竞赛讲座 30分类与讨论
高中数学竞赛专题讲座---离散极值
离 散 极 值一. 知识与方法所谓离散极值，就是指以整数、集合、点、线、圆等离散对象为背景，求它们满足某些约束条件的极大值或极小值。
这类问题的解法与一般函数（连续变量）极值的解法有很大的差异。
对于这类非常规的极值问题，要针对具体问题，认真分析，细心观察，选用灵活的策略与方法，通常可以从论证与构造两方面予以考虑。
先论证或求得该变量的上界或下界，然后构造一个实例说明此上界或下界可以达到，这样便求得了该离散量的极大值或极小值。
在论证或求解离散量的上界或下界时，通常要对离散量做出估计，在估计的过程中，构造法、分类讨论法、数学归纳法、反证法、极端原理、抽屉原理等起着重要的作用。
二. 范例选讲例1. m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n ，问3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论。
（1987年第二届全国数学冬令营试题）思路分析：先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界，然后举例说明此上界可以达到，从而得到3m+4n 的最大值。
解：设a 1,a 2,…,a m 是互不相同的正偶数，b 1,b 2,…,b n 是互不相同的正奇数，使得a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+… +b n =1987 ①，这时分别有：a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m=m(m+1) ②，b 1+b 2+…+b n ≥1+3+…+(2n -1)=n 2 ③，由①,②,③得m²+m+n 2≤1987,因而有（m+21）2+n 2≤119874+ ④，由④及柯西不等式，得3（m+21）+4n≤4119875)21(.432222+≤+++n m ,由于3m+4n 为整数，所以3m+4n 221≤ ⑤，另一方面，当m=27,n=35时，m 2+m+n 2=1981<1987,且3m+4n=221。
故3m+4n 的最大值为221。
评注：在论证过程中用到了柯西不等式与一般二元一次不定方程的求解方法。
竞赛类型主题班会
竞赛类型主题班会主持人：大家好！欢迎来到今天的主题班会。
本次班会以“竞赛类型”为主题，我们将探讨一些与竞赛相关的话题。
在开始之前，我想先向大家提出一个问题：你们对竞赛有何看法？请各位同学踊跃发言。
同学A：我觉得竞赛可以提高自己的能力，锻炼自己的思维和动手能力。
同学B：我认为竞赛可以培养竞争意识，培养团队合作精神。
同学C：竞赛可以给我们一个展示自己才华的平台，让自己更有自信。
同学D：我觉得竞赛不仅能提高自己的学科水平，还可以培养我们的耐心和毅力。
主持人：非常棒！大家对竞赛的认识都很深刻。
接下来，我们将进一步了解竞赛的类型。
首先，我们来讨论一下学科竞赛。
同学E：学科竞赛是一种通过比赛形式展示学科知识水平的方式，比如数学、物理、化学等各类学科竞赛。
同学F：学科竞赛可以鼓励同学们更深入地学习某个学科，激发他们的学习兴趣。
主持人：非常好！接下来，我们继续讨论其他类型的竞赛，如体育竞赛。
同学G：体育竞赛能够锻炼身体素质，培养团队协作和竞技精神。
同学H：体育竞赛可以培养同学们坚持到底、永不放弃的勇气和毅力。
主持人：非常好！竞赛类型有很多，还有其他类型的竞赛你们觉得比较有意义吗？同学I：我觉得社会实践类竞赛也很有意义，可以帮助我们更好地了解社会和服务社会。
同学J：我认为创新类竞赛也很有意义，可以培养我们的创造力和创新思维。
主持人：非常棒！竞赛类型多种多样，每一种都有不同的意义和价值。
通过参与竞赛，我们可以提升自己的综合素质，同时也能够发现自己的潜力和优势。
竞赛并不仅仅是为了获得名次和奖品，更重要的是在竞赛中成长和进步。
让我们用行动去证明自己，展示我们的才华！谢谢大家的发言！。
运动竞赛学专题知识专业知识讲座
道德规范。要求裁判员严格地依据竞赛规则和规程，以正直无私，刚正不阿进行观察、分
析、判断和裁决竞赛过程中出现的每一个问题。很多情况下，因为裁判员的错判和漏判，
造成不公正现象。为保证竞赛在公平条件下顺利进行，裁判员必须做到严肃认真，公正准
本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
国都尊称体育裁判员为“执法官”、“球证”、“绿茵场上的法官”等。公正是体育裁判
员执法的准则，准确判断是基础，裁判员离开了公正准确就不可能正常地完成体育竞赛的
裁判任务。早在1956年起国家体育总局就公布和实施了《裁判员等级条例（草案）》，
1958年和1963年又两次修改，1981年颁布了《裁判员守则》，对裁判员提出了行为准则和
的角逐；再加田径赛中投掷项目运动员的体重和器械重量不分级别，往往使体重大的参赛
者占据有利地位；以及乒乓球拍表面覆盖物还不能做到严格的限制和统一等。上述诸多现
象说明，各项体育竞赛规则和方法还存在某些争议，须逐步修改和完善，才能真正保证竞
赛的公平性。
裁判员执法的公正性和一致性，是保证体育竞赛公平性的另一个重要条件。世界各
此外，各项目比赛规则还对运动项目起着调控作用。例如，当某项
