2,无理数、二次根式
一、选择题
1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ）
A ．12
B ．11
C ．8
D ．3
2．下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（ ） A
B
． C
D
3．3最接近的整数是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．5
4．4的算术平方根是（ ）
A ．2±
B ．2 C
． D
5．下列根式中不是最简二次根式的是（ ）．
A ．2
B ．6
C ．8
D ． 10
6．下列运算正确的是（ ）
A 、39±=
B 、
33-=- C 、39-=- D 、932=- 7
） A
． B
．- C
D
．8
2()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
9．|－9|的平方根是（ ）
A ．81
B ．±3
C ．3
D ．－3
10
．函数y =x 的取值范围是（ ）
A ．2x >-
B ．2x -≥
C ．2x ≠-
D ．2x -≤
11．实数a,b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 0a b +>
B. 0a b ->
C. 0>ab D ．0a > 12
的绝对值是（ ）
A ．3
B ．3-
C ．13
D ．13
- 13．下列计算正确的是：（ ）
A
．= B
1= C
=D
．=
14 ）
A ．3-
B ．3或3-
C ．9
D ．3
15．函数y =x 的取值范围是（ ）
A ．12x -≥
B ．12x ≥
C ．12x -≤
D ．12
x ≤
162的值( )
A ．在1到2之间
B ．在2到3之间
C ．在3到4之间
D ．在4到5之间
17．28-的结果是（ ）
A ．6
B ．22
C ．2
D ．2
18．实数2-，0.3，17π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
19．下列运算正确的是（ ）
A ．623a a a =?
B ．1)14.3(0=-π
C ．2)2
1(1-=- D ．39±= 20．下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（ ）
A B ． C D
21( )
Ａ．2 Ｂ． C ．- D ．±
22．下列运算正确的是（ ）．
A ．523=+
B ．623=?
C ．13)13(2-=-
D ．353522-=-
23．下列四个数中，其中最小．．
的数是（ ）
A ．0
B ．4-
C ．π- D
24．在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥0
B ．x ≤0
C ．x ＞0
D ．x ＜0
25．．．
，则x 的取值范围是 A ． 2x ≥ B ．2x > C ．2x < D ．2x ≤
26．已知a
A. a
B. a -
C. － 1
D. 0
27．下列运算中，正确的是 A 39±= B ()a a 236= C a a a 623=? D 362-=-
28．下面计算正确的是（ ）
A ． 3333=+
B ． 3327=÷
C ． 532=?
D ．24±=
29．估计20的算术平方根的大小在（ ）
A ．2与3之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间
30 ）
A ．1
B ．1-
C
D
31．下列各数中，最大的数是（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D
321的值在（ ）
A ．2和3之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
33．27的立方根是（ A ）
A ．3
B ．3-
C ．9
D ．9-
34．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．12a -
D ．21a -
35．下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．632a a a ÷=
B ．325()a a =
C
．
= D
=36．9的平方根是 （ ）
A. 3
B. -3
C. ±3
D. ±3
37．已知a
A. a
B. a -
C. － 1
D. 0 38．下列运算中，正确的是
A 39±=
B ()a a 236=
C a a a 623=?
D 362-=-
39．下面计算正确的是（ ）
A ． 3333=+
B ． 3327=÷
C ． 532=?
D ．24±=
40
．若x y ==xy 的值是（
）
A ．
B ．
C ．m n +
D ．m n - 41．使代数式4
3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠4
42有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．0x ≠ C ．10x x >-≠且 D ．10x x ≠≥-且
43．在实数
0，1，0.1235中，无理数的个数为
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
44．下列运算正确的是（
）
A 3=
B ．0(π 3.14)1-=
C ．1122-??=- ??
? D 3=±
45
A ．1到2之间
B ．2到3之间
C ．3到4之间
D ．4到5之间
46．在函数y =x 的取值范围是____________．
47．在函数y =x 的取值范围是 ．
48有意义的x 的取值范围是 ．
49．当x =________
50．函数3
-=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 51
在实数范围内有意义的x 应满足的条件是 ． 52．函数
y =自变量x 的取值范围是 ． 53．16的平方根是 .
