2017年高考数学江苏卷试题解析

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学I

参考公式：

柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

4 n R3

球的体积V -----------，其中R是球的半径.

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分?请把答案填写在答题卡相应位置上

1?已知集合A {1,2} , B {a, a2 3}，若AI B {1}，则实数a的值为▲.

【答案】1

【解析】由题意1 B，显然a23 3，所以a 1，此时a23 4，满足题意，故答案为1.

2 .已知复数z (1 i)(1 2i)，其中i是虚数单位，则z的模是▲.

【答案】10

【解析】z (1 i)(1 2i)| |1 i||1 2i| 运75屁，故答案为颍.

3?某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200, 400, 300, 100件?为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取▲件.

【答案】18

【解析】应从丙种型号的产品中抽取60 -30018件，故答案为18.

1000

1

4?右图是一个算法流程图，若输入X的值为则输出y的值是 _▲_.

(结束) {第4题)

【答案】2

【解析】右准线方程为x 30讦，渐近线方程为y

壬，设P(M4)，则。(乜,」)， 3 10 10

10 10

1

【解析】由题意得y 2 log 2

2，故答案为 2 .

16

n 1

5 .若 tan( )

,则 tan

▲

.

4

6

【答案】7

5

3

【答案】-

2

7.记函数f(x) .6 x x 2的定义域为D .在区间［4,5］上随机取一个数x ,则x D 的概率是

5

【答案】-

9

【解析】由即彳一龙-6埜0,得-f 烦匚何槪型的槪率计章公式得"D 的 槪率是

8 .在平面直角坐标系 2

xOy 中，双曲线 / y 2 1的右准线与它的两条渐近线分别交于点

P , Q ，其焦点是

3

h ，F 2，则四边形 F 1PF 2Q 的面积是 ▲.

【答案】2 .3

2

r 2

2r 3 3

4 3

2 .

故答案为3

r 2

3

V

【解析】设球半径为r ，则v 2

【解析】tan

tan[(

tan( ) tan — 4 4

1 tan(

)ta n — 4 4 16 I .故答案为I .

6.如图，在圆柱 O 1O 2内有一个球0 ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱

。1。2的体积为V 1 ,

球°的体积为也，则V ；的值是

(第6题〉

F i (

10,0) , F 2( .10,0)，则 S 2 10

30

2 3 . 10

7 63

9.等比数列｛a n ｝的各项均为实数，其前

n

项和为S n ，已知S 3

-, S s 一，则a 8= ▲

4 4

【答案】32

【解析时，显務不符合题意』

口1 =丄

1 ■

1

4,则^=^x27=32.

旷2

4

10.某公司一年购买某种货物

600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元?要

范围是

1

i 答案】[1,2]

1 一 1

—,故实数a 的取值范围

为［1厂］.

2 - uuu

12 .如图，在同一个平面内，向量0A ,

UJU - UJU UUU OB 与OC 的夹角为 45 ?右 OC

【答案】3

使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

x 的值是 ▲

【答案】 30

【解析】

总费用为4x 600

4(x 900

)

4 2 900

240，当且仅当x 900，即x 30时等号成立.

x

x

11.已知函数

f(x) x 3

2x

丄其中 x

e

e 是自然对数的底数?若 f(a 1) f(2a 2) 0，则实数a 的取值

【解析】因为 f( x) 2x

e x

f (x)，所以函数f (x)是奇函数,

因为f'(x) 3x 2

3x 2 2 2 e x e x 0，所以数f(x)在R 上单调递增,

又 f (a 1)

2

f(2a )

2

即 f(2a )

f (1 a)，所以 2a 2 1 a ，即 2a 2 a 1

0,

解得1 a '2

OO B , OOc 的模分别为1, 1,

2 , C)A 与

OO C 的夹角为，且

m n ▲

【解析】由tan7 可得sin -—2, cos

10

2，根据向量的分解, 10

易得nCOS45

nsin 45

mcos

msi

n

■2，即

n

2

■ 2n

n

2

——m

10

7 2 m

10

「2

5n

5n 7m

10

，即得

13.在平面直角坐标系xOy 中,A( 12,0), B(0,6),点P 在圆O :x

uur uuu

50上，若PA PB w 20,则点P的横

坐标的取值范围是【答案】[5.2,1]

【解析】设由PAPB<23.易得壮-$+広0,由2r-v+5=0 v=

或

V =二勺

于由2X^V45<0得卩点在圆左边弧脳上』结合限制条件巧血冬亡5迈，可得点卩横坐标的収値范围为[-5^ 1] ?

