1.2.3相似三角形的判定3(三边对应成比例)
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连线为边的三角形叫做格点三角形，如图， △ ABC 和 △DEC是两个格点三角形。
（１） △ABC与△DEC相似吗？为什么？
（２）在图中右侧的网格中画一个格点三角形MNP,使 △MNP ∽ △ABC,并且对应边的比等于 。
D
E
M
B
A
C
N
P
判定三角 形相似的 方法
定义 判定方法１ 判定方法２ 判定方法３
第1章 图形的相似
一、知识回顾:
定义
判定方法
全等 三角 形
相似 三角 形
三角、三边对应 角边角 角角边 边角边 边边边 相等的两个三角 （ASA） （AAS） （SAS） （SSS） 形全等。
三角对应相等， 三边对应成比例 的两个三角形相 似。
有两角对应相 等的两三角形 相似（AA）
？ 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
回答下面的问题：
A 4 cm
6cm
(1)分别计算 A' B' , B，' C' , A' C'
AB BC AC
这三个比值相等吗？
(2)剪下画出的三角形,利用叠合的方法,
检验对应内角之间具有怎样的大小关系?
B
8 cm
A'
2 cm
3cm
B' 4 cm C'
C
(3)△ABC与△A'B'C' 相似吗?为什么?
8
6
△ABC∽△DEF
DE=6，EF=8，DF=12
F
12
E
DE=6，EF=12，DF=△8 ABC∽ △EDF
(3)AB=3，BC=4，AC=6；方法总结：把每个三角形的三
DE=6，EF=9，DF=12
边按大小顺序依次排列，然后 比较它们对应的比值是否相等
不相似
例1：如图已知
AB BC AC AD DE AE
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵ AB 14 2 BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2
DC 31.5 3
AB AD BD BD BC DC
∴ △ABD∽△BDC, ∴ ∠ABD=∠BDC
∴ AB∥DC
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' = B'C' = A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
实验与探究Biblioteka Baidu
在纸上画两个三角形△ABC 和 △A'B'C' ,使AB =4厘米， AC =6厘
米， BC =8厘米，A'B' =2厘米， A'C' =3厘米 ，B'C' =4厘米.
C
符号语言：
在△ABC与△DEF 中
∵
A
F B AB BC CA
DE EF FD
∴ △ABC ∽△ DEF
D
E
根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个
三角形是否相似。
B
(1)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF
4 C
3 6A
DE=6，EF=8，DF=12
D
(2)AB=3，BC=4，AC=6；
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
你有哪些收获？ 还有什么疑问吗？
求证:△ABC∽△A`B`C`
AB AC BC A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
已知:如图△ABC和△A`B`C`中
A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
A`
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延
B` A
C`
长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交 AC于点E.
D
E
B
C
已知:如图△ABC和△ ABC 中, AB AC BC
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
C` E
C
判定方法3 ：如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简记为：三边对应成比例的两个三角形相似.
AC 1 AC 3
∴ ABC ∽ ABC （ SSS ）
（三边对应成比例，两三角形相似）
2.如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8,
DE=10,则当DF=_1_6__,EF=_2_4__时,△ABC∽△DEF.
A
5
8
D
10
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
，并说明你的理由.
.找出图中相等的角
解：在ΔABC 和ΔADE 中，
A
AB BC AC AD DE AE
∴ ΔABC∽ΔADE .
E
B
C
D
∴∠BAC =∠DAE , ∠B =∠D , ∠C = ∠E .
例1中还有相等的角吗？
∠BAD =∠CAE
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
巩固练习：
1、根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由 AB=4 cm，BC=6cm，AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm，A’C’=24cm.
解：∵ AB 1
BC
1
AB 3 BC 3
∴
AB BC AC . AB BC AC
A
P
B
C
D
5、如图,O为△ABC内一点，D、E、F分别 是OA、OB、OC中点。 求证：△ABC∽△DEF
A
D
A 1
2
D E
O
E B
F C
B
C
AB AC BC
6.如图，AD = AE = DE , 求证：∠1=∠2.
7、在直角梯形BACD中,AC⊥CD,AC=CD=4AB, E 是AC中点.求证:△ABE∽△CED
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
B C
F
D
E
4.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD 下列结论正确的是（ C ） A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
如果改变 △ABC与△DEF的边长，并保持 A' B' B' C' A' C' AB BC AC
，还能得到同样的结论吗？
验 证
A' A
B'
A' BC''
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
∠A'＝∠A C' ∠B' =∠B
△A'B'C' ∽△ABC
△A'B'C' ∽△ABC
A
B
E
C
D
8.要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三 角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形 框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形 相似?这个问题有其他答案吗?