54．计算：312-= ．
55．计算：=-0)12( ．
56．化简：=-2)3(___________，
= ．
57= ．
58．计算2的结果等于 ．
.
59．计算10(23)1)---的结果是_________．
60．计算：=-2712 ．
61_________． 62．化简：818-= ．
63．化简：32583-的结果为 。
64．计算：=+-3)23(2
65．当x ≤0时，化简1x -的结果是 ．
66．若()2240a c --=，则=+-c b a ．
67．已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ．
68．当2-=x 时，代数式1352--x x 的值是
53．计算：1
012)4cos30|3-??++- ???
°．
54．计算：220091)6sin 45(1)-++-°．
55．计算： 0(2009)|2|2s i n 30
π-+-+?
560|2|(2π)+-． 57．求值1
012|20093tan 303-??+--+ ???°
58．计算12
--sin ()30π3++0°． 59．计算： 30sin 2)13(332012+-+?---
60．计算：0200912sin 603tan 30(1)3??-++- ???
°°． 61．计算：()
60sin 421122101+-+-??
? ??--
62．计算：0|2|(1--++
63032(2009)4sin 45(1)π--+-。
64．计算：131(tan 60)||20.1252
-?-+?
65．计算：101()(20094sin 302
---+o－2-
66．计算：202(π2009)2sin 45+-+-?
67．求值1
012|20093tan 303-??+--+ ???°
68．计算12
--sin ()30π3++0°．
69．计算：?÷ ?
70．化简1-
71．计算：10120096-??-+- ???
72．计算：92)30sin 2()3(10+-?----π .
73．计算：1021)sin 30-++?
74．计算：（π－1）°＋11()2
-＋275－－23. 75
．计算：0
12009|3.14π| 3.1412cos 451)(1)-?-+÷-++-????°． 76
．计算：1
01245(2 1.41)3-??--++
???
77．计算：1
sin 30π
+32-+0°+() 78．计算：11023--+-?? ???
79．计算：()12
1240-++-；
80．计算：(
)02cos602009
π--+°81．计算：0(π
2009)|2|-
+．
821
01(2009)12-??
-+
???． 83．计算：0
133
?? ???
． 84112sin 602-??- ??? 85．计算： 60t 233
3)21()125(1
0an ---?
++--. 86．计算：1
021|2|(π(1)3-??-+?
- ???
． 87．计算：|2-|o 2o 1
2sin30((tan 45)-+-+
88．计算：201(1)π3--++．
89．计算：2
182009---
+）（． 90
02)
+91．计算：()()()223523---
?-． 92．计算：()1200911sin 602-??
-+-- ???
° 933
62sin 45+°． 94．计算：1-245-+--?30sin ．
95．计算：20)6()15(3--+-．
96．计算：0023)20094(45sin 2)52()21(π
-++-+--
97．计算：1
2011|2|5(2009π)2-??-++-?- ???
． 98．计算：?+--+-30sin 29)2009()21(01
99．计算：10120096-??-+- ???
100．计算：1021)sin 30-++?
101． 0(π2)1--．
102．先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中215+
=a 103．先化简、再求值：33)22
5(423-=---÷--a a a a a ，其中
104．先化简，再求值：()20tan 60a ab a b b a b
-?---·，其中1a b ==，
103、先化简，再求值：244(2)24
x x x x -+?+-，其中x =
104．先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =--=．
105．先化简，再求值：2112x x x x x ??++÷- ??
?，其中1x =．
105．先化简，在求值：2232
1121a a a a a a -+÷-+-，其中a =
怎样证明根号2是一个无理数
怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.