比赛出现进攻与防守严重不平衡时，则可通过规则的修改，提出制约性
的规定，使攻防矛盾趋向新的平衡状态4S；乒乓球的11分制；田径运动中跳跃和
投掷的时限规定等。
本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
(二) 竞赛的公平性 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
关于竞赛的讲座
竞赛的讲座可以涵盖多个方面，包括以下内容：
竞赛介绍：讲解该竞赛的目的、参赛人群、比赛规则等基本信息，让听众对竞赛有一个全面的了解。
竞赛策略：分享在竞赛中的一些成功策略和经验，包括如何提高效率、如何合理安排时间、如何做好准备等。
竞赛技巧：介绍一些在竞赛中常用的技巧，如数据处理、图像识别等，帮助听众更好地应对竞赛。
成功案例分享：分享一些在竞赛中取得好成绩的成功案例，让听众了解成功的关键在哪里，同时也可以激励听众努力拼搏。
竞赛资源分享：分享一些在竞赛中可以用到的资源，如学习资料、参赛论文、开源工具等，让听众更好地准备竞赛。
交流互动：开设问答环节，让听众有机会提出问题、与讲者交流和互动，促进学习和思考。
以上是竞赛讲座的一些常见内容，根据具体情况，讲座的内容可能会有所不同。
全国技能大赛30个优秀现场展演讨论交流记录
全国技能大赛30个优秀现场展演讨论交流记录最近，全国技能大赛在我国各地相继举行，展现了许多令人惊叹的技能和才华。
在这次大赛的30个优秀现场展演中，我们看到了许多精彩的表演和成果。
这些展演不仅仅是技能的展示，更是一种对技能学习和发展的探讨和交流。
首先，这些现场展演给我们展示了各个行业领域的优秀技能，包括建筑、机械、电子、医疗等多个领域。
通过这些展演，我们能够深入了解到各个行业的技术要求和发展趋势。
例如，在建筑领域的展演中，我们看到了许多高难度的施工技术和先进的建筑材料使用方法；在医疗展演中，我们看到了许多先进的医疗设备的运用和病例诊断等方面的技术突破。
这些展演向我们展示了技能学习和创新的巨大潜力，也激发了我们对技能的热情和追求。
其次，这些展演也是技能交流的平台，促进了各行各业之间的学习和合作。
在这次大赛中，各个参赛选手和专家们互相学习、互相启发，共同探讨技能学习和发展的新思路和新方法。
他们通过现场展示和讲解，向观众和其他参赛选手分享了自己的经验和心得。
在这个过程中，大家彼此激发了创新的火花，也建立了深厚的合作关系。
这将对技能学习和发展起到积极的推动作用，使各行业的技能水平不断提高。
另外，这些展演还提醒我们技能学习的重要性和需求。
通过观看这些展演，我们不仅看到了精湛的技艺表演，更看到了背后付出的辛勤努力和坚持。
每个参赛选手都花费了大量的时间和精力进行技能的训练和提高。
这对我们来说是一个重要的启示，即只有通过持续的学习和磨练，才能够取得突破和进步。
同时，这些展演还提醒我们技能学习是一个渐进的过程，需要不断地进行学习和实践，才能真正掌握和运用技能。
综上所述，全国技能大赛30个优秀现场展演给我们带来了许多启示和教益。
通过这些展演，我们深入了解了各个行业的技术要求和发展趋势，促进了各行各业之间的学习和合作，同时也提醒了我们技能学习的重要性和需求。
相信在大赛的影响下，我们的技能学习和发展将会得到更好的推动。
竞赛分组讨论发言稿范文
大家好！我是来自XX小组的代表，非常荣幸能够在这个竞赛中与大家分享我们的讨论成果。
首先，请允许我代表我们小组，对本次竞赛的组织者表示衷心的感谢！本次竞赛的主题是“创新驱动发展”，旨在激发我们青年一代的创新思维，为我国的发展贡献智慧和力量。
在分组讨论的过程中，我们小组紧密围绕主题，展开了热烈的讨论，最终形成了以下共识：一、创新是引领发展的第一动力在当今世界，创新已经成为国家竞争力的重要标志。
一个国家、一个民族只有不断创新，才能在激烈的国际竞争中立于不败之地。
因此，我们要充分认识创新的重要性，将其作为推动发展的核心动力。
二、创新驱动发展需要全社会共同参与创新不仅仅是科技人员的责任，更需要全社会的共同参与。
政府要加大对创新的政策支持，鼓励企业加大研发投入，培养创新人才。
同时，要营造良好的创新氛围，激发全社会的创新热情。
三、创新驱动发展要注重人才培养人才是创新驱动发展的关键。
我们要加强人才培养，提高人才素质，培养具有创新精神和实践能力的高素质人才。
同时，要注重人才引进，吸引国内外优秀人才来我国创新创业。
四、创新驱动发展要注重科技成果转化科技成果转化是创新驱动发展的关键环节。
我们要加强科技成果转化体系建设，完善科技成果转化政策，推动科技成果转化为现实生产力。
五、创新驱动发展要注重绿色发展绿色发展是创新驱动发展的必然要求。
我们要坚持绿色发展理念，推动科技创新与绿色发展相结合，实现经济效益、社会效益和环境效益的统一。
在讨论过程中，我们小组还就以下问题进行了深入探讨：1. 如何激发企业的创新活力？2. 如何加强创新人才队伍建设？3. 如何推动科技成果转化？4. 如何在创新驱动发展中实现绿色发展？针对以上问题，我们小组提出了以下建议：1. 政府要加大对企业的扶持力度，鼓励企业加大研发投入，建立健全创新激励机制。
2. 加强高校与企业的合作，培养具有创新精神和实践能力的高素质人才。
3. 完善科技成果转化政策，推动科技成果转化市场化、专业化、国际化。
生物竞赛讨论发言稿范文
大家好！今天，我很荣幸能在这里与大家共同探讨生物竞赛的相关话题。