①4:2=5:x =6:y ②4:x=5:2 =6:y ③4:x=5:y =6:2
4
5
6 2
方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的
（１） △ABC与△DEC相似吗？为什么？
（２）在图中右侧的网格中画一个格点三角形MNP,使 △MNP ∽ △ABC,并且对应边的比等于 。
D
E
M
B
A
C
N
P
判定三角 形相似的 方法
定义 判定方法１ 判定方法２ 判定方法３
第1章 图形的相似
一、知识回顾:
定义
判定方法
全等 三角 形
相似 三角 形
三角、三边对应 角边角 角角边 边角边 边边边 相等的两个三角 （ASA） （AAS） （SAS） （SSS） 形全等。
三角对应相等， 三边对应成比例 的两个三角形相 似。
有两角对应相 等的两三角形 相似（AA）
？ 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
回答下面的问题：
A 4 cm
6cm
(1)分别计算 A' B' , B，' C' , A' C'
AB BC AC
这三个比值相等吗？
(2)剪下画出的三角形,利用叠合的方法,
检验对应内角之间具有怎样的大小关系?
B
8 cm
A'
2 cm
3cm
B' 4 cm C'
C
(3)△ABC与△A'B'C' 相似吗?为什么?
8
6
△ABC∽△DEF
DE=6，EF=8，DF=12
F
12
E
DE=6，EF=12，DF=△8 ABC∽ △EDF
(3)AB=3，BC=4，AC=6；方法总结：把每个三角形的三
DE=6，EF=9，DF=12
边按大小顺序依次排列，然后 比较它们对应的比值是否相等
不相似
例1：如图已知
AB BC AC AD DE AE
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵ AB 14 2 BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2
DC 31.5 3
AB AD BD BD BC DC
∴ △ABD∽△BDC, ∴ ∠ABD=∠BDC
∴ AB∥DC
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' = B'C' = A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
实验与探究Biblioteka Baidu
在纸上画两个三角形△ABC 和 △A'B'C' ,使AB =4厘米， AC =6厘
米， BC =8厘米，A'B' =2厘米， A'C' =3厘米 ，B'C' =4厘米.
C
符号语言：
在△ABC与△DEF 中
∵
A
F B AB BC CA
DE EF FD
∴ △ABC ∽△ DEF
D
E
根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个
三角形是否相似。
B
(1)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF
4 C
3 6A
DE=6，EF=8，DF=12
D
(2)AB=3，BC=4，AC=6；
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
你有哪些收获？ 还有什么疑问吗？
求证:△ABC∽△A`B`C`
AB AC BC A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
已知:如图△ABC和△A`B`C`中
A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
A`
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延
B` A
C`
长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交 AC于点E.
D
E
B
C
已知:如图△ABC和△ ABC 中, AB AC BC
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
C` E
C
判定方法3 ：如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简记为：三边对应成比例的两个三角形相似.
AC 1 AC 3
∴ ABC ∽ ABC （ SSS ）
（三边对应成比例，两三角形相似）
2.如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8,
DE=10,则当DF=_1_6__,EF=_2_4__时,△ABC∽△DEF.
A
5
8
D
10
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
，并说明你的理由.
.找出图中相等的角
解：在ΔABC 和ΔADE 中，
A
AB BC AC AD DE AE
∴ ΔABC∽ΔADE .
E
B
C
D
∴∠BAC =∠DAE , ∠B =∠D , ∠C = ∠E .
例1中还有相等的角吗？
∠BAD =∠CAE
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
巩固练习：
1、根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由 AB=4 cm，BC=6cm，AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm，A’C’=24cm.
解：∵ AB 1
BC
1
AB 3 BC 3
∴
AB BC AC . AB BC AC
A
P
B
C
D
5、如图,O为△ABC内一点，D、E、F分别 是OA、OB、OC中点。 求证：△ABC∽△DEF
A
D
A 1
2
D E
O
E B
F C
B
C
AB AC BC
6.如图，AD = AE = DE , 求证：∠1=∠2.
7、在直角梯形BACD中,AC⊥CD,AC=CD=4AB, E 是AC中点.求证:△ABE∽△CED
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
B C
F
D
E
4.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD 下列结论正确的是（ C ） A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
如果改变 △ABC与△DEF的边长，并保持 A' B' B' C' A' C' AB BC AC
，还能得到同样的结论吗？
验 证
A' A
B'
A' BC''
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
∠A'＝∠A C' ∠B' =∠B
△A'B'C' ∽△ABC
△A'B'C' ∽△ABC
A
B
E
C
D
8.要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三 角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形 框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形 相似?这个问题有其他答案吗?
①4:2=5:x =6:y ②4:x=5:2 =6:y ③4:x=5:y =6:2
4
5
6 2
方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的