14.设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上, f(x)

x, x D,其中集合x D,

n N*｝，则方程 f (x) lg x 0的解的个数是_______ ▲

【答案】8

【解析】由

于

f (x) [0,1)，则需考虑1 x 10的情况,

在此范围内, x Q且x D时，设x 异q N*,p

且p,q互质,

若lg x Q，则由lg x (0,1)，可设lg x -,m,n N*,m m 2，且m, n互质,

n

因此10m害，则1。" (-)m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此

P

lg x

因此lg x不可能与每个周期内x D对应的部分相等,

只需考虑lg x与每个周期x D的部分的交点,

画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D的部分,

1 1

1，则在x 1附近仅有一个交点,

xlnlO ln10

因此方程f(x) lgx 0的解的个数为8.

程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD, BC丄BD，平面ABD丄平面BCD，点E, F(E与A, D不重合)分别在棱AD, BD上，且EF丄AD .

求证：(1) EF //平面ABC ；

(2) AD丄AC.

【解析】⑴ 在平面渺D內」因为■町丄加，EF丄個，所以￡珂心?

又因为EF H平面肿G AB u平面肿G所以^一"平面财C??

(2＞因为平面肋D丄平面BCD,平面ABDf］平面SCc平面BCD f丑C丄RD , 所以EC丄平面.

因为Q u平面,所以BC一AD ,

又肋_L A D,BCHAB -B｝曲(=平面曲CS BCa平面-毎。所以.如丄平面ABCt

又因为MU平面心G所決個丄上U

16.(本小题满分14分)

已知向量 a (cosx, sin x), b (3, . 3), x ［0,冗］.

(1 )若a // b，求x的值；

(2)记f(x) a b，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

、解答题：本大题共6小题，共计90分?请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

且x 1 处（lg x）

3

4 解得a 2,c

1，于

b

a 2 c 2

.3，因此椭圆E 的标准方程是

【解析】 ⑴ 13^) a - (cosxsin V )} b =

7

们匚打所以-盂=Esin JC ■”

^gcosx= 0；则破口工二。』sill 1 x+ cos 2 x = 1 ?JWJ illcosx^O .

于是tan:x=-又H 丘［0$ 11］ T 所以玄三石=

(2)由(1)知,R( 1,0) , F 2(1,0).

17. (2) f(x)

曰■当

x 疋， (本小题满分 a b (cos x,sin x)

，所以x

n [

6 (3, 、3) 3cos x . 3 sinx

7n

石］，从而1

n

cos(x )

6

2品 cos(x —).

6

7t

6

7t

6

n

，即 6

0时, 讥沁取到最大值

，即

14分)

如图，在平面直角坐标系 1

丄，两准线之间的距离为 2

6时，疔:门取到最小值 2,3 .

2

xOy 中，椭圆E : ^2

a 8点P 在椭圆E 上,

2

y

1(a b 0)

b

的左、右焦点分别为 F i , F 2，离心率为

且位于第一象限，过点 F 1作直线PF 1的垂线11

，过点F 2

作直线PF 2的垂线12

. 因为椭圆E 的离心率为

1 c ，两准线之间的距离为 8，所以一

2

a

(1)求椭圆E 的标准方程;

设P(x o ,y °)，因为P 为第一象限的点，故x o 0, y o 0 . 当x o 1时，b 与l i 相交于F i ，与题设不符.

当吃吋.直线尸耳的斜率期七，直线尸耳的斜率为上「

牝+ 1 花—I

因为石丄尸野，右丄円所以直线4的斜率为一仝

直线右的方程：y =

②

2

又p 在椭圆E 上，故生

4

因此点P 的坐标为(于乎.

