节点电压法
06节点电压法
1、设定参考点及其 节点电压
3.3 节点电压法
1Ω _ 20V +
Un1
2Ω
i Un2 5A +
10A
2Ω
_u
40V +_
Un3
10Ω _ 10V +
2、列写方程
解得： Un1 14V
Un2 22V u Un3 0 i (Un1 Un2 ) / 2 4A
例2:用节点电压法 求各节点电压。 3Ω
3.9KΩ A
3KΩ _
12V +
20KΩ I
+ 12V_
A点电位仅取决于右边回路
12
UA
20K 1 1
1.96 V
3.9K 20K
六、含受控源的电路
3.3 节点电压法
处理方法：将受控源按对应的独立源 处理，然后再补充控制量和变量（节 点电压）之间的关系方程。
例1
Un1IS3 Un2R1 + US1_
原电路等效为： G5
Un1
G2 Un2
IS1
USG3
G3
G4
Un3
IS2
3.3 节点电压法
四、含理想电压源支路的电路
G5
Un1
G2
Un2 I + US _ Un3
IS1
IS2
G3
处理方法1：在US支路增设一个电流I，然后将其暂时当作电 流源处理，列写方程；最后，再补充一个电压源电压和节点 电压之间的关系方程。
1
R5 1
)
R1 R2 R4 R5
3.3 节点电压法
R1 US+_1
Un
R2
+
节点电压法
节点电压法1. 介绍节点电压法是电路分析中常用的一种方法，通过对电路中每个节点的电压进行分析，可以得到电路中各个元件的电流及节点之间的关系。
这种方法主要基于基尔霍夫电流定律，即电路中进入节点的电流等于出节点的电流之和，利用此定律可以建立节点电压方程组，通过求解方程组可以得到电路中各个节点的电压。
2. 节点电压法的步骤节点电压法的分析步骤如下：2.1 确定参考节点首先，在电路中选择一个节点作为参考节点，将其电压设为0V。
通常选择接地节点作为参考节点。
2.2 标记其他节点的电压对于除参考节点外的每一个节点，都用一个未知变量来表示其电压值，并用标号或符号标记。
2.3 列节点电流方程基于基尔霍夫电流定律，对于每个节点，列出关于该节点的电流方程。
电流方程是根据所连接的元件和电压源的电流关系得到的。
2.4 列电压方程对于每一个节点，利用电压源的正负端的电位差与该节点电压的关系，列出电压方程。
2.5 解方程组将所得到的所有电流方程和电压方程组成一个方程组，通过求解这个方程组可以得到各个节点的电压值。
3. 举例说明下面以一个简单的电路进行举例，说明节点电压法的应用：电路图电路图首先，我们选择节点A作为参考节点。
然后，我们标记节点B和节点C的电压分别为Vb和Vc。
根据基尔霍夫电流定律，我们可以得到以下电流方程：•I1 = I2 + I3•I2 = I4 + I5根据电压源的正负端的电位差与该节点电压的关系，我们可以得到以下电压方程：•Vb = 5 - 10I2•Vc = 15 - 10I4将得到的电流方程和电压方程组成方程组：•I1 = I2 + I3•I2 = I4 + I5•Vb = 5 - 10I2•Vc = 15 - 10I4通过求解这个方程组，我们可以得到节点B和节点C的电压值。
进而可以计算出电路中各个元件的电流值。
4. 节点电压法的优势节点电压法具有以下优势：4.1 适用于复杂电路节点电压法可以用于分析复杂电路，无论电路中是否存在电流源或电压源，都可以通过建立方程组来求解节点电压。
电路分析方法介绍及应用-节点电压法
指针式万用表的设计 电路分析方法介绍及应用
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是节点电压法 2 节点电压法的推倒 3 节点电压法的应用
一、什么是节点电压法
节点电压法的定义
在具有n个节点的电路中，任选其中一个节点作为参考点， 其余个各节点相对参考点的电压叫做该节点的节点电压，以电路 的（n-1)个节点电压为未知数，按KCL列（n-1）个节点电流方 程联立求出节点电压，再求出其它各支路电压或电流的方法称为 节点电压法。
………………………………
G u (n1)1 10 G u (n1)2 20 G u (n1)(n1) (n1)0 iS (n1)(n1)
三、节点电压法的应用
例： 用节点电压法求图中各电阻支路电流。
三、节点电压法的应用
1、列出节点方程，整理得
节点 (11)u1 1u2 5
2u1 u2 5
2021/8/18
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节点电压法
总结
一、 指定电路中任一节点为参考节点，用接 地符号表示，标出各独立节点的编号；
二点 i2 i5 i6 0
u6 u20 u30 V2 V3
对节点 i3 i4 i6 iS2
（6）PTC起动器
图3-22 用PTC起动的单相异步电动机
PTC起动器又称半导体起动器，具有正温度系数的热敏电阻器 件，具有在陶瓷原料中掺入微量稀土元素烧结后制成的半导体晶 体结构。它具有随温度的升高而电阻值增大的特点，有着无触点 开关的作用。
节点电压法
称为互电导，为连接于节点 与 之间支路上的电导之和，值恒为负。
流入第 个节点的各支路电流源电流值代数和，流入取正，流出取负。
三仅含电流源时的节点法
第一步，适当选取参考点；
第二步，利用直接观察法形成方程；
第三步，求解。
四含电压源的节点法
第一类情况：含实际电压源：作一次等效变换。
ｃ.添加约束方程：
ｄ.求解
五含受控源时的节点法（如图3-10）
图3-10
第一步，选取参考节点；
