2022年 上海交大附中自主招生数学试配套精选
上海交大附中2022年初中数学自主招生试卷
交大附中自主招生试卷第一局部 1.13x x +=-，求3311000x x ++.2.11(1)x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，假设a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，假设抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，〔12m a <<〕，y mx a =+〔1100x ≤≤〕，不经过整点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二局部〔科学素养〕1. 直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长〔写出10组〕.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第〔3〕小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-〔1〕14b =；〔2〕13b =.〔注：选〔1〕做对得10分，选〔2〕做对得20分〕3. 请用最优美的语言赞美仰晖班〔80字左右〕〔17分〕4. 附加题〔25分〕 〔2 points 〕 solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 〔4 points 〕Compute 98212n n n n ∞++++ 〔6 points 〕Solve the 2018416431x x x x x +++⋅⋅⋅++=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA 〕〔3 points 〕Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B 〕〔4points 〕Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+C 〕〔6 points 〕Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。
上海市上海交通大学附属中学2022届高三上学期开学考试数学试题 Word版含答案
交大附中高三开学考 2021.9 一. 填空题1. 若集合{||2|3}A x x =-<，集合3{|0}x B x x -=>，则A B =2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是3. 已知i 是虚数单位，则2-的平方根是4. 函数2()1f x x =+(0)x <的反函数是 5. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，i P (1,2,,16)i =是上、下底面上其余十六个点，则i AB AP ⋅(1,2,,16)i =的不同值的个数为7. 数列{}n a 满足12n n n a a a --=-(3)n ≥，15a =，其前n 项和记为nS ，若89S =，那么100S =8. 若na 是(2)nx +*(,2,)n n x ∈≥∈N R 开放式中2x项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+= 9. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕπ<，若5()28f π=， ()08f π11=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=10. 已知函数||2,1()2,1x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是11. 函数1()f x x =(0)x >绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共 得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是12. 已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为二. 选择题13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ） A.0543- B. 1024 C. 0543 D. 0543- 14. “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ ） A. 假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ B. 假如[,]x a b ∈，则()0f x < C. 假如()0f x <，则[,]x a b ∈ D. 假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线x π=对称C. 周期为2a π的周期函数D. 周期为2a π的周期函数16. 已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则22||+||PA PB 的值为（ ）A. 32149B. 32449C. 32749D. 33049三. 解答题 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1B C ⋅=，3a =，求ABC ∆的周长.19. （1）请依据对数函数()log a f x x =(1)a >来指出函数()log x g x a =(1)a >的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造. 对数可以将大数之间的乘 除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log a a a x y x y ⋅=+(0,1,,0)a a x y >≠>；（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能. 围棋简单度的上限约为3613M =，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为8010N =. 甲、乙两个同学都估算了MN 的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310. 现有两种定义：① 若实数x 、y 满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；② 若实数x 、y 、m ，且10sx =，10ty =，10um =，满足||||s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任．选取其中一种．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近M N ，并说明理由20. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n ∈*N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ；将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d .（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ；（2）求数列{}n c 的通项公式()f n ； （3）设数列{}n c 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21. 如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”.（1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：{(,)|||||1}x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.2022届交大附中高三第一学期数学摸底测试时间：120分钟满分：150分姓名：__________命题：季风、陈云鹤审题：王敏杰一、填空题（前6题，每题4分；后6题，每题5分，共54分）1、若集合{}23A x x=-<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03xxxB，则A B⋃=____R_______.2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，则该几何体的体积是_____343aπ_____.3、已知i是虚数单位，则-2的平方根是__________.4、函数2()1(0)f x x x=+<的反函数是__1)y x=>____________.5、设x、y满足约束条件2+330233030x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是_____-15__________.6、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,16)iP i =是上、下底面上其余十六个点，则(1,2,,16)iAB AP i⋅=的不同值的个数为______2______ .7、数列{}na满足12=(3)n n na a a n---≥，15a=，其前n项和记为nS，若89S=，那么100S=__3____.8、若na是()()*2,2,nx n N n x R+∈≥∈开放式中2x项的系数，则2323222lim()nnna a a→∞++⋅⋅⋅+=____8_____.9、设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则ϕ=___12π____.10、已知函数||2,1,()2, 1.x xf xx xx+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是_____[2,2]-_______.11、函数1()(0)f x xx=>绕原点逆时针旋转，每旋转15度得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是____1592______.12、已知两正实数a、b，满足4a b+=，则2211a ba b+++的最大值为_____4__________.二、选择题（每题5分，共20分）13、关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D为（ C ）8B111614（A ）0543- （B ）1024（C ）0543（D ）0543-14、“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ D ） （A ）假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ （B ）假如[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）假如()0f x <，则[,]x a b ∈ （D ）假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15、参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ C ）（A ）图像关于原点对称（B ）图像关于直线x π=对称（C ）周期为2a π的周期函数（D ）周期为2a π的周期函数16、已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22||+||PA PB 的值为（ B ）（A ）32149 （B ）32449（C ）32749（D ）33049三、解答题（14+14+14+16+18，共76分） 17（6+8）、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1211AB AD A A ===，，，（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离. 