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I 和正四棱台形玻璃容器n 的高均为 线AC 的长为1o 、. 7 cm ，容器n 的两底面对角线 EG , E 1G 1的长分别为 和容器n 中注入水，水深均为 12cm .现有一根玻璃棒I ，其长度为40cm .(容器厚度、玻璃棒粗细均 忽略不计)

(1 )将I 放在容器I 中，I 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱 CC 1上，求|没入水中部分的长度; (2)将I 放在容器n 中，I 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱 GG 1上，求I 没入水中部分的长度.

从而直线4的方程：严一立1仗+山

由①②，解得x

2

X 。 x ),y

一

y

1，所以Q( 亠).

y o

因为点Q 在椭圆上, 由对称性，得

2

X 。

y o

y o ，即 2 X

o

2 2

y o 1 或 x o

2 y

o

2 x

o 由

x 2

y o

2

y o 3

1

，解得x o

1 4

〒，

y o

2

y o

2

y o 3

1

，无解.

1

18. (本小题满分16分)

32cm ，容器I 的底面对角 14cm 和62cm .分别在容器I

【解析】（1）由正棱柱的定义， CC i 丄平面ABCD ，所以平面 A i ACC i 丄平面ABCD , CC i 丄AC . 记玻璃棒的另一端落在 CC 1上点M 处. 因为 AC 10 .7, AM 40，所以 MC 402

（10. 7）2 30，从而 sin Z MAC 3 ,

记AM 与水面的交点为 R ，过R 作P 1Q 1丄AC , Q 1为垂足，

RQ 1

则 P 1Q 1 丄平面 ABCD ，故 P 1Q 1=12,从而 AP 1= 16 .

sin Z MAC

答：玻璃棒I 没入水中部分的长度为 16cm .

（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为

24cm ）

（2）如團,6 6是正棱台的两底面中心?

宙正祓台的定文』丄平面EFGH,所臥平面目Eg 丄平面EFGH } 丄EG.

同理，平面昂EGG 丄平面OO 丄如 记珊璃棒的另一皓落在GGi 上占再处.

过G 作GK 丄E 1G 1, K 为垂足，则 GK =001=32. 因为 EG = 14, E 1G 1= 62 ,

容器11

（第18题）

E

〔第 18（1）题）

所以KG1= —14

24，从而GG1、KG2 GK2.242 32240.

答：玻璃棒I 没入水中部分的长度为 20cm .

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm) 19.(本小题满分16分) 对于给定的正整数 k ，若数列

满足：a n k

a n

k 1

L a .

1

a . 1 L a . k 1 a .

k

2ka .对任意正

整数n(n k)总成立，则称数列｛a n ｝是“ P(k)数列”. (1 )证明：等差数列｛a n ｝是“ P(3)数列”；

(2)若数列｛a n ｝既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明：｛务｝是等差数列. 【解析】(1)因为｛a .｝是等差数列，设其公差为 d ，则a n 印(n 1)d ,

从而，当 n 4时，a n k a n k a 1 (n k 1)d

& (n k 1)d

2a 1 2(n 1)d 2a n , k 1,2,3,

所以 a n 3 a n 2+a n 1 +a . 1 a n 2+a n 3 6a n , 因此等差数列｛a n ｝是“ P(3)数列”.

⑵ 数列赃是“氏2)数列即,又是噸用)数列呛；因lit, 当 H A3时，^_2 +

+

= K , ffl

当料A4 R 寸，码山+应心+由z + 3 + J =込?② 由①知丿

+^_2 =

-

+

;

?

设 Z EGG 1

因为一

2

,Z ENG ,则 sin

，所以cos

sin(— Z KGG 1) cos Z KGG 1

2

在△ ENG 中，由正弦定理可得 上0

丄，解得sin

sin sin

7 25

因为0

2，所以cos

24 25

于是 sin Z NEG sin(

) sin(

4 24 / 3、 7 3 )sin cos

cos sin

— — (一)

—

5 25 5 25 5

记EN 与水面的交点为 P 2,过P 2作P 2Q 2丄EG , Q 2为垂足，则 故 P 2Q 2=12，从而 EP 2=

P 2Q 2 sin Z NEG

20 ?

