高等代数对中学代数的指导作用
浅谈高等代数在中学的应用
浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师:卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse。
In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school st udents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。
This paper is d ivided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary m athematics。
浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用
ｉｕ ｔａ ｅ ｈａ ｈ ｉ ｒ ｖｎｇ ｅｆ ｃ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｏ ｉｄ ｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍａｉｓ ｔａ ｈ ｎ ．ｕｒｈ ｒ ｒ ， ｉ ｐ ｐ ｒ ｌ ｓｒ ｔｄ ｔ ｔｔ ｅ ｍｐ ｏ ｉ ｆｅ ｔｏ ｉｈｅ ｌ ｅ ｒ ｎ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔｃ ｅ ｃ ｉ ｇＦ ｔ ｅ ｍｏ ｅｔ ｓ ａ ｅ ｌ ｈ
Ａｂ ｔａ ｔＢ ｎ ｌｚｎ ｈ ｏ ｎ ｃｉｎ ｏ ｉｈｅ ｌｅ ｒ ｏ ｏ ｍａ ｏ ｌｇ ｎ ｉ ｄｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍ ａｉｓｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｓｒ ｃ ： ｙ ａ ａｙ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｆ ｒｎ ｒ ｌｃ ｌ ｅ ａ ｄ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔ ， ｓ ａ ｅ ｏ ｅ ｃ ｈ
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲适用专业数学与应用数学（师范）、数学与应用数学总学时 168学分 10一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用高等代数是数学与应用数学专业（师范）、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。
本课程的教学目的是使学生初步驾驭基本的、系统的代数学问和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等供应必需具备的代数学问，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所须要的抽象思维实力供应肯定的训练。
高等代数课程是中学代数的接着和提高。
通过本课程的教学，要使学生加深对中学代数的理解。
本课程在教学中要求学生准确理解高等代数中的基本概念，不仅要正确驾驭这些概念的内涵，还要了解这些概念的实际背景。
对于一些基本的重要概念，还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有干脆联系或者平行的概念，要求学生能与中学数学中相应概念加以比较，以确立较高的观点。
对于高等代数中的基本理论，要求学生驾驭基本理论的结果，对于典型定理还要求驾驭论证方法或思想，同时要求学生能了解严谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。
通过本课程的教学，要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的实力；较好地驾驭基本的论证方法与基本的计算方法，特殊要驾驭基本的线性代数计算法。
（二）本大纲制订的依据依据本专业人才的培育目标所须要的基本理论和基本技能的要求，依据本课程的教学性质、条件和教学实践而制定。
（三）大纲内容选编原则与要求1．本大纲所列各单元讲授依次与北京高校数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教化出版社其次版）所列基本相同，讲授时可依据详细状况作适当调整。
2．为了避开教学上的难点过于集中，有些定理的驾驭可以侧重于定理的结果和证明定理的方法，以达到驾驭基本的代数方法的目的。
3．每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（习题课、作业、问题探讨）以达到驾驭高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的实力的目的。
数学专业毕业论文选题 (1)
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
高等代数对中学代数的指导作用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的----- 开普勒数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。
----陈省身初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步线性代数课本、多项式代数。
代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
浅析高等代数与中学数学的关联
浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。
高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。
关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。
它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。
在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。
不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。
为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。
通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。
在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。
这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。
一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。
高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。
接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。
高等代数方法在中学数学中的应用
a + b − a 2 − b 2 + a b = −1 。
xA + xB 2
2k 2 +1
p 、y H =
由 CH = AH 可得 x C =
2 x2 A + yA 2 2 + yB xB 2 xC
4k 2 + 2 k2
p 。代入计算可得：
xA xB xC 0
yA 1 yB 1
0 0 1 1
x=2p。
当然，利用上述结论证明该题运算比较烦琐，要求 对行列式的计算很熟练，但方法简单、思路清晰且易于 掌握。
图1
分析：设圆 H 交 x 轴于点 C ，只需证 O 、 A 、 C 、
B 四点共圆方可。而这四点的坐标容易求出，从而可用
2．利用齐次线性方程组的解的理论解应用题
我们知道，齐次线性方程组
上述结论证明。至于第二问，求出其半径表达式，讨论 方可。 证明：依题意，设直线 AB 的方程为 y = k ( x − 2 p )
2 2 xH + yH =
两点 A 、 B ，以线段 AB 为直径做圆 H （ H 为圆心） ， 试证明抛物线的顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面 积最小时直线 AB 的方程。
y
4+ 4k 2 + 2 k4 p， 故要使
B
只需 k → ∞ ， 此时直线 AB 的方程为： 圆 H 的面积最小，
H o A Q C x
(x1 + x 2 + " + x n )2 ≥ 4 ( x1 x 2 + x 2 x 3 + " + x n x1 ) ，
结论得证。 例 6 （参考文献[5]113 页第 14 题） 已知 x, y, z ∈ R ，
陈盛高等代数在中学数学解题中的应用
高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 101301028 陈盛指导教师黄坤阳讲师【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。
将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。
本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。
【关键词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen ShengInstructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】: the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】: determinant; matrix; linear equations引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。