首先，请允许我简要介绍一下我国生物竞赛的背景和意义。
生物竞赛作为一项具有广泛影响力的学科竞赛，旨在激发学生对生物学的兴趣，提高学生的综合素质和创新能力。
在我国，生物竞赛已经成为中学生科技创新教育的重要组成部分，对于培养学生的科学素养、创新精神和实践能力具有重要意义。
以下是我对生物竞赛的一些看法和讨论：一、生物竞赛的选拔与培训1. 选拔：生物竞赛的选拔应注重学生的综合素质，包括学术成绩、科研潜力、团队协作能力等。
选拔过程中，要遵循公平、公正、公开的原则，确保选拔出真正具备竞争力的选手。
2. 培训：针对选拔出的选手，要进行有针对性的培训。
培训内容应包括生物学科基础知识、实验技能、论文写作、演讲技巧等。
同时，要加强团队合作能力的培养，提高选手在竞赛中的整体表现。
二、生物竞赛的竞赛形式与内容1. 竞赛形式：生物竞赛可以采用个人赛、团队赛、论文赛等多种形式。
个人赛主要考察选手的独立思考和创新能力；团队赛强调团队合作和沟通能力；论文赛则侧重于选手的科研素养和论文写作能力。
2. 竞赛内容：生物竞赛的内容应紧密结合生物学前沿领域，涵盖生物化学、细胞生物学、分子生物学、生态学、遗传学等多个方面。
通过竞赛，激发学生对生物学的热爱，培养他们的科研兴趣。
三、生物竞赛对学生成长的意义1. 提高科学素养：生物竞赛有助于学生掌握生物学基础知识，培养科学思维和探究能力。
2. 培养创新能力：竞赛过程中，学生需要面对各种挑战，激发创新思维，提高创新能力。
3. 锻炼团队协作能力：团队赛等形式要求选手之间密切配合，共同完成任务，有利于培养团队协作精神。
4. 增强国际竞争力：生物竞赛是我国学生走向国际舞台的重要途径，有助于提高我国生物学科在国际上的地位。
总之，生物竞赛在我国中学生科技创新教育中具有重要地位。
我们要充分认识生物竞赛的意义，加强选拔与培训，努力提高竞赛质量，为培养更多优秀的生物学科人才贡献力量。
省前中物理奥赛讲座
省前中物理奥赛讲座一、微元法知识方法微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
题型讲解例1：如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθc o s c o s Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，即∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθc o s c o s L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，所以∑=∆R L θc o s 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L gT ρθρcos例2：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示，若平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图甲和乙.先看俯视图甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆△m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为2sin 2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F F T 22 再看正视图乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θt a n ⋅∆=mg T现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1t a n=θ 因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π2Mg F = 设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMg R Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-==例3：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅解得最大角速度 MrT πω2= 例4：中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的圆心角为△θ，如图甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N 当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RT R T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ②T －mg=m a ③ 由②、③解得： m M Mmg T +=2 将④式代入①式得：R m M Mmg n )(2+=例5：电量Q 均匀分布在半径为R 的圆环上（如图所示），求在圆环轴线上距圆心O 点为x 处的P 点的电场强度.