解：由于1111ABCD A B C D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ，----------4分明显B 不在平面1D AC上，于是直线1BC 平行于平面1D AC， --------2分（2）直线1BC 到平面1D AC的距离即为点B 到平面1D AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以面ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=---------3分而1AD C∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆=-----------------2分所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23．---------3分18（6+8）、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长. 解：（1）由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，---3分 依据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=.--------3分 （2）由2sin sin 13cos cos()sin sin cos cos 123cos cos 6B C A B C B C B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩--3分由余弦定理22221cos ()9322b c a A b c bcbc +-==⇒+-=------------------2分 又22=4R sin sin ()sin sin 8sin a bc B c B c A ==所以b c +=--------------------------------------2分故而三角形的周长为分 19（4+4+6）、（1）请依据对数函数()log (1)a f x x a =>来指出函数()log (1)x g x a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减C 11运算， 请证明：log ()log log (0,1,,0)a a a x y x y a a x y ⋅=+>≠>（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能.围棋简单度的上限约为M=3361，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为N=1080. 甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093.现有两种定义： (I): 若实数,x y 满足my m x ->-，则称y 比x 接近m .(II): 若实数,,x y m 且10,10,10s t ux y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m .请你任选取其中一种．．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由. （1） 解：1()log log x a g x a x ==，基本性质为： 定义域：(0,1)(1,)+∞；值域：(-,0)(0,)∞+∞；单调减区间(0,1)(1,)+∞和（推断奇偶性、周期性不予给分）-------------2分（ 渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）-------------------2分（2）证明： 设log ,log ,log ()N M N M N M a a a N x M y x a y a x y a a a N M x y +==⇒==⇒⋅==⇒+=⋅即log ()log log a a a x y x y⋅=+----------------------------------------------4分证明完毕 （3）接受定义（I ）：3617393803=lg 361lg38092.24101010M M M NN N⇒=⋅-≈⇒<<-----------------------2分而361173361173361173153lg(23)lg 2361lg3172.54173lg1023102310+10⋅=+⋅≈<=⇒⋅<⇒⋅<-------2分36136136193737393808080333210+101010101010⇒⋅<⇒-<- --------------------------1分所以甲同学的近似值更接近MN----------------------------1分接受定义（II ）：361803=lg 361lg 38092.2410MMN N⇒=⋅-≈-------------------------------------2分甲的估值107373lg1073⇒=，乙的估值109393lg1093⇒=----------------------------2分由于7393lg10-lglg10-lgM MNN >，------------------------------------------1分所以乙同学的近似值更接近MN -------------------------------------------------1分20（4+6+6）、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d ．（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{c }n 的通项公式()f n ； （3）设数列{c }n 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .解：（1）设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=-------------------2分假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，冲突，2{}n n a b ∉1分所以，21()=63n h n a n -=+ -----------------------------------------------1分（2）21323123n n n n na b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n nc a c b c a c b -----====--------------------------------2分∴ 数列{}n c 的通项公式*63(43)65(42)(),66(41)67(4)k n k k n k f n k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.-------------------4分等价形式：*36(21)()65(42),67(4)k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，*315(21)2316()(42),2314(4)2n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令4-34-24-14+++n n n n ne c c c c =，由（2）得知：{}n e 是等差数列---------------1分∴①当*4()n k k N =∈时，22412333=12334n kk n nS S e e e k k +=++⋅⋅⋅+=+=②当*4-1()n k k N =∈时，2113332=4n n n n n S S c ++++-= ③当*4-2()n k k N =∈时，22213332=4n n n n n n S S c c +++++--= ④当*4-3()n k k N =∈时，23321333=4n n n n n n nS S c c c +++++---=----------4分∴2*2*33344-3()4()=33324-14-2()4n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=∈⎪⎪⎨++⎪=∈⎪⎩，，，，--------------------1分等价形式：22*2212334122774-1()=,1221134-21215184-3k k n kk k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=⎪∈⎨+-=⎪⎪+-=⎩，，，，21（4+6+8）、如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1) 证明：1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“C 1—C 2型点”．解：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，-----------------1分过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；-------------------------3分（2） 直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必需||1k >；-------------------------3分直线y kx =与C 1有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必需212k <------------------------3分故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”． （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为Ω．1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；-------------------------1分2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是()00y y k x x -=-“12C C -型点”，则存在过点P 的直线l ：与1C 、2C 都有公共点．i ）若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设1k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”冲突，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足1k >．-------------------------2分ii ）假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx xy =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解．从方程组得()()()2220000124210k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222222200000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤∆=-++-=-+--⎣⎦．由1k >，001x y +<由于()22000000000(1)(1)y kx y k x y k y k y k k y kx k -≤+⋅<+⋅-=+-<⇒-<所以，222008()+10y kx k k ⎡⎤∆=---<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．------------------------5分证明完毕 另解：()222200008212y kx y k x k ∆=-++-令()()222000012f k x k kx y y =--+，由于001x y +<，所以01x <，即2010x -<．于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为00201x y k x =-，由于()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数．由于()()2200001110f x y x y =--≤+-<，()()2200001110f x y x y -=+-≤+-<，所以对任意1k >，都有()0f k <，()2810f k k ⎡⎤∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．---------------------5分证明完毕。
