高中数学(人教A版,必修2)分层测评：章末综合测评4
高中数学(人教A版)必修2同步练习题：第4章学业分层测评
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆心为(1 ,－2) ,半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．假设圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点,那么()A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0 ,b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2 ,即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最||小值是()A．1B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5 ,所以所求最||小值为5－1＝4.【答案】 B4．圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称 ,那么圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1【解析】 由圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0) ,半径长r 1C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ,b ) ,那么⎩⎨⎧b a －1·(－1)＝－1 －a ＋12＝b 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0 b ＝－1. 所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.【答案】 C 5．当a 为任意实数时 ,直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ,那么以C 为圆心 ,5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝0 －x －y ＋1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2∴C (－1,2) ,∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C二、填空题6．假设点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部 ,那么a 的取值范围为________.【解析】 ∵P 在圆外 ,∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1 ,a 2>1169 ,∴|a |>113 ,即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1137．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最||大值是________．【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1) ,圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝ 2 ,圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最||大距离 ,即最||大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2三、解答题8．圆C 过点A (4,7) ,B (－3,6) ,且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上 ,求圆C 的方程.【解】 法一：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) ,∵A ,B ∈圆C ,C ∈l ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (4－a )2＋(7－b )2＝r 2 (－3－a )2＋(6－b )2＝r 22a ＋b －5＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1 b ＝3 r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) ,∵C ∈l ,∴2a ＋b －5＝0 ,那么b ＝5－2a ,∴圆心为C (a,5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC | ,即(a －4)2＋(5－2a －7)2＝(a ＋3)2＋(5－2a －6)2.解得a ＝1 ,从而b ＝3 ,即圆心为C (1,3) ,半径r ＝|CA |＝(4－1)2＋(7－3)2＝5. 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.9．某圆圆心在x 轴上 ,半径长为5 ,且截y 轴所得线段长为8 ,求该圆的标准方程．【解】 法一：如下列图 ,由题设|AC |＝r ＝5 ,|AB |＝8 ,∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中 ,|OC |＝|AC |2－|AO |2 ＝52－42＝3.设点C 坐标为(a,0) ,那么|OC |＝|a |＝3 ,∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25.∵圆截y 轴线段长为8 ,∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25 ,∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.[能力提升]10．△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,0) ,B (3,0) ,C (3,4) ,那么△ABC 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝20B ．(x －2)2＋(y －2)2＝10C ．(x －2)2＋(y －2)2＝5D ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 5【解析】 易知△ABC 是直角三角形 ,∠B ＝90° ,所以圆心是斜边AC 的中点(2,2) ,半径是斜边长的一半 ,即r ＝ 5 ,所以外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C11．(1)如果实数x ,y 满足(x －2)2＋y 2＝3 ,求y x 的最||大值和最||小值；(2)实数x ,y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14,求(x －2)2＋(y －3)2的取值范围． 【解】 (1)法一：如图 ,当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x 最||大 ,过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ,在Rt △ABO 中 ,OA ＝2 ,AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60° ,∴y x 的最||大值为 3.同理可得y x 的最||小值为－ 3. 法二：令y x ＝n ,那么y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3联立 ,消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0 ,Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0 ,即n 2≤3 ,∴－3≤n ≤ 3 ,即y x 的最||大值、最||小值分别为3、－ 3.(2)(x －2)2＋(y －3)2可以看成圆上的点P (x ,y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝(0－2)2＋(1－3)2＝2 2.由图可知 ,圆上的点P (x ,y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－12 22＋12. 即(x －2)2＋(y －3)2的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－12 22＋12. 精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。
高中数学人教A版必修二第四章圆与方程学业分层测评含答案