解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解.选电荷元 ,2RQ R q πθ∆=∆它在P 点产生的电场的场强的x 分量为： 22222)(2cos xR x x R R Q R k r q k E x ++∆=∆=∆πθα 根据对称性 322322322)(2)(2)(2x R kQx x R kQxx R kQxE E x +=+=∆+=∆=∑∑ππθπ由此可见，此带电圆环在轴线P 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P 点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向.例6：如图所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关.由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin 2ωθ∆=∆-∆当△θ很小时，R m QB R T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222R m QB R T m m 解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T +=。
新动态高中数学竞赛培训教材(共30讲含详细答案)
高中数学竞赛培训教材[全套](共30讲，含详细答案)目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
分类讨论定义及原则
.
；. 分类讨论概述
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；
(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．
引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．
注：能回避分类讨论的尽可能回避．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竞赛讲座30
-----－分类与讨论
1. 分类讨论的规则
解题总是在一定的范围(论域)进行的.解题中有时要将题目条件包含的全体对象分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答.因此,分类讨论是数学解题中的一个重要内容.
(1) 分类的规则分类时首先要明确分类的对象和分类的标准.有时还要对第一次分出的各类进行再分类,这就是第二级分类,类似地有第三级分类、第四级分类、……，这种进行多次分类的现象叫做连续分类.合理的分类不但是正确解题的基础，而且是简捷解题的出发点.
分类的原则是：不重不漏，即每一个题设包含的对象都必须在而且只在所分的一类中.为此，分类时必须做到：
①一次分类只按一个标准进行；
②连续分类按层次逐级进行.
（2）枚举和讨论解决需要讨论的问题的方法是枚举，枚举的基础是正确分类.
例1 求出所有的自然数n，使三个整数n，n+8，n+16都为质数.
解现将所有自然数n按模为3的剩余类分成三类：
n=3k，3k+1，3k+2.
当n=3k时，只有k=1时，三个整数（3，11，19）都是质数；
当n=3k+1时，n+8=3k+1+8=3（k+3）不是质数；
当n=3k+2时，n+16=3k+2+16=3（k+6）不是质数.
所以满足题设的自然数只有一个3.
2．分类讨论举例
下面我们用分类讨论的思想方法来解决一些国内外数学竞赛问题.
例2 （第4届加拿大中学生竞赛题）设a和n是相异的实数，证明存在整数m和n使得am+bn＜0，bm+an＞0.
证明既然a，b为相异实数，那么必有a-b＜0或a-b＞0.
当a-b＜0时，就取m=1，n=-1，验证和满足所给不等式；
当a-b＞0时，就取m=-1，n=1，显然也满足所给不等式.
例3 （1956年上海市竞赛题）从1到100这一百个自然数中，每次取2个，要它们的和大于100，有多少种取法？
解因为每次所取的两数不等，所以可以按较大（或较小）的数的取值来分类考虑：
较大的数取100时，另一数有99种取法；
较大的数取99时，另一数有97种取法；
……
较大的数取51时，另一数有一种取法；而50以下的任何两数都不能组成符合条件的数对，故共有1+3+5…+97+99=2500种取法.
按照某个确定的自然数为模的剩余类分类是数学竞赛中经常出现的问题之一.
例4 求证：从任意n个整数a1，a2，…，a n中，一定可以找到若干个数，使它们的和可被n整除.
证明考察如下的n个和，a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+a n.
若其中至少有一个能被n的整除，则结论成立；
若其中没有一个能被n整除；则将他们按模n的剩余类至多可分为余数为1，余数为2，…，余数为n-1的n-1个类.因此,这几个整数中至少有两个整数a1+a2+…+ak和a1+a2+a3+a k+…+a l （l＞k）对模n有相同的余数.
这时和数a k+1+…+a l=（a1+a2+…+a k+…+a1）-（a1+a2+…+a k）显然可被n整除，即结论成立.