交大附中自招真题试卷卷
交大附中自招真题卷整理【例 1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同素来线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A.甲、乙、丙带同种电荷B.甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C.甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D.无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例 2】以下列图，作用在杠杆一端且向来与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由地址 A 拉至地址 B，在这个过程中，力 F 的大小（）A. 变小B.不变C.变大D.先变大后变小【例 3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，以下列图为充气泵气室的工作原理图。
设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体经过阀门S1、S2与空气导管相连接，以下选项中正确的选项是（）A.当橡皮碗被拉伸时， P>P0， S1开通 ,S 2关闭B.当橡皮碗被拉伸时， P<P0， S1开通， S2关闭C.当橡皮碗被压缩时， P>P0， S1关闭， S2开通D.当橡皮碗被压缩时， P<P0， S1关闭， S2开通【例 4】以下列图，静止的传达带上有一木块 A 正在匀速下滑, 当传达带突然向上开动时，木块滑终究部所需的时间t 与传达带静止不动时所需时间t 0对照（）A.t=t 0B.t>t 0C.t<t 0D.无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以米/ 秒的速度行走。
当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要 20 秒。
当火车以10 米/ 秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是 ______秒，站在地面上的人看见该旅客经过的行程为______米。
【例 6】以下列图，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着吞没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到 12cm。
则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平川面的压强为______帕 ( 容器的重力和容器壁的厚度， g=10N/kg) 。
上海交通大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2023届上海交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题 1．“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由sin 1x =，可得()2x k k ππ=+∈Z ，分析即得解【详解】由题意，若2()2x k k ππ=+∈Z ，则sin 1x =，即sin 1x =，故充分性成立；反之，若sin 1x =，则sin 1x =±，即()2x k k ππ=+∈Z ，故必要性不成立；故“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的充分不必要条件.故选：A2．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22ωϕππ>-<<的部分图象如图，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．1,6πωϕ==- B ．1,3πωϕ==-C ．2,6πωϕ==-D ．2,3πωϕ==-【答案】D【分析】由函数的部分图像求出函数的周期和向左平移量，进而求得,ωϕ的值. 【详解】解：由53()1234πππ--=得：函数()2sin()f x x ωϕ=+的周期T π=， 又0ω>，2ω∴=，又由第一点坐标为(,0)6π，故第一点向左平移量6L π=-，故2()63L ππϕω==⨯-=-，故选：D.【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式，求ϕ是难点，属于中档题.3．碳70()70C 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．A ．12B ．25C ．30D ．36【答案】B【分析】根据题意可知顶点数为70，可求得棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可求解.【详解】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用， 故棱长数7032105=⨯÷=，由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数21057037=+-=， 设正五边形x 个，正六边形y 个，则37x y +=，561052x y +=⨯，解得12x =，25y =， 故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个， 故选：B.4．若对于函数()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x =成立，则称这样的函数为“F 函数”，则下列四个函数：①()ln(1)f x x =-；②1()e x f x +=；③2()1f x x =+；④()tan f x x =，π(0,)2x ∈.其中“F 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据“F 函数”的定义一一验证每个选项中的函数，符合该定义的即为“F 函数”，由此可得答案.【详解】对于①()=ln(1)f x x -，当12x =时，1()=0f x ，此时不存在2x ，使得12()()1f x f x =，故①不是“F 函数”；对于②+1()=e x f x ，对于定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量21=2x x --，使得11+11012()()=e ?e =e =1x x f x f x --， 故②1()e x f x +=是“F 函数”；对于③2()1f x x =+，对于定义域内的任意一个自变量x ，都有2()=+11f x x ≥， 取12x = ，则1()=5f x ，定义域内不存在2x ，使得21()5f x =，即不能使得12()()1f x f x =，故③不是“F 函数”；对于④()tan f x x =，π(0,)2x ∈定义域内的任意一个自变量1x ,都存在唯一一个自变量212ππ=,(0,)22x x x -∈,使得12111πsin()π12()=tan()==π2tan cos()2x f x x x x ---，从而使得12111()()=tan ?=1tan f x f x x x ， 故④为“F 函数”； 故选：C二、填空题5．设i 是虚数单位，若()i i 1b +是纯虚数，则实数=b _________. 【答案】0【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的概念，即可求得答案.【详解】由题意得()i i 1i b b +=-+，因为()i i 1b +是纯虚数，则0b -= ，即=0b ，故答案为：06．满足条件{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆的集合M 共有___________个． 【答案】4【详解】符合题意的集合M 有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,44个7．若1tan 2θ=-，那么221sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】-1.【分析】原式变形为关于sin ,cos θθ的齐次分式，代入求值.【详解】2222221sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=-- 22tan 1tan tan 1θθθ++=- 111421114+-==--. 故答案为：1-【点睛】本题考查根据tan θ的值化简sin ,cos θθ的齐次分式，并求值，意在考查变形化简计算的能力，属于基础运算题型.8．已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离等于______________． 【答案】4.【详解】分析：把点(0M x 代入抛物线方程，解得0x ．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离01x +．详解：把点(0M x代入抛物线方程可得：204x =，解得03x = ． ∴点M 到抛物线焦点的距离014x =+= ． 故答案为4．点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．不等式3112x x-≥-的解集为___________. 【答案】3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.【详解】根据题意，由3112x x -≥-，得4302x x -≥-，即()()432020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得324x ≤<，因此不等式3112x x -≥-的解集为3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．在△ABC 中，2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______【答案】150 【详解】试题分析：113sin 23sin 222S AB AC BAC BAC =∠=⨯⨯⨯∠=，，∵0AB AC ⋅<，∴90BAC ∠>︒，∴150BAC ∠=︒． 【解析】三角形的面积，向量的夹角． 11．2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++=_________ .【答案】1【分析】根据换底公式，以及对数的运算法则，求解即可 【详解】根据换底公式：2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++lg 2lg3lg !lg100!lg100!lg14lg1000!lg1000=++++lg 2lg3lg 4..!g .lg 100100l =++++lg100!lg100!lg1lg 2lg3lg 4...lg100lg(123...100)=+++⨯=++⨯⨯⨯1lg lg 01001!0!