学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为0＋32＋－1－22＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－322＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．【解】(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①|2a＋b－5|22＋1＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12，③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
【同步汇编】人教A版2018年高一数学必修2 分层测评与综合测评汇编150页(30份,含解析)
人教A版必修2 分层测评与综合测评汇编目录人教A版必修2学业分层测评1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征含解析人教A版必修2学业分层测评2 旋转体与简单组合体的结构特征含解析人教A版必修2学业分层测评3 中心投影与平行投影空间几何体的三视图含解析人教A版必修2学业分层测评4 空间几何体的直观图含解析人教A版必修2学业分层测评5 柱体、锥体、台体的表面积与体积含解析人教A版必修2学业分层测评6 球的体积和表面积含解析人教A版必修2学业分层测评7 平面含解析人教A版必修2学业分层测评8 空间中直线与直线之间的位置关系含解析人教A版必修2学业分层测评9 空间中直线与平面之间位置关系平面与平面之间位置关系含解析人教A版必修2学业分层测评10 直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定含解析人教A版必修2学业分层测评11 直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质含解析人教A版必修2学业分层测评12 直线与平面垂直的判定含解析人教A版必修2学业分层测评13 平面与平面垂直的判定含解析人教A版必修2学业分层测评14 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质含解析人教A版必修2学业分层测评15 倾斜角与斜率含解析人教A版必修2学业分层测评16 两条直线平行与垂直的判定含解析人教A版必修2学业分层测评17 直线的点斜式方程含解析人教A版必修2学业分层测评18 直线的两点式方程直线的一般式方程含解析人教A版必修2学业分层测评19 两条直线的交点坐标两点间的距离含解析人教A版必修2学业分层测评20 点到直线的距离两条平行直线间的距离含解析人教A版必修2学业分层测评21 圆的标准方程含解析人教A版必修2学业分层测评22 圆的一般方程含解析人教A版必修2学业分层测评23 直线与圆的位置关系含解析人教A版必修2学业分层测评24 圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用含解析人教A版必修2学业分层测评25 空间直角坐标系空间两点间的距离公式含解析人教A版必修2章末综合测评1 含解析人教A版必修2章末综合测评2 含解析人教A版必修2章末综合测评3 含解析人教A版必修2章末综合测评4 含解析人教A版必修2模块综合测评含解析学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列描述中，不是棱柱的结构特征的是()A．有一对面互相平行B．侧面都是四边形C．相邻两个侧面的公共边都互相平行D．所有侧棱都交于一点【解析】由棱柱的结构特征知D错．【答案】 D2．观察如图1-1-8的四个几何体，其中判断不正确的是()图1-1-8A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．【答案】 B3．四棱柱的体对角线的条数为()A．6 B．7C．4 D．3【解析】共有4条体对角线，一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成一条体对角线．【答案】 C4．(2016·长春高二检测)若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解析】因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．【答案】 D5．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图1-1-9所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()【导学号：09960004】图1-1-9A．南B．北C．西D．下【解析】将题给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面，选B.【答案】 B二、填空题6．如图1-1-10所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．图1-1-10【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.【答案】107．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．(1)(2)(3)(4)图1-1-11【解析】(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．【答案】(2)(3)三、解答题8．如图1-1-12，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB 和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？【导学号：09960005】图1-1-12【解】折起后是一个三棱锥(如图所示)．9．根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形；(2)由五个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的三角形．【解】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱．(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥．[自我挑战]10．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图1-1-13)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()图1-1-13【解析】两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．【答案】 A11．如图1-1-14所示，已知三棱台ABC-A′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示.【导学号：09960006】图1-1-14【解】(1)如图(1)所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，多面体是B′C′-BCC″B″.(2)如图(2)所示：三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是()①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．【答案】 B2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥【解析】如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】 D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．【答案】 D4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱【解析】 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.【答案】 B5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1-1-21所示，则截面可能的图形是( )图1-1-21A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】 C二、填空题6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.【导学号：09960010】图1-1-22【解析】 一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．【答案】 圆柱7．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．【解析】 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r ＝1.【答案】 1三、解答题8．指出如图1-1-23(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．图1-1-23【解】 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．9．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm)，下底半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[自我挑战]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.