平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式
两点间距离公式在中考试题中的应用
两点间距离公式是用来计算两点间直线距离的公式。
在中考试题中，常用于计算两点间直线距离，如计算两点间距离，计算两点间直线距离等。
例如，在平面直角坐标系中，两点间距离公式为：d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
在中考试题中，还可以用两点间距离公式来解决一些几何问题，比如：
求三角形中两边长度之和与第三边长度的关系
求线段中点到端点距离的关系
求圆心距离
求抛物线焦点到顶点距离
两点间距离公式是中考几何中的基础公式，学好它对于中考考试是很有帮助的。
此外，两点间距离公式在中考试题中还可以用于解决以下问题：
求两点之间最短路径
求两点之间最短距离
求两点之间最短时间
求两点之间距离最短的路径
在数学中，两点间距离公式是一种常用的计算两点间距离的方法，在现实生活中也有很多应用。
例如，在地图导航系统中，两点间距离公式可以用来计算两点之间的距离，帮助我们找到最短路径和最短时间。
最后，记住两点间距离公式是中考几何考试中重要公式，需要熟练掌握应用。
2.5_平面直角坐标系中的距离公式
h C O
B
x
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14
例6 用解析法证明:等腰三角形底边 延长线上一点到两腰的距离之差等 于一腰上的高.
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两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P
l2
Q o 例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是
6
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
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7
二.点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
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2
两点间的距离 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y P1(x1,y1) Q (x ,y )
2 1
P2(x2,y2)
o
x
|P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2 |
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
3.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d=
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C1 - C2 A 2 + B2
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2
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两点间距离公式及中点坐标公式
C(5,2)
A(-3,0)
O
x B(2,-2)
解得
x=0点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四 等分，试求出各分点的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
首先求出线段ST 的中点 Q 的坐标，然 则由 S（0 ， 2）、T（−6，−1）得 后再求SQ的中点P及 2 (1) 1 0 (6) xQ 3 yQ QT 的中点 R的坐标．
y
A1M1 M1B1
A2 M 2 M 2 B2
(0,y)
B2
M2
(0，y2)
B
x x1 x2 x y y1 y2 y
A
A1
(X1,0) O
(0，y1)
A2
M
M1
(X,0)
B1
(X2,0)
x
即：
x1 x 2 x 2
y1 y 2 y 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称 ——
2
2
解 设线段ST的中点Q的坐标为 ( xQ , yQ )，
2
即
1 Q （ 3, ） 2
图8－2
3 5 9 1 （ , ） 同理，求出线段SQ的中点P ，线段QT的中点 R （ , ）. 2 4 2 4
（ , ）、Q （ 3, ）、R （ , ）. 故所求的分点分别为P 3 5 2 4 1 2 9 2 1 4
8.1平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
y
p(x，y)
y
x
§1.5 平面直角坐标系中的距离公式(1)
例2. (1)求原点到直线l1: 5x-12y-9=0的距离; (2)求点P(-1,2)到直线l2: 2x+y-10=0的距离.
例3. 求下列两平行直线间的距离: l1:2x-y+1=0, l2:4x-2y+3=0.
练习1.P74/1(1)(2), 2 练习2.P76/1, 2.
AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
2. 点M(x0,y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
3. 两平行直线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0之间的距离
d C1 C2 A2 B2
A2 B2
o
nv
M(x0, y0)
nv0 d
P(x, y) x
3. 两平行直线间的距离公式
y l2
若两平行直线l1: Ax+By+C1=0,
l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2).则它们 l1
d
之间的距离d为
P( x0 , y0 )
d C1 C2
o
x
A2 B2
二、公式应用 例1.已知△ABC的三个顶点是A(-1,0), B(1,0), C( 1 , 3 ), 试判断
直线系方程.
*思考题: 直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点______.
