概率理工试题一
概率高考题(理科)
1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3。
123P2如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望． ）解：记A 1表示事件，电流能通过.4,3,2,1,1=I T A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过。
（I ）321321,,,A A A A A A A ⋅⋅=相互独立，又,001.0999.01()1)(=-=-=P A P 故.9.0,001.0)1(2==-p p（III ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。
故)9.0,4(~Bξ3设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望．解：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．（Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P=⨯-+-⨯0.20.30.5=+=（Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P=---=（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．ξ的分布列为42000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。
2017~2018(一)概率统计试卷(理工类)A卷(答案)
X2
...
X 100
1 } （用中心极限定理）
100
3
解： EX
1
xf (x)dx
1
x 2xdx
1
2 x 2 dx
2
0
0
0
3
EX 2 1 x 2 2xdx 1 2x3dx 1 , DX EX 2 (EX )2 1
0
0
2
18
P{ X1
M (M 1)
3.在 H0 为原假设, H1 为备择假设的假设检验中,若显著性水平为 ,则（ C ）。 （A） P （接受 H0 H0 成立）= ； （B） P （接受 H1 H1 成立）= ； （C） P （接受 H1 H0 成立）= ； （D） P （接受 H0 H1 成立）= 。
4. 设随机变量 X 和Y ，若 E( XY ) E( X )E(Y ) ，则下列结论一定成立的是（B ）。
f
(x,
y)
Axe y
,0
x
1,0
y
x
2
0,
其他
求：（1）常数 A；（2）求 X 与 Y 的边缘概率密度 f X (x) 和 fY ( y) ；（3）判断 X 与 Y 的独立
性。
解：（1） f (x, y)dxdy 1
D
f (x, y)dxdy
U W ， 拒绝 H 0 ,认为元器件的平均寿命有显著变化。
（八）（6）
已知 X 1 和 X 2 的概率分布律：
1
X1
~
1
0 1
概率理工试题一
重庆理工大学概率论试题一一、填空题(每空2分，共36分)1．射击3次，事件A i 表示第i 次命中目标(i=1,2,3)，则事件“命中三次”可用A i 表示为______________________________。
2．从总体中任取一个容量为5的样本，测得样本值为8，9，10，11，12，则总体期望的无偏估计为__________________。
3．随机变量X 服从标准正态分布，则EX=_______________，DX=_______________。
4．同时抛3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为_______________。
5．事件A ，B 互不相容，且P(A) =0.3，P(B) =0.6，则P(A ∪B)= _____________，P(A ) =_____________， P(A|B)=___________。
6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则A=_____________ ，E(X)=____________，(3)F =___________。
7．随机变量X 与Y 相互独立，cov(X,Y) = ___________，E(XY) = __________，D(X+Y) =___________。
8．随机变量X 服从指数分布，P(X=1)=__________________。
9．随机变量X 服从参数为λ的普阿松分布，D(2X+1)=______________。
10．10只签中有2只难签，3人参加抽签，不重复抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，丙抽到难签的概率为_____________。
11．袋中有6只红球，4只白球，大小相同，一次随机摸出两只，则摸到两只同颜色球的概率为_______________。
二、计算题及应用题(共64分)1．P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.4，求P(A —B) (7分)2．X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，求EX 2 (7分)3．3个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问能将此密码译出的概率是多少？ (7分)4．d c d P c P N ,,0668.0)(,95.0)|10(|),2,10(`~2求已知=<=<-ξξξ)9332.0)5.1(,975.0)96.1((00=Φ=Φ (7分)5．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ，若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2。
高考概率大题必练20题(理科)-含答案
高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望。
2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止。
令ξ表示走出迷宫所需的时间。
（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。
3、某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。
