特殊平行四边形1
九年级数学第一讲特殊的平行四边形教师版
第一章特殊的平行四边形考点回顾：1、矩形的性质和判定性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形．判定：（2）有一个是直角的平行四边形叫矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2、菱形的性质与判定性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形叫菱形；（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形．3、正方形有一组邻边相等的矩形是正方形，或有一个角为直角的菱形是正方形．考点精讲精练：例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB和DE是否相等？并证明你的结论．证明：（1）∵AE、AD分别平分∠BAF，∠BAC，，∴AD⊥AE．（2）答：AB＝DE．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．∠BDA＝90°．又∵∠BEA、∠DAE都为直角，∴四边形ADBE为矩形．∴AB＝DE．变式练习1、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连AE，交BC于F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC＝2∠D，连AC，BE，求证：四边形ABEC为矩形．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB CD．又∵CE＝CD，∴AB EC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴ AF＝EF，BF＝CF，又∠AFB＝∠EFC，∴△ABF≌△ECF．（2）在□ABCD中，∠ABC＝∠D．∵∠AFC＝2∠D＝2∠ABC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB，∵FA＝FE，FB＝FC，∴FA＝FB＝FE＝FC．∴BC＝EA，∴四边形ABEC为矩形．例2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，过D点作DE∥AC，交BC的延长线于点E，如图所示．（1）求△BDE的周长；（2）点P为线段BC上的点，连PO并延长交AD于点Q，求证：BP＝DQ．解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，且OB＝OD．∵AB＝5，AC＝6，∴OA＝3．．∴BD＝8．∵AD∥BC，∴AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝6．BE＝2BC＝2AB＝10．∴△BDE的周长为8＋6＋10＝24．（2）证明：在菱形ABCD中，DA∥BC，∴∠ODQ＝∠OBP，∠OQD＝∠OPB．又OD＝OB，∴△BPO≌△DQO．∴BP＝DQ．变式练习2、如图，DE为□ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于F．（1）求证：四边形AEFD为菱形；（2）若∠A＝60°，AD＝5，求菱形AEFD的面积．证明：（1）∵DF∥AE，AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形．∴∠FDE＝∠AED．∵DE为∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠AED，∴□ABCD为菱形．（2）∠A＝60°，AD＝AE，∴△ADE为等边三角形．例3、如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明结论；（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形？证明你的结论．解：（1）∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）当点O为AC的中点时，四边形AECF为矩形．∵OA＝OC＝OE＝OF，∴四边形AECF为矩形．（3）当∠ACB＝90°时，为正方形．∵当∠ACB＝90°时，∵MN∥BC，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF．∴矩形AECF的对角线互相垂直，∴四边形AECF为正方形．变式练习3、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．（1）求证：BE＝DF；（2）连AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？证明你的结论．证明：（1）∵ AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DE．（2）四边形AEMF为菱形，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF．即CE＝CF，∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF为平行四边形．∵AE＝AF，∴□AEMF为菱形．备考模拟一、填空题1、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝__________．2、如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF 的面积为__________cm2．3、如图，四边形ABCD为矩形，点E在线段CB的延长线上，连DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为__________．4、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以为__________．5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．6、①如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边上的中点，则四边形EFGH 为__________．②若ABCD为平行四边形，则EFGH为__________．③若ABCD为矩形，则EFGH为__________．④若ABCD为菱形，则EFGH为__________．答案：1、135°2、3、4、15°；或165°5、6、①平行四边形；②平行四边形；③菱形；④矩形二、选择题7、如图，四边形ABCD是菱形，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC，CD上，且AB＝AE，则∠B＝（）．A．60°B．80°C．100°D．120°8、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折叠为EF，若∠EFC′＝125°，则∠ABE的度数为（）．A．15°B．20°C．25°D．30°9、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别为边AB，BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值为（）．A．3 B．4 C．5 D．610、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB于E，，则下列结论中正确的个数有（）．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④．A．1个B．2个C．3个D．4个11、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长为（）．A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.47-11 BBCCD三、综合题12、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并证明理由．（2）若AB＝6，BC＝8，求S四边形OCED．解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形．又∵矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED为菱形．（2）连OE．则四边形BCEO为平行四边形，∴OE＝BC＝8．．13、如图，边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连DP交AC于点Q．（1）试证明：无论P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积为正方形ABCD面积的？解：（1）∵AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ．（2）△ADQ的面积恰好为正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB 于F，则QE＝QF，．由△DEQ∽△DAP得，解得AP＝2．∴当AP＝2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的．14、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒，过点D作DF⊥BC于点F，连DE、EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．解：（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t．又∵AE＝t，∴AE＝DF．（2）能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∴AC＝2AB＝10．∴AD＝AC－DC＝10－2t．若使□AEFD为菱形，则需AE＝AD＝10－2t，即. 即当时，四边形AEFD为菱形．。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定(第2课时)教案 (新版)北师大版