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高等代数对中学代数的指导作用摘要：高等代数与中学代数有着不可分割的关系，相辅相成，高等代数对中学代数既是加深与拓展，也是继续和提高，是一种阶梯式的跨越。
本文通过代数的发展史、现今数学教育教学上的新要求和新改革，探讨了高等代数与中学代数之间的关系，以及高等代数本身的特点，研究了高等代数对中学代数的指导作用；同时，通过高等代数在中学代数中的应用，进一步进行阐述其指导意义、作用。
关键词：高等代数；中学代数；指导作用；应用Higher Algebra guidance to high school algebra Abstract:Advanced algebra and high school algebra are closely and complementarey connected, Algebra middle school algebra is to deepen and expand, but also continue to improve by leaps and bounds as a ladder. In this paper, the history of algebra, math teaching today's new demands and new reform of the higher algebra and the relationship between high school algebra and advanced algebra own characteristics, research on high school algebra, advanced algebra guidance; the same time through advanced algebra in high school algebra, further elaborate its significance, role.Key words:advanced algebra; middle school algebra; guide; application目录引言 (1)1 高等代数对中学代数的指导作用的意义 (2)1.1 代数的发展史 (2)1.2 高等代数与中学数学教育的教育目标 (4)1.3 数学教育教学的新革 (6)2 高等代数与中学代数的关系 (7)2.1 高等代数与中学代数之间的联系 (7)2.1.1 高等代数与中学代数的统一性 (7)2.1.2 高等代数与中学代数的连贯性 (8)2.1.3 从中学代数到高等代数研究对象与方法的发展 (9)2.1.4 从中学代数到高等代数数学观的发展 (10)2.2 高等代数与中学代数之间的区别 (10)3 高等代数对中学代数的指导 (12)3.1 高等代数数学思维的特点 (12)3.1.1 广阔性 (12)3.1.2 目的性 (14)3.2 高等代数在中学代数中的应用 (15)3.2.1 向量线性关系的几何意义 (15)3.2.2 Cauchy 不等式的应用 (15)3.2.3 抛物线相似的问题 (16)3.2.4 利用行列式知识证明四点共圆问题 (17)3.2.5 利用矩阵求最大公因式 (18)3.2.6 因式分解的理论依据 (19)3.2.7 线性方程组理论的应用 (19)3.2.8 二次型理论与多元二次多项式的因式分解问题 (20)3.2.9 欧式空间的中学模型 (21)3.2.10 矩阵与几何变换 (21)3.2.11 中学数学的“关系”题 (21)4 结束语 (23)致谢 (23)参考文献 (24)引言在我国高等师范院校中，多数专业所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深和拓广，惟数学专业例外。
在数学专业课程里，除微积分外，多数课程与中学数学在研究对象和研究方法两方面都有着本质的不同。
以高等代数为例，高等代数抽象化、形式化的思想和符号化的表述使其对于中学数学，不是一种螺旋式的深入，而是一种阶梯式的跨越．这就使得高等代数在表面上与中学数学严重脱节，学生面对高等代数时，已有的知识结构、思维结构几乎无法得以正向迁移，学生必须从两个相对断裂的侧面去体会、去领悟、去学习，学习压力之大可想而知。
更重要的是，由于高等代数与中学数学在学生眼里成了两个相互断裂的层面，多数学生认为，高等代数与其日后的中学数学教学联系不上，即使现在“居高”，将来也不能“临下”，因而学习的积极性、主动性都明显不高．如此，“学”慢而“忘”快现象普遍存在于高等代数课程的学习之中也就不足为奇了。
[]1同时，中学数学的不少知识在高等代数得到了进一步的加深和拓展，或者成为了高等代数的例子，或者为高等代数提供了模型。
中学数学知识在高等代数中的继续和提高，有效地解释了许多中学数学未能解读清楚地问题，这对于运用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学实际具现实意义的。
1 高等代数对中学代数的指导作用的意义1.1 代数的发展史数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范畴；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabala h，直译应为《还原与对消的科学》。
1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。
古希腊数学家丢番图用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》。
其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。
故有“代数学之父”的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。
发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。
[]21、算术算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。
--高斯（Gauss,1777-1855）算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。
另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。
现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。
算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。
尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。
同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
2、初等代数作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。
代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组（主要是一次方程组）；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。
初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。
第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。
第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。
第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。
数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。
公元前4世纪，古希腊人发现无理数；公元前2世纪（西汉时期），我国开始应用负数；1545年，意大利的卡尔达诺在《大术》中开始使用虚数；1614年，英国的耐普尔发明对数；17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
3、高等代数在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。
同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。
因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。
4、数论以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。
因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。
17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论（研究整系数多项式的根—“代数数”）、几何数论（研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”）。
19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。
二十世纪出现了完备的数论理论。
5、抽象代数抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
到现在为止，数学家们已经研究过200多种代数结构，其中最主要的若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。