27.2.1相似三角形判定(边边边)
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27.2.1 第2课时 相似三角形的判定定理1,2
27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理1,2在数学的奇妙世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
今天，咱们就来深入探讨一下 2721 第 2 课时中相似三角形的判定定理 1 和 2。
首先，咱们得明白啥是相似三角形。
简单说，就是形状相同但大小不一定一样的三角形。
那怎么判断两个三角形相似呢？这就用到咱们要讲的判定定理啦。
判定定理 1 说的是：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
为了更好地理解这个定理，咱们来举个例子。
比如说有三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与 A'C'的比值，而且角 A和角 A'相等。
这时候，咱们就可以断定三角形 ABC 和三角形 A'B'C'是相似的。
那这个定理有啥用呢？用处可大啦！在解决很多几何问题的时候，如果能发现两个三角形的边成比例并且夹角相等，就能很快得出它们相似的结论，进而可以利用相似三角形的性质来求解其他相关的问题。
比如说，已知一个三角形的边长和角度，又知道另一个三角形的两条边和它们的夹角，通过判定定理 1 确定它们相似，就能求出未知边的长度或者角度。
接下来，咱们再看看判定定理 2 。
它说的是：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
这个定理理解起来也不难。
比如说还是三角形 ABC 和三角形A'B'C'，AB 与 A'B'的比值、AC 与 A'C'的比值以及 BC 与 B'C'的比值都相等，那这两个三角形就是相似的。
在实际应用中，判定定理 2 能帮助我们在只知道三角形边长比例关系的情况下，迅速判断它们是否相似。
比如说，在一个复杂的图形中，给出了多个三角形的边长信息，通过计算边长的比例，就能利用判定定理 2 来找出相似的三角形，从而简化问题的解决过程。
27.2.1 相似三角形的判定--三边
D B 分析： 分析： DE∽△ △A′DE∽△A′B′C′ DE≌△ △A′DE≌△ABC C B′
E C′
} ?
△ABC∽△A′B′C′ ABC∽△
相似三角形的判定 简称：三边） 3、(简称：三边）：如果两个三角形的三组对 应边的比相等，那么这两个三角形相似. 应边的比相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定
对应角相等, 1、 对应角相等,三组对应边的比也相等的两 个三角形是相似三角形 相似三角形. 个三角形是相似三角形. A′符号语言： △ABC和△A´B´C´中， ′ 符号语言： 在 ABC和 A
∵ ∠ A = ∠ A ′, ∠ B = ∠ B ′, ∠ C = ∠ C ′ B C B′ C′
D B E C
∴△ADE∽△ABC ∽
探究： 探究：
任意画一个△ABC中 再画一个△ 任意画一个△ABC中, 再画一个△ A´B´C´, 使它 的各边长都是△ABC各边长的 各边长的k 的各边长都是△ABC各边长的k倍. 度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？ （1）度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？ ABC与 有什么关系? （2） △ABC与△ A´B´C有什么关系? A′ A
B
C B′ C′
结论：如果两个三角形的三组对应边的比 结论： 相等，那么这两个三角形相似. 相等，那么这两个三角形相似.
推理论证： 推理论证：
已知: 已知:在△ABC和△A′B′C′中 ABC和 求证: ABC∽△ 求证:△ABC∽△A′B′C′ A
AB BC AC , = = A′B′ B′C′ A′C′ A′
4cm
5cm
3cm
小结： 小结：
与同桌交流一下你这节课的收获! 与同桌交流一下你这节课的收获 相似三角形判定方法
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
符号语言：
∵ AB AC ，∠A=∠A′， A' B' A' C'
B'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C' A
B
C
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
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思考：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果
AB A' B'
AC A' C
'
，∠B=
∠B′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等.
A′ A
B
C
B′ B″
C′
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
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结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角
不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
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A
∴ AB AC . AE AD
D
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
B
∴ △ABC ∽△AED.
E C
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拓展提升
6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似.