第一章《特殊平行四边形》《菱形的性质与判定》(第2课时)【教学目标】1.知识与技能（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.2.过程与方法在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.【教学重点】菱形判定定理的发现与证明.【教学难点】菱形判定定理的应用.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入（1）菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？二、探究新知1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD∴四边形ABCD是菱形2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形，先想一想，再与同伴交流.处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即：先将命题改写为“如果···，那么···.”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明.同时，本题可能会有学生用证明△AOB ≌△COB 的方法证明BA=BC ，对此，教师可引导学生思考，AC 和BD 的关系，即互相垂直平分,因而可以利用线段垂直平分线定理来证明BA=BC.并对两种方法进行比较.已知: ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD. 求证: ABCD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO =CO 又∵AC ⊥BD∴BD 是线段AC 的垂直平分线.∴BA =BC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） ∴四边形ABCD 是菱形（菱形的定义）.设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.3.菱形的判定3的探究：四边相等的四边形是菱形活动内容1：已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流.处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.并对这一判定方法加以证明. 这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC 的垂直平分线来完成作图.如还是无法完成，可借鉴课本作法.活动内容2：你所做的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？ 处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所在在四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.对于学生作法的正确性的证明，可以先证明所做四边形为平行四边形，再利用定义，证明是菱形.由此得出结论：四条边都相等的四边形是菱形.AB DC O已知: 在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=AD 求证: 四边形 ABCD 是菱形 证明：∵AB=CD ，BC=AD∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB=BC∴四边形 ABCD 是菱形归纳：菱形的三个判定：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形. 三、例题讲解例1.下列条件中,不能判定四边形ABCD 为菱形的是（ C ）Ａ. AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分 Ｂ. AB=BC=CD=DAＣ. AB=BC ，AD=CD ，且AC ⊥BD Ｄ. AB=CD ，AD=BC ，AC ⊥BD解析：根据菱形的三个判定可得C 是错误的.例2、如图， ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD 是菱形.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 又∵AB=5∴222BO AO AB += ∴∠AOB=90° ∴AC ⊥BD又∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴四边形ABCD 是菱形. 四、巩固练习：1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ×）BCAD(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；（×）(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（×）2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ）A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( A )A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°五．拓展提高1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，求证：四边形ABCD是菱形。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
为什么？
A
D
证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD
O
∴∠OAB=∠OCD,
B
C
∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中
∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO
∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD
如图：矩形的对角线 A
D
相交于点E，你可以找
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在 解决问题中的作用。
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转 化等数学思想方法。
5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积 极探究的思想意识。
三、教学指导：
本节课共分为三课时内容，教 学过程中可分为三大步完成，即： 理论、方法积累、思路梳理——合 作交流，互助探索学习——自主探 索，拓展延伸，归纳新知。这充分 体现了螺旋上升的原则。
首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉 的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的 准确表达。
其次，对不同证明方法的探索可以提高学 生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命 题以后，同学们还应该思考是否还有其他的 证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还 可以从什么角度解决问题……。
五、评价建议：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的 过程。
形
角形斜边上的 中线等于斜边 的一半。
B
D
具有平行四边形 所有边的性质
矩形 四个角都是直角 性质：
对角线相等且 互相平分
证明：过程
解答过程 ：
特殊平行四边形（二）
在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学 可按以下环节逐步展开：
1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小 结——综合思想，归纳思路。 7.作 业——综合知识，强化训练。 下面就每个环节，逐层分析。
第一章 特殊平行四边形 单元测试(含答案)