【答案】 B11．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S; 【导学号：09960011】(2)当x 为何值时，S 最大？【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点； ②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2016·南宁高一期末)下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )图1-2-12A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【解析】 ①③的三个三视图都相同，②④的正视图和侧视图相同．故选C.【答案】 C3．(2016·葫芦岛高一期末)一根钢管如图1-2-13所示，则它的三视图为( ) 图1-2-13A B C D【解析】该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体，三视图为B.【答案】 B4．(2016·台州高二检测)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1-2-14所示，则该几何体的侧视图为()【导学号：09960014】图1-2-14A B C D【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D 符合．故选D.【答案】 D5．(2016·安庆高二检测)如图1-2-15，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是()图1-2-15A B C D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C.光线从前向后照射，得到A.光线从左向右照射得到B.故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选D.【答案】 D二、填空题6．(2015·肇庆高二检测)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是________.【导学号：09960015】【解析】正视图的最小面积为正方形ABB1A1的面积，为1，最大面积为矩形ACC1A1的面积，为2，故所求范围为[1，2]．【答案】[1，2]7．(2015·昆明高二检测)如图1-2-16为长方体木块堆积成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．图1-2-16【解析】该几何体的实物图如图．故此几何体共有4块木块堆成．【答案】 4三、解答题8．画出如图1-2-17所示的几何体的三视图．图1-2-17【解】该几何体的三视图如图所示．9．(2016·潍坊高一检测)已知一个几何体的三视图如图1-2-18，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．图1-2-18【解】由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．[自我挑战]10．(2015·济南高一检测)如图1-2-19，E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1、B1C上的动点(不含端点)，则四边形B1FDE的俯视图可能是()【导学号：09960016】图1-2-19【解析】D的投影为D1，E的投影在A1D1上，F的投影在B1C1上，则俯视图可能为B.【答案】 B11．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图1-2-20所示，试据图回答下列问题：图1-2-20(1)该物体有多少层？(2)该物体的最高部分位于哪里？(3)该物体一共由几个小正方体构成？【解】(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个，该物体一共由7个小正方体构成.学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x 轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】 C2．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.【答案】 A3．如图1-2-30为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()【导学号：09960020】图1-2-30A B C D【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】 C4．(2015·江西师大附中高一检测)已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1-2-31所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是()图1-2-31A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋(3)2＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】 C5．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】根据斜二测画法知在A，B，D中，正三角形的顶点A，B 都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等．【答案】 C二、填空题6．如图1-2-32所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．图1-2-32【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin 45°＝2 2.【答案】 227．(2015·雅安高二检测)如图1-2-33所示，斜二测画法得到直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．【导学号：09960021】图1-2-33【解析】 在梯形A ′B ′C ′D ′中，B ′C ′＝A ′D ′＋2·A ′B ′cos 45°＝1＋2，则原平面图形是上底为1，下底为1＋2，高为2的直角梯形，其面积S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋ 2.【答案】 2＋ 2三、解答题8．如图1-2-34，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1-2-34【解】 画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；① ②(2)在图①中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在图②中，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②.9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正六棱锥的直观图．【解】 (1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示；(3)连接V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．[自我挑战]10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图1-2-35所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )【导学号：09960022】图1-2-35 A.732 B.73 C ．5 D.52【解析】 由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为732.【答案】 A11．(2015·咸阳高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图1-2-36所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积．图1-2-36【解】 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是矩形， ∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( )A ．54πB ．8πC ．4πD ．16π【解析】 S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】 A2．(2015·烟台高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【解析】 设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2.又∵S 侧＝4π，∴a ＝2.∴V 圆柱＝π×2＝2π.【答案】 B3．如图1-3-7，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )图1-3-7【解析】 由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积V ＝Sh ＝S ＝12，即底面积S ＝12，结合选项可知，俯视图为三角形．