＞然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长•即(1, 1)-* (2, 0) - (3, 2) - (4, 0)-(5, 1)—........... ,按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P的坐标是___________ ,经过第2011次运动后，动点P的坐标是 __________ .【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2,宽为1, B 两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、3、C为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C个数是( )A. 5B. 4B AD・2【备选5】在平而直角坐标系中，已知八(2・-2),任y轴上确左点P.使8"为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个题型一坐标系中的对称巩固练习【练习1】□在平面直角坐标系中，点A(2,5)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是( )A. (—5,—2)B. (一2, —5)C. (一2,5)D. (2, —5)□已知点P(x, y), n),如果x +加=0, y + 〃= 0 ,那么点P, Q ( )A・关于原点对称 B.关于x轴对称C・关于y轴对称D・关于过点(0,0), (1,1)的直线对称□已知：lx-ll+(.y + 2『=0,则(x, y)关于原点对称的点为_________________ .□已知点P(" + 3b,3)与点0(-5,“ + 2b)关于x轴对称，贝比= ______________ , b = _________ .题型二坐标系中的平移巩固练习【练习2】⑴线段CD是由线段初平移得到的，点A(-l, 5)的对应点是C(4, 2),则点B(4, -1)的对应点D的坐标为__________ ・⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ,现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标为(-1，2),在旧的坐标系下，点A的坐标为_______ ・【练习3】如图，在平而直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位.□线段DC是线段经过怎样的平移得到的？□若C点的坐标是(4, 1), A点的坐标是(-1，-2),你能写岀B、D两点的坐标吗？□求平行四边形ABCD的而积.题型三坐标系中的面积和规律问题巩固练习【练习4】□已知A(0,—2), B(5,0), C(4,3),求△ABC的而积.□已知：A(4,0), 3(1-斗0), 0(1, 3), ZVWC 的而积=6,1)A B求代数式2A-2-5X + X2+4X-3X2 -2 的值.【练习5】如图，长为1,宽为2的长方形ABCQ以右下角的顶点为中心顺时针旋转90°,此时A点的坐标为________ :依次旋转2009次，则顶点A的坐标为___________ ・。
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点A (－1，2)，将长方形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过1次翻滚点A 对应点记为A 1，经过2次翻滚点A 对应点记为A 2……依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标为( )A ．(5，2)B ．(6，0)C ．(8，0)D ．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第2次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第3次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3.已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．。
部编数学七年级下册专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(解析版)含答案
专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是 ．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（ ）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为 ．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是 ．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。
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专题：平面直角坐标系中的变化规律
——掌握不同规律，以不变应万变
◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究
1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，
2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．
2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．
◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究
3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个
C．40个D．80个
第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2
︵
，P2P3
︵
，P3P4
︵
，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()
A．(－6，24) B．(－6，25)
C．(－5，24) D．(－5，25)
◆类型三图形变化中的点的坐标探究
5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()
A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)
C．(14＋3π，2) D．(12＋3π
，0)
6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；
(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．
参考答案与解析
1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．
3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶
可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.
4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.
5．C
6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)
解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。