P 2Q 2丄平面EFGH ,

a

n 2

a

n 3

4a

n 1

(a

n 1 a n

)

，④

将③④代入②，得a n i

a n i 2a n ，其中n 4 ,

所以a 3,a 4,a 5丄 是等差数列，设其公差为 d'.

在①中，取n 4，则 a 2 a 3 a 5 a 6 4a 4，所以a 2 a 3 d', 在①中，取n

3，则 a 1 a 2

a 4 a 5

4a 3，所以a 1

a 3 2d',

所以数列{a n }

是等差数列.

20.(本小题满分

16分)

已知函数f(x) 3

2

x ax

bx 1(a 0,b R)有极值，且导函数 f (x)的极值点是f (x)的零点.(极值点 是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1) 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b 2 3a ； (3)

若f(x)， f (x)这两个函数的所有极值之和不小于

7，求a 的取值范围.

【解析】 ⑴ 由 /(Y) = X s + or 3 +&+1 二得 y F (x) =3y? + E 二又疋4彳)：+ 百一寻-

当时；广⑴有极小值占一b ?

3 3

因为rw 的极信点是/w 的零点.

f(r~~)———-—+1=0 J 爻口:> 0, Sfc &=+—-

3

27

9

3

9 a

-Rj

因为/何有极值，故/^>0有实根，从而b-—^丄(27-巧丸，即处3.

3 9 口

当a 3时，f (x)>0(x 1)，故f (x)在R 上是增函数，f (x)没有极值；

当a 3时,

f (x)=0有两个相异的实根

x 1 =

a ? a 2 3b

a ，- a 2 3b

，x 2 =

3

3

21

故f (x)的极值点是X|, x2.从而

(2)由(1)知,_b二= 2a-a

Va

当t (护)时’g

因为a 3，所以a , a

(t) 0

a 3 .因此b空-

9

a3a .设旳蔦

，从而g(t)在(乎

3

，定义域为(3,

a

3 2 3

-，贝v g (t)=9-严

)上单调递增.

2t227

9t2

b

3, 3，故g(a . a)>g(3 3)= . 3，即-二 >「3 .因此b2>3a .

Va

⑶由⑴組㈣師值点是形?目屮无"討水/气

从而+ = + 曲+坷+1+遇 + 羁 + 隔+1

二匹(3卅十込十的十西＜3讨十2吒十占〉十彳十x^)+—十花)十2

4&1-6ab 4ab口

----- J =

9

记f (x) , f (x)所有极值之和为h(a),

因为f (x)的极值为b —-a2 3，所以h(a)= -a2- , a 3.

3 9a 9 a

2 3

因为h (a)= a 2 0,于是h(a)在(3,)上单调递减.

9 a

因为h(6)= 7，于是h(a) h(6)，故a 6 .因此a的取值范围为(3,6］.

2

数学□(附加题)

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请?选定?其中?两题.，并在相应的答题区域内作答

则按作答的前两小题评分?解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

，若多

做, ［选修4-1 :几何证明选讲］(本小题满分10分)

如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C, AP丄PC, P为垂足.

求证：(1) PAC CAB ；

2

(2) AC AP AB .

【解析】（1）因为PC 切半圆0于点C ,

因为AB 为半圆0的直径，所以/ACB B .［选修4-2 :矩阵与变换］（本小题满分10分）

因为AP 丄PC ,所以/ APC 90，所以

PAC CAB .

（2）由（1）知，△ APC ACB ，故

竺也，即AC 2 AP AB .

AC AB 已知矩阵A

,B

(1)求 AB

（2）若曲线

P f

；A

~1 0_

j 所以.-4B=

ro ii

_

1 ?■

_

0 2' 1 0

-=■ ■

0 2

1 0 — M 0

2 B- -

I 0

a

（2）设）2（观丿』為曲线G 上的任意一点?它在矩阵.4B 对应的变换作用下变为尺兀y ）,

'0 2'

X

F 1 0 ■ ■

=

L

附

L

Is

f 4

y

旳惑S ）在曲*上,所茫弋J 从叫绘"即宀".