第二步，先将受控源作独立电源处理，利用直接观察法列方程；
第三步，再将控制量用未知量表示
第四步，整理求解。
（注意：G12≠G21）
六含电流源串联电阻时的节点法（如图3-11）
图3 -11
结论：与电流源串联的电阻不出现在自导或互导中。
第二类情况：含理想电压源。
①仅含一条理想电压源支路，如图3-8。
图3-8
ａ.取电压源负极性端为参考点：则
ｂ.对不含有电压源支路的节点利用直接观察法列方程：
ｃ.求解
②含多条不具有公共端点的理想电压源支路，如图3-9。
图3- 9
ａ.适当选取参考点：令 ，则 。
ｂ.虚设电压源电流为I，利用直接观察法形成方程
完备性：电路中所有支路电压都可以用节点电压表示。
二节点电压法
以独立节点的节点电压作为独立变量，根据KCL列出关于节点电压的电路方程，进行求解的过程。
建立方程的过程（如图3-7）
图3-7
第一步，适当选取参考点。
第二步，根据KCL列出关于节点电压的电路方程。
节点1：
节点2：
节点3：
节点电压法
G i j ( ij )称为节点 i 和 j 的互电导,是节点i 和j 间电导总和的负
值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例
中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
补充方程
u2u3 8V
代入u1=14V，整理得到：
1.5u2 1.5u3 24V u2 u3 8V
解得：
u 2 1V 2u 34 Vi 1A
四、弥尔曼定理：
对只含有两个节点的电路，如图所示，用观察法可列出一个独立 节点的电压方程：
(
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)U
n1
U S1 R1
U S2 R2
U S3 R3
整理得
U S1 U S 2 U S3
U n1 (
R1 1
R2 11
R3 1
)
R1 R 2 R3 R 4
对只含有两个节点的电
路, 其节点电压可表示为
U S
U n1
R或 1
R
U n1 ( G U S ) G
上式称为弥尔曼定理。分子表示电流源电流或等效电流 源电流代数和。分母表示独立节点连接的各支路的电 导之和。电流源电流或等效电流源电流参考方向指向 独立节点取+，反之取-。
解得各节点电压为：
u11V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2) 4A
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
节点电压法
以结点ⓞ为参考，并规定结点①、②、③的结点电
压分别用un1、un2、un3表示。 根据KVL，可得出： u10=un1 u20=un2 u30=un3 u12=un1-un2 u23=un2-un3
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
i1+i4+i5=is1 i2-i5+i6=0 ① i3-i4-i6=-is2
A I2
RS R1
I1
Is
R2
U1 +
_
UA( 1 1)U1IS R1 R2 R1
方程左边：按原方法编写，但不考虑电流源支路 的电阻。 方程右边：写上电流源的电流。其符号为：电流 朝向未知节点时取正号，反之取负号。
类型5 例.应用节点电压法求U和I。
I
1
－ 90V
＋ 2
1 － U 20A ＋
1 R1
1 +
R4
u1
1 R4
u3=uRs1
is
u3
R3
R4 u1
R2
R1
R5
u2 is
+us
R6
-
1 R5
+
1 R6
u2
-
1 R5
u3=is
R 14u1R 15u5R 13R 14R 15u30
小结：对于含电流源支路的电路，列节点电位方程 时应按以下规则：
类型3：对含两条或两条以上纯理想电压源支路，但它们汇集于一结点的电路，可取该 汇集点为参考结点。
- US1 + R1
则 Va= Us3 ,Vb= Us4为已知。 故只需对节点3列结点电压方程
Va
- US2 +
节点电压法
09379090 葛佳音一、节点电压：指独立节点对非独立节点的电压。
二、基本指导思想用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立电路方程，以减少联立方程的元数。
三、步骤应用基尔霍夫电流定律建立节点电流方程，然后用节点电压去表示支路电流，最后求解节点电压。
具体如下：1、选择参考节点，设独立节点电位选定参考节点和各支路电流的参考方向，并对独立节点分别应用基尔霍夫电流定律列出电流方程2、根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，建立用节点电位和已知的支路电阻表示支路电流的支路方程3、将支路方程和节点方程相结合，消去节点方程中的支路电流变量，代之以节点电位变量，经移项整理后，获得以两节点电位为变量的节点方程4、解方程得节点电位5、由节点电位求支路电压，进而求支路电流四、P74 例3.1应注意的细节：1、假设参考节点的原因：电压是指电路中两点A、B之间的电位差。
所以，由选取节点的电位可以表示支路电压。
2、不用考虑V1、V2谁大谁小。
可任意设一个电流方向。
但为减少出错，R2上的电流若写成（V1-V2）/R2，则默认R2上的电流朝向节点2。
3、不用考虑串并联。
这也是节点电压法的一大优势。
4、电路图中是电流源（不是电流表）。
