平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式在平面直角坐标系中，我们可以使用基本公式来描述二维空间中点的位置、距离、长度、角度等各种属性。
下面是一些常用的基本公式：1.点的坐标：平面直角坐标系中的点可以表示为一个有序对(x,y)，其中x表示横坐标（沿x轴的水平距离），y表示纵坐标（沿y轴的垂直距离）。
2.线段长度：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)3.点到坐标轴的距离：设平面直角坐标系中有一个点P(x,y)，则点P 到x轴的距离为，y，到y轴的距离为，x。
4.斜率：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)5.中点：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为：中点M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.坐标轴正向与象限：在平面直角坐标系中，x轴正向向右，y轴正向向上。
同时，将坐标轴所形成的四个象限按照逆时针方向分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
7.角的度量：在平面直角坐标系中，角的度量可以使用弧度或者角度来表示。
常用的角度制中，一个完整的圆的度数为360°。
而弧度制中，一个完整的圆的弧度数为2π弧度。
8.同位角与同旁角：在平面直角坐标系中，如果两条射线的起点、终点分别与两条相互垂直的射线的起点、终点重合，则这两条射线分别被称为同位角。
如果两条射线的起点分别位于两条相互垂直的射线的起点的同侧或者终点位于两条相互垂直的射线的终点的同侧，则这两条射线分别被称为同旁角。
9. 三角函数：在平面直角坐标系中，根据点的位置与坐标轴的关系，可以定义一些重要的三角函数，如正弦函数sin(θ)、余弦函数cos(θ)、正切函数tan(θ)等，其中θ 表示角的度数或弧度数。
解析几何的基本定理
解析几何的基本定理解析几何，是学习数学时的一个分支，也叫作坐标几何。
它是关于平面和空间中的点、直线、曲线的研究方法。
解析几何有很多的基本定理，这些基本定理是我们学习解析几何的基石，对于解决各种几何问题都是非常重要的。
下面就来逐一介绍一下这些基本定理。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系，是解析几何的基础。
它的概念是：在平面上取定一个原点O，指定一条直线x（叫做x轴），平面内的另一条直线y（叫做y轴）与x轴相交于O，且x轴正向与y轴正向的方向相互垂直。
二、距离公式在平面上两个点A（x1，y1）和B（x2，y2）的距离公式为：AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式是解析几何中最基本的公式之一。
它的意义是：平面上两点之间的距离等于各坐标之间的差的平方和的平方根。
三、中点公式在平面上两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的中点为点M （(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）。
直接根据公式计算M点的坐标很容易。
在解决许多几何问题时，中点公式的应用非常广泛，是解析几何中的一条基本规则。
四、斜率公式在平面上两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的斜率公式为：k = (y2-y1)/(x2-x1)斜率公式的意义是：两个点间的斜率等于纵坐标之差除以横坐标之差。
直接应用斜率公式可以求出平面上两点之间的斜率。
五、两点式和点斜式在平面上，已知经过点A（x1，y1）和直线的斜率k，点斜式公式是：y-y1 = k(x-x1)在平面上，已知经过两点A（x1，y1）和B（x2，y2），两点式公式是：(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)斜率公式提供了一个解析直线的最基本方式，而两点式和点斜式则是其中比较常用的两种方式。
六、直线垂直和平行性定理在平面上，直线y = k1x+b1和y = k2x+b2垂直的充要条件是k1k2 = -1，即k1和k2互为相反数。
在平面上，直线y = k1x+b1和y = k2x+b2平行的充要条件是k1 = k2。
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系是二维空间中用于描述点位置的系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，一个是横轴通常称为x轴，另一个是纵轴通常称为y 轴。
坐标轴的交点称为原点，用O表示。
每个点可以通过两个坐标值（x，y）来定义，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在平面直角坐标系中，存在一些基本公式，我们将在本文中一一介绍。
1.距离公式：两点间的距离可以使用勾股定理进行计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们之间的距离可以使用以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)2.中点公式：两点的中点可通过其坐标的平均值计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们的中点C的坐标可以计算如下：C=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)3.斜率公式：斜率是一条直线在坐标轴上的改变速率。
两点间的斜率可以用下面的公式进行计算：斜率=(y2-y1)/(x2-x1)4.中垂线公式：两条线段在中垂线上的交点被称为它们的垂点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的中垂线是与AB垂直并通过AB的中点的直线。
中垂线方程可以使用以下公式计算：中垂线的斜率=-1/斜率中垂线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)5.垂直平分线公式：两条线段在垂直平分线上的交点称为它们的垂直平分线的中点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的垂直平分线将AB划分为两个相等的部分，并且与AB垂直。
垂直平分线的方程可以使用以下公式计算：垂直平分线的斜率=-1/斜率垂直平分线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.直线方程：一个直线的方程可以表示为 y = mx + c 的形式，其中 m 是斜率，c 是 y 轴截距。
7.平行线之间的关系：两条平行线具有相同的斜率。
如果有两条线段AB和CD平行，则它们具有相同的斜率。
8.垂直线之间的关系：两条垂直线的斜率乘积为-1、如果有两条线段AB和CD垂直，则它们的斜率乘积等于-1这些是平面直角坐标系中的一些基本公式。
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案学生版
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式【学习要求】1．理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．【学法指导】通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．两点间的距离公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离表示为d(P1，P2)＝|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2；(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是：．2．中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝ . 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|x A－x B|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离d(P1P2)呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两点间的距离公式问题1在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有怎样的对应关系？有序实数对(x，y)与点P对应时x，y分别叫做什么？问题2在x轴上，已知点P1(x1,0)和P2(x2,0)，那么点P1和P2的距离为多少？问题3在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？问题4如图，已知x轴上一点P1(x0,0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？问题5在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O，A)等于什么？问题6一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用上述方法求点P1和P2的距离？例1已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC是等腰三角形．跟踪训练1 已知点A(－3,4)，B(2，3)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，并求出d(P，A)．例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练2求函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8的最小值．探究点二中点公式问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，如何用A，B点的坐标表示M点的坐标？例3已知▱ABCD的三个顶点A(－3,0)，B(2，－2)，C(5,2)，求顶点D的坐标(如图所示)．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于()A．5 2 B．513 C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．结论都不正确3．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．课堂小结：1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．。
2-1-2平面直角坐标系中的基本公式
典例剖析
题型 1 考察两点间的坐标公式 例 1 求下列两点间的距离． (1)A(－2,3)，B(－1,7)； (2)A(1,5)，B(4，－1)． 剖析 可根据两点间的距离公式求解，注意计算步骤．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
4．已知 A(8,10)，B(－6，y)，AB 中点坐标为(x,7)，则 x， y 的值分别是( A．1,4 C．－1,4 ) B．1，－4 7 D．1，2
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名师讲解
1.两点间的距离公式 在平面直角坐标系内有两点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A， B 两点的距离是 d(A，B)＝ x2－x12＋y2－y12.