== 故答案为：112．在621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．（用数值回答）【答案】581【分析】求得621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，并求得2rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项212k k r kk r T C x -+'=，令20r k -=，对k 、r 分类讨论即可得出答案.【详解】621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，2r x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项()212206,,kk r k k k r k k r r T C x C x k r k r N x --+⎛⎫'=⋅=≤≤≤∈ ⎪⎝⎭， 令20r k -=，0k =，0r =时，可得11T =；1k =，2r =时，可得22362T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1222T C '=，2162260C C ∴⨯=；2k =，4r =时，可得44562T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2234224T C '==，4624360C ∴⨯=； 3k =，6r =时，可得66762T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33462160T C '==，66160160C ∴⨯=. 因此，621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为160360160581+++=.故答案为：581.【点睛】本题考查了三项展开式中常数项的计算，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_________.【答案】11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min 12a x a x a -+≤-++，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围.【详解】()()2223x a x a x a x a x a x a a -++=-++≥--+=， 当()(2)0x a x a -+≤时等号成立，即()min 23x a x a a -++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立， 即13a a -+≤ ，即31a a ≥-或31a a ≤- ， 解得：14a ≥或12a ≤-. 故答案为：11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭14．设P 是ABC 内的一点，且=2BC ，3CA =，=4AB ，则222234PA PB PC ++的最小值为_________. 【答案】24【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解.【详解】如图，以AB 中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，164911cos 24216B +-==⨯⨯，所以5(8C ，(20)A -，，(20)B ，，设(,)P x y ，则()2222PA x y =++，()2222PB x y =-+，22258PC x y ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2222222210999309334x y x x y x PA PB PC ++⎛⎫=+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭221889924233x y ⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥=-++≥⨯= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当1,2x y ==时，取到等号. 故答案为：24.15．如果函数()=y g x 满足：对任意实数m 、n 均有()()()()12g mn g m g n g n m +-=--成立，那么称()=y g x 是“次线性”函数，若“次线性”函数()=y f x 满足()01f =，且两正数x 、y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，则142log ()log x y x +-的最大值为_________. 【答案】1-【分析】根据定义，利用赋值法可求出()1f x x =+，再利用导数求最值可得解. 【详解】令0m n ==，则(1)(0)(0)=2(0)0f f f f ---成立， 因为函数()=y f x 满足()01f =，所以(1)=2f ， 令=,0m x n =，则有()()()()10=20f f x f f x ---， 从而有()1f x x =+，因为1422log (+)log =log (+x y x x y --所以142log (+)log x y x -的最大值，即(x y +又因为正数,x y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，所以有2231+1=32=>00<2x x xy y x x-⇒⇒--所以223(++2x x y x x -14(0,3)t ∈24+32t t =， 令4+3()2t h t t =，则42223(1)3(+1)(+1)(1)()==22t t t t h t t t --'， 当14()>01<<3h t t ⇒'，()<00<<1h t t ⇒'，所以函数()h t 在(0,1)上单调递减，在14(1,3)上单调递增， 所以min 13()(1)22h t h +===，所以min [(2x y +=所以14222log (+)log =log (+log 2=1x y x x y ----.所以142log (+)log x y x -的最大值为1-.故答案为：1-三、解答题16．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800iii x x y y =--=∑.(1)估计该地区这种野生动物的数量； (2)求样本(),(1,2,,20)i i x y i =的相关系数.（精确到0.01）【答案】(1)12000 (2)0.94【分析】（1）计算出样区野生动物的数量的平均值，乘以地块数，即得答案； （2）根据相关系数公式进行计算，可得答案.【详解】(1)由已知得样本平均数20111=12006002020i i y y ==⨯=∑ ， 从而该地区这种野生动物数量的估计值为2060012000⨯=.(2)由()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800i i i x x y y =--=∑，可得样本(,)()1220i i x y i =，，， 的相关系数为20()()0.94iix x y y r -===≈-∑.17．已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(2)22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩【分析】（1）先利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，再利用累加法求出n b ；（2）先利用（1）结果求出n c ，再利用等差数列求和公式进行求和即可． 【详解】(1)∵31n S n =-，∴134,2-=-≥n S n n ， ∴()1313432n n n a S S n n n -=-=--+=≥， 当1n =时，1123S a ==≠，∴2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，∵()121n n b b n +=+-，∴211b b -=，32433,5,-=-=b b b b …，123,2n n b b n n --=-≥， 以上各式相加得：21(1)(123)135(23)(1)2,2n n n b b n n n -+--=++++-==-≥，22n b n n =-，又11b =-符合上式，∴22n b n n =-；(2)由题意得2,136,2n n c n n -=⎧=⎨-≥⎩，1n =时，12T =-,当2n ≥时，()20363921222n n n n T n +--+=⨯--=， ∴22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩.18．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2N μ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,2050.8100,205x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本． 参考数据：()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈．【答案】（1）0.002a =；（2）200；0.6827；（3）75.04元． 【分析】（1）由频率之和等于1求出a 的值；（2）先由频率分布直方图求平均数的方法得出μ，再由参考数据得出数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）先由频率分布直方图得出每组的质量指标值，再根据生产成本与质量指标值之间的函数关系得出生产疫苗的平均成本．【详解】解：（1）由10(0.0090.0220.0330.0240.008)1a a ⨯++++++= 解得0.002a =．（2）依题意，1700.021800.091900.222000.332100.24μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 2200.082300.02200⨯+⨯=故()2200,12.2X N ~所以(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6827P X P X <<=-<<+≈ 故测量数据落在(187.8,212.2)内的概率约为0.6827（3）根据题意得0.41700.020.41800.090.41900.220.4200y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.33(0.8210100)0.24(0.8220100)0.08(0.8230100)0.02+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯75.04=故生产该疫苗的平均成本为75.04．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由频率分布直方图计算平均数的方法得出μ，进而由正态分布的性质得出概率.19．三棱锥P ABC -中，PA PB PC BC a ====，且PB 与底面ABC 成60︒角.(1)设点P 在底面ABC 的投影为H ，求BH 的长； (2)求证：ABC 是直角三角形； (3)求该三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)12a ； (2)证明见解析；3.