11度量空间的定义与极限

11度量空间的定义与极限第一篇：11 度量空间的定义与极限第一章度量空间第一章度量空间若在实数集R中点列xn的极限是x时，我们使用|xn-x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn-x|可表示为数轴上xn和x这两R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n→∞而趋于0，即limd(xn,x)=0．于是人们就想，n→∞点间的距离，那么实数集在一般的点集，那么在点集X中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ X中如果也有“距离”远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？1.1度量空间的定义与极限1.1.1 度量空间的定义与举例定义 1.1.1 设（1）（2）（3）则称d为X为一非空集合．若存在二元映射d:X⨯X→R，使得∀x,y,z∈X，均满足以下三个条件：d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y(非负性Positivity)；d(x,y)=d(y,x)(对称性 Symmetry)；d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)(三角不等式Triangle inequality)，X上的一个距离函数，称(X,d)为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，d(x,y)称为x和y两点间的距离．□X．注1：在不产生误解时，(X,d)可简记为下面我们来看一些具体的例子例 1.1.1 欧氏空间设Rn．Rn={(x1,x2，xn)|xi∈R,i=1,2，n}，定义d(x,y)其中x=(x1,x2，xn), y=(y1,y2，yn)∈Rn，可以验证(Rn,d)是一个度量空间．在证明之前，引入两个重要的不等式．引理1.1.1(许瓦兹(Schwarz)不等式)任给2n个实数a1,a2，an,b1,b2，bn，有∑ab≤(∑aiii=1i=1nn22i)(∑b)i=1n2(1.1)i证明任取实数λ，则由1.1度量空间的定义与极限0≤∑(ai+λbi)=λi=1n∑bi=1n2i+2λ∑aibi+∑ai2i=1i=1nn知右端二次三项式的判别式不大于零，即n⎛n⎫∆=2∑aibi⎪-4∑bi2i=1⎝i=1⎭于是可得(1.1)式成立．□进一步有Hölder不等式1p∑ai=11qqn2i≤0∑abi=1nii≤(∑ai)(∑bi)i=1i=1npn其中p,q≥1且+=1，称这样的两个实数p,q为一对共轭数． pq引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任给2n个实数a1,a2,n,an及b1,b2,12n,bn，有n⎛⎛⎛2⎫2⎫2⎫∑(ai+bi)⎪≤∑ai⎪+∑bi⎪⎝i=1⎭⎝i=1⎭⎝k=1⎭证明由(1.1)式得(1.2)∑(a+b)=∑aiii=1i=1ninn2i+2∑aibi+∑bi2i=1i=1nnnn⎛⎫≤∑a+2 ∑ai2⎪i=1⎝i=1⎭n⎛2⎫⋅∑bi⎪+∑bi2i=1⎝i=1⎭⎡n⎤n22⎛⎛2⎫2⎫⎥⎢=∑ai⎪+∑bi⎪⎢⎝i=1⎭⎝i=1⎭⎥⎣⎦这就证明了(1.2)式．□进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中kn≥1k1knk1knk1k(∑ai+bi)≤(∑ai)(∑bi)i=1i=1i=1例 1.1.1 欧氏空间Rn．设Rn={(x1,x2，xn)|xi∈R,i=1,2，n}，定义k≥1d(x,y)=其中(1.3)x=(x1,x2，xn), y=(y1,y2，yn)∈Rn，可以验证(Rn,d)是一个距离函数．证明非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的nnz=(z1,z2，zn)∈Rn，由闵可夫斯基不等式(1.2)有⎡⎡2⎤2⎤x-z=x-y+y-z()()∑∑iiiiii⎢⎥⎢⎥⎣i=1⎦⎣i=1⎦≤即d(x,z)⎡⎡2⎤2⎤x-y+y-z()()∑∑iiii⎢⎥⎢⎥⎣i=1⎦⎣i=1⎦是一个距离函数．□nn12，≤d(x,y)+d(y,z)．从而得证dn注2：称(R所定义的．注3：在,d)为n维欧氏空间，d称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间Rn，均指由(1.3)式的欧氏距离Rn中我们还可以定义其他的距离：d1(x,y)=max|xk-yk|；n第一章度量空间d2(x,y)=∑|xk-yk|．k=1可以验证距离注4：在d1、d2均满足条件(1)、(2)和(3)．R2中比较上述三种距离d、d1和d2，可看看他们各表示什么？由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间．例1.1.2离散度量空间设X为非空集合，∀x,y∈X，定义距离⎧0当x=y时d0(x,y)=⎨(1.4)1当x≠y时⎩容易验证d0满足距离的三个条件，并称之为离散距离，(X,d0)为离散度量空间．例 1.1.3 连续函数空间C[a,b]C[a,b]={f:[a,b]→R|f连续}，∀f,g∈C[a,b]，定义d(f,g)=max|f(t)-g(t)|，t∈[a,b]证明显然d满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．∀f(t),g(t),h(t)∈C[a,b]及∀t∈[a,b]均有|f(t)-h(t)|≤|f(t)-g(t)|+|g(t)-h(t)|≤max|f(t)-g(t)|+max|g(t)-h(t）|t∈[a,b]t∈[a,b]故d(f=d(f,g)+d(g,h)，,h)=max|f(t)-h(t)|≤d(f,g)+d(g,h)．