4、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.5、某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．7、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如下表：(1)求a 的值和ξ的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被 消费者投诉2次的概率．8、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
南理工概率统计模拟试卷
一.(10分)根据以往的临床记录，知道乙肝患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95，非乙肝患者对该试验呈阳性反应的概率为0.01，一个来自普通人群的被试者患有乙肝的概率为0.005，若已知此人试验结果呈阳性，求此人真正患有乙肝的概率。
解：设A={试验反应为阳性}，B={被试者患有乙肝}，则由已知条件可知005.0)(,01.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P 由贝叶斯公式可得()(|)(|)0.323()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⋅==⋅+⋅二.(15分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f 现对X 进行n 次独立重复观测，以Y 表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y 的概率分布列并求Y 的数学期望和方差。
解：由题意知，),(~p n B Y ，其中01.02)1.0(1.00==≤=⎰dx x X P p 即n k C k Y P k n k k n ,,1,0,99.001.0)( ===- ()()()0.01;10.0099E Y np n D Y np p n===-=三.（15分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他,00,),(y x e y x f y （1）求X 的概率密度);(x f X （2）求Y X Z +=的方差。
解：（1）⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-∞-∞∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x x y X （2）()2,DZ DX DY Cov X Y =++这里，1DX =，002yyEY dy ye dx ∞-==⎰⎰()220062y y E Y dy y edx DY ∞-==∴=⎰⎰ ()003yy E XY dy xye dx ∞-==⎰⎰；()()()(),3121Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯= 12215DZ ∴=++⨯=四.（15分）一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，设排版与校对是两个独立的工序，求在校对后错误不多于15个的概率。
江西理工大学概率论与数理统计考试模拟试题
江西理工大学概率论与数理统计考试模拟试题第一部分：选择题1. 某班级有60名学生，其中30人喜欢蓝色，25人喜欢红色，20人既喜欢蓝色又喜欢红色。
则该班级中至少喜欢蓝色或红色的学生人数是多少？A. 35人B. 45人C. 50人D. 55人2. 随机变量X服从均匀分布U(4, 8)，则P(X ≤ 5)的值是多少？A. 1/2B. 1/4C. 3/8D. 1/83. 一批共100件产品，其中有10件次品。
从中任取两件进行检验，设X为两件中次品的件数，X服从的概率分布是：A. 二项分布B(2, 0.1)B. 二项分布B(2, 0.9)C. 泊松分布P(10)D. 正态分布N(2, 10)4. 已知随机变量X的概率密度函数为f(x) = { kx, 0 < x < 1; 0, 其他若P(X < 0.25) = 0.0625，则常数k的值是多少？A. 1B. 4C. 8D. 165. 设二维随机变量(X, Y)服从联合概率密度函数f(x, y) = { c(x^2 +y^2), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; 0, 其他则常数c的值是多少？A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 1第二部分：计算题1. 设A，B是两个相互独立的事件，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，请计算P(A ∪ B)。
2. 设X为随机变量，服从正态分布N(48, 16^2)，求P(44 ≤ X ≤ 52)。
3. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = { cx^2, 0 < x < 2; 0, 其他请计算常数c的值。
4. 一批钢筋的长度服从均值为10cm，标准差为0.2cm的正态分布。
若随机抽取10根钢筋，求其平均长度大于10.1cm的概率。
5. 已知随机变量X和Y相互独立，X为正态分布N(4, 1)，Y为正态分布N(5, 4)。
求X + Y的概率密度函数。
第三部分：证明题证明：二项分布的期望值和方差分别为np和npq，其中p为成功概率，q为失败概率，n为试验次数。
工科概率统计练习册填空、选择题详解
概率论与数理统计练习题（1）随机试验 样本空间 随机事件 概率的定义 古典概型1．填空题（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间为 ．（2）设C B A ,,为3个事件，则它们都不发生的事件可表示为 ． （3）设C B A ,,为3个事件，则其中不多于2个发生的事件可表示为 ． （4）设C B A ,,为3个事件，则其中至少有2个发生的事件可表示为 ． （5）设21)(,41)(,31)(===B A P B P A P ，则=)(B A P ．（6）口袋中有4个白球，2个黑球，从中随机地抽取3个球，则取得2个白球，1个黑球的概率为 ．（7）电话号码由0，1，2，…，9中的5个数字排列而成，则出现5个数字全都不相同的电话号码的概率为 ．（8）将n 只球随机地放入n 个盒子中，则每个盒子中恰好有1只球的概率为 ．（9）在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，则最大号码为5的概率是 ．