【分析】（1）根据题意找到PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角，即可求得答案； （2）确定点H 为ABC 的外心，且落在BC 的中点处，即可证明结论; （3）求出底面三角形面积的最大值，根据三棱锥体积公式即可求得答案. 【详解】(1)如图，点P 在底面ABC 的投影为H ，则PH ⊥底面ABC ,则PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角.，即60PBH ∠=︒， 故1122BH PB a ==； (2)因为==PA PB PC ，则HA HB HC ==,即H 为ABC 的外心， 设BC 的中点为D ，连接HD ，则HD BC ⊥，所以PD PH =,即PD PH =,故,D H 重合，则12AD a == ， 则12AD BC =,则90BAC ∠=,故ABC 是直角三角形； (3)设,,0,0AB m AC n m n ==>>，则222m n a += ，故22222m n a mn +≤=，当且仅当m n ==时取等号，故21124ABC S mn a =≤，故三棱锥P ABC -体积的最大值为231134a ⨯= .20．已知()()ln 1f x x ax =++.(1)当=1a 时，求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程； (2)当10a -<<时，研究函数()=y f x 在区间()0,∞+上的单调性；(3)是否存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,∞+上各恰有一个零点？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2y x =；(2)()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11,a ⎛⎫⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)不存在，理由见解析；【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）求()f x 的导数，讨论导数的正负，从而得到()f x 的单调区间； （3）分0a ≥，1<0a -≤和<1a -进行讨论，通过导数求其单调性即可 【详解】(1)若=1a ，则()()=ln 1++1f x x x x >-，，()111f x x'=++， 则函数在()()0,0P f 处的切线的斜率()0=2k f '=，又()0=0f ， 所以曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程是2y x =； (2)由()(),0ln 1f x x ax x =+>+可得()1111ax a f x a x x++'=+=++， 当1<<0a -时，令()=0f x '，解得1=1+>0x a -⎛⎫⎪⎝⎭当10<<1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是10,1+a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11+,+a -∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)当0a ≥时，()1=+01+f x a x≥'，所以()f x 在()1,+-∞单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当1<0a -≤时，令()=0f x '，解得1=1+0x a -≥⎛⎫⎪⎝⎭当11<1+x a -≤-⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x ≥'，()f x 单调递增；因为()0=0f ，且101,1+a ∈--⎛⎤⎛⎫ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故当()1,0x ∈-，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()1,0-无零点；当<1a -时，令()=0f x '，解得()1=1+1,0x a -∈-⎛⎫⎪⎝⎭，当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；因为()0=0f ，且101+,+a ∈-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0,+x ∈∞，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()0,+∞无零点；综上所述，并不存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,+∞上各恰有一个零点 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()=0f x 分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线=y a 与函数()=y g x 的图象的交点问题.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()2,0F ，渐近线方程为y =，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点. (1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1，求线段AB 的中点坐标；(3)点()11,P x y 、()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x -=(2)(1,3)-- (3)答案见解析.【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案； （2）首先求出点M 的轨迹方程即为3,M M y x k=其中k 为直线PQ 的斜率； 若选择①②∶设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，求出点M 的坐标，可得M 为AB 的中点，即可推出||=||MA MB ；若选择①③︰当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2)y m x -，求出点M 的坐标，即可PQ AB ∥；若选择②③∶设直线AB 的方程为=(2)y k x -，设AB 的中点C ，求出点C 的坐标，可得点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．【详解】(1)由题意可得2,b c a = 2ba=，解得1,a b ==，因此C 的方程为 22=13y x -；(2)由直线AB 的斜率为1，得直线AB 的方程为=2y x -，联立=2y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，得：=1=3x y ---⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设(1,3A ---,联立=2=y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，得：1=x y -⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设1,B -, 故线段AB 的中点的横坐标为1-，纵坐标为3-， 故线段AB 的中点的坐标为(1,3)--；(3)由题意设直线PQ 的方程为=+(0y kx m k ≠，） ，将直线PQ 的方程代入22=13y x -得 222(3)23=0k x kmx m ----,22Δ=12(+3)>0m k -,因为12>>0x x ，21212222+3+=>0,=>033km m x x x x k k ∴---，23<0k ∴-，12x x ∴- 设点M 的坐标为(,)M M x y ,则1122=))M M M M y y x x y y x x -----⎧⎪⎨⎪⎩，整理得1212+)M y y x x --，1212=()y y k x x --，1212+)+()M x x k x x ∴-，解得M x又因为12122(+)M y y y x x --，12121212+=(+)+2, 2)+(+)+2M y y k x x m y x x k x x m ∴-，M y ∴3=M M y xk ∴；若选择①②作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x -，并设A 的坐标为33(,)x y ，B 的坐标为44(,)x y ，则3333=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得33x y同理求得44=x y - 2343422412+=,+=33k kx x y y k k ∴--，此时点M 的坐标满足=(2)3=M M M M y k x y x k -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得23434222161==(+),==(+)3232M M k k x x x y y y k k --，故M 为AB 的中点，即MA MB =，即③成立 ； 若选择①③作条件：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(20)F ，，此时不在直线3y x k= ，矛盾， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2),(0)y m x m -≠ ，并设A 的坐标为55(,)x y ，B 的坐标为66(,)x y ，则5555=(2)y m x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得55x y同理解得66=x y -此时256212=(+)=23M m x x x m -，56216=(+)=23M m y y y m ∴-，由于点M 同时在直线 3y x k =上，故222632=33m m m k m ⋅-- 解得k m = ， 因此PQ AB ∥ ，即②成立． 若选择②③作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，并设A 的坐标为78(,)x y ，B 的坐标为88(,)x y ，则7777=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得77x y同理可得88=x y - 设AB 的中点为(,)C C C x y ,则27878221216=(+)=,=(+)=2323C C k kx x x y y y k k --， 由于MA MB =，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1=()C C y y x x k---上， 将该直线与3y x k =联立，解得22226==,==33M C M C k kx x y y k k --，即点M 恰为AB 中点，即点M 在直线AB 上, ①成立；【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.四、双空题22．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．【答案】【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面积为1344sin602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin 602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点， 则8HF MF ==，4BF =.在HBF 中，22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=，HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥，又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥，∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯=，在HBM △中，由余弦定理得2221cos 23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅，sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin MH r HBM ===∠r ∴=∴点N的轨迹长度为2πr =.故答案为：.【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N 的轨迹.。
