上海市历年高考数学试题汇编：数列与极限
2013-2018年上海高考试题汇编-数列
数列（2018秋6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = 答案：14（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．答案：1（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2013年文22）已知函数，无穷数列满足，．（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．解：（1）22a =，30a =，42a =．（2）21122a a a =-=-，321222a a a =-=--．① 当102a <≤时，()31122a a a =--=，所以()22112a a =-，得11a =．② 当12a >时，()311224a a a =--=-，所以()()211142a a a -=-，得12a =去）或12a =综合①②得11a =或12a =．（3）假设这样的等差数列存在，那么212a a =-，3122a a =--．由2132a a a =+得111222a a a -+-=（*）． 以下分情况讨论：()2f x x =-{}n a 1()n n a f a +=*n N ∈10a =234,,a a a 10a >123,,a a a 1a 1a① 当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾； ② 当102a <≤时，由（*）得11a =，从而1n a = ()1,2,n =，所以{}n a 是一个等差数列；③ 当10a ≤时，则公差()2111220da a a a =-=+-=>，因此存在2m ≥使得()1212m a a m =+->．此时120m m m m d a a a a +=-=--<，矛盾．综合①②③可知，当且仅当11a =时，123,,a a a 构成等差数列．（2013理23）给定常数，定义函数．数列123,,,a a a 满足，．（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．解：（1）232,10a a c ==+．（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪=+⎨⎪---⎩,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--当n a c ≥-时，18n n a a c c +-=+>； 当4n c a c --≤<-时，()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=；当4n a c <--时，()128248n nn a a a c c c c +-=---≥-----=．0c >()24f x x c x c=++-+1()n n a f a +=*n N ∈12a c =--2a 3a *n N ∈1n n a a c +-≥1a 1a所以，对任意n N *∈，1n n a a c +-≥．方法二： 要证：24x c x c x c ++-+-≥ 24x c x c x c ++≥+++当0x c +<时，等式右边为0，不等式显然成立 当0x c +≥时，等式化为()()242x c x c ++≥+显然 （3）由（2），结合0c >得1n n a a +>，即{}n a 为无穷递增数列．又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，nac ≥-，从而，1()8n n n a f a a c +==++．由于{}n a 为等差数列，因此其公差8d c =+．① 若14a c <--，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =． 当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20naa c ≥=>-，所以，1()8n n n a f a a c +==++，而218aa c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；② 若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118aa d a c =+=++，所以，113388a c a c ++=++，得1a c =-，舍去； ③ 若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求．综上，1a 的取值集合为[){},8c c -+∞--．（2015理17）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 答案：B（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,ii a a+的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D（2016文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n N ==∈，*{|,}n B x x b n N ==∈，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；② A B =∅且*AB N =，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若2n na =且{}n a 与{}nb 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．【解】（1）因为4,4A B ∉∉，所以4A B ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以416420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802++++-+++=⨯--=． （3）设{}n a 的公差为,d d N *∈，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或2． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24na n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．（2014年理23）已知数列满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++．若1133n n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． {}n a① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,nd nd +≥-⎧⎨-≥-⎩1,2,,1n k =-．当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--．所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．（2014文23）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a（3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =．① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤．② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件．③当d <时，9998a aaa <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<．综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．（2012文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．答案：解：由，，得， 由，得，，，，，依次类推，得全体偶数项相等， 所以 （2017春21）已知函数()21log 1xf x x+=- （1）解方程()1f x =；（2）设()()1,1,1,,x a ∈-∈+∞ 证明：()11,1ax a x -∈--，且()11ax f f x f a x a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；1()1f x x=+{}n a 11a =2()n n a f a +=20102012a a =2011a a +265133+11a =2()n n a f a +=312a =579112358,,,35813a a a a ====2()n n a f a +=211n n a a +=-20102012a a =2010201220101111a a a =-=-201012a -=20082010201011a a a =-=22010a a =2011813a a +==（3）在数列{}n x 中，()11,1x ∈-，()113113n n n nx x x ++-=--，n N *∈，求1x 的取值范围，使得3n x x ≥对任意n N *∈成立答案：（1）13x =； （3）11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2016理11）无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}n a的前n项和.