*解：方程可化为 m( x 2 y 1) x y 5
解方程组
x x
ห้องสมุดไป่ตู้
2y1 0
y50
x y
9 4
由此得直线过定点
(9, 4)
两点间距离公式典型例题
两点间距离公式典型例题引言计算两点之间的距离是几何学中常见的计算问题。
通过使用两点间距离公式，我们可以轻松求解两点之间的直线距离。
本文将介绍两点间距离公式的计算方法，并提供一个典型的例题，以帮助读者更好地理解该公式的应用。
两点间距离公式在平面直角坐标系中，设两点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点之间的距离可以通过以下公式进行计算：distance = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)其中，√表示开方运算，(x2-x1)²表示横坐标之差的平方，(y2-y1)²表示纵坐标之差的平方。
例题假设在平面直角坐标系中，有两个点A(-2, 3)和B(4, -1)，求解两点之间的距离。
根据两点间距离公式，我们可以将给定的点代入公式，得到：distance = √((4-(-2))² + (-1-3)²)= √(6² + (-4)²)= √(36 + 16)= √52≈ 7.21因此，点A和点B之间的距离约为7.21。
结论通过以上例题的求解，我们可以得出结论：两点间距离公式可以准确地计算两点之间的直线距离。
在实际应用中，这个公式常用于各种几何学问题的求解。
无论是在二维平面还是三维空间，只要给定两个点的坐标，就可以通过这个公式来计算它们之间的距离。
扩展除了在平面直角坐标系中使用两点间距离公式，我们还可以将其应用于三维空间。
在三维空间中，两点之间的距离计算方式与二维情况类似，只是在公式中需要加上纵坐标之差的平方。
例如，设点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)，那么两点之间的距离可以通过以下公式进行计算：distance = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过类似的推导和计算方法来求解。
总结通过本文对两点间距离公式的介绍及例题的求解，我们了解到该公式是计算两点之间距离的常用工具。
两点坐标距离公式是什么初中
两点坐标距离公式是什么初中引言初中数学中的坐标系是一种重要的图示工具，用于表示平面上的点的位置。
在坐标系中，我们可以使用坐标来表示点的位置。
当我们想要计算任意两点之间的距离时，需要用到两点坐标距离公式。
本文将介绍初中中常用的两点坐标距离公式，以帮助初学者更好地理解和应用。
问题描述在平面直角坐标系中，给定两个点的坐标，我们希望计算它们之间的距离。
这个问题可以通过以下的两点坐标距离公式来解决。
两点坐标距离公式假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么这两个点之间的距离可以通过以下公式得到：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在这个公式中，x1和y1分别表示点A的横坐标和纵坐标，x2和y2分别表示点B的横坐标和纵坐标。
公式推导该公式的推导基于勾股定理。
根据勾股定理，直角三角形两直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a² + b² = c²。
在这里，我们可以将两点A(x1, y1)和B(x2, y2)看作直角三角形的两个直角边，而它们之间的距离就是斜边的长度。
根据勾股定理，我们得到以下推导：距离² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²将等式两边开方，得到距离的表达式：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这就是两点坐标距离的公式。
举例说明为了更好地理解和应用这个公式，我们可以通过一个例子来说明。
假设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(5, 7)。
我们希望计算点A和点B 之间的距离。
根据公式，我们可以计算距离如下：距离= √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5。
总结两点坐标距离公式是初中数学中的重要内容，用于计算平面上任意两点之间的距离。
两点间的距离和中点坐标公式
两点间的距离和中点坐标公式
在平面直角坐标系中，已知两点A（x1，y1）和B（x2，y2）的坐标，我们可以使用勾股定理来计算这两点之间的距离。
假设这两点之间的距离为d，可以使用以下公式计算：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
其中，(x2-x1)²表示x2与x1之差的平方，(y2-y1)²表示y2与y1之
差的平方。
将这两者相加，再取平方根即可得到距离d。
计算出的距离是两点之间的直线距离，即两点之间的最短路径长度。
这个公式适用于任意两个点的距离计算，无论这两点在平面坐标系的任何
位置。
中点坐标公式：
在平面直角坐标系中，已知两点A（x1，y1）和B（x2，y2）的坐标，我们可以使用以下公式来计算这两点连线的中点坐标。
假设中点的坐标为M（x，y），可以使用以下公式计算：
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
即将两点的x坐标和y坐标分别相加，再除以2，即可得到中点的坐标。
中点坐标公式的推导很简单，可以理解为中点的坐标是两点坐标的平
均值。
通过这个公式，我们可以很方便地求得两点连线的中点坐标。
中点可以看作是连接两点的线段的中间点，它将这条线段等分成两个长度相等的部分。
中点坐标也有很多应用，例如在图形学中，可以通过计算两个顶点的中点来确定图形的中心位置；在物理学中，可以通过计算物体的两个端点的中点来确定物体的重心位置等。
总结：
中点坐标公式为x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2，用来计算平面直角坐标系中连接两点的线段的中点坐标。
这两个公式在数学和应用领域中有着广泛的应用。
平面直角坐标系中的基本公式--原创
二. 坐标法
1 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是
直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过
一步步地计算来解决问题的方法.
2 用坐标法证题的步骤: （1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系 （直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标， 进而推导结论.