∴ AB AC . A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
然而，我也注意到在小组讨论中，有些学生过于依赖同伴，自己思考不足。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们独立思考，提高问题解决能力。此外，对于教学难点，我可能需要设计更多有针对性的练习和解释，以帮助学生克服困难。
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
27.2.1相似三角形的判定
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
A D B
（图1）
D
“X”型
O
E
E C
B
（图2）
C
符号语言：在△ABC中
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
学以致用
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地 找出图中的相似三角形，并说明理由。 O
A F E
B D
D
C
A
E
C
学以致用
7、如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值 （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
学以致用
8、如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
相似三角形判定方法
1、三组对应边的比相等且对应角相等；
AB BC CA . AB BC CA
B
C B′
C′
∴△ABC∽△A´B´C´ 2、相似三角形的性质：对应角相等,对应边的比也相等 3、相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比
AB BC AC △ABC与△A´B´C´相似比为k,即 DE EF DF k 1 k1 两三角形相似 则△A´B´C´与△ABC相似比为 k k=1 两三角形全等
如何不通过测量，运用所学知识，快速将 一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3?
A
B C BI CI DI EI FI
则
ACI
CIFI
2
D E F
3
27.2.1相似三角形的判定(第二课时边边边)
E
A' DE ∽ A' B' C '
A' D DE A' E ∴ A' B' B' C ' A' C '
又
B'
A' E AC ∴ A' C ' A' C '
AB BC AC , A' D AB A' B' B' C ' A' C ' ∴ A' E AC 同理 DE BC
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另 一个三角形框架的一边长为2，它的另外两 条边长应当是多少？你有几种答案？
提示：三种选法，分别使另一个三角形的长
为2的边与长为4，6，8的边对应。
2:4=x:6=y:8 x:4=2:6=y:8 x:4=y:6=2:8
小结：
A B C ∽ A B C
1 1 1 2 2 2
AB BC AC 如图, 已知 ,求证：∠BAD=∠CAE. AD DE AE
A
AB BC AC 证明 : AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE
∴∠BAC=∠DAE
B
E
D
C
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∴
C'
A' DE ABC
∴
ABC ∽ A' B' C '
A’
A
B
C
B’
C’
三角形相似的判定定理1：如果两个三角形
的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 人教版九年级数学下册课件
问题：如图，某地四个乡镇A、B、C、D之间建有公路，已知AB = 14 千米， AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，BC= 42 千米，公路AB 与CD平行吗？说出你的理由.
问题探索：(1)题目给出的五个数据结合图形可联想到什么？
D
△ABD∽△BDC，理由：三角形相似的判定定理1
当堂检测
课堂总结
归纳总结
利用三边对应成比例判断三角形相似的步骤： 1.首先按照从小到大的顺序找出对应边； 2.分别计算小、中、大三组对应边长度的比； 3.最后看三个比值是否相等，相等则相似.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
活动2：探究“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”
如图，在△ABC与△A1B1C1中，已知∠A= ∠A1, 求证：△ABC∽△A1B1C1
问题探索：∵AB=14，AD=28，BD=21，DC=31.5，BC=42
AD BD AB 2 , BC CD BD 3
28 A
∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC， 14
∴AB∥DC.
B
D
31.5 21
42
C
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
练一练
C
1.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 利用三边关系、两边
及夹角判定两三角形相似
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 2.掌握“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理，会根 据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
27.2.1 相似三角形的判定 人教版九年级数学下册教学课件
边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，
AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的
判定方法呢？
互动新授
人教版数学九年级下册
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交
的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段
AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
3
3
BD
BD
则
，
.
4
7
DF
BF
3.直线 a // b // c ，若AC=4，CE=6，
15
则BD=3 ，BF= 2 .
人教版数学九年级下册
课堂检测
人教版数学九年级下册
4.如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA上，
DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm，EC＝10 cm，FA－FC＝3 cm，
求FC 的长．
课堂检测
人教版数学九年级下册
解：∵DE∥AC，BE＝6 cm，EC＝10 cm，
BD BE
6 3
.
∴
DA EC 10 5
∵DF∥BC，
CF BD 3
.
FA DA 5
∴
∵FA－FC＝3 cm，∴FA＝FC＋3 cm.
∴ CF 3 .
FC 3
5
∴CF＝4.5 cm.
“A”字型
“X”字型.
课后作业
人教版数学九年级下册
1.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ B ）
A．EG=4GC
B．EG=3GC
AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的
判定方法呢？
互动新授
人教版数学九年级下册
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交
的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段
AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
3
3
BD
BD
则
，
.
4
7
DF
BF
3.直线 a // b // c ，若AC=4，CE=6，
15
则BD=3 ，BF= 2 .