无理数典型练习题(菁优网)
无理数无理数无理数无理数
无理数无理数无理数无理数 一．选择题（共5小题） 1．（2013?安顺）下列各数中，3.14159，，0.131131113…，﹣π，，，无理数的个数有（） 和和D 与 5．（2006?梧州）在﹣7.5，，4，，﹣π，，中，无理数的个数是（） 二．填空题（共5小题） 6．（2011?淄博）写出一个大于3且小于4的无理数_________． 7．（2010?建邺区一模）写出﹣1和2之间的一个无理数：_________． 8．（2012?大丰市模拟）在数据﹣π，，中无理数的个数是_________个．9．（2010?泰安）1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有_________个．10．在，﹣（+5），，0，π，，0.303003000中，无理数是_________． 三．解答题（共2小题） 11．在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{…}， 分数集合{…}， 无理数集合{…}．
12．下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次 多一个0）（请填序号） 无理数是_________，整数是_________．负分数是_________．
无理数无理数无理数无理数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2013?安顺）下列各数中，3.14159，，0.131131113…，﹣π，，，无理数的个数有（） 和和D 解：其中 此题考查了无理数的概念，注意其中的 与 与 、在这三个代数式中， 4．（1997?广西）下面说法中，正确的是（）
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两
个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
数学中考试题分类大全无理数及二次根式
(2008年安徽省) =_________。 6．（2008年芜 湖市） ）． Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间 河北 周建杰 分类 （2008年泰州市）21．计算：01)41.12(45tan 32)3 1 (-++---ο． （2008年南京市）4．2的平方根是（ ） A ． 4 B C ． D ． （ 2008年南京市）11 的结果是 ． 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）计算：2008(1)2tan 20cot 20-+o o （2008年自贡市）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。 （2008年自贡市）计算 1 03 130tan 3)14.3(27-+?---） （π 以下是湖北孔小朋分类： （1）（2008福建福州） 计算：01 (π4)sin 302 ---o ； 以下是河北省柳超的分类 （2008 年遵义市）3 ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N （2008年遵义市）14 ．若20a -=，则2a b -= ． 以下是江西康海芯的分类: 1. （2008年郴州市）下列计算错误的是（ ） A ．－（－2） =2 B ．=．22x +32x =52x D ．235()a a = 2.（ 2008年郴州市）计算： 201 ()2sin 3032 --+?+- 3.（2008年郴州市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距 地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?（．如图7）．求A 、
B 两个村庄间的距离． 1.414 1.732==） 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 1 2008年桂林市 2 、 在 下 列 实 数 中 ， 无 理数是（ ） A 5πg g 22 、0.1 Ｂ、 Ｃ、-4 Ｄ、 7 2008年 3、下列计算错误的是（ ） A ．－（－2） =2 B =．22x +32x =52x D ．235()a a = 2008年 4、实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a > b B ． a = b C ． a < b D ． 不能判断 2008年桂林市 5、计算：0 012008453 +-1（）（） 2008年 6、计算： 201 ()2sin 3032 --+?+- 11. ( 2008年杭州市) 写出一个比1-大的负有理数是 ______ ; 比1-大的负无理数是 __________ . 以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类 1．（2008年?南宁市）计算：4245tan 2 1 )1(10+-?+--。 9．(08年宁夏回族自治区)计算：825-= ． 17．(08年宁夏回族自治区)先化简，再求值：)1()1 11 2(2-?+--a a a ，其中33-=a 。 以下是辽宁省高希斌的分类 1．（2008年湖北省咸宁市）下列说法：①对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ②计算2-的结果为1；③正六边形的中心角为60?； ④函数y =x 的取值范围是x ≥3． Q B C P A 450 60? 30? 图7 图1
无理数的常见形式
无理数的常见形式，科学计数法 无理数 概念：无理数即无限不循环小数。 明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如： （1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为； （2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等； 像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。 概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。 无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种： 1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0） 2. 含的数，如：，，等。 3. 开方开不尽而得到的数，如，等。 4. 某些三角函数值：如，等。 无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数； 2、无理数不能写成两整数之比。 错误辨析： 1. 无限小数都是无理数； 2. 无理数包括正无理数、负无理数和零； 3.带根号的数是无理数； 4. 无理数是用根号形式表示的数； 5.无理数是开方开不尽的数； 6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数； 7.无理数与有理数的乘积是无理数； 8. 有些无理数是分数； 9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。 综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。
(完整版)二次根式及经典习题及答案
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平 方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，， 而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无 意义，而.