三. 中点坐标公式 （3）利用中点坐标可以求得△ABC
（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的
重心坐标为
x1 x2 x3 x 3 y y1 y2 y3 3
y B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1) M(x,y) O C(x 3,y 3) x
变式：上式改为已知平行四边形的三个顶点的坐标 分别为A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)， 求第四个顶点D的坐标。0,4 , 6, 4 , 10,0
例5． 已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上， ∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，得 |AB|2=|AC|2+|BC|2， ∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
二. 坐标法
例3．已知□ABCD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2).
D(b-a,c) C(b,c) 证明：取A为坐标原点，AB所在 的直线为x轴，建立平面直角坐 x O A 标系xOy， B(a,0) 依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为 y
A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)， 所以 AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2， BD2=(b－2a)2+c2， AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab=2(2a2+b2+c2－2ab)， AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab， 所以 ：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
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两点间的距离公式
白河一中 邓启超
教学目标与要求
1、知识与技能：
（1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程；
（2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。
2、过程与方法 ：
培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力
3、情感态度与价值观：
培养学生不断超越自我的创新品质
教学重点：
（1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系
教学难点：
如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题
教学过程：
第一课时
一、导入新课
1.平面上任给两点A ，B ，通常用AB 表示两点间的距离
2.已知平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）如何求AB 的距离AB ？
二、新知探究
1、提出问题：
（1）如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD 又怎么样求？
练习：已知数轴上A 、B 两点的横坐标x 1,x 2分别是
A ：x 1=8，x 2=-1；
B ：x 1=-4，x 2=0；
C ：x 1=2a-b,x 2=a-2b
求AB 和BA
（2）求(3,4)B 到原点的距离；
（3）已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求12,P P 的
距离12PP 。
2、解决问题
（1）画图形观察可得出：A B AB x x =-，C D CD y y =-；
（2）3,4OM BM ==， 由勾股定理可求得OB =5 （3）由图易知11221PQ N N x x ==-
2
1221PQ M M y y ==-
222121
2PP PQ P Q =+()()22122121PP x x y y ⇒=-+-
3、讨论结果
（1）A B AB x x =-，C D CD y y =-；
（2）求(3,4)B 到原点的距离是5；
（3）()()22122121PP x x y y =-+-
特殊的：当x 1=x 2时，2121y y p p -=；
当y 1=y 2时，2121x x p p -=
三、例题精讲
例1、求下列两点间的距离。
（1）(1,0),(2,3)A B -；（2）(4,3),(7,1)A B -
解：（1）()()22213032AB =
++-=； （2）()()2274135AB =-+--=
例2、已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(,
)22A B C -，试判断△ABC 的形状。
解：∵2AB =，2
21310322AC ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 221310122BC ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，有222AC BC AB += ∴△ABC 是直角三角形。
四、课堂练习
1，74P 练习1 1、2
2，已知点A （a+1,2）B(5,a)的距离为2，求a 的值。
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求大家：
（1）掌握平面内两点间的距离公式；
（2）能灵活运用此公式解决一些简单问题；
六、课堂作业
1.P 76 习题2-1 A 组 12、13
B 组 1（选作）
2.P 97 复习题二 A 组 1
3.已知ABC ∆中，A （-2，1），B （3-3），C （2，6），试判断ABC ∆的形状
七、课后反思及作业反馈
第二课时
一，复习回顾
1，两点间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+- 特殊的：当x 1=x 2时，2121y y p p -=；当y 1=y 2时，2121x x p p -=
2，利用两点间的距离公式判断三角形的形状
二，解析法的运用
例1、△ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22AB DC BD AD =•+， 求证：△ABC 为等腰三角形。
证明：作A O ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为X 轴，以OA 所在直线为Y 轴，建立直角坐标系，
设A ()0,a ，B (),0b ，C (),0c c ，D (),0d
因为2
2AB DC BD AD =•+，
所以，由两点间距离公式可得
2222()()b a d a d b c d +=++-- ()()()()d b d b d b c d ⇒--+=--
又0d b -≠
故b d c d --=- 即b c -=
所以AB AC =，即△ABC 为等腰三角形。
1，解析法：根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫做坐标的方法，也称为解析法。
2，本体如果以B为坐标原点，以BC所在直线为x
轴，建立直角坐标系，结论如何证明呢？如果以
BC所在直线为x轴，以BC的中线为y轴，又该
如何证明。
例2、（P98第7题）为了绿化城市，准备在如图所示
的的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ//BC，
∆的内部有有一文物保护区不能
RQ⊥BC，另外AEF
占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,
应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
三，课堂小结
如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题？
四，作业，练习设计
1，课本P77 B组1，2
2，求证：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
五，课后反思和作业反馈。