说明：本例通过分类制造“抽屉”，体现了分类思想有“抽屉原则”的完美结合.
在给定的几何条件下，由于图形的形状或位置不同含有不同的结果或需用不同的方法处理，这就引出了几何中的分类讨论问题.
例5 （1989年武汉、广州等五市初中数学联赛题）△ABC中，∠C=，BM是中线，AC=2a，
若沿BM将三角形对折起来，那个两个小三角形ABM和BCM重叠部分的面积恰好等于△ABC 面积的四分之一.试求△ABC的面积.
解①若原三角形中，∠ABM＞∠CBM，则对折后如图28-1，其中是对折后C点所落位置，△BMD是重叠部分.依题意得
∴即D为AM的中点.
又
∴D是BC的中点.
由∠ADB=∠MD知，△ABD≌△M D，∴AB=M=CM=.而∠ACB=，∴∠ABC=. 由AC=2a，可得AB=a，BC=
∴
（2）若原三角形中∠ABM＜∠CBM，对折后如图28-2.如上证明，可得D为AB，M的中点. ∴于是BC=B=a.
过B作△ABC的高BE.∵∠ACB=，
∴
∴
（3）显然，∠ABM=∠CBM不合题意.
列6 设一条曲线的两端在单位正方形的周界上；并且这条曲线将正方形分成面积相等的两部分.证明这条曲线的长度不小于1.
证明（如图28-3）设曲线PQ分正方形ABCD为面积相等的两部分S1，S2.又M、N、E、F
分别为正方形的边的中点.因的面积，故曲线PQ与线段MN、EF、AC、BD必各至少有一个公共点.现按P、Q的位置来分类讨论.
不失一般性，不妨设P在AB上，这时，
① Q在对边CD上（图28-4）.如上所述,曲线PQ与MN至少有一公共点(设为R),则PQ=PR+RQ≥PR+RQ≥MR+RN=MN=1，此时结论正确.
② Q在AB上（图28-5）.设曲线PQ与线段EF的一个公共点为R.以EF为对称轴作出PR的对称图形，则曲线PQ与曲线等长.由①知≥1，故PQ≥1，此时结论也正确.
③ Q在邻边BC或AD之一上（图28-6）.令曲线PQ与AC的一个公共点为R，以AC为对称轴作出RQ的对称图形，则曲线PQ与等长.由①知，此时结论亦成立.
综上述，对符合条件的任意位置的P、Q均有所述结论.
练习二十八
1．选择题
（1）如果a、b为不超过10的自然数，那么能使方程ax=b的解大于而小于的a、b有（）.
（A）五组（B）四组（C）三组（D）两组
（2）（1984年重庆初中竞赛题）如果α、β、γ是三角形三内角，x=α+β，y=β+γ，z=γ+α，那么x，y，z中锐角个数的错误判断应是（）.
（A）可能没有锐角（B）可能有一个锐角
（C）可能有两个锐角（D）最多有一个锐角
（3）（1978年重庆竞赛题）a、b、c是三角形三边，由a-b＜c可导出（）.
（A）＜c2（B）a2-b2＞c2（C）a2-b2=c2（D）以上结论都不对
2．（1989年吉林初中预选赛试题）已知n（n≥2）个相异自然数的和与积相等，求此n的值及n个自然数.
3．（第4届加拿大中学生竞赛试题）证明方程x3+113=y3没有x 和y的正整数解.
4．（1983年上海初中竞赛题）已知△ABC中∠B为锐角.从顶点A向边BC或它的延长线引垂线，交BC于H，又从顶点C向边AB或它的延长线引垂线交AB于K点.试问当2BH：BC、2BK：BA是整数时，△ABC是怎样三角形？证明你的结论.
5.(1984年西安初中竞赛题)求证n5-n可被30整除(n∈整数).
6．（1978年重庆竞赛题）设△ABC中，AB=AC，P为该三角形内一点，且∠APB＞∠APC.用间接证法证明:∠BAP＜∠CAP.
7．（1957年上海竞赛题）设自然数62αβ427为99的倍数，求α、β.
8．（莫斯科比赛大会预习题）求多项式x2+βx+q的使它在区间[-1，1]上的绝对值为极大值的最小值.
9．证明内接平行四边形的三角形的面积不可能大于这个平行四边形面积的一半.
10．（第7届加拿大中学竞赛题）对每个实数γ，[γ]表示小于或等于γ的最大整数，例如[6]=6，[π]=3，[-1.5]=-2.在（x，y）平面上指出满足[x]2+[y]2=4的一切点（x，y）.。