若对任意*∈Nn，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为______________.答案：4（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2015理22文23）已知数列{a n }与{b n }满足a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥（n ∈N *），求证：数列{b n }的第0n 项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn（n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-． 答案：（1）65n - ；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2016年理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明：必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g xx =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2013理1）计算：20lim 313n n n →∞+=+ ．答案：13（2018秋10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n N ∈），前n 项和为n S ，若11lim2n n n S a →∞+=，则q =答案：3（2017年春 8）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，则12lim nn na a a a →∞+++=______答案：32（2015理18文18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，∴ （2013文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ． 0B ．14C ． 2D ． (),n n n P x y ()2N 1nx y n n *-=∈+222x y +=1lim1n n n y x →∞-=-1-12-12n →∞21n x y n -=+21x y -=221x y +=()1,111n n y x --(),n n n P x y ()1,1222x y +=()1,11-1lim11n n n y x →∞-=--答案：D（2016理17）已知无穷等比数列}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S Snn =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a答案：B思考：1,a q 需要满足____________答案：110,0,22a q ⎛⎫⎛⎫<∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2014理8文10）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i m nn a a a a →∞=+++，则q =___知识点13：数列与函数的性质结合（2009文13）已知函数．项数为27的等差数列满足,且公差． 若，则当= ．时,．答案：14 （2015理13）已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m的最小值为 ． 答案：8（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100 答案；Cx x tan sin +{}n a ⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a 0≠d 0)()()(2721=+⋯++a f a f a f k0)(=k a f 2sin sin...sin 777n n S πππ=+++n N *∈12100,,...,S S S（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100 答案：D（2013理17）在数列{}n a 中，21n na =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i =；1,2,,12j =），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）A ．18B ． 28C ． 48D ． 63 答案：A（2018秋21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.解析：（1）1112n n nb a -=-≤，所以{}n b 与{}n a “接近”； （2）[]10,2b ∈，[]21,3b ∈，[]33,5b ∈，[]47,9b ∈，{}|,1,2,3,4i M x x b i ===元素个数34m =或；（3）2d =-时，10,1,2,,200k k b b k +-≤=，即21b b -，32b b -，…，201200b b -中没有正数；当2d >-时，存在12201,,,b b b 使得210b b ->，320b b -<，430b b ->，540b b -<…，2001990b b ->，2012000b b -<，即有100个正数，故2d >-． （2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得25sin 1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4nc n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n nd c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由； （3）设1n nc aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a q 、的取值范围．答案：（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）02a q >⎧⎨≥⎩（2017秋19）共享单车问题：每月供应量⎩⎨⎧+∞∈+-∈+=),4[47010]3,1[1554n n n n a n ，*N n ∈，每月损失量()*5N n n b n∈+=，保有量Q 为na的累计量减去n b 的累计和；（1）求第4月的保有量；（2）2(46)8800n S n =--+，记n S 为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？。
上海历年高考经典真题专题汇编数列专题
a5 a3
【答案】 17
9
【解析】 S5
3S3
5 2
a1
a5
3
3 2
a1
a3
d
4a1 ，所以 a5
17a1 ， a3
9a1 ，所以
a5 a3
17 9
6、（杨浦区 2016 届高三三模）若两整数 a 、 b 除以同一个整数 m ，所得余数相同，即 a b k (k Z ) ， m
（2）根据bn 的公差为 20
，cn 的公比为
1 3
，写出通项公式，从而可得
an
bn
cn
20n
19
35n
．
通过计算 a1
a5
82 ，
a2
48 ， a6
304 3
， a2
a6 ，即知an 不具有性质 ．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
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有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！
，
有
其中k为使 an1 为奇数的正整数. 若存在
，
当n＞m且 an 为奇数时， an 恒为常数p，则p的值为
14、（奉贤区 2016 届高三上学期期末）数列{an} 是等差数列， a2 和 a2014 是方程 5x 2 6x 1 0 的两根，则数 列{an}的前 2015 项的和为__________．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设bn 不是常数列，则存在 k ，
使得 b1 b2 bk b ，而 bk1 b ．
下面证明存在满足 an1 bn sin an 的 an ，使得 a1 a2 ak1 ，但 ak2 ak1 ．
(完整word版)2013-2018年上海高考试题汇编-数列.docx
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列
{cn}是公比为正数的等比数列，
b1c51，
b5
c181，anbn
cn判断{an}是否具有性质
P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an
1bn
sinan(n
N*).求证：“对任意a1,{an}都具有性
质P”的充要条件为“
{bn}是常数列”.