2 (1)若 B 点为原点，则 d(A，B)＝d(O，A)＝ x2＋y1； 1
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
由(1，－1)是 BD 中点可得： 2＋x2 ＝1， 2 4＋y2 2 ＝－1，
x ＝0， 2 ∴ y2＝－6.
∴C 点坐标为(3，－5)，D 点坐标为(0，－6)．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
§2 .1
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2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
课程学习目标
目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式；
目标难点：两点间距离公式的推导；
［学法关键］
1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；
2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。
研习点1. 两点间的距离公式
1． 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B
2． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|；
当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|；
当B 为原点时，d (A ，B
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：
（1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1.
（3）计算d 22x y +.
（4）给出两点的距离d .
通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离
研习点2. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；
（2）设出未知坐标；
（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.
研习点3. 中点坐标公式
已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有1212
22
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。
（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ).
（3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为
123123
33x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
题型1. 公式的基本应用
例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，
（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).
解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B
=。
（2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2
3)， AB 两点的距离d (C ，D
=
例2． 已知点A (－1，3)，B (3，1)，点C 在坐标轴上，∠ACB =90°，则满足条件的点C 的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解：若点C 在x 轴上，设C (x ，0)，由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x +1)2+32+(x －3)3+12，解得x =0或x =2,
若点C 在y 轴上，设C (0，y )，由由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2，可得y =0 或y =4，而其中原点O (0，0)计算了两次，故选C .
题型2. 公式的逆用
例3. 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.
解：设点P 的坐标为P (x ，0)，由d (P ，A )=1010=，解得x =11或x =－5，∴点P 的坐标为(11，0)或(－5，0).
例4．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |=|CE |. 证明：如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系.
设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，
则A (－a ，0)，D ()22
a -，
E (,)22
c ，C (c ，0)，于是
|AE =
|CD = 所以|AE |=|CD |.
例5．已知△ABC 的顶点为A (－1，3)，B (3，－2)，C (2，4)，求BC 边上的中线AM 的长.
解：设点M 的坐标为M (x ，y )，因为点M 是线段BC 的中点，所以x =
2
5，y =1，即M
点的坐标为(25，1)，由两点间的距离公式得|AM 2=.
因此，BC 边上的中线AM
【教考动向·演练】 1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A (2，1)，另一个端点B 的横坐标是－1，则端点B 的纵坐标是（ C ）
（A ）－3 （B ）5 （C ）－3或5 （D ）－1或3
2．设A (1，2)，在x 轴上求一点B ，使得|AB |=5，则B 点的坐标是（ D ）
（A ）(2，0)或(0，0) （B ）(10)
（C ）(10) （D ）(1+0)或(10)
3．若x 轴上的点M 到原点及点(5，－3)的距离相等，则M 点的坐标是（ D ）
（A ）(－2，0) （B ）(1，0) （C ）(1.5，0) （D ）(3.4，0)
4．若点M 在y 轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M 点的坐标是(0，－
21). 5．若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，求x +y 的值.x +y =7
6．设D 为△ABC 的边BC 上的一点，而BD =2DC ，求证：|AB |2+2|AC |2=3|AD |2+6|CD |2.
例6． 求函数y =.
.
令A (0，1)，B (2，2)，P (x ，0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x ，0)，使得|PA |+|PB |取最小值.
A (0，1)关于x 轴的对称点为A ’(0，－1)，
∵
min (||||)|'|PA PB A B +==.
即函数y
=
例7．已知正方形ABCD 的三个顶点坐标是A (2，3)，B (6，6)，C (3，10)，求顶点D 的坐标。
解：设正方形的中心坐标为(a ，b )，由中点坐标公式得a =25，b =132
再设D 点的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得652261322
x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得17x y =-⎧⎨=⎩ 所以所求的D 点的坐标为(－1，7).
【教考动向·演练】
7． 点A 在第三象限，点A 到x 轴的距离为4，点A 到y 轴的距离是3，那么点A 的坐标是（ B ）
（A ）(4，3) （B ）(－3，－4) （C ）(3，4) （D ）(－4，－3)
8．已知点A (x ，5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是（ D ）
（A ）4 （B
（C
（D
9．已知△ABC 的两个顶点A (3，7)，B (－2，5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标是（ D ）
（A ）(－2，－7) （B ）(－3，－7)或(2，－5)
（C ）(3，－5) （D ）(2，－7)或(－3，－5)
10． 已知A (1，2)，B (－3，b )两点间的距离等于42，则b =6或－2.
11．求证：A (2，－5)，B (6，1)，C (5，－2
1)三点不能成为三角形的三个顶点.。