2022年度上海中学自主招生数学试题
上海中学自主招生试卷答案 一、填空题 1、计算111++...+1+22+32012+2013=_____________.【答案】20131-【解析】运用分母有理化进行计算可得成果;2、设x,y,z 为整数且满足201220131x yy z -+-=,则代数式333x y y z z x -+-+-值为_____________.【答案】2【解析】3.若有理数a,b 满足21334a b -=+,则a ＋b ＝_____________. 【答案】32【解析】4.如图,ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,线段DE⊥AB,且△BDE面积是△ABC面积三分之一,那么线段BD长为_____________.ED BA【答案】43 3【解析】5、二次函数2y ax bx c =++图像与x 个交点M 、N,顶点为R,若△MNR 正好是等边三角形,则24b ac -＝_____________.【答案】12【解析】6.如图为25个小正方形构成5×5棋盘,其中具有符号“#”各种正方形共有______个.#【答案】19【解析】7.平面上有n 个点,其中任意三点都是直角三角形顶点,则n 最大值为____________.【答案】4 【解析】8.若方程()()2214x x k --=有四个非零实根,且它们在数轴上相应四个点等距排列,则实数k ＝____________.【答案】74【解析】9、一种老人有n匹马,她把马全某些给两个儿子,大儿子得x匹,小儿子得y匹,(x＞y≥1),并且满足x是n＋1约数,y也是n＋1约数,则正整数n共有_____种也许取值?【答案】2【解析】10.已知a ＞0,且不等式1＜ax ＜2恰有三个正数解,则当不等式2＜ax ＜3具有最多整数解时,正数a 取值范畴为_____________.【解析】解答题11.设方程210x x --=两个根为a,b,求满足f(a)＝b,f(b)＝a,f(1)＝1二次函数f(x ).【解析】12、已知1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +,这里n 为任意正整数,请你运用恒等式()3321331n n n n+=+++,推导出2222123n+++⋅⋅⋅+计算公式. 【解析】13.解方程组2222221()2()3() x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩【解析】14.已知△ABC,CA＝5,AB＝6,BC＝7,△A'B'C'中,∠A'＝∠A,∠B'＝∠B,但△A'B'C'大小和位置不定,当A'到BC距离为3,B'到AC距离为1(如图),问:C'到AB距离与否定值?若是,求出此定值;若不是,阐明理由.B CAC'A'B'【答案】不是【解析】如图,在ABC 中,构造直线m 、l 平行于AC 且距离为3,构造直线k 、i 平行于BC 且距离为1,则在直线m 、l 上任取一点'A ,在直线k 、i 上取一点'B ,找到相应点'C ,则'C 位置不固定,因此'C 到AB 不是固定长度附:无答案试卷一、填空题1.1+22+32012+2013=_____________2.设x,y,z 为整数且满足|x －y|＋|y －z|＝1,则代数式|x －y|3＋|y －z|3＋|z －x|3值为_____________3.若有理数a,b 21334a b -=+则a ＋b ＝_____________.4.如图,ABC 中,AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,线段DE ⊥AB,且△BDE 面积是△ABC 面积三分之一,那么线段BD 长为_____________.CED BA5.二次函数y＝ax2＋bx＋c图像与x个交点M、N,顶点为R,若△MNR正好是等边三角形,则b2－4ac＝_____________6.如图为25个小正方形构成5×5棋盘,其中具有符号“#”各种正方形共有______个.#7.平面上有n个点,其中任意三点都是直角三角形顶点,则n最大值为____________8.若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根,且它们在数轴上相应四个点等距排列,则实数k＝____________.9.一种老人有n匹马,她把马全某些给两个儿子,大儿子得x匹,小儿子得y匹,(x＞y≥1),并且满足x是n＋1约数,y也是n＋1约数,则正整数n共有_____种也许取值?10.已知a＞0,且不等式1＜ax＜2恰有三个正数解,则当不等式2＜ax＜3具有最多整数解时,正数a取值范畴为_____________.二、解答题11.设方程x2－x－1＝0两个根为a,b,求满足f(a)＝b,f(b)＝a,f(1)＝1二次函数f(x).已知1＋2＋3＋…＋n＝(1)2n n+,这里n为任意正整数,请你运用恒等式(n＋1)3＝n3＋2n2＋3n＋1,推导出12＋22＋32＋…＋n2计算公式.13.解方程组2222221()2()3() x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14.已知△ABC,CA ＝5,AB ＝6,BC ＝7,△A'B'C'中,∠A'＝∠A,∠B'＝∠B,但△A'B'C'大小和位置不定,当A'到BC 距离为3,B '到AC 距离为1(如图),问:C'到AB 距离与否定值?若是,求出此定值;若不是,阐明理由.B CAC'A'B'。
2022年上海市杨浦区交大附中高三下学期联合考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷含解析考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-3．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（ ）A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,94．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)af a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞5．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9B ．27C ．81D ．836．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>7．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>8．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．17249．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立π⎛⎫π⎛⎫A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减11．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289 C ．329D ．32712．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海交大附中2022学年高一下学期3月月考数学试卷及答案
此时 位于第四象限， tan 0 .
2
2
综上所述， tan 0 恒成立，故 B 项正确； 2
对于 C 项，当 位于第二象限时， sin 0 ，故 C 项错误；
2
2
对于 D 项，当 位于第四象限时， cos 0 ，故 D 项错误.
2
2
故选：B.
3. 对于给定的实数 a，不等式 ax2 +（a-1）x-1 < 0 的解集可能是（ ）
所以， (2k +1)360 2 (2k +1)360 +180, k Z ，
所以， 2 可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在 y 轴正半轴上，故 A 错误；
对于 B 项，由已知， 的取值集合为 | k 360 +180 k 360 + 270, k Z.
所以， k 180 + 90 k 180 +135, k Z . 2
（2）函数
f
( x) 为“ M
函数”，且当
x
π 4
,
π
时，
y
=
sin
x ，求
y
=
f
(
x
)
的解析式，并写出在
0,
3π 2
上的单调增区间；
（3）在（2）条件下，当
x
−
π 2
,
5π 2
，关于
x
的方程
f
(x)
=
a （ a 为常数）有解，记该方程所有解的
和为 S ，求 S ．
上海市交通大学附属中学 2022-2023 学年高一下卓越考
所以原式 =
1 2sin cos
+ cos2
2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷附答案解析
2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R，且A 中只有一个元素，则a =________；5.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R=++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的Ax 的算术平均值为________．12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.AB.BC.CD.A ，B ，C 都有可能14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A .1个B.2个C.3个D.4个15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A .B.1C.2D.3三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x=⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.22.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.【答案】()(){}2,1,1,2--【解析】【分析】通过解方程组求得正确答案.【详解】依题意，213y x y x =+⎧⎨=-+⎩，则()()2213,2210x x x x x x +=-++-=+-=，解得2x =-或1x =，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解为21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为()(){}2,1,1,2--.故答案为：()(){}2,1,1,2--2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________【答案】(,2][3,4]-∞ 【解析】【分析】根据补集和并集的概念得到集合.【详解】{2A x x =≤-或}34x ≤≤，A B = {2x x ≤-或}34x ≤≤(,2][3,4]{|32}x x -≤=-∞≤ .