,L均是等比数列
,L均是等比数列，且公比相同
知识点6：等差数列与等比数列综合
（2016文22） 对 于 无 穷 数 列{an}与{bn}， 记A { x| xan,nN*}，
B{ x| xbn,nN*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A I B且
A U BN*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．
答案：（1）a316；（2）由于a1
a5，但a2a6，故an不具有性质P；
（3）证明：必要性： 若对于任意
a1，an
都具有性质P，则a2b1
sin a1，设函数
f x
x b1, g x
sin x,由f
x , g
x
图像可得， 对于 任意的b1，二者图像必有一个
交点，所以一定能 找到
a1，使得a1
b1
sin a1，所以a2b1sin a1a1，所以anan 1，
3
3
n
1, 2, L ,99
．
①当d
0
时，a99
a98
L
a2
a1
，所以0
d
2 a1，即
0
d
2
．
②当d
0
时，a99
a98
近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法
近五年上海高考汇编——数列与数学归纳一、填空题1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14.2.（ 2010年上海高考文12） 在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅，当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= .答案：453．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：124.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：15.（2011年上海高考文2）3lim(1)3n nn →∞-=+ 答案：2-6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0l im||n n Q P →∞= 答案：37.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .答案：878.（2012年上海高考文14）已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .答案：3+135269. (2013年上海高考理1）计算：20lim313n n n →∞+=+ ．答案：1310.（2013年上海高考理10）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ 等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差D ξ= ．答案：230d11.（2013年上海高考文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．答案：15二、选择题12.（2011年上海高考理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D13.（2012年上海高考文18）若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 答案：C14.（2012年上海高考理18）设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100答案：D15.（2013年上海高考理17）在数列{}n a 中，21n n a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i = ；1,2,,12j = ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）． A ．18 B. 28 C. 48 D. 63答案：A16.（2013年上海高考文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω= ，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）．A. 0B.14C. 2D. 22 答案：D三、解答题17.（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明. 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。
(上海版)高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编-专题05.数列、数学归纳法与极限-理(含解析)
(上海版)高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编-专题05.数列、数学归纳法与极限-理(含解析)work Information Technology Company.2020YEAR（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题05.数列、数学归纳法与极限 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．2. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如果函数x x f a log )(=的图像过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列C ．若2m n m n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 【答案】C 【解析】4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．5. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 26. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim 的数值是 ．7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++ ．二．能力题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为……………………（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054-3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 ． 4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.【答案】12n m -【解析】试题分析：依题意可得112m a -=.因为以2m 为分母组成属于集合1A 的元素为2222(1),,,m m m m m m m -⋅⋅⋅即12(1),,,m m m m-⋅⋅⋅.所有这些元素的和为1a .所以221212(1)m a a m ++⋅⋅⋅+-=-.即212212(1)m a a m ++⋅⋅⋅+-=+同理3123312(1)m a a a m ++⋅⋅⋅+-=++.…. 12312(1)n n n m a a a a m ++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+.所以可得12n a a a ⋅⋅⋅+++=12n m -.考点：1.数列的求和.2.估算的思想.3.分类讨论的数学思想.5. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】 已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】函数21(2)y x =-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是-------------------- （ ） A ．23 B ． 21C ．33D ．3三．拔高题组1. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数． （1） 求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1f i 关于i （1,2,,i n =）的表达式；（3）若()()(),111i f i i a =+-，11i i i b a a +=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n =，使得()()()121123n n S b g b g b g n =+++<，且对于任意的11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ，当n λ>时，都有n S m >．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---试题解析：（1）()()()()()=++=+=+=-2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n()()()()()() 3,2,2,122,8284816161,2,,2 =++=+=++=+=-f j f j f j f j j j j n．----（3分）132113n m +⇒+>-23log 1113n m ⎛⎫⇒>-- ⎪-⎝⎭， 令λ=23log 113m ⎛⎫-⎪-⎝⎭，则当n λ>时，都有n S m >，∴适合题设的一个等比数列为()2i g i =．------------------------------------（18分）考点：（1）等差数列的通项公式；（2）由递推公式求通项公式；（3）数列的和与不等式综合问题．2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21n n n ba c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n nbc -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．试题解析：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， …………………（１分）所以222421+=+=+=+n n n n n c c c a b ，2221+=+=+n n n n bb ac ，3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】平面直角坐标系xoy 中，已知点(,)n n a(*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥ 的图像上，点(,)n n b (*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上．