【答案】 C4．(2016·天津高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1-3-8所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是( )图1-3-8A ．45，8B ．45，83 C ．4(5＋1)，83D ．8,8【解析】 由题图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V ＝13×2×2×2＝83，侧面三角形的高h ＝22＋12＝5，S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝4 5.【答案】 B 5．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图1-3-9所示，则该四面体的表面积是( )图1-3-9A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.【答案】 B 二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【导学号：09960026】【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)． 【答案】 72 7．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图1-3-10所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1-3-10【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.【答案】 83π 三、解答题8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1-3-11所示，AA 1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．图1-3-11【解】 (1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S △ABC ＝12×3×332＝934.S 侧＝3×AC ×AA 1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×934＝27＋932.这个三棱柱的体积为934×3＝2734.9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【导学号：09960027】【解】 如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r 、R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3.又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan 60°，即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3. 又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan 60°，即R ＋r ＝3×3，∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3，∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2) ＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.所以圆台的体积为21π.[自我挑战]10．(2016·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.【导学号：09960028】【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝120×π×22360＝43π， 设圆锥的底面圆的半径为r ，因为扇形的弧长为2π3×2＝43π，所以2πr ＝43π，所以r ＝23，所以底面圆的面积为49π.所以圆锥的表面积为169π.【答案】 169π11．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积．【解】 如图所示，连接AB 1，AC 1. ∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等，∴V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C ， 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ， VABC -A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，∴VA -A 1B 1C 1＝m3，∴VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，∴V A -BEFC ＝12×23m ＝m3. 即四棱锥A -BEFC 的体积是m3.学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π D ．323π【解析】 设正方体边长为a ，由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 【答案】 C2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8∶27【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27，∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9. 【答案】 B3．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h 2B.r 2h 4C.3r 2h 4D.r 2h2【解析】 ∵13πr 2h ＝43πR 3，∴R ＝3r 2h 4. 【答案】 C4．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )【导学号：09960032】A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3 【解析】 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝32＋42＝5，∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)．【答案】 C5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球<S 圆柱<S 正方体B ．S 正方体<S 球<S 圆柱C ．S 圆柱<S 球<S 正方体D ．S 球<S 正方体<S 圆柱 【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r ， 球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 3＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 3＝2π，S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2＝323<1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 2＝34π>1，故选A. 【答案】 A 二、填空题6．一个几何体的三视图(单位：m)如图1-3-16所示，则该几何体的体积为________m 3.图1-3-16【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32； 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】 9π＋18 7．(2016·河源高二检测)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 6 cm ，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是________cm ，表面积是________cm 2.【导学号：09960033】【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R －1，则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5 cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．【答案】 5 100π三、解答题8．如图1-3-17，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．图1-3-17【解】设球的半径为R，由题意可得43πR3＝π×32×0.5，解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.9．