（10）将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 ．2．选择题（1）设B A ,是任意2个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ）)()(B P A P -； （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）)()(AB P A P -； （D ）)()()(AB P B P A P -+．（2）设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）．（A ）1)()()(-+≤B P A P C P ； （B ）1)()()(-+≥B P A P C P ； （C ）)()(AB P C P =； （D ）)()(B A P C P =．（3）从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为（ ）． （A ）2113； （B ）2112； （C ）218； （D ）211．概率论与数理统计练习题（2）条件概率 独立性1．填空题（1）某大型商场销售某种型号的电视机1000台，其中有20台次品，已售出400台．从剩下的电视机中，任取一台是正品的概率为 ．（2）设有10件产品，其中有4件次品，依次从中不放回地抽取一件产品，直到将次品取完为止．则抽取次数为7的概率为 ．（3）某射手射靶4次，各次命中率为0.6， 则4次中恰好有2次命中的概率为 ．（4）一架轰炸机袭击1号目标，击中的概率为0.8，另一架轰炸机袭击2号目标，击中的概率为0.5，则至少击中一个目标的概率是 ．（5）4个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是41，则此谜语被猜破的概率是 ．（6）设两两相互独立的三事件C B A ,,满足条件：,21)()()(<==C P B P A P φ=ABC，且已知169)(=C B A P ，则=)(A P ．2．选择题（1）袋中共有5个球，其中3个新球，2个旧球，每次取1个，无放回地取2次，则第二次取到新球的概率是（ ）． （A ）53； （B ）43； （C ）21； （D ）103．（2）设0)(=AB P ，则（ ）．（A ）A 和B 不相容； （B ）A 和B 独立； （C ）0)(0)(==B P A P 或； （D ）)()(A P B A P =-．（3）设A 、B 是两个随机事件，且)|()|(,0)(,1)(0A B P A B P B P A P =><<，则必有（ ）．（A ）)|()|(B A P B A P =； （B ）)|()|(B A P B A P ≠； （C ）)()()(B P A P AB P =； （D ）)()()(B P A P AB P ≠．概率论与数理统计练习题（3） 离散型随机变量、连续型随机变量姓名 学号 班级1．填空题（1）设随机变量X 服从参数为)0(>λλ的Poisson 分布，已知}2{}1{===X P X P ， 则λ= ．（2）若随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,()0.8,13,1,3.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<+∞⎩，则X 的分布律为 ．（3）设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则{2}P Y == ．（4）若随机变量Y 在)6,1(上均匀分布，则方程210x Yx ++=有实根的概率是_______． 2．选择题（1）下面是某个随机变量的概率分布律的为（ ）． （A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3.03.05.0531； （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1.01.07.0321； （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ n n )()()(21312123121312121；（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn)()()(21021********。
最新概率统计试题及答案(本科完整版)
一、 填空题（每题2分，共20分）1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。
现一个接一个地从中随机地取出所有的球。
那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。
3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。
4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。
5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >，必有概率{}P c x c e <<+ ＝⎧+<⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩e,c e b b ab c ,c e b b a6、设X 服从正态分布2(,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .7、设1128363X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。
则X 的数学期望=)(X E 4.5 。
9、设随机变量(,)X Y 的分布律为则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 .10、设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2129285241⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。
二、计算题（每小题10分，共70分）1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABCP ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。
四川大学半期考试试卷：概率统计(理工)及答案
2
3 14
3
1 28
)
0, 3 F (x) =
x<1 1≤x<2 2≤x<3 x ≥ 3.