（1）若点1(1,)a与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；（3）当1b =时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}|,n B x x b n N *==∈ ，设C A B =，将集合C 的元素按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c ． 【答案】（1）31n b n =-；（2）参考解析；（3）2(*)n n c a n N =∈【解析】(3)当1b =时,设0m C ∈,则0m A ∈,且0m B ∈,设0()tm a t =∈*N ,0(1)1()m a s s =++∈*N ,则(1)1ta a s =++,所以11t a s a -=+,因为,,a t s ∈*N ,且2a ≥,所以1t a -能被1a +整除.○1当1t =时,11a s a -=∉+*N ；○2当2()t n n =∈*N 时,222121[(1)1]1(1)(1)11n n n n a a a C a -=+--=++-++-,所以t a b -能被1a +整除.4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？110a = 29.5a =3a = 4a = …………12b =2b =3 3b =4b = …………【解析】试题分析：（1）由题意，数列{}n a先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数. 数列{}n b先3431316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分考点：求数列通项5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 满足n n n n n na a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1)求753a a a 、、的值；(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．试题解析：(1) n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++122(32)(32)(32)n =-+-++-233322n n =⋅--． 02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n 项和与分组求和.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）．（1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1314n n b S =+，求所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和．试题解析：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n nn n n n n n ny xy x y yx x ++++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-⎪=-⎪⎩． …………（2分）114()2n n n y y +⇒+=⋅ …………………（4分）………矩阵B 中第n 行的各数和1124444(41)3n n n n nn n s ++++=+++=-，………（15分）从而矩阵B 中的所有数之和为21216(41)9nn s s s +++=-. ………………（16分）所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和()()()22422421164144444429n n n s ⎡⎤=--+++++++⎢⎥⎣⎦232454+1645n n ++-⋅=． ………………………………………………（18分）考点：(1)直线与抛物线相交，数列的递推关系；（2）数列的通项公式；（3）分组求和.。
历届上海高考中的数列试题选(附答案)
历届上海高考中的数列试题选一. 填空题 1.（05春2） =++++∞→nn n 212lim0 .2.（06春1）计算：=+-∞→3423lim n n n ； （06，4）计算：23(1)______61lim n n n n →∞+=+。
3.（07春1）计算=++∞→)1(312lim 2n n n n ；（06，4（理））计算：1lim 33+∞→n C n n ＝ ．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++； 4.（08春2）计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ . 13（02文5）在二项式nx )31(+和nx )52(+的展开式中，各项系数之和分别记为n a 、n b ，n 是正整数，则nn n n n b a b a 432lim--∞→= 。
21（03文理3）在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .－49（08春5）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .21n a n =-5.（08春9）已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 1-. （02文11）若数列}{n a 中，211,3n n a a a ==+且（n 是正整数），则数列的通项=n a 。
123-n6.（05春9）设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列； （3）若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 （1）、（2）、（3） .（03文理8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . 10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）（03文理11）已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = 4π.7.（08春12）已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=112233a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = 1k k a a -- (2)k n ≤≤8.（05春12）已知函数2()2log xf x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005|n f a -取得最小值时，n = 110 .9.（06春12）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++10.（01春12）甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%.乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）219.01）11.（04上海春7）在数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ， 点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn 3 .12.（04上海春8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 12+-n n 个点.12312312312312312312.（04上海春12）在等差数列{}n a 中，当s r a a = ）（s r ≠时，{}n a 必定是常数数列. 然而在等比数列{}n a 中，对某些正整数s r 、）（s r ≠，当s r a a =时，非常数数列{}n a 的一个例子是 r a a a a a .)0(,,,,≠--与s 同为奇数或偶数. （说明：不指出s r 、的情况，不扣分）（04文理4）设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= .2（04文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 组.(写出所有符合要求的组号) ①、④ ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.（05理12，文16）用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
【精品】上海市近两年(2018,2019)高考数学试卷汇总以及答案(word解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为 。
2.双曲线的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示）4.设常数，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。
5.已知复数z 满足（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列的前几项和为S n ，若a 3=0，a 8+a 7=14，则S 7= 。