(2016·大同高二检测)如图1-3-18所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．图1-3-18【解】12S球＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)． 所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．[自我挑战]10．一块石材表示的几何体的三视图如图1-3-19所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-3-19A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.【答案】 B 11．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.【导学号：09960034】【解】 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形，所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ，所以OE AO ＝CD AC .设OE ＝R ，则AO ＝23－R ，所以R 23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2333＝323π27. 所以球的体积等于323π27.学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．【答案】 A2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【解析】选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．【答案】 C3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面()【导学号：09960046】A．只有一个B．可作两个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.【答案】 D4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．(1)(2)【答案】 B5．如图2-1-7，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l ＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()图2-1-7A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.【答案】 D二、填空题6．如图2-1-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：图2-1-8(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．【答案】(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评25 Word版含答案.doc
学业分层测评（二十五）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A ．(－1,3，－5)B ．(1,3,5)C ．(1，－3,5)D ．(－1，－3,5)【解析】 P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)． 【答案】 B2．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点O 的距离是( )A.306 B ．1 C.336 D.356【解析】 |PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 【答案】 B3．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0【解析】 由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A.【答案】 A4．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．3 3 B ．3 6 C ．2 3D ．2 6【解析】 |AB |＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB |min ＝54＝3 6. 【答案】 B5．如图4-3-3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )图4-3-3A.2aB.22a C ．aD.12a【解析】 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 【答案】 B 二、填空题6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________.【导学号：09960148】【解析】 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)， ∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0. 【答案】 07．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】S△AOC ＝S△BOC＝S△AOB＝12×2×2 ＝2，S△ABC＝34×|AB|2＝34×8＝23，故三棱锥的表面积S＝6＋2 3.【答案】6＋2 3三、解答题8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状．【解】|AB|＝(－4＋10)2＋(－1－1)2＋(－9＋6)2＝49，|BC|＝(－10＋2)2＋(1＋4)2＋(－6＋3)2＝98，|AC|＝(－4＋2)2＋(－1＋4)2＋(－9＋3)2＝49.因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图4-3-4所示的空间直角坐标系．图4-3-4(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．【解】(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．(2)|MD|＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN |＝(2－1)2＋(1－2)2＋(0－3)2＝11. (3)在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，y ∈[0,1]， 则|MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545. 因为y ∈[0,1]，所以当y ＝45时， |MP |取最小值545，即3305.[自我挑战]10．在平面直角坐标系Oxyz 中，M 与N 关于xOy 面对称，OM 与平面xOy 所成的角是60°，若|MN |＝4，则|OM |＝( )A ．4B ．1 C.433D ．2【解析】 由题意知MN ⊥平面xOy ，设垂足为H ， 则|MH |＝|NH |＝12|MN |＝2，又OM 与平面xOy 所成的角为60°， 则|OM |sin 60°＝|MH |. ∴|OM |＝232＝433.【答案】 C11．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点．如图4-3-5所示，建立空间直角坐标系．图4-3-5(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．【解】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，由|P A|＝|AB|得(1－2)2＋(2－0)2＋(m－0)2＝20.所以m2＝15.因为m∈[0,4]，所以m＝15，故平面ABB1A1内的点P(1,2，15)，使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝12|AB|，又F(1,2,0)，则(0－1)2＋(2－2)2＋(n－0)2＝12(0－2)2＋(4－0)2＋(0－0)2，整理得n2＋1＝ 5.所以n2＝4.因为n∈[0,4]，所以n＝2.故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．。
高中人教A版数学必修二模块综合测评 Word版含答案
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在四面体中，，分别是与的中点，若＝＝，⊥，则与所成的角为( )图．°．°．°．°【解析】取的中点，连接，，则∠为所求，可证△为直角三角形，⊥，＝，＝，从而可得∠＝°.【答案】．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )图．π．π【解析】由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积＝柱－半球＝π××－×××＝，选.【答案】．已知圆＋＋＋＋＝和定点(，－)，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围是( )．(－∞，)．(－，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－)【解析】因为方程＋＋＋＋＝表示一个圆，所以＋－＞，所以＜.由题意知点(，－)在圆外，所以＋(－)＋×＋×(－)＋＞，解得＞－，所以－＜＜.【答案】．如图，在斜三棱柱的底面△中，∠＝°，且⊥，过作⊥底面，垂足为，则点在( )。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