***电流源（符号如下图）：R→∞电流源的内阻相对负载阻抗很大，负载阻抗波动不会改变电流大小。
在电流源回路中串联电阻无意义，因为它不会改变负载的电流，也不会改变负载上的电压。
在原理图上这类电阻应简化掉。
负载阻抗只有并联在电流源上才有意义，与内阻是分流关系。
***电压源（如下图）：R→0稳博电压源电压源就是给定的电压，随着你的负载增大，电流增大，理想状态下电压不变，实际会在传送路径上消耗，你的负载增大，消耗增多。
电压源的内阻相对负载阻抗很小，负载阻抗波动不会改变电压高低。
在电压源回路中串联电阻才有意义，并联在电压源的电阻因为它不能改变负载的电流，也不能改变负载上的电压，这个电阻在原理图上是多余的，应删去。
负载阻抗只有串联在电压源回路中才有意义，与内阻是分压关系。
2.4 节点电压法
节点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析 节点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析 电压为未知量 电路的方法。适用于结点较少的电路。先求出节点电 电路的方法。适用于结点较少的电路。先求出节点电 然后应用欧姆定律求出各支路电流的方法。 压，然后应用欧姆定律求出各支路电流的方法。 节点电压：在电路中选定一个参考点， 节点电压：在电路中选定一个参考点，其它节点与参 考点的电位差即为节点电压， 考点的电位差即为节点电压，方向为从独立节点指向 参考结点。 参考结点。 基本思路：选定一个参考点，以剩余(n-1)个节点电压 基本思路：选定一个参考点，以剩余 个节点电压 为未知量， 个独立节点列写KCL方程，先求出 方程， 为未知量，对(n-1)个独立节点列写 个独立节点列写 方程 节点电压，再求其他量。 节点电压，再求其他量。
例：试列写电路的节点电压方程 1 GS + 2 Us _ G4 G5 G1 G3 G2
3 (G1+G2+GS)un1-G1un2－Gsun3=GSUS (G1 +G3 + G4)un2-G1un1-G4un3 =0 (G4+G5+GS)un3－GSun1-G4un2 =-USGS
用节点电压法求图中各电阻支路电流。 例：用节点电压法求图中各电阻支路电流。
-i3+i5=－iS2
i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2
把支路电流用结点 电压表示： 电压表示：
iS2
1
iS1
i2 R2 R1 R4
i3 R3
2 i 4
3
i1
R5 i5 + uS _
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un1 R1
i4
un2 R4
广东海洋大学
i2
un1 un2 R2
i5
un3 uS R5
信息学院
i3
un2 un3 R3
徐国保
Lecture_07 节点电压法
一 般
G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1
情
G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2
况
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,n-1un,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和 (包括电压源与电阻串联支路)。总为正。
Gij = Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所 支路的电导之和，总为负。
iSni — 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括
由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。
当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
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Lecture_07 节点电压法
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定n-1个独立节点；
(2) 对n-1个独立节点，以节点电压为未知量， 列写其KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到n-1个节点电压；
G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3
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标准形式的节点 电压方程
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Lecture_07 节点电压法
其 G11=G1+G2
节点1的自电导，等于接在节点1上所有
中
支路的电导之和。
G22=G2+G3+G4 节点2的自电导，等于接在节点2上所有
支路的电导之和。
G33=G3+G5
列写的方程
节点电压法列写的是节点上的KCL方 程，独立方程数为：
(n 1)