故答案为：(,2][3,4]-∞ 3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【解析】【分析】由A B ≠∅ ,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ≠∅ ,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，且A 中只有一个元素，则a =________；【答案】0或14【解析】【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时0∆=求出a 的值.【详解】因为{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，表示关于x 的方程210ax x ++=的解集，当0a =时，由10x +=，解得1x =-，所以{}1A =-，符合题意；当0a ≠时，要使A 中只有一个元素，则2140a ∆=-=，解得14a =，此时方程21104x x +=+，解得122x x ==-，所以{}2A =-，符合题意；综上可得0a =或14a =.故答案为：0或145.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．【答案】a ，b ，c 中至少有两个偶数【解析】【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数.6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.【答案】(){}1,0【解析】【分析】集合A 表示直线去掉一个点，集合B 表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集.【详解】依题意，集合B 表示221y xx =-+上的点，集合A 表示直线()12y x x =-≠上的点，故集合A B ⋂中元素表示直线与二次函数的交点，联立2211y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩得2123201,2x x x x -+===，(舍)，故直线与二次函数有1个交点()1,0，故集合A B ⋂中有1个元素,(){}=1,0A B .故答案为：(){}1,0.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x a x x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】(),0-∞【解析】【分析】根据题意，分0a ≥与0a <讨论，结合必要不充分条件即可得到结果.【详解】由题意可得，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩可以推出12x a x a >⎧⎨>⎩，则0a ≥不符合题意，比如当121,5,2x x a ===时，不符合题意；当0a =时，则12x a x a >⎧⎨>⎩是122122x x ax x a +>⎧⎨>⎩的充要条件，不符合题意；当0a <时，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩等价于()()122120x a x a x x a⎧-+->⎨>⎩，则12x ax a >⎧⎨>⎩，所以0a <，即实数a 的取值范围是(),0-∞.故答案为：(),0-∞8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.【答案】({4}-⋃【解析】【分析】由题意可得{}1,3A ⊆，分A =∅、{1}A =、{3}=A 、{1,3}A =分别求解即可.【详解】解：因为{}1,3A A = ，所以{}1,3A ⊆，当A =∅时，2120m ∆=-<，解得m -<<当{1}A =时，2Δ120130m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{3}=A 时，2Δ1209330m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{1,3}A =时，2Δ120134m m ⎧=->⎨=+=⎩，解得4m =；综上所述，实数m 的取值范围是：({4}-⋃.故答案为：({4}-⋃9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.【答案】2-【解析】【分析】先22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；求出2124b a =-，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出a ，得出b ，即可得出结果.【详解】由22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，方程220x ax b ++-=的判别式为()2212448a b a b ∆==---+，方程220x ax b +++=的判别式为()2222448a b a b ∆==-+--，显然12∆>∆，又集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，所以方程220x ax b ++-=和220x ax b +++=共三个根，且只能方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；即22480480a b a b ⎧-+>⎨--=⎩，即2124b a =-；所以方程220x ax b ++-=可化为221440x ax a +-+=，解得22a x =-或22ax =--，方程220x ax b +++=可化为22140x ax a ++=，解得2a x =-，则22222a a a ->->--，又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以2222222202202202a a a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪->⎪⎪⎨⎪->⎪⎪⎪-->⎪⎩，解得16a =-，则212624a b =-=，因此42a b +=-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．【答案】【解析】【分析】()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z 表示π4的奇数倍，而,4πk x k =∈Z 表示π4的整数倍，故得解.【详解】因为()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z ，所以集合ππ|,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的奇数倍，又因为集合π|,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的整数倍，所以MN .故答案为：.11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的A x 的算术平均值为________．【答案】7【解析】【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.【详解】集合M 的任一非空子集共有621-个，其中最小值为1的子集可视为{}2,3,,6 的子集与集合{}1的并集，共有52个，同上可知，最小值为2的子集共有42个，最小值为3的子集共有32个，最小值为4的子集共有22个，最小值为5的子集共有12个，最小值为6的子集共有02个，同上可知，最大值为6的子集共有52个，最大值为5的子集共有42个，最大值为4的子集共有32个，最大值为3的子集共有22个，最大值为2的子集共有12个，最大值为1的子集共有02个，所以M 的所有非空子集中最小值之和为543210122232425262⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，最大值之和为543210625242322212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以543210543210612223242526262524232221221A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-54321067(222222)721⨯+++++==-，故答案为:7.12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.【答案】①②③【解析】【分析】根据已知条件及集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可求解.【详解】因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,1,2,2,1,2,1Y =------，根据集合X 具有性质P 的定义，对于任意(),s t Y ∈，若0,0s t >>，则s t =或()(),1,2s t =，或()(),2,1s t =，若s t =，取221,1s t =-=-，则220ss tt +=；若()(),1,2s t =，取222,1s t ==-，则220ss tt +=；若()(),2,1s t =，取221,2s t =-=，则220ss tt +=；若,s t 有一个为负数，则1s =-或1t =-，若1s =-，则取22,1s t t ==，则220ss tt +=；若1t =-，则取221,s t s ==，则220ss tt +=；故①正确；对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=取11(,)x x Y ∈，存在(,)p q x x 使得110p q x x x x +=，所以0p q x x +=，不妨设1,1p q x x ==-，所以若集合X 具有性质P ，则1X ∈，故②正确；③假设1n x >，令111,2n s t x ==，则存在,s t X ∈使得102n s tx +=，同②得,s t 中必有一个数为1-，若1s =-，则12n tx =，于是11122n t x x =<=，矛盾，若1t =-，则()112n s x ⋅-=，于是2n n s x x =>，也矛盾，所以1n x ≤，又由②得1X ∈，所以1n x ≥，所以1n x =，故③正确，故真命题是①②③正确.故答案为：①②③.【点睛】解决此题的关键是抓住集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.A B.BC.CD.A ，B ，C 都有可能【答案】A 【解析】【分析】根据可知：集合A 为奇数集，结合B 为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，即a 为奇数，b 为偶数，则a b +为奇数，所以BD 错误，A 正确；例如1,0a b ==，令41a b k +=-，即141k =-，解得12k =∉Z ，所以a b C +∉，故C 错误；故选：A.14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．【详解】解：由A B ⊆得韦恩图：对于①A B A = 等价于A B ⊆，故①正确；对于②A B A = 等价于B A ⊆，故②不正确；对于③()A B ⋂=∅等价于A B ⊆，故③正确；对于④A B I ⋂=与A 、B 是全集I 的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件等价于A B ，故⑤不正确，所以与命题A B ⊆等价的有①③，共2个，故选：B .15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂，所以,M N ≠∅≠∅，当1112220a b c a b c ==<时，21110a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++<，所以M N =不成立，故不充分；当M N =≠∅时，111222a b c a b c ==，故必要，故选：B ．