4 27 28
1,
(2) 有放回抽取 Y 表示抽取的次数, 显然 Y 可能的取值为 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · · .Y 服从几何 分布, 因此每次抽取抽到次品的概率为 (2)
y
= 4y − 4y 3 . { 4y − 4y 3 , 0 < y < 1, ⇒ fY (y ) = 0, 其它 (3) 从 (2) 可知 fY |X (y |x) = ⇒ fY |X (y |x) = (4) P (Y ≤ 1 1 |X = ) = 4 3 ∫
0
1 4
f (x, y ) fX (x) { 2y x2 , 0 < y < x < 1, 0, 其它
1 (4) 条件概率 P (Y ≤ 4 |X = 1 3 );
(5)Z = Y − X 的概率密度函数 fZ (z ); (6) 判定 X 与 Y 是否独立? 说明理由.
四川大学半期考试：概率统计（理工）答案
1. 设 A 表示事件” 一个人真正在说谎”,B 表示事件” 被检测为说谎”. 则根 据题目可知 P (A) = 1%, (1) P (B ) = P (A)P (B |A) + P (A)P (B |A) = 1% · 88% + 99% · 14% = 14.74%. (2) P (A|B ) = P (A)P (B |A) P (B ) P (B |A) = 88%, P (B |A) = 14%
0
1
) Y ∼
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2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）2011. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(2) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有5840155408-=),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P . 【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算． 【思维点拨】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A ＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二 统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[Λ并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(=⨯+，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01=-.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160=⨯.所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3. 【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个． 【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,a b 的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=[40,50)1001000.955-⨯-=[40,50)540020100⨯=系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 6.独立性检验的关键①根据22⨯列联表准确计算2K ，若22⨯列联表没有列出来，要先列出此表． ②2K 的观测值k 越大，对应假设事件0H 成立的概率越小，0H 不成立的概率越大． 题型三 概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； ②若，则， ．【答案】(1) (2) （3）的分布列为；．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为A x Z ()2,N μσZ ()14.55,38.45()10,30X X 11.95σ=≈()2~,Z N μσ()0.6826P Z μσμσ-<≤+=(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=26.5x =0.6826X ()2E X =x．（2）①∵服从正态分布，且， ，∴， ∴落在内的概率是． ②根据题意得， ； ； ； ； ． ∴的分布列为∴． 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z ()2,N μσ26.5μ=11.95σ≈(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=Z ()14.55,38.450.68261~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()1422E X =⨯=【思维点拨】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数)(A n ,再求事件AB 所包含的基本事件数()AB n ,得)()()|(A n AB n A B P =. 2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件B A ,相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅=.（2）利用性质,A 与B 相互独立,则A 与A B ,与B ,B A 与也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式k n k k n p p C k X P --==)1()(的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数b aX Y +=的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+(b a ,为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X 服从两点分布,则p X E =)(,)1()(p p X D -=;若),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=.【巩固训练】题型一 古典概型与几何概型1.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）A .B .C .D . {}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416【答案】A【解析】①当时，，情况为符合要求的只有一种； ②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示： ，8种情况满足的只有4种; 综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：1251214=+=P .2.在区间上任取一数，则的概率是（ ）A ．B ．C .D ． 【答案】C【解析】由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C .(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）74. 【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为0a =()2f x bx =- 1 1 3 5b =-，，，1b =-0a ≠22b b x a a -=-=1ba≤() a b ，()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，()0,4x 1224x -<<12131434211<-<x 32<<x 4,1==D d 41=P考向二 统计与统计案例1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只, （Ⅰ）求列联表中的数据,,,的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？