因此曲线G 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线G: 2 +尸二&

C .［选修4-4 :坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I 的参考方程为

8 t

丄 （t 为参数），曲线C 的参数方程为 2

x 2s 2

—（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点 y 2 2s

P 到直线I 的距离的最小值.

【解析】直线I 的普通方程为x 2y 8

0?因为点 P 在曲线C 上，设P （2s 22, 2s ）,

(緡21-A 也)

所以/ PCA / CBA ,

【解折】（1》因为』=

1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C 2，求C 2的方程. 则 ，Vn — X

} m

从而点P 到直线i 的的距离d

|2s

［哇281 2（s _!）2 4，当

T i 2

（ 2）2

亦

因此当点P 的坐标为（4,4）时，曲线C 上点P 到直线|的距离取到最小值

D ?［选修4-5 :不等式选讲］（本小题满分 10分）

已知 a,b,c,d 为实数，且 a 2 b 2 4,c 2 d 2 16,证明：ac bd < 8.

【解析】由柯西不等式可得仏十坯y §3 + w 十乃』

因为 口‘+ =4,F +用=16；,所法（占右+加）164」Bitt ac + frof < 8 ?

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分?请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）

女口图，在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AA 1 丄平面 ABCD ，且 AB=AD=2, AA 1 = , 3 , BAD 120 （1） 求异面直线 A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2） 求二面角 B-A 1D-A 的正弦值.

【解析】在平面 ABCD 内，过点A 作AE AD ，交BC 于点E . 因为 AA 1 平面 ABCD ，所以 AA 1 AE , AA 1 AD .

uuu uur uuu

如图，以｛ AE, AD, AA 1｝为正交基底，建立空间直角坐标系 A-xyz.

因为 AB=AD=2, AA 1=、、3 , BAD 120 .

则 A(0,0,0), BC-3, 1,0), D(0,2,0), E( 3,0,0), A(0,0, '、3), G( C,1, .3).

S . 2 时，d

min

（第22题）

不妨収则y = -^.2= 27所以酬=3伍2)为平面必山的一法问量「

从砂(葩盼专卫

设二面角B -A i D-A 的大小为

，则 |cos |

因为 [0,]，所以sin 7 ?因此二面角B-A i D-A 的正弦值为 4 23 ?(本小题满分10分) 已知一个口袋中有 m 个白球，n 个黑球(m,n N*,n > 2)，这些球除颜色外全部相同?现将口袋中的球

随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3丄,m n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉(k 1,2,3,L ,m n). 1

2

3 L m n

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率

P ； (2

)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, n

E(X)是X 的数学期望，证明:

E(X)

(m n)(n 1)

UJIT l l UUU

⑴ AB (.3, 1, 3),AG

uuju

__ ，一 AC 则 cos( A B, AC3 JIT uuuj

IABIIAG |

uur uuuu (.3, 1, 「3) (.3,1,. 3) 1

因此异面直线 A 1B 与AC 1所成角的余弦值为 -

C2)平面畐加的一个法问量为孟二(笛oo). i 殳wi = (m)为平面瓦4辺的一个法向量,

又瓦3 =(占+*)邸,则

[m -

=0* J 击JC —j —-j3z = 0a

| nt-BD = 0t = 0, ?

【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P

为:

n 1

C m n 1 p C

mn

(2)随机变量X的概率分布为

随机变量X的期望为E(X)

m n n 1

C k 1 k n k C m n

所以E(X)

1 m n(k 2)!

0L kn(n 1)!(k n)!

(n 1)c m

(1 C n

(n 1)c mn (C n C n

(n 1)C mn k n (n

(k 2)!

2)!(k n)!

(n 1)c m n 即E(X )

c m: 2)

(n 1)c m

(C n1C n

2 n

1

c

n

2L C m2n2)

(n 1)C m n

(c m1n c m2n 2

n

(m n)(n 1)

n

(m n)(n 1)

1 mn1 (k 1)!

k n k (n 1)!(k n)!