学业分层测评一、选择题1．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0即(x－4)2＋(y－2)2＝9圆心为C1(42)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4圆心为C2(－2－1)两圆相离|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5【答案】 C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切且都过点(41)则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切且都经过点(41)∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(aa)(bb)则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2(4－b)2＋(1－b)2＝b2即ab为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根整理得x2－10x＋17＝0∴a＋b＝10ab＝17∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32∴|C1C2|＝2(a－b)2＝32×2＝8【答案】 C3．过点P(23)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线P APB则弦AB所在的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线而以PC为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134根据两圆的公共弦的求法可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0整理可得2x ＋3y －1＝0故选B【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(31)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)将(31)代入得λ＝－25故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．两圆相交于两点A (13)和B (m －1)两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上且k AB ＝41－m＝－1即m ＝5 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上 所以1＋m 2－1＋c ＝0所以c ＝－2所以m ＋c ＝3【答案】 3三、解答题8．求圆心为(21)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0①已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0又此直线经过点(5－2)∴5－4－5＋r 2＝0∴r 2＝4故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝49．有相距100 km 的AB 两个批发市场商品的价格相同但在某地区居民从两地运回商品时A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定AB 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【09960144】【解】 建立以AB 所在直线为x 轴AB 中点为原点的直角坐标系则A (－500)B (500)．设P (xy )由2|P A |＝|PB |得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0 所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到AB 两地购物一样合算．[自我挑战]10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等排除CD 选项画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限排除A 故选B【答案】 B11．设半径为3 km 的圆形村落A 、B 两人同时从村落中心出发A 向东B 向北A 出村后不久改变前进方向斜着沿切于村落圆周的方向前进后来恰好与B 相遇设A 、B 两人的速度一定其比为3∶1问A 、B 两人在何处相遇？【解】由题意以村中心为原点正东方向为x轴的正方向正北为y轴的正方向建立直角坐标系设A、B两人的速度分别为3v km/h v km/h设A出发a h在P处改变方向又经过b h到达相遇点Q则|PQ|＝3b v|OP|＝3a v|OQ|＝(a＋b)v则P(3a v0)Q(0(a＋b)v)在Rt△OPQ中由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4bk PQ＝0－v(a＋b)3a v－0∴k PQ＝－34设直线PQ的方程为y＝－34x＋c(c>0)由PQ与圆x2＋y2＝9相切得|4c|42＋32＝3解得c＝154故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修2第四章模块综合评价
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆，下面是个正方形)，则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )图① (1) (2) (3) (4)A ．(1)(3)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4)解析：由该几何体的正视图和侧视图，可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球，也可以是一个圆柱上面放着一个球，则其俯视图可以为(1)(3)．答案：A2．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3，2)，B (－a ，1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝ ( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：由题意知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a＝－1，所以a ＝－4，又l 1∥l 2，所以－2b ＝－1，所以b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为12π×22×4＋2×2×4＝16＋8π.答案：A4．已知点Q是点P(3，4，5)在平面xOy上的射影，则线段PQ 的长等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：由题意，得Q(3，4，0)，故线段PQ的长为5.答案：D5．如图①所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，那么，在四面体A-EFH中必有()图①图②A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：折成的四面体中有AH⊥EH，AH⊥FH，所以AH⊥面HEF.答案：A6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4 2C．6 D．210解析：由题设得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C 的圆心为(2，1)，半径为2，因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.答案：C7．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为() A．27πB．18πC．9πD．54π解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a2＝54，所以a＝3.又因为2r ＝3a所以r ＝32a ＝332， 所以S 表＝4πr 2＝4π×274＝27π. 答案：A 8.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：V B ′ABC ＝13·S △ABC ·h ＝13×34×3＝34. 答案：D9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4，6)B ．[4，6)C ．(4，6]D ．