探究根号2的近似值
探究2近似值教学设计 教学目标 （1）知识与技能 1、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值? 2、会用计算器求一个数的算术平方根，理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平 方根扩大（或缩小）的规律。 3、体验无限不循环小数的涵义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 （2）过程与方法 让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握用“逐次逼近法”求一个数的近似值，理解这种对数进行分析、猜测、探索的方法。 （3）情感、态度与价值观 通过用有理数逼近2的大小的方法，让学生体验数学学习中方法的重要性，培养学生的计算能力和对于夹值法求一个数的近似数的能力，通过探究活动培养学生 的动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 教学重点、难点 重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。 难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想方法。 关键：正确理解无限不循环小数的概念及它和无限循环小数的区别与联系。 突破方法：用从两端逼近法得到2的近似值，用计算器求一个数的算术平方根的方 法。 教法与学法
教学方法：指导、讨论、讲练结合。通过指导使学生理解通过夹值法确定一个数的 范围，根据范围求一个数的近似值的方法。 学习方法：自主学习，合作探究，归纳方法。使学生通过计算领会用夹值法求一个 无限不循环小数的近似值的方法，在自主探究的基础上，通过小组合作、相互质疑、 共同探究，使认识得到深化。 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器、夹值法的运用 教学过程 一、回顾与思考 （学生一起回答） 我们已经知道，正数x满足x2=a,则称x是a的算术平方根。当a恰是一个整数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如22=4.但当a不是一个整数的平方数时，它的算术平方根又该怎样求呢？例如大正方形的边长等于多少呢？ 二、复习引入 活动一 问题1：究竟有多大？ 请大家判断一下以下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 因为3个正方形的面积分别为1、2、4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正 方形边长就大。 问题2：大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？ 因为a2>1且a2<4,所以a肯定比1大且比2小，可以表示为12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69， 1.42=1.96，1.52= 2.25等等，而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4 三、新授过程
无理数练习题
【知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926 1.414213= ，－1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()()0000a a a a a a >??==??-
④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 （ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式 21a +y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11 215 的大小关系是（ ） A 215< B ．215<<215<<215<< 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。
2,无理数、二次根式
一、选择题 1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 2．下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B ． C D 3．3最接近的整数是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．5 4．4的算术平方根是（ ） A ．2± B ．2 C ． D 5．下列根式中不是最简二次根式的是（ ）． A ．2 B ．6 C ．8 D ． 10 6．下列运算正确的是（ ） A 、39±= B 、 33-=- C 、39-=- D 、932=- 7 ） A ． B ．- C D ．8 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 9．|－9|的平方根是（ ） A ．81 B ．±3 C ．3 D ．－3 10 ．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 11．实数a,b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 0a b +> B. 0a b -> C. 0>ab D ．0a > 12 的绝对值是（ ） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13 - 13．下列计算正确的是：（ ） A ．= B 1= C =D ．=
14 ） A ．3- B ．3或3- C ．9 D ．3 15．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．12x -≥ B ．12x ≥ C ．12x -≤ D ．12 x ≤ 162的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 17．28-的结果是（ ） A ．6 B ．22 C ．2 D ．2 18．实数2-，0.3，17π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 19．下列运算正确的是（ ） A ．623a a a =? B ．1)14.3(0=-π C ．2)2 1(1-=- D ．39±= 20．下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B ． C D 21( ) Ａ．2 Ｂ． C ．- D ．± 22．下列运算正确的是（ ）． A ．523=+ B ．623=? C ．13)13(2-=- D ．353522-=- 23．下列四个数中，其中最小．． 的数是（ ） A ．0 B ．4- C ．π- D 24．在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 25．．． ，则x 的取值范围是 A ． 2x ≥ B ．2x > C ．2x < D ．2x ≤ 26．已知a A. a B. a - C. － 1 D. 0 27．下列运算中，正确的是 A 39±= B ()a a 236= C a a a 623=? D 362-=- 28．下面计算正确的是（ ） A ． 3333=+ B ． 3327=÷ C ． 532=? D ．24±= 29．估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 30 ）
