数字通信第10章-tc 差错控制编码

有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此，
近年来得到广泛应用。
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随
机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信道是典
型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间 是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。短 波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错
码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元 中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。
目前我国电传通信中普遍采用 3∶2 码，又称“5 中取 3”
的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。许用码组
恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 10 - 1 所示。而每个汉字又
是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国 汉字电报的差错率大为降低。
10.4.5 伴随式(校正子)S和检错
设发送码组A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在传输过程中可能发生 误码。接收码组 B= ［ bn-1,bn-2,…,b1,b0 ］，则收发码组之差定义 为错误图样E， 也称为误差矢量， 即
E BA
其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且
表 10-3 3∶2 恒比码
10.4 线 性 分 组 码
10.4.1 基本概念
线性分组码：每个监督元都是某些信息元的模二和。如： (7,4)分组码。设其码字为A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］，其中前 4
位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该
分组码，产生监督元。
混合纠错方式记作 HEC(Hybrid Error Correction)是FEC
和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错 能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的 纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力， 但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具
(10-4)
Fra Baidu bibliotek
并简记为
其中 ,P 为 r×k 阶矩阵， Ir 为 r×r 阶单位矩阵。可以写成 H= ［P Ir］形式的矩阵称为典型监督矩阵。 HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来 作为判断接收码字A是否出错的依据。
10.4.4 生成矩阵G
将(10-4)补充为下列方程
可改写为矩阵形式
k 组成长为n的码字。在二进制情况下，共有 2个不同的信息组，
相应地可得到
个不同的码字，称为许用码组。其余 2k
2 2
n
k
个码字未被选用，称为禁用码组。
在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简
称码重。例如，码字 10110，码重w=3。
两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码
组的汉明 (
干组的信息元有关。
(3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
10.2 纠错编码的基本原理
1. 分组码- n个码元成一组，称为一个码字。 分组码一般可用(n,k)表示。其中，n是编码码组的码元总 位数，又称为码组长度，简称码长, k是每组二进制信息码元 的数目。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分 组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加 r个监督元，
A0 ( x ) 0 g ( x ) A2 ( x ) ( x 1) g ( x ) A3 ( x ) x g ( x ) A7 ( x ) x g ( x )
2
循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示
x g ( x) x k 2 g ( x ) G ( x ) xg ( x ) g ( x)
第 10 章 差错控制编码
10.1 概述 10.2 常用的几种简单分组码 10.3 线性分组码 10.4 循环码 10.5 卷积码 *10.6 网格编码调制
10.1 概 述
10.1.1 信道编码
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和
信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使 模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生
误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应
采用不同的差错控制方式。
10.1.3
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分
为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组
线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据信息元和监督元的函数关系涉及的范围，可分为 分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本组的信息元有关； 卷积码中的码元不仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若
Hamming
) 距离， 简称码距。例如 11000 与
10011之间的距离 d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最 小值称为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重 要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据。
2.
例如：重复码----若分组码码字中的监督元在信息元之后，
而且是信息元的简单重复。 重复码是一种简单实用的检错码， 并有一定的纠错能力。 (2,1)重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出 现01、10禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。 (3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个 或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个错误，
道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，
但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。
2. 前向纠错方式记作FEC(Forword Error Correction)。发
端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传 输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备 较复杂。
3.
如果一种码的所有码多项式都是多项式 g(x) 的倍式，则称 g(x) 为该码的生成多项式。在 (n,k) 循环码中任意码多项式 A(x) 都是最低次码多项式的倍式。如表 10-4 的(7,3)循环码中，
g ( x) A1 ( x) x x x 1
4 3
2
其它码多项式都是g(x)的倍式， 即
3. 用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效 性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
R=k/n
其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码 效率尽量高；编码规律尽量简单。 实际中要根据具体指标要 求， 保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。
误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低
接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外， 还可以采用信道编码技术。
10.1.2 差错控制方式
前向纠错 FEC 发端 纠错码 收端
检错重发 ARQ
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 判决信号 收端 收端
混合纠错 HEC
图 10-1 差错控制方式
k 1
g ( x) x r gr1x r1 g1x 1
例如(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4, 其生成多项式及生成矩阵分别为
10.4.2 为了便于对循环码编译码，通常还定义监督多项式， 令
x 1 k k 1 h( x ) x hk 1 x h1 x 1 g ( x)
a2 a6 a5 a4 a3 a1 a6 a5 a4 a3 a0 a6
（10-4）
表 10-4 (7,4)码的码字表
10.4.2 汉明码 一种用来纠正单个错误的线性分组码，监督元 个数r与码字长度n之间满足关系： r
2 1 n
10.4.3 监督矩阵H
an1 an2 a1 a0 0
奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即 满足条件
an1 an2 a0 1
而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为
R (n 1) / n
10.3.2 水平奇偶监督码（克服不能检测突发错误的缺点）
(10 - 23)
0 ei 1
当bi=ai 当bi≠ai
式(10 - 23)也可写作
B A E
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S BH ( A E ) H EH
T T
T
表 10-7 (7,4)码S与E的对应关系
汉明码的生成步骤： 1.确定k和r 2.选择校正子S和错误图样E的对应关系 3.列出r个监督方程 4.求监督元（或者生成矩阵）
信息码元 监督元
1 0 0
1 1 1
0 0 1
0 0 1
1 0 1
0 0 0
1 1 0
0 1 0
0 0 0
0 1 1
0 0 1
1
1 1
0
0 1
0
1 0
1
0 0
1
1 0
1
0 1
0
1 1
0
0 1
0
1 1
0
0 0
0
1 0
10.3.3 行列监督码（克服不能发现偶数个错误的缺点）
1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
10.3 常用的几种简单分组码
10.3.1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元，使得码组 中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，码
重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为奇监
督码和偶监督码。
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
图 10-2 (66,50)行列监督码
10.3.4 群计数码
将信息码元中“1”的个数用二进制表示，放在信 息元后面作为监督元。如1010111，有5个1，监 督元为101，所以群计数码为1010111101
10.3.5 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。
由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比
n
其中g(x)是常数项为 1 的r次多项式，是生成多项式；h(x)是
常数项为 1 的k次多项式，称为监督多项式。同理，可得监
督矩阵H
x n k 1h * ( x ) H ( x) xh * ( x ) h * ( x )
其中
h * ( x) x h1x
10.5 循 环 码
10.5.1循环特性
表 10-8 (7,3)循环码的全部码组
在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式
表示码字。 (n,k) 循环码的码字，其码多项式 ( 以降幂
顺序排列)为
A( x) an1x
n1
an2 x
n2
a1x a0
10.5.2 生成多项式及生成矩阵
1 0 G 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1
G [ I k Q]
典型生成矩阵
1 1 1 1 1 0 T Q P 1 0 1 0 1 1
1. 检错重发方式
检错重发又称自动请求重传方式，记作 ARQ(Automatic
Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判 决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这 一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息 再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信
或者该码可以检出两个错误。
码的最小距离 d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任
一(n,k)分组码，若要在码字内:
(1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小
距离d0≥t+e+1。