[4，6]解析：因为圆心到直线的距离为|12＋15－2|42＋（－3）2＝5，所以半径r 的取值范围是(4，6)．答案：A10．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12. 答案：B11．在四面体A -BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，因为AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .因为AH ⊥平面BCD ，所以AH ⊥CD ，AB ∩AH ＝A ，所以CD ⊥平面ABH ，所以CD ⊥BH .同理可证CH ⊥BD ，DH ⊥BC ，则H 是△BCD 的垂心．答案：A12.如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：将其还原成正方体ABCD -PQRS ，连接SC ，AS ，则PB ∥SC ，所以∠ACS (或其补角)是PB 与AC 所成的角．因为△ACS 为正三角形，所以∠ACS ＝60°，所以PB 与AC 所成的角是60°.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是________．解析：|OP |的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2. 答案：2214．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线， 故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：215．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π(3)2＝12π.答案：12π16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a、b异面，b、c异面．则a、c可能导面、相交、平行，故②错．由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面、平行，故③错．同理④错，故真命题个数为0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°. 在Rt△BCC1中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝33×6＝18 3.18．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝12(2πa)·(2a)＝2πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝2πa2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)分别沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ |＝|AP |2＋|AQ |2＝（2a ）2＋（πa ）2＝a 4＋π2. 所以P ，Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a 4＋π2.19．(本小题满分12分)如图，已知在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为2x －y －2＝0，点C (2，0)．求：(1)直线CD 的方程；(2)AB 边上的高CE 所在直线的方程．解：(1)因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，所以k CD ＝k AB ＝2.故CD 的方程为y ＝2(x －2)，即2x －y －4＝0.(2)因为CE ⊥AB ，所以k CE ＝－1k AB ＝－12. 所以直线CE 的方程为y ＝－12(x －2)， 即x ＋2y －2＝0.20．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)(2015·北京卷)如图所示，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于13OC·S△VAB＝3 3.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3 3.22．(本小题满分12分)已知圆C过点A(1，2)和B(1，10)，且与直线x－2y－1＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)设P为圆C上的任意一点，定点Q(－3，－6)，当点P在圆C 上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．解：(1)圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a，6)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2，由点B在圆上得：(1－a)2＋(10－6)2＝r2，又圆C与直线x－2y－1＝0相切，则r＝|a－13|5.于是(a －1)2＋16＝（a －13）25， 解得：a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.(2)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，由M 为PQ 的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 0－32，y ＝y 0－62， 即：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋3，y 0＝2y ＋6， 又点P (x 0，y 0)在圆C 上，若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20，有：(x 0－3)2＋(y 0－6)2＝20，则(2x ＋3－3)2＋(2y ＋6－6)2＝20，整理得：x 2＋y 2＝5，此时点M 的轨迹方程为：x 2＋y 2＝5.若圆C 的方程为(x ＋7)2＋(y －6)2＝80，有：(x 0＋7)2＋(y 0－6)2＝80，则(2x ＋3＋7)2＋(2y ＋6－6)2＝80，整理得：(x ＋5)2＋y 2＝20，此时点M 的轨迹方程为：(x ＋5)2＋y 2＝20.综上所述：点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，或(x ＋5)2＋y 2＝20.。
【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 综合质量评估(附答案)
综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选 A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A.错误！未找到引用源。
B.3错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选A.错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。
=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-错误！未找到引用源。
高一数学必修2同步教师用书：第4章章末综合测评4
由点到直线的距离公式得
|k－1＋3－ k2＋1
2k|＝
1，
解得
k＝
3 4.
故直线 l 的方程为 3x－4y＋ 6＝0.
(2)当直线 l 的斜率不存在时，其方以符合题意．
综上所述，直线 l 的方程为 3x－4y＋ 6＝ 0 或 x＝2.
[再练一题 ] 2．已知圆 C 与圆 x2＋y2－2x＝ 0 相外切，并且与直线 x＋ 3y＝0 相切于点
章末分层突破
[自我校对 ] ①(x－ a)2＋(y－ b)2＝ r2 ②x2＋ y2＋Dx＋ Ey＋F ＝ 0(D2＋E2－4F＞ 0) ③|O1O2|＞r1＋r 2 ④|O1O2|＝r1＋r 2 ⑤|r 1－ r2|＜|O1O2|＜r1＋r 2
(教师用书独具 ) 求圆的方程
求圆的方程主要是联系圆系方程、 圆的标准方程和一般方程， 利用待定系数 法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结 合圆的几何性质求解； 当已知圆上三个点时， 设圆的一般方程； 当所求圆经过直 线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．
又圆心在直线 5x－ 3y＝8 上，所以 5x0－ 3y0＝ 8.
x0－y0＝ 0，
x0＝4，
由
得
5x0 － 3y0 ＝ 8，
y0＝4，
x0＋y0＝ 0，
x0＝1，
由
得
5x0 － 3y0 ＝ 8，
y0＝－ 1，
所以圆心坐标为 (4,4)或(1，－ 1)，相应的半径为 r ＝4 或 r ＝1，故所求圆的 标准方程为 (x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋(y＋ 1)2＝1.
(2) 斜率不存在 ? 验证 【规范解答】 (1)当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 2)， 即 kx－y＋3－2k＝0. 示意图如图，作 MC⊥ AB 于 C.