初中数学_根号2是有理数吗第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思
八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 教学设计 《7.32是有理数吗（第一课时）》来源于九年八年级下册第7章第3节。这是一节概念课，所以我把这节课的重心放在探究活动上，也就是探究2是无理数和无理数与有理数概念的辨析。教学设计如下： 一、复习导入环节 1. 复习有理数的分类，主要是让学生回顾有理数按整数，分数分类。 2. 练习题，将下列各数填在适当的括号内。这样设计的目的是加深对有理数概念，分类的理解，另外设计了0.262662666…（每两个2之间依次多一个6）这个数。有的学生可能错把这个数当成分数或有理数，课堂上，我抓住这个错误，让一名优秀的学生做了解释，它是无限不循环小数。这个数自然而然成为了学习无理数的切点，导入新课。 二、合作探究环节 我把这部分的要求展示在课件上，学生能做到心中有数。分为三部分：自主学习、合作探究、小组展示。 导学案我是这样设计的： 探究一：无理数的定义 探究二：构造2 探究三：说明2是无限不循环小数 探究二中，通过求腰长是1的等腰直角三角形中斜边ＡＣ的长度，构造新数2。紧接着，探究2到底是一个什么样的数。通过证明它不是整数不是分数，得出它不是有理数。又借助计算机，求出2小数点后的十分位和百分位，让学生感受到2是无限小数，并且小数位数没有规律，得出2是无限不循环小数，也就是无理数。 我又通过课件展示了2更多的小数位数，加深了学生对2是无限不循环小数的认可。进而，找到了3，π……等更多的无理数。这里设计了填空和选择题，巩固概念。这时，
再让学生总结无理数的一般形式就水到渠成了。后面设计了６个判断题，目的是区分无理数和有理数的概念。 通过对教材资源的整合，我设计了这样三个环节。我感觉这样更符合学生认识规律，学生更易于理解接受 三 、小结 归纳这节课的知识点，说出心中疑惑。学生提出问题 32+π是不是无理数。 四、达标侧评环节 这一环节设计了选择题和判断题，目的巩固学生对无理数概念的掌握和无理数与有理数定义的区分。 最后，评选得分最高的小组，并鼓掌鼓励。 由于运用了新课程教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。 八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 学情分析 一、学生年龄段分析 ： 1.记忆力强 初中阶段是学生思维发育的黄金时期，记忆力强。这为我们的教学带来很大的好处，
2021年中考数学模拟试题分类汇编无理数及二次根式
2021年中考数学模拟试题分类汇编无理数及二次根式 一、选择题 1．（2010年杭州月考）在实数中02)33(,)3(,...,45678.2,7 1 ,2, 3,0---ππ，无理数的个数为（ ） Ａ． 3 个 Ｂ．4个 C.5个 D. 6个 答案：B 2．（2010年河南模拟）下列等式一定成立的是（ ） Ａ．916916+=+ Ｂ．22a b a b -=- Ｃ．44ππ?=? Ｄ．2()a b a b +=+ 答案：C 3．（2010年河南模拟）若式子 1 32 x --有意义，则x 的取值范畴是 （ ） A.3x ≠ Ｂ．x ＞3 C. x 3 ≥且7x ≠ D.2x ≠ 答案：C 4.（2010年武汉市中考拟）函数y= 1 2 -+x x 中，自变量x 的取值范畴是（ ） A.x ＞－2且x≠1 B.x≥2且x≠1 C.x ≥－2且x≠1 D.x≠1 答案：A 5．（2010年武汉市中考拟）25的算术平方根是（ ） A ．5 B ． 5 C ．–5 D ．±5 答案：A 6．（2010年济宁师专附中一模）下列函数中，自变量x 的取值范畴是2x >的函数是（ ） A ．2y x =- B ．1 2y x = - C ．21y x =- D ．1 21 y x = - 答案：B 7．（2010年济宁师专附中一模）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3， 点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ） A ．23-- B ．13-- C ．23-+ D ．13+ 答案：A 8．（2010年江西南昌一模）化简)22(28+- 得（ ）. A.-2 B.22- C.2 D ．224- C A O B （第7题图）
《无理数》习题
《无理数》习题 一、选择题 1、正三角形的边长为4，高h ( ) A ．是整数 B ．是分数 C ．是有理数 D ．不是有理数 2、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长是( ) A ．一个有理数 B ．一个无理数 C ．一个分数 D ．一个整数 4、下列说法正确的是( ) A ．分数是无理数 B ．无限小数是无理数 C ．不能写成分数形式的数是无理数 D ．不能在数轴上表示的数是无理数 5、在实数3.14，25，3.3333，0.412?? ，0.10110111011110…，π， 中，有( )个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6、下列说法中，正确的是( ) A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 7、下列命题中，正确的个数是( ) ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数. A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 8、a 一定是( ) A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 9、下列四个命题中，正确的是( )