22⨯x y A B【答案】（Ⅰ）,,,；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有%9.99的把握认为疫苗有效.【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A, 由已知得,所以,,,．发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．10y =40B =40x =60A =302()1005y P A +==10y =40B =40x =60A =未注射 注射． 所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数， 表示这个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：， ， ．【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y yx x x n xyx n yx b y x ni ini iini ini iiΘ，6.0^^=-=x b y a ， ∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2） ，区平均每个分店的年利润 ，∴时， 取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯S A x y x y x y x A z ,x y 20.05 1.4z y x =--A A y b x a ∧∧∧=+1221ni i i nii x y nxyb x nx ∧==-==-∑∑()()()121niii n ii x x y y x x ==---∑∑a y b x ∧∧=-0.850.6y x =+A A 20.05 1.4z y x =--=20.050.850.8x x -+-A 0.80.050.85z t x x x ==--+800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭4x =t A A3. 某商场对商品30天的日销售量y (件)与时间t (天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系．(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程a t b y +=. (2)已知商品30天内的销售价格z (元)与时间t(天)的关系为,),200(,20),3020(,100⎩⎨⎧∈<<+∈≤≤+-=N t t t N t t t z 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，商品的日销售额最大．参考公式：2121^)(t n tyt n yt b ni ini ii--=∑∑==，t b y a ^^-=.【答案】(1)40^+-=t y ；(2)预测当20=t 时，商品的日销售额最大，最大值为1600元． 【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ， 980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i i y t ，22010864222222512=++++=∑=i i t ，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ，故所求的线性回归方程为40^+-=t y . （2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ， 所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ， 所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元. 题型三 概率、随机变量及其分布A A A A1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者654321,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者4321,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含的频率。
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一、填空题(每空2分，共361．射击3次，事件A i 表示第i 次命中目标(i=1,2,3)，则事件“命中三次”可用A i 表示为______________________________。
2．从总体中任取一个容量为5的样本，测得样本值为8，9，10，11，12，则总体期望的无偏估计为__________________。
3．随机变量X 服从标准正态分布，则EX=_______________，DX=_______________。
4．同时抛3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为_______________。
5．事件A ，B 互不相容，且P(A) =0.3，P(B) =0.6，则P(A ∪B)= _____________，P(A ) =_____________， P(A|B)=___________。
6、设离散型随机变量X 的分布列为
其分布函数为()F x ，则A=_____________ ，E(X)=____________，(3)F ___________。
7．随机变量X 与Y 相互独立，cov(X,Y) = ___________，E(XY) = __________，D(X+Y) =___________。
8．随机变量X 服从指数分布，P(X=1)=__________________。
9．随机变量X 服从参数为λ的普阿松分布，D(2X+1)=______________。
10．10只签中有2只难签，3人参加抽签，不重复抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，丙抽到难签的概率为_____________。
11．袋中有6只红球，4只白球，大小相同，一次随机摸出两只，则摸到两只同颜色球的概率为_______________。
二、计算题及应用题(共64分)
1．P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.4，求P(A —B) (7分)
2．X 表示10
次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，求EX 2 (7分)
3．3个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问能将此密码译出的概率是多少？ (7分)
4．d c d P c P N ,,0668.0)(,95.0)|10(|),2,10(`~2
求已知=<=<-ξξξ )9332.0)5.1(,975.0)96.1((00=Φ=Φ (7分)
5．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ，若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2。
(1)、求两次考试都及格的概率。
(2)、 求第二次考试及格的概率。
（7分）
6．设(),X Y 的联合密度为40()xy x p x y ≤≤⎧=⎨⎩
，，y 1，0，其它， 若()F x y ，为分布函数，求(0.52)F ，
（7分）
7
① 求A ②求EY ③求（X,Y ）的联合分布律。
（8分）
8．设0~(,)(0)0x e x f x λλξθλ-⎧>=>⎨
⎩其它 12,,...,n x x x 。
为 ξ的一组观察值，求λ的极大似然估计值。
（7分）
9．一台机床加工轴的椭圆度服从正态分布N(0.095,0.022)(单位：毫米)机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，计算得-x =0.081毫米，问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低(α=0.05)
(已知u 0.05=1.645， u 0.025=1.96) （7分）。