人教版数学九年级下册
课堂检测
人教版数学九年级下册
4.如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA上，
DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm，EC＝10 cm，FA－FC＝3 cm，
求FC 的长．
课堂检测
人教版数学九年级下册
解：∵DE∥AC，BE＝6 cm，EC＝10 cm，
BD BE
6 3
.
∴
DA EC 10 5
∵DF∥BC，
CF BD 3
.
FA DA 5
∴
∵FA－FC＝3 cm，∴FA＝FC＋3 cm.
∴ CF 3 .
FC 3
5
∴CF＝4.5 cm.
“A”字型
“X”字型.
课后作业
人教版数学九年级下册
1.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ B ）
A．EG=4GC
B．EG=3GC
27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题；
4.通过实际操作和例题分析，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
本节课将结合实际例题，引导学生掌握相似三角形的判定方法，并运用到解决具体问题中。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和分析相似三角形的特征，提升对几何图形的理解和感知；
举例：
在讲解AA判定法时，重点强调两个角相等即可判定三角形相似，例如：已知∠ABC=∠DEF，且∠BAC=∠EDF，证明ΔABC∼ΔDEF。
2.教学难点
-理解并区分AA、SSS、SAS判定法的适用条件，学生容易混淆。
-在实际问题中，学生难以识别哪些信息是关键的，以及如何运用相似三角形的判定方法。
-熟练进行几何证明，学生可能对证明步骤和逻辑推理过程感到困惑。
-难点三：在几何证明过程中，学生可能忽略证明步骤的逻辑顺序。教师应提供清晰的证明框架，如先证明两个角相等，再证明两三角形相似，最后得出对应边成比例的结论。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个三角形看起来很相似，但不知道如何证明的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形判定的奥秘。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题；
4.通过实际操作和例题分析，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
本节课将结合实际例题，引导学生掌握相似三角形的判定方法，并运用到解决具体问题中。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和分析相似三角形的特征，提升对几何图形的理解和感知；
举例：
在讲解AA判定法时，重点强调两个角相等即可判定三角形相似，例如：已知∠ABC=∠DEF，且∠BAC=∠EDF，证明ΔABC∼ΔDEF。
2.教学难点
-理解并区分AA、SSS、SAS判定法的适用条件，学生容易混淆。
-在实际问题中，学生难以识别哪些信息是关键的，以及如何运用相似三角形的判定方法。
-熟练进行几何证明，学生可能对证明步骤和逻辑推理过程感到困惑。
-难点三：在几何证明过程中，学生可能忽略证明步骤的逻辑顺序。教师应提供清晰的证明框架，如先证明两个角相等，再证明两三角形相似，最后得出对应边成比例的结论。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个三角形看起来很相似，但不知道如何证明的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形判定的奥秘。
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根据下列条件， 例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’ 根据下列条件 判断△ 与 是否相似，并说明理由． 是否相似，并说明理由． AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
2.图中的两个三角形是否相似? 2.图中的两个三角形是否相似? 图中的两个三角形是否相似
′ ′ ′ ′ ′ ′ 又 AB = AC = BC AB AC BC
AB AB
DE B′C ′ EA C ′A′ = , = BC BC CA CA
AD AE DE = = AB AC BC
B`
C`
A
D
E
∴
.
因此 DE = B′C ′, EA = C ′A′ . ∴△ADE≌△A′B′C ′ ≌ ∴△ A′B′C ′ ∽△ABC
要作两个形状相同的三角形框架, 要作两个形状相同的三角形框架,其中 一个三角形的三边的长分别为4 一个三角形的三边的长分别为4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为2, 2,怎样 另一个三角形框架的一边长为2,怎样 选料可使这两个三角形相似? 选料可使这两个三角形相似? ①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
求证:△ 求证 △ABC∽△A`B`C` ∽
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, 证明: ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A 的边AB(或延长线 过点D DE∥BC交AC于点 于点E. 过点D作DE∥BC交AC于点E. ∴ △ADE∽△ABC , ∴ ADE∽△ ∵ AD = A′B′,∴ AD = A′B′
A
4
50° °
3.2 3.2 C G E
2
50° °
D 1.6 F
B
判断图中△AEB和 FEC是否相似？ 判断图中△AEB和△FEC是否相似？ 是否相似
AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
A
45 1 E 36 F ∴ AE ＝ BE 2 54 30 FE CE ∠1＝ ∠1 C ∵∠1＝∠2
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么 位置才能使△ 相似呢？ 位置才能使△ADE△ABC相似呢？ 此时， 此时， C AD 1 AE 1 =？ =？ ？ AB 3 AC 3
B D A
E
行 = A A
2.图中的两个三角形是否相似? 2.图中的两个三角形是否相似? 图中的两个三角形是否相似
D E F B G H I C
三边对应成比例
A
A’
B’
B
C
C’
A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC 是否有△ 是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ 已知 如图△ABC和△A`B`C`中 如图 和 中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ 求证 △ABC∽△A`B`C` ∽
B C
A
A’
C
B
A'B' B'C'果一个三角形的三组对应边的 比相等,那么这两个三角形相似 那么这两个三角形相似. 比相等 那么这两个三角形相似
C’ △ABC∽△A’B’C’ ∽
B’
简单地说: 简单地说: 三边对应成比例,两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似.