A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 10、下列说法不正确的是( ) A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 二、填空题 1、整数包括 ，分数包括 . 2、把两个边长为1的小正方形，用剪拼的方法可以得到一个大正方形，则大正方形的面积是 ，边长a 满足 . 3、如图1，是由9个边长为1的小正方形拼成的，则图中标明字母的线段中， 和 是有理数的线段， 和 不是有理数的线段. 4、如图2为一个底面为正方形，侧面为四个全等三角形围成的的几何体(其中高与底面边长相等)，若它的体积为7，试问它的棱长是整数吗-------------------，是分数吗 ，借助计算 器求它精确到0.001的值为 .(该几何体的体积V =1/3a 2h ，a 边长，h 为高) 5、若a 、b 都是无理数，且a +b =2，则a ，b 的值可以是 和 ．(填上一组满足条件的值即可) 6的相反数之和的倒数的平方为 . 7、设a 、b 互为相反数，但不为0；c 、d 互为倒数；m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ??? 的结果是 . 8、大于的负整数是 . 9、试比较下列各组数的大小； ①_______② ，1π-，310-
实数和二次根式的基本概念解析
一．实数的基本概念 1．无理数的概念： （1）定义：无限不循环小数叫做无理数. （2）解读： 1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环. 2）无理数的常见类型： ①具有特定意义的数。如π等； ②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等； ③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？ 3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类： （1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类： ①按定义分： ?? ? ? ?? ? ? 整数 有理数 实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数 知识点睛 实数、二次根式的基本概念
②按性质分：0??????????????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 （3）实数的性质： ①相反数：a 与b 互为相反数0a b ?+=. ②绝对值：,00,0,0a a a a a a >??==??-?=?-≤? （4）实数和数轴上的点是一一对应的. π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。 （5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。 （6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②2 0a ≥ 0≥（0a ≥） 0a ≥. 性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. （7）实数中无理数的常见类型： ①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等； ③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******…….
带根号的数未必是无理数
带根号的数未必是无理数 鹿泉市获鹿镇第三中学 崔怀平 在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。”例如： 2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。时间一长， 有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。 无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。 我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理 数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。 另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。例如：35 2++35 2-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。现在证明一下：设x= 35 2++35 2- 两边3次方得：3x= 3 3 35 2 5 2? ? ? ? ?- + + = 3 35 2? ? ? ? ?++3? ? ? ? ? ?+ ? 2 35 235 2-+3? + ?35 2 2 35 2? ? ? ? ?-+
初二数学活动课教案(根号2有多大)
初二上中学数学活动实践课——2有多大？（共2课时） 一、活动目标 1、通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习 它的必要性。 2、了解数轴上点与实数—一对应，能用数轴上的点来表示无 理数。 3、进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际 生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。 二、活动重点：明确数轴上的点与实数—一对应并能用数轴上的点来 表示无理数。 三、活动难点：用数轴上的点来表示无理数。 四、教具准备： 1、用硬纸板剪制若干个直角三角形，坐标纸一张，三角板，计 算器 2、多媒体课件 五、活动过程创 一、设情境，引入课题 （出示图片）一组由直角三角形所组成的图形。 问：这个图形是由哪些基本图形所组成的。 前面我们已经认识了直角三角形，哪位同学能告诉我们直角三角 形有什么特点吗？（有一个角是90度） 很好，我们知道了直角三角形中一个角是90度，那么直角三角 形还有其它的特点吗？它的三条边有什么样的关系呢？ 二、探究新知 活动一：让学生在坐标纸上画一个三角形，要求两条直角边分别长3 和4厘米的 直角三角形，然后用直尺量出斜边的长c
设问：和b，斜边为c，则a、b、c的关系怎样？引导学生说出三者之间的关系：a2＋b2=c2指导学生叙述这个猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。（即勾股定理） 验证猜想：让学生作图验证猜想。 （1）作一个直角三角形，其两直角边分别为6、8，验证斜边长。 （2）作一个三边长为5、12、13的三角形，先计算三边中较短两边的平方和及大边的平方，再测大边所对的角。 （3）量一量自己的直角三角板的三边的长，计算一下，看看是否也满足这个特点。 （4）量一量教具两直角长1分米的等腰直角三角形的三边的长，计算斜边的长。（2） 三、运用新知 活动二：你能估计2的大小吗？它在一个什么范围内？越精确越好？ （1）鼓励学生借助计算器探索2的整数部分是几？十分位是几？百分位部分是几呢？千分位呢？…… （2）出示某一位同学的结果。让学生把自己整理的结果与此对比。（3）你能用平方关系验算所得的结果吗？用验算的结果你发现了什么问题呢？ （4）如果用计算机计算2，结果如何了？（可能会让你大吃一惊）活动三：你能在数轴上找到表示2的点吗？画的一画，说说你的方法。 请同学们把准备好的两个边长为１分米的正方形拿出来，每一小组为一组，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，