第一章特殊平行四边形一、选择题1. 下列四边形对角线相等但不一定垂直的是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2. 平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形ABCD的周长为( )A．16B．24C．413D．8134. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为( )D．34 A．5B．4C．3425. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm6. 如图，点P是矩形ABCD的边上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8B．5C．6D．7.27. 如图，点E是正方形ABCD中CD上的一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90∘到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为16，DE=1，则EF的长是( )A．4B．5C．217D．348. 如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G，若AB=4，BC=3，则线段EG的长度是( )A．32B．158C．52D．39. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别为边AD，BC上的点，且EF=5，点G，H 分别边AB，CD上的点，连接GH交EF于点P．若∠EPH=45∘，则线段GH的长为( )A．5B．2103C．253D．710. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为( )A．732B．4C．5D．92二、填空题11. 菱形的对角线长为6和8，则菱形的高为．12. 如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是矩形．13. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC=34∘，则∠ECA=．14. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为．15. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，折叠矩形ABCD，使点B与点D重合，则BF的长为．16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，点E是边AB的中点，点P在对角线AC上移动．则PB+PE的最小值是．三、解答题17. 已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．(1) 求证：四边形AODE是矩形．(2) 若AB=6，∠BCD=120∘，求四边形AODE的面积．18. 如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．(1) 若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长．(2) 求证：EF+EG=2CE．19. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与ABCD分别相交于点E，F．(1) 如图①，求证：OE=OF；(2) 如图②，若EF⊥DB，垂足为O，求证：四边形BEDF是菱形．20. 回答下列问题．(1) 提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH．(2) 类比探究：如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．21. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG=CH，BE=DF．(1) 求证：四边形EGFH是平行四边形．(2) 当EG=EH时，连接AF．①求证：AF=FC．②若DC=8，AD=4，求AE的长．答案一、选择题1. B2. B3. C4. D5. D6. A7. D8. B9. B10. D二、填空题11. 24512. AC⊥BD13. 2214. 615. 25816. 3三、解答题17.(1) 因为DE∥AC，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形，因为在菱形ABCD中，AC⊥BD，所以∠AOD=90∘，所以四边形AODE是矩形．(2) 因为∠BCD=120∘，AB∥CD，所以∠ABC=180∘−120∘=60∘，因为AB=BC，所以△ABC是等边三角形，所以OA=12×6=3，OB=32×6=33，因为四边形ABCD是菱形，所以OD=OB=33，所以四边形AODE的面积=OA⋅OD=3×33=93．18.(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90∘，BC=DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，∴∠CBG=∠CDF，在△CBG和△CDF中，{∠BCG=∠DCF=90∘,BC=CD,∠CBG=∠CDF,∴△CBG≌△CDF(ASA)，∴BG=DF=4，∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，∴CG=42−32=7．(2) 过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG=CF，∠F=∠CGB，∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90∘，∴∠MCG=∠ECF，在 △MCG 和 △ECF 中，{∠MCG =∠ECF,CG =CF,∠F =∠CGB,∴△MCG ≌△ECF (ASA)，∴MG =EF ，CM =CE ，∴△CME 是等腰直角三角形，∴ME =2CE ，又 ∵ME =MG +EG =EF +EG ， ∴EF +EG =2CE ．19.(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB =OD ，AB ∥CD ，∴∠EBO =∠FDO ，在 △OBE 与 △ODF 中，{∠EBO =∠FDO,OB =OD,∠BOE =∠DOF, ∴△OBE ≌△ODF (ASA)，∴OE =OF ；(2) ∵OB =OD ，OE =OF ， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．20.(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB =DA ，∠ABE =90∘=∠DAH ， ∴∠HAO +∠OAD =90∘，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90∘，∴∠HAO=∠ADO，在△ABE和△DAH中，{∠BAE=∠HDA,AB=AD,∠B=∠HAD,∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AE=DH．(2) EF=GH，理由：将PE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM=DN，∴EF=GH．21.(1) ∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH=∠EAG，又∵CD=AB，BE=DF，∴CF=AE，且CH=AG，∠FCH=∠EAG，∴△AEG≌△CFH(SAS)，∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，∴∠FHG=∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形．(2) ①连接AF，∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG=CH，∴EF垂直平分AC，∴AF=CF=AE．②设AE=x，则FC=AF=x，DF=8−x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，∴42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴AE=5．。
北师大版九上 第一章 特殊平行四边形 基于标准的教学设计
第一章特殊的平行四边形1.1 菱形的性质与判定（一）一、目标确定的依据1、课程标准的相关要求探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形具有矩形和菱形的一切性质。
2、教材分析与八年级下册“平行四边形”一章类似，本章仍将采用探究和证明结合的方式展开相关内容。
课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。
3、学情分析学生活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
二、学习目标1.通过观察、猜想、证明等过程，能自己归纳并证明出菱形的性质。
2.通过练习，能用菱形的性质规律解决一些具体的实际问题。
三、评价任务1.会分清平行四边形和菱形的性质区别。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？ 你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴 交流．
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特 殊的菱形。
1． 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相 交于点O，图中有多少个等腰三角形？
2． 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF．你能找出图中的全等三角 形吗？选择其中一对进行证明．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
第一课时 正方形的性质
2002年世界数学大会会标
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等 的矩形
图 1-17 中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这 些特殊的平行四边形， 你能发现它们有什么样的共同特征？
图形的对称性： 既是轴对称图形,又是中心对 称图形.