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与支路电流法相比， 方程数减少b-(n-1)个。
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Lecture_07 节点电压法
说明
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即
是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。
uA-uB
(uA-uB)+uB-uA=0
Lecture_07 节点电压法
问题4： 什么叫网孔电流法？如何列写方程？
以基本回路中的网孔电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。 (1) 选定l=b-(n-1)个网孔为独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；
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Lecture_07 节点电压法
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Lecture_07 节点电压法
2.3 节点电压法 (node voltage 1.节点电压m法etho以d节)点电压为未知量列写电路方程分析
电路的方法。适用于节点较少的电路。
基本思想：
选节点电压为未知量，则KVL自动满足， 就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可 视为节点电压的线性组合，求出节点电压后， 便可方便地得到各支路电压、电流。
节点3的自电导，等于接在节点3上所有支 路的电导之和。
G12= G21 =-G2
节点1与节点2之间的互电导，等于接在
节点1与节点2之间的所有支路的电导之
和，为负值。
G23= G32 =-G3 节点2与节点3之间的互电导，等于接在节 点2与节点3之间的所有支路的电导之和， 为负值。
自电导总为正，互电导总为负。
uA
uB KVL自动满足
2. 方程的列写
(1) 选定参考节点，
标明其余n-1个独 立节点的电压
iS1
iS3
1 i2 R2
i3 R3
3
i1
2
i4 R5 i5
R1
R4
+
u_ S
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Lecture_07 节点电压法
(2) 列KCL方程：
iR出= iS入 i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=－iS2
1
111
1
R2
un1
( R2
R3
R4
) un2
R3
un3
0
1 ( R3 )un2
1 (
R3
1 R5
) un3
iS2
uS R5
等效电 流源
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1 G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2
(4) 求各支路电流(用节点电压表示)； (5) 其它分析。
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Lecture_07 节点电压法
iSn1=iS1+iS2 流入节点1的电流源电流的代数和。 iSn2=-iS2＋uS/R5 流入节点2的电流源电流的代数和。 流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电 压，各支路电流可用节点电压表示：
i1
lecture_07
cha.2-5
1.节点电压法
重点难点
内 容 提 纲
2. 方程的列写 3. 无伴电压源支路的处理 4.受控电源支路的处理
节点电压方程的列解及 灵活应用节点法进行电 阻电路分析
Next: cha.2-6，cha.2-7 作业 2.38，自16
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Lecture_07 节点电压法
0 知识回顾
问题1：1.KCL的独立方程个数？
答：n个节点的电路, 独立的KCL 方程为n-1个。
问题2： KVL的独立方程个数？
抢 答开始！
答： KVL的独立方程数=网孔数＝b－(n－1)
问题3： 什么叫支路电流法？如何列写b个方程？ 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
（1）从电路的n个节点中任意选择n-1个节点列写KCL方程 （2）选择网孔为基本回路列写b-(n-1)个KVL方程
un1 un2 un2 un3 un2 0
R2
R3
R4
i4
un2 R4 广东海洋大学
un2 un3 信息学院 R3
un3 uS 徐国R保5
iS2
Lecture_07 节点电压法
整理，得：
11
1
( R1
R2 ) un1
( R2 )un2
iS1
iS2
iS2
Un1 1 i2 R2 Un2 i3 R34 R5 i5
iS1
R1
R4
+
u_ S
i1
un1 R1
i2
un1 un2 R2
i3
un2 un3 R3
i5
un3 uS R5
把支路电流用节点电压表示：
un1 R1
un1 un2 R2
iS1 iS2