16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当0a ≠时，1a a=，利用定义依次推导2023G ∈，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.【详解】对于①，根据当a G ∈，则a a G -∈，即0G ∈，所以0是任何数域的元素，故①正确；对于②，根据当0b ≠时，b G ∈，则bG b∈，即1G ∈，进而112G +=∈，213G +=∈，L ，202212023G +=∈，故②正确；对于③，对2P ∈，4P ∈，但2142P =∉，不满足题意，所以集合{}2,Z P x x k k ==∈不是一个数域，故③不正确；对于④，若a ，b 是有理数，则a b +，a b -，ab ，ab()0b ≠都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;所以其中假命题的个数是1个.故选：B.三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x =⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，无限集（2）()(){}0,0,1,1，有限集（3）{}2,0,2,4,6,8-，有限集【解析】【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；（3）元素有限个，所以用列举法表示.【小问1详解】因为32302x x ->⇒>，所以解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，为无限集；【小问2详解】二元二次方程组2y x y x =⎧⎨=⎩，所以2x x =，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以解集为()(){}0,0,1,1，为有限集；【小问3详解】大于3-且小于9的偶数有2,0,2,4,6,8-，所以解集为{}2,0,2,4,6,8-，为有限集.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.【答案】（1）1a >；（2）0a =或1a =；（3）0a =或1a ≥.【解析】【分析】（1）讨论a ，根据0∆<可得结果；（2）讨论a ，根据0∆=可得结果；（3）转化为方程2210ax x ++=至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【小问1详解】若A 是空集，则方程2210ax x ++=无解，当0a =时，方程210x +=有解，不符合题意；当0a ≠时，440∆=-<a ，得1a >.综上所述：1a >.【小问2详解】若A 是单元素集合，则方程2210ax x ++=有唯一实根，当0a =时，方程210x +=有唯一解12x =-，符合题意；当0a ≠时，440a ∆=-=，得1a =.综上所述：0a =或1a =.【小问3详解】若A 中至多有一个元素，则方程2210ax x ++=至多有一个解，当方程2210ax x ++=无解时，由（1）知，1a >；方程2210ax x ++=有唯一实根时，由（2）知，0a =或1a =.综上所述：0a =或1a ≥.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.【答案】（1）必要不充分；（2）既不充分也不必要；（3）必要不充分；（4）充分不必要；（5）充分不必要【解析】【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可.【小问1详解】解：由||||x y =可得x y =或x y =-，即由p 推不出q ，但由q 可以推出p ，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问2详解】解：由ABC V 是直角三角形推不出ABC V 是等腰三角形，由ABC V 是等腰三角形推不出ABC V 是直角三角形，所以条件p 是条件q 的既不充分也不必要条件；【小问3详解】解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)，由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问4详解】解：由1x =可得10x -==，即有1x -=，但由1x -=只能得1x ≥，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件；【小问5详解】解：由0m >，可得140m +>，从而得方程20x x m +-=有实根，但由方程20x x m +-=有实根，可得140m +≥，即14m ≥-，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）1-或3-（2（3）3a ≤-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意；（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；（3）根据集合B 元素情况分类求解即可.【小问1详解】由题意得{}{}23201,2A x x x =-+==，因为{}2A B = ，所以2B ∈，所以2224(1)50a a +++-=即244450a a +++-=，化简得2430a a ++=，即(3)(1)0a a ++=，解得3a =-或1a =-，检验：当3a =-时，{}{}24402B x x x =-+==，满足{}2A B = ，当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B = ，所以3a =-或1a =-.【小问2详解】因为B 集合中有两个元素12,x x ，所以方程()()222150x a x a +++-=有两个根，所以()22Δ4(1)458240a a a =+--=+>且122(1)x x a +=-+，2125x x a =-，所以12x x -===.【小问3详解】因为{}1,2A =，且,U B A =⋂=∅R ，当B =∅时，()22Δ4(1)458240a a a =+--=+<，解得3a <-，符合题意；当{}1B =时，则()()()()2222Δ4145824012150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解；当{}2B =时，则()()()2222Δ4145824024150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，所以3a =-；当{}1,2B =时，则()()()222Δ41458240122125a a a a a ⎧=+--=+>⎪⎪+=-+⎨⎪=-⎪⎩，无解；综上，3a ≤-.附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.【答案】-1【解析】【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=- .故答案为：-122.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题【答案】A 【解析】【分析】对于①，分类讨论0x =、1x =、10x -<<、01x <<和12x <<五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论x 为整数和不为整数时原式是否成立，对于x 不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【详解】对于①：当0x =时，[]2100110x x --=--=-≠，不符合题意；当1x =时，[]2111110x x --=--=-≠，不符合题意；当10x -<<时，[]()2221110x x x x --=---==，则()01,0x =∉-，不符合题意；当01x <<时，[]22210110x x x x --=--=-=，则()10,1x =±∉，不符合题意；当12x <<时，[]22211120x x x x --=--=-=；则()1,2x =符合题意，()1,2x =不符合题意；综上，[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<=是单元素集，故①正确.对于②：当x 为整数时，[][]1222x x x x x x ⎡⎤++=+==⎢⎥⎣⎦成立；当x 不为整数时，设x a b =+（a 为整数，01b <<），当102b <<时，[]122x x a a a ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，[][]2222x a b a =+=，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当12b =时，12x a =+，则[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22121x a a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当112b <<时，[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22221x a b a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；综上，对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，故②正确.故选：A【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
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2021年交通大学附属中学综合素养调研
数学试卷
一、填空题
1、在△ABC中，设，，P是中线AE与中线CF的交点，那么▲ 。
〔用表示〕
2、a是正实数，那么的最小值等于▲
3、正整数360共有▲ 个正因数。
4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比拟马虎。
如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把
每个同学的本子都发错的概率是▲
5、计算：▲
6、计算：▲
7、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么▲
8、满足方程：的正整数有序数对的个数为▲
9、实数满足，那么的值为▲
10、直线与反比例函数的图像如果恰有一个交点，那么该交点必定在第▲ 象限。
11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形
重叠局部的面积为▲
12、请在以下表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，
以及两条对角线上的三个数之和相等〔只需要填1种答案〕▲
13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了▲ 次
14、设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，那么点P的
坐标为▲
15、方程组的解为▲
16、坐标原点关于直线翻折后的点的坐标为▲
二、解答题
17、，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S
18、二次函数的图像抛物线经过，两点，是其顶点。
〔1〕求实数的值；
〔2〕设点，，点P在抛物线上且位于轴上方，求当△CDP的面积到达最大时点P的坐标。
19、证明不是有理数。
做解析的老师还没给我答案啊，总么办？。