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD 中， E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长 线上一点，且 CE = CF．BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下： （1）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC = DC，∠ BCE = 90°（正方形的四条边相 等，四个角都是直角）． ∴ ∠ DCF = 180°- ∠ BCE = 180°- 90°= 90°． ∴ ∠ BCE = ∠ DCF． 又∵ CE = CF，∴ △BCE ≌ △DCF． ∴ BE = DF．
D
A
E
F
A
2019-2020北师大版九年级数学(上)期末单元复习第1章特殊的平行四边形1(解析版)
第1章特殊的平行四边形一．选择题（共8小题）1．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1 B．2 C．3 D．42．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4 B．2C．2 D．3．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，1）4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．55．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．72 D．1446．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2 D．7．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．48．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12二．解答题（共10小题）9．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．10．如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．试判断四边形AECF的形状，并加以证明．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．12．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．13．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B 作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．14．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．16．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF．求证：四边形BNDM为菱形．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．18．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE＝时，四边形BECD是菱形．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，正确，故选：B．2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4 B．2C．2 D．【分析】由已知条件可求出菱形的面积，则△ADC的面积也可求出，易证OE为△ADC的中位线，所以OE∥AD，再由相似三角形的性质即可求出△OCE的面积．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，AO＝CO，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠BAD＝60°，∴DH＝4×＝2，∴S菱形ABCD＝4×2＝8，∴S△CDA＝S菱形ABCD＝4，∵点E为边CD的中点，∴OE为△ADC的中位线，∴OE∥AD，∴△CEO∽△CDA，∴△OCE的面积＝×S△CDA＝×4＝，故选：D．3．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，1）【分析】作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，由AAS证明△AOE≌△OCD，得出AE＝OD，OE ＝CD，由点A的坐标是（﹣3，1），得出OE＝3，AE＝1，则OD＝1，CD＝3，得出C（1，3）．【解答】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，则∠AEO＝∠ODC＝90°，∴∠OAE+∠AOE＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COD＝90°，∴∠OAE＝∠COD，在△AOE和△OCD中，，∴△AOE≌△OCD（AAS），∴AE＝OD，OE＝CD，∵点A的坐标是（﹣3，1），∴OE＝3，AE＝1，∴OD＝1，CD＝3，∴C（1，3），故选：A．4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝5．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．72 D．144【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE＝FD，∴BO＝OD，∵AO＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE＝5，∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，由勾股定理得，AO＝＝＝3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72；6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2 D．【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝∴DE＝；故选：A．7．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．4【分析】利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．8．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，∵四边形AECF是菱形∴AE＝CF＝EC＝AF，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝1+（5﹣AE）2，∴AE＝2.6∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4故选：C．二．解答题（共10小题）9．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2．10．如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．试判断四边形AECF的形状，并加以证明．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，OB＝OD，再求出OE＝OF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可．