二次根式易错题汇编及答案解析
二次根式易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】 A=不是同类二次根式； B=是同类二次根式； C b == D不是同类二次根式； 故选：B． 【点睛】 本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2．下列计算结果正确的是() A3 B±6 C D．3＋＝ 【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【详解】 A、原式=|-3|=3，正确； B、原式=6，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式不能合并，错误．
【点睛】 考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3． ） A ．±3 B ．-3 C ．3 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 进行计算即可． 【详解】 ， 故选：C. 【点睛】 此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键. 4．若代数式 1x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x ≠ B ．3x ＞-且1x ≠ C ．3x ≥- D ．3x ≥-且1x ≠ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解． 【详解】 在有意义， ∴x+3≥0，x-1≠0， 解得：x≥-3且x≠1， 故选D ． 【点睛】 本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数． 5．有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥1 B ．x≥2 C ．x ＞1 D ．x ＞2
初二证明(一)
如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？ 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。 当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。 根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus 曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 - x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus 是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办
实数,无理数常见形式
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：xxxxx 年级：xx 课时数：xx 学员姓名：xxxx 辅导科目：数学学科教师：xx 授课类型C(数的开方) C （实数及其运算）T （实数应用）授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx---xxxx 教学内容 一、专题讲解 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。 特点：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。 表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”，其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为±a，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。 开平方运算 定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系 平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0； a表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0； ()2a =a（a≥0），()2a-=a（a≥0）；2a=a=a，a≥0或；－a，a﹤0
例题：1、使式子2 52 x x --有意义的x 的取值范围是 。 2. 使等式2()x x --=成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定 3.81的平方根是（ ） A ．9 B ．9± C ．3 D ．3± 非负性： A ．非负数：若a ≥0，则称a 为非负数，初中阶段有三种非负数：a ，a ，2 a B ．若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0. 例题：1. 已知231(1)0,a b a b ++-=+=则 。 2. 已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab +++-+=满足 则的算术平方根是 。 3.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。 立方根 定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3 x =a ，那么就称这个数x 为a 的立方根或三次方根。 表示法：a 的立方根表示为3a ，其中a 为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a 读作“三次根号a ”或“a 的立方根”。 性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0. 有关立方根的补充说明和公式 1）在3a 中，被开方数a 可为正数，负数，0；且3a 的正负与a 一致 2）3a -=－3a ； 3）() 3 3 a =3 3a =a 4）开立方运算：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算