新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)
高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。
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章末分层突破[自我校对]①(x－a)2＋(y－b)2＝r2②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)③|O1O2|＞r1＋r2④|O1O2|＝r1＋r2⑤|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2(教师用书独具)一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．求圆心在直线3x ＋4y －1＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0与x 2＋y 2＝5的交点的圆的方程.【精彩点拨】 解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．【规范解答】 法一：设所求圆为x 2＋y 2－x ＋y －2＋λ(x 2＋y 2－5)＝0， 化为一般式，得x 2＋y 2－11＋λx ＋11＋λy －2＋5λ1＋λ＝0.故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1＋λ，－1＋λ，代入直线3x ＋4y －1＝0，得λ＝－32.再把λ代入所设方程，得x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0.法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，得两圆的交点为A (1，－2)和B (2，－1)． 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵A ，B 在圆上，且圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线3x ＋4y －1＝0上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋D －2E ＋F ＝0，5＋2D －E ＋F ＝0，3·⎝⎛⎭⎫－D 2＋4·⎝⎛⎭⎫－E 2－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－2，F ＝－11.∴所求圆的方程是x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0. [再练一题]1．圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．【解】 设所求圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r ＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x 0－y 0＝0或x 0＋y 0＝0.又圆心在直线5x －3y ＝8上，所以5x 0－3y 0＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，5x 0－3y 0＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝4， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，5x 0－3y 0＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－1，所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r ＝4或r ＝1，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.1.置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．【精彩点拨】 分斜率存在与不存在两种情况：(1)斜率存在⇒设直线l 的方程⇒利用勾股定理⇒求k ⇒直线方程 (2)斜率不存在⇒验证【规范解答】 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0.示意图如图，作MC ⊥AB 于C .在Rt △MBC 中，|BC |＝12|AB |＝3，|MB |＝2，故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.[再练一题]2．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程．【解】 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心C (a ，b )与Q (3，－3)的连线垂直于直线x ＋3y ＝0，且斜率为 3.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2＝r ＋1，|a ＋3b |2＝r ，b ＋3a －3＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6.∴所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.1.定义法、消元法、代数法等．2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．如图4-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN ，(M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图4-1【精彩点拨】 由△PMO 1与△PNO 2均为直角三角形表示出切线长|PM |与|PN |，建立坐标系后，设出P 点坐标即可由等式|PM |＝2|PN |求出P 点的轨迹方程．【规范解答】 如图，以O 1，O 2所在直线为x 轴，线段|O 1O 2|的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)，设动点P 的坐标为(x ，y )．在Rt △PMO 1中，|PM |2＝|PO 1|2－1， 在Rt △PNO 2中，|PN |2＝|PO 2|2－1.又因为|PM |＝2|PN |，所以|PM |2＝2|PN |2，即 |PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)，即|PO 1|2＋1＝2|PO 2|2， 所以(x ＋2)2＋y 2＋1＝2[(x －2)2＋y 2]，整理得x 2＋y 2－12x ＋3＝0，即为所求点P 的轨迹方程． [再练一题]3．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.【解】 设另一端点C 的坐标为(x ，y ) .依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式， 得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线．即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)．又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4.且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))．综上，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.1.数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．2．(1)形如u ＝y －bx －b 的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离的最值问题．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x －2y 的最大值与最小值．【精彩点拨】 利用式子y －2x －1与x －2y 的几何意义求解．【规范解答】 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率．令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1,2)的圆C 的两条切线的斜率．对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34.故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34.(2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5. [再练一题]4．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋8x －6y ＋16＝0，求x ＋y 的最小值． 【解】 原方程化为 (x ＋4)2＋(y －3)2＝9， 设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，可见x ＋y 的最小值就是过圆(x ＋4)2＋(y －3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b 的最小值，此时，直线与圆相切，由点到直线的距离公式得|4－3＋b |2＝3.解得b ＝32－1或b ＝－32－1， 所以x ＋y 的最小值为－32－1.1．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 2【解析】 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋－2＝2.【答案】 C2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2 【解析】 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43.【答案】 A3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解析】 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a . 依题意，有a2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同法一． 【答案】 B4．已知a ∈R 方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．【解析】 由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.【答案】 (－2，－4) 55．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.【解析】 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 【答案】 4π。