【解答】解：四边形AECF是菱形，理由如下：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∵点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点，∴BE＝EF＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF＝DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论；（2）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，结合条件可求得答案．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝．12．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】证明：（1）∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，同理：AB＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝12，∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，∵∠ADB＝30°，∴cos∠ADB＝，∴AD＝．13．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B 作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】求出∠BDC＝90°，根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，关键平行四边形的性质得出AD＝BE，根据平行四边形的判定得出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定得出即可．【解答】证明：∵BD是AC的垂直平分线∴AD＝DC，BD⊥CA，∴∠BDC＝90°，∵由题意知：AB∥DE，AD∥BE∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∴DC＝BE，又AC∥BE即DC∥BE∴四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．14．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．【分析】（1）根据矩形的性质先证明四边形AECF是平行四边形，然后证明∠EAC＝∠ACE 得出AE＝CE，从而可证得四边形AECF是菱形；（2）首先设BF＝x，则FC＝8﹣x，然后由勾股定理求得（8﹣x）2+42＝x2，求出x的值，得出FC，再根据菱形面积计算方法即可求得答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AE∥CF∵AE＝CF∴四边形AECF是平行四边形∵AC平分∠ECF∴∠ACF＝∠ACE∵AE∥CF∴∠ACF＝∠EAC∴∠EAC＝∠ACE∴AE＝CE∴四边形AECF是菱形（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x∴AF＝FC＝8﹣x在Rt△ABF中AB2+BF2＝AF2∴（8﹣x）2＝x2+42解得：x＝3∴FC＝8﹣3＝5∴S菱形AECF＝FC•AB＝5×4＝2016．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF．求证：四边形BNDM为菱形．【分析】易证四边形BNDM是平行四边形；根据AB＝BF，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△FBN，得BM＝BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证．【解答】证明：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE，根据矩形的对边平行，∴BC∥AD，BE∥DF，∴四边形BNDM是平行四边形，∵∠ABM+∠MBN＝90°，∠MBN+∠FBN＝90°，∴∠ABM＝∠FBN．在△ABM和△FBN中，∴△ABM≌△FBN，（ASA）．∴BM＝BN，∴四边形BNDM是菱形．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A 停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．18．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝ 2 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE＝ 4 时，四边形BECD是菱形．【分析】（1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形；（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，再由∠ABC＝120°可得∠ECB＝30°，再根据直角三角形的性质可得BE＝2；②根据四边形BECD是菱形可得BE＝EC，再由∠ABC＝120°，可得∠CBE＝60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，∵点F是BC的中点，∴BF＝CF，在△DCF和△EBF中，，∴△EBF≌△DCF（AAS），∴DC＝BE，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：①BE＝2；∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°；∴∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝2，故答案为：2；②BE＝4，∵四边形BECD是菱形时，BE＝EC，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝4．故答案为：4．。
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。
九年级上册第一章特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定一、教学目标1、掌握菱形的定义和性质2、学会判定菱形3、平行四边形和菱形的区别和联系 二、教学重点与难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握2、利用菱形的性质综合解决问题 三、教学过程知识点1菱形的定义 创设情景，引入课题。
1、上图的衣架中有你熟悉的图形吗？ 这种平行四边形特殊在哪里？我们称它们为菱形，你能给菱形下一个定义吗？定义： 叫做菱形。
知识点2菱形的性质菱形性质：1． 两条对角线互相垂直平分； 2． 四条边都相等；3． 每条对角线平分一组对角；4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
5. 菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=21ab ．（a 、b 是两条对角线的长度）例1、如图，已知菱形的周长为16cm ，∠ABC=120°，求对角线AC 和BD 的长。
例2、菱形的面积为24cm 2，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线长为____cm ，边长为 cm ，高为_____cm 。
练习：1、菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长是_____，面积是______。
