人教版八年级上册数学《全等三角形》辅助线一线三等角问题(“K”字图)

一线三等角问题（“K ”字图）

核心母题 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是BC 边上一点，∠ADE=45°，AD=DE ，求证：BD=EC.

练习： 1、已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF=ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．

2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．

3、如图，在ABC ∆中，BC AC ACB =︒=∠,90，直线MN 经过点C ，且

MN

AD ⊥

于点D ，MN BE ⊥于点E 。

（1）当直线MN 绕点

C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD

—BE ；

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE

，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。

N B

N

4、如图所示，AE ⊥AB ，BC ⊥CD 且AB=AE ，BC=CD ，F 、A 、G 、C 、H 在同一直线上，

如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？

6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．

小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．

请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ．

参考小雨同学的方法，解决下列问题：

如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．

7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P （5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点B.

（1）当点A 、点B 分别在x 轴、y 轴正半轴上运动时，试探究OA+0B 的值或取值范围； l 1l 2l 3图3

l 1l 2l 3图1 l 1l 2l 3图2 l 1l 2l 3图3

（2）点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。

9、已知：在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．

（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由．

（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论．