7.已知α∈{－2,－1,－,,1,2,3}，若幂函数为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=_____ 8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数的图像经过点、，若，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：，，+的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.41252214x y -=a R ∈117i z i +=-（）{} n a 2121()n f x x =EF ⋅1Sn 1lim 2n n a →∞+=222()(2)f x ax =+65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，236p q pq +=²²1x y +=₁₁²²1x y +=₂₂212x x y y +=₁₂₁13.设P 是椭圆+=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）2 （D ）414.已知，则“”是“”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1616.设D 是含数1的有限实数集，是定义在D 上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）（A （B （C （D ）0 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.²5x ²3y 2352a R 1a ﹥1a1﹤f x （）f x （）π61f （）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数 （1）若为偶函数，求a 的值；（2）若，求方程上的解。
2024年上海高考数学试题+答案详解
2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是 ． 二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ． 【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =， 答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ． 【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =， 故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<， 答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =， 答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ． 【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =． 答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ． 【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3， 各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。
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上海市03-08年高考数学试题汇编崇明县教研室 龚为民 卢立臻数列与极限（一）填空题1、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =__________。
（05上海理）2、计算：∞→n lim 16)1(32++n n n = .3．计算=++∞→)1(312lim2n n n n .（07上海春） 4、 计算：=+-∞→3423limn n n .(06上海春)5、=++++∞→nn n 212lim . （05上海春）6、计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ．（06上海理）7、计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ .（08上海春） 8、在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= . (03上海理) 9、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .（08上海春） 10、已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . （08上海春）11、若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . (03上海理)12、设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q ＝－21，且∞→n lim (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1)＝38，则a 1＝ .（04上海理）13、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组. (写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n为大于1的整数， S n 为{a n }的前n 项和.（04上海理） 14、已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面 积，则n n S ∞→lim = . (03上海理)15、在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a n n _____________.（04上海春季）16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
（05上海理）对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in ni i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =。
（05上海理）例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，14，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________。
（05上海理）12312312312312312317、在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列。
然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________.（04上海春季）18、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点. （04上海春季）（1） （2） （3） （4） （5）19、 设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列； 。
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（3）若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 . （05上海春）20、 已知函数2()2log xf x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当|()2005|n f a -取得最小值时，n = . （05上海春）（二）选择题21、设{})(N n a n ∈是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8，则下列结论错误的是（ ）(03上海春季)(A)d<0 (B)a 7=0 (C)S 9>S 5 (D)S 6和S 7均为S n 的最大值.22、（08上海理）若数列｛a n ｝是首项为l ，公比为a 23-的无穷等比数列，且｛a n ｝各项的和为a ，则a 的值是 [答]（ ）（A ）1. (B)2. (C).21 (D).45(三)解答题23、(03上海理) 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.24、（07上海春）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，2312c c c >+； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.① 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.② 能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.25、（08上海春）直角坐标平面xOy 上一列点()()11221,,2,,,A a A a(,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +， 判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅.26、 (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分, 第2小题满分7分. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n, a n + S n =4096. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .对数列{T n },从第几项起T n <－509? （06上海文）27、 (06上海春) 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？28、（06上海理）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值． 29、 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.0130、（05上海理）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。
预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。
另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。
那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？31、（07上海理）若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S32、(08上海理)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3 a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式；⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100 ； ⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m成等比数列当且仅当d ＝3m 。