2、菱形的一条对角线与一条边相等，则这个菱形相邻两个内角的度数分别为 .3、菱形两条对角线长分别是16cm 和12cm ，则它的边长是________4、菱形ABCD 的周长是28cm,∠BAD=21∠ABC ，则BD=_________,AC=_______5、菱形两对角线之比为3:4，周长为40cm ，则该菱形的面积是________ ，高为________ 6.如图，在菱形ABCD 中，对角线BD=10，E 点在BD 上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于 ．知识点3.菱形的判定根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 例3. 下列说法正确的是（ ） A ．对角线相等的平行四边形是菱形 B ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C ．对角线相互垂直的四边形是菱形 D ．有一个角是直角的平行四边形是菱形例4.如图，在平行四边形ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是______________．例5.如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ，试问：四边形ABEF 是什么图形吗？请说明理由。
特殊的平行四边形是哪两个
特殊的平行四边形
特殊的平行四边形有菱形和矩形。
菱形：特殊的平行四边形之一。
有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：
（1）在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；（5）菱形是中心对称图形；菱形的中点四边形总是矩形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的判定定理：
（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的性质：
（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
矩形的面积：矩形的面积=长×宽特殊的平行四边形。
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课题特殊平行四边形
教学目的重点：特殊四边形的性质及判定定理
难点：特殊四边形的综合应用题
教学内容
特殊四边形综合
【知识要点】
菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关概念
图形形状定义判定
菱形一组邻边相等的平行四边形叫菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
矩形一个内角是直角的平行四边形叫矩形
一个内角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；三个内角都是直角的四边形是矩形。
正方形一组邻边相等的矩形叫正方形一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。
梯形一组对边平行而另一组对边相等但不
平行的四边形叫等腰梯形
同一底上的两个内角相等的梯形是等
腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯
形。
（一）菱形、矩形、正方形、等腰梯形的性质
图形形状
性质
边角对角线对称性
菱形对边平行，四
条边都相等
对角相等
两对角线互相垂直平
分，每一条对角线平
分一组对角
中心对称轴对
称
矩形对边平行且
相等
对角相等
对角线互相平分且相
等
中心对称轴对
称
正方形对边平行，四
条边都相等
四个角都是
直角
两条对角线互相平
分、垂直、相等，每
一条对角线平分一组
对角
中心对称轴对
称
等腰梯形两底平行，两
腰不平行但
相等
同一底上的
两个角相等
对角线相等轴对称
注意：梯形的中位线
【精典例题】
一. 矩形
例1已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．
例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD 的周长为32cm，求AE的长．
二．菱形
例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
求证：AM=BE。
三．正方形B M
A
D
C
E
例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
例3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．
三．梯形
例1、如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连结AE、DE．求证：ABE DCE
△≌△．
A D
C B E
例2、如图：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ． （1）图中共有 对全等三角形；
（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．
【经典练习】
一、选择题
1．已知边长为a 的正方形，以它的对角线底作一个三角形，使其面积等于此正方形的面积，则三角形底边上的高为（ ） A 、
2
a B 、2a
C 、a 2
D 、a 2
2．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相平分 C 、对角线平分一组对角 D 、对角线互相垂直 3．在下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称的图形是（ ）
A 、矩形
B 、平行四边形
C 、圆
D 、等腰梯形 4．一菱形的一边上高的垂足是这边的中点，这菱形中的最大内角的度数是（ ）
A 、︒150
B 、︒135
C 、︒120
D 、︒100
二、填空题
1．矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE=︒36，那么∠ACD= 度。
2．如果梯形中位线长为15cm ，一条对角线把中位线分成2：3两部分，那么梯形上，下底长分别为 、 。
3．正方形ABCD 的对角线BD 上有一点E ，BE=BA ，则∠DAE 等于 度。
三、解答证明
1平行四边形的对角线AC 的垂直平分线交BC 于E ，交AD 于F 。
求证：四边形AECF 为菱形。
A E
D O
E
B C A D
O C B
2．在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC，延长AB至E，使BE=DC。
求证：AC=CE。
3．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于O，AF平分∠BAC交BO，BC于E、F。
求证：FC=2OE 4．已知：如图，矩形ABCD中，AE=CD，AB=2AD，求：∠EBC的度数。
综合作业一、填空题A
D E C
B A
D C
F
B
O
E
D
A B E
C
1．菱形的周长为24，一个内角为︒60，则它的两个对角线长分别是 、 。
2．正方形的边长a ，则顺次连结四边中点所得的四边形的面积为 。
3．梯形的高为5cm ，中位线长14cm ，则梯形的面积为 。
二、选择题
1．四边形ABCD 中，若∠A:∠B:∠C:∠D =2：2：1：3，则这个四边形是（ ）
A 、任意梯形
B 、等腰梯形
C 、直角梯形
D 、任意四边形 2．能够判定一个四边形为菱形的条件是（ ）
A 、对角线相互平分且相等
B 、对角线相互垂直且相等
C 、对角线相互平分且垂直
D 、两邻角互补且对角线垂直 3．矩形长是8cm ，宽是4cm ，和它面积相等的正方形的对角线的长是（ ）
A 、4 cm
B 、42 cm
C 、8 cm
D 、82 cm
4．一个菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的边长为（ ）
A 、14
B 、7 cm
C 、5 cm
D 、10 cm
三、解答证明
1．已知：如图，菱形ABCD 中，AC=16cm,BD=12cm,求：菱形的高。
2．已知：如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=BC ，AC 、BD 交于点O 。
求证：OD=OC 。
3．已知：如图，正方形ABCD 中，D E 平分∠ADF 。
求证：DF=AE+CF 。
A D C F
B
E
D C
B
A O D A
C
B
及时总结。