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∥ ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
练习： 练习：
1.如图，在△ABC中， 如图， 如图 中 DG∥EH∥FI∥BC， △ADG∽△AEH∽△ ∥ ∥ ∥ ， ADG∽△AEH∽△
AFI∽△ AFI∽△ABC
（1）请找出图中所有的相似三角形； ）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果 ）如果AD=1，DB=3，那么 ， ，那么DG： ： A BC=_____。 。 1：4
如图在正方形网格上有△Ａ1Ｂ A2 B2 和△ 如图在正方形网格上有△1C1和∆1Ｃ1C2， Ａ 如图在正方形网格上有∆A1B 它们相似吗？如果相似， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求出相 似比；如果不相似，请说明理由。 似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
答案是2:1 答案是
AB BC AC = = , 试说明 1.如图已知 如图已知, 1.如图已知, AD DE AE
∠BAD=∠CAE.
AB BC AC 解∵ = = AD DE AE
A
E C
D ∴ΔABC∽ΔADE ABC∽ΔADE ∽Δ B ∴∠BAC= BAC=∠ ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC= DAE━∠ BAC━∠DAC=∠ ━∠DAC ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
B D A
已知:如图△ 已知 如图△ABC和△A`B`C`中 如图 和 中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ 求证 △ABC∽△A`B`C` ∽
A`
C`
E
C
类似于判定三角形全等的方法， 类似于判定三角形全等的方法， 两边和夹角来判断两个 我们能通过两边和夹角 我们能通过两边和夹角来判断两个 三角形相似呢？ 三角形相似呢？
成比例 的两个三角形 1. 对应角 相等 对应边——————的两个三角形, 对应角_______, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 。 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。 3.如何识别两三角形是否相似? 3.如何识别两三角形是否相似? 如何识别两三角形是否相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A`
证明: 证明:在△ABC的边AB(或延 ABC的边AB(或延 的边AB( 长线)上截取AD=A`B`, 长线)上截取AD=A`B`,
B` A
C`
过点D DE∥BC交 过点D作DE∥BC交 AC于点 于点E. AC于点E.
B
D
E
C
A′B′ A′C ′ B′C ′ = = 已知:如图 如图△ 已知 如图△ABC和△ A′B′C ′ 中, 和 AB AC BC
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
∴△AEB∽△FEC
AE=AD•AC 1=∠2， 2如图，AB•AE=AD AC，且∠1=∠2， 如图，AB AE=AD AC， 求证： ABC∽△AED． 求证：△ABC∽△AED．
A 1 D B 2 E C
已知：如图，在正方形ABCD中 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上 ABCD BC上 的点， BP=3PC， CD的中点.ΔADQ与 的中点.ΔADQ 的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似 为什么？ 是否相似？ ΔQCP是否相似？为什么？
4 5
6 2
证明: ABC的边AB(或延长线 上截取AD=A`B`, 的边AB(或延长线) 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`, B` 过点D作DE∥BC交AC于点E. 过点D DE∥BC交AC于点E. 于点 ADE∽△ ∴ △ADE∽△ABC ，AD:AB=AE:AC=DE:BC, ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA. 因此DE=B`C`,EA=C`A`. 因此DE=B`C`,EA=C`A`. ADE≌ ∴△ADE≌△A`B`C` A`B`C`∽△ ∴△A`B`C`∽△ABC