2016_2017学年高中数学第三章推理与证明章末高效整合课件北师大版选修1_2

7．反证法适用范围
反证法主要适用于以下三种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
(3)直观判断显然成立的结论，否定性命题，唯一性命题，
含“至多、至少”等字眼的存在性命题.
综合法与分析法证题
综合法是我们在已经储存了大量知识，积累了丰富经验的 基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理 清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识． 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题 时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时较多地采用 分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格 斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法 与综合法绝对分开．
热点考点例析
合情推理和演绎推理
合情推理又包括归纳推理和类比推理，这两种推理得出的 结论都不一定正确，有待证明；而演绎推理又叫逻辑推理，在
大前提、小前提及推理过程都正确的情况下，得出的结论一定
正确．
给出一个“三角形”的数表如下：
此表构成的规则是：第一行是 0,1,2 ，„， 999 ，以后下一 行的数是上一行相邻两个数的和．问：第四行的数中能被 999 整除的数是什么？
解析： 首先找出第四行数的构成规律．
通过观察、分析，可以看出：第四行的任一个数都和第一 行中相应的四个相邻的数有关，具体关系可以从上表看出：如 果用an表示第四行的第n个数，那么an＝8n＋4.
现在要找出an＝8n＋4＝999k的an， 显然k应是4的倍数． 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8，所以k＝4.
设α，β为其中的两个实根．
因为α≠β，不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，
所以f(α)>f(β)．
这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
1．下列表述：
①综合法是执因导果法； ③分析法是执果索因法； ⑤反证法是逆推法． A．2个 C．4个 答案： B ②综合法是顺推法； ④分析法是间接证法； )
证明：
1 BC· pa S △PBC pa 2 由题图可知，h ＝1 ＝ ， S △ABC a BC · h a 2
pb S△PAC pc S△PAB 同理，h ＝ ， ＝ ， S△ABC hc S△ABC b ∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC， pa pb pc S△PBC＋S△PAC＋S△PAB ∴h ＋h ＋h ＝ ＝1. S △ABC a b c
(1)概念：根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命 题为真的推理，叫演绎推理． (2)特征：前提为真时，结论必然为真． 5．归纳推理和类比推理的特点与区别
类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理
是由特殊到一般的推理，类比推理是由个别到个别或一般到一 般的推理．
6．反证法 (1)反证法不直接证明命题“若p，则q”，而且先肯定命题 的条件p，并否定命题的结论 q，即从原题的反设证出“既p 又 ¬q”为假；从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假， 必有一真，从而肯定命题“若p，则q”为真．
由此求出第四行中能被999整除的数是999×4＝3 996，
它的第四行的第(3 996－4)÷8＝499(项)， 即a499＝3 996.
1．如图所示，在平面上，设 ha，hb， hc 分别是△ABC 三条边上的高， P 为△ABC 内任意一点， P 到相应三边的距离分别为 pa pb pc pa，pb，pc.可以得到结论h ＋h ＋h ＝1.证明 a b c 此结论，并通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
3．类比推理 (1) 概念：根据两类不同事物之间具有某些类似 ( 或一致 ) 性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质 的推理，叫类比推理． (2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 明确的命题(猜想)．
4．演绎推理
(2)用反证法证明命题“若 p，则 q”，它的全部过程和逻 辑根据可以表示如下： 肯定条件p， 推理 导致逻 矛盾律 ――→ ――→ “ 既 p 又 ¬q” 为 假 辑矛盾 否定结论q 排中律 ――→ “若 p 则 q”为真． (3)在应用反证法证题时，一定要用到“反证”进行推理， 否则就不是反证法．
类比上述结论得出以下结论：如右图所 示，在四面体 ABCD 中，设 ha，hb，hc，hd 分别是四面体 ABCD 的四个顶点到对面的距 离，P 为四面体 ABCD 内任意一点，P 到相 应四个面的距离分别为 pa，pb，pc，pd，可以 pa pb pc pd 得到结论h ＋h ＋h ＋h ＝1. a b c d
章末高效整合
知能整合提升
1．合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理．
2．归纳推理
(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.

分析法：要证ax＋by≤1成立， 只要证1－(ax＋by)≥0， 只要证2－2ax－2by≥0， 又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0， 即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立， ∴ax＋by≤1成立．
论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五
7．已知a2＋b2 ＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋ by≤1.(分别用 综合法、分析法证明) 证明： 综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2， ∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)，
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
q ＝ logc
1 1 1 1 2 ＝ logc >logc ＝ logc 4 a＋ b a ＋ b ＋ 2 ab 4 ab
>0，∴q>p.
答案： B
3．对于 a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2 ab，大前提 1 x＋x ≥2 1 x· x ，小前提
1 所以 x＋x ≥2，结论 以上推理过程中的错误为( A．大前提 C．结论
这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一 般表达式f(n)＝________.
1×2 2×3 解析： 当 n＝1 时，1＝ 2 ；当 n＝2 时，3＝ 2 ；当 3×4 4×5 nn＋1 n＝3 时， 6＝ 2 ； 当 n＝4 时， 10＝ 2 ； „， 猜想： f(n)＝ 2 .
解析： 答案：
)
B．小前提 D．无错误
大前提中 a 、 b∈(0 ，＋ ∞ ) ，而小前提中 x∈R ， B
故小前提出错，应添加x∈(0，＋∞)．选B.
4．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形，
那么下面的图形中，可以表示A*D，A*C的分别是(
)
A．(1)、(2)
B．(2)、(3)
(2) 如果点 D 在△ ABC 之外 ( 如图② ) ，根据假设 ∠ BAD ， ∠ B ， ∠ BCD ， ∠ D 都小于 90°，这与四边形内角之和等于 360°矛盾． 综上所述，原结论成立．
3．用反证法证明：若函数 f(x)在区间[a， b]上是增函数， 那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根． 证明： 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，
互为逆 否 命题的两 个命题是 等价命题 ，即若 p⇒q 成立， 则 ¬q⇒¬p成立，这里得出的矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以 是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反 证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题 本身是否定语气提出的问题．
平面上有四个点，假设无三点共线，证明：以每
三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
证明： 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角，记 这四个点为 A，B ， C ， D. 分点 D 在△ABC 之内或之外两种情况
讨论．
(1)如果点D在△ABC之内(如图①)，根据假设以D为顶点的 三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360° 矛盾．
8．已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证：(1－a)b，(1 1 －b)c，(1－c)a 中至少有一个不大于4.
1 1 1 证明： 假设(1－a)b>4，(1－b)c>4，(1－c)a>4. ∵a，b，c 都是小于 1 的正数， 1 1 1 ∴ 1－ab>2， 1－bc>2， 1－ca>2， 3 从而 1－ab＋ 1－bc＋ 1－ca>2.
因为b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac<3a2， 即证2a2－ac－c2>0， 即证(2a＋c)(a－c)>0. ∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0， ∴(2a＋c)(a－c)>0成立． ∴原命题成立．
反证法
反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推出矛
盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理论根据是
nn＋1 答案： 2
6．用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三 角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立， 那么结论的否定是：__________________. 解析： 边形”． 答案： 边形 存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结
正确的语句有( B．3个 D．5个
解析： 其中正确的是①②③.