称(C[a,b],d)为连续函数空间，简记为C[a,b]．□t∈[a,b]注5：在C[a,b]中我们还可以定义如下的距离：d1(f,g)=⎰f(x)-g(x)dx．ab可以验证d1均满足条件(1)、(2)和(3)，所以(C[a,b],d1)也为一度量空间．∞例 1.1.4 有界数列空间ll∞={x=(x1,x2，xn,)=(xi)|sup{|xi|}<∞}，对于x=(xi)，y=(yi)∈l∞i≥1，定义d(x,y)=sup|xi-yi|，i≥1可以验证例1.1.5d是一个距离函数，并称(l∞,d)为有界数列空间，简记为l∞．p次幂可和的数列空间lpl={x=(x1,x2，xn,)=(xi)| ∑|xi|p<∞,1<p<+∞}p∀x=(xi),y=(yi)∈lp，定义⎛⎫dp(x,y)=∑|xi-yi|p⎪⎝i=1⎭(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及l间，简记为l例1.1.6p∞p(1.5)pp的定义知其右端有界．可以证明dp是一个距离函数．称(l,dp)为p次幂可和的数列空．p次幂可积函数空间Lp[a,b](p≥1)Lp[a,b]={f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可积}1.1度量空间的定义与极限即：Lp[a,b]=f(t)|⎰[a,b]|f(t)|pdt<+∞在Lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数．对于f,g∈Lp[a,b]，定义距离d(f,g)=(⎰那么(Lp[a,b]|f(t)-g(t)|dt)p[a,b],d)为度量空间．并称(Lp[a,b],d)为p次幂可积函数空间，简记为Lp[a,b]．Lp[a,b]具有下列重要性质：f,g∈Lp[a,b]，α是一常数，则分析集合(1)对线性运算是封闭的．即若αf∈Lp[a,b],f+g∈Lp[a,b]．(2)设Lp[a,b]⊂L[a,b](p≥1)．f∈Lp[a,b]，令A=E(|f|≥1)，B=E(|f|<1),E=[a,b]，则b⎰pa|f|dm=⎰|f|dm+⎰|f|dmAB≤⎰|f|pdm+(b-a)Ab故≤⎰|f|dm+(b-a)<+∞af∈L(a,b)．引理1.1.3闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设f(x)、g(x)是可测集E上的可测函数且k≥1k(⎰bEf(x)+g(x)dxp1p)≤(⎰1kEf(x)dxk)+(⎰1kEg(x)dxk)1k(1.6)证明因为⎛⎫d(f,g)=⎰|f(t)-g(t)|dt⎪⎝a⎭p≤(⎰Ef(x)dxp)+(⎰1pEg(x)dxp)≤+∞，f(x),g(x),z(x)∈Lp[a,b]有所以(1.6)式有意义．显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立．对于任意的⎛⎫d(f,g)=⎰|f(t)-g(t)|dt⎪⎝a⎭bppp⎛b⎫p=⎰|f(t)-z(x)+z(x)-g(t)|dt⎪⎝a⎭p≤(⎰Ef(x)-z(x)dxp)+(⎰1pEz(x)-g(x)dxp)=d(f,z)+d(z,g)□上述例子涉及到常用的六个度量空间：次幂可和的数列空间lpn维欧氏空间(Rn,d)；离散度量空间(X,d0)；连续函数空间C[a,b]；有界数列空间l∞；p；p次幂可积函数空间(Lp[a,b],d)．1.1.2 度量空间中的极限极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例．定义1.1.2 设(X,d)是度量空间，x∈X,{xn}是n→∞第一章度量空间X中点列，若limd(xn,x)=0，则称点列{xn}收敛于x，称x为点列{xn}的极限．记作dlimxn=x，或xn→x(n→∞)或xn→x(n→∞)．n→∞{xn}收敛于x用“ε-N”语言描述是: ∀ε>0,∃N∈N其发散．□，当n>N时，恒有d(xn,x)<ε成立．若点列{xn}不收敛，则称例1.1.7设X是实数集，数列xn=(n=1,2,)．若在X上定义欧氏距离nd(x,y)=|x-y|(x,y∈X),显然，数列{xn}在度量空间(X,d)中收敛于0．若在X上定义离散距离⎧0,x=y,d0(x,y)=⎨(x,y∈X),⎩1,x≠y则数列{xn}在度量空间(X,d0)中是发散的．因为对任意给定的x0∈X，只要1⎛1⎫≠x0，就有d0 ,x⎪=1，所以无论n多么大，有 n⎝n⎭⎛1⎫limd0 ,x0⎪=1≠0, n→∞⎝n⎭可见数列{xn}不收敛于x0．虽然(X,du)与(X,d0)有共同的基本集X，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一点列{xn}在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□定义1.1.3设(X,d)为度量空间，若A⊂X，若将距离限制在A⨯A上，显然A也是一个度量空间，称作X的子空间．d(x,A)=inf{d(x,y)}(1.7)y∈Ax∈X,A⊂X，则点x到A的距离定义为：集合A的直径定义为：diaA=sup{d(x,y)}(1.8)x,y∈A若diaA有限，则称A为有界集；若diaA=+∞，则称A为无界集．□那么d(x0,A)和diaA分别是多少？显然(1)当A是单点集时，有d(x0,A)=1x0∉A，A⊂R，在离散度量空间(R,d0)中点及diaA =0；(2)当A不是单点集时，有d(x0,A)=1及diaA=1．定理1.1.1 极限的性质设(X,d)是度量空间，（1）若点列{xn}收敛，则其极限唯一；（2）若点列{xn}是X中的一个点列．xn→x0(n→∞)，则{xn}的任何子列xnk→x0(k→∞)；（3）若收敛点列{xn}看作是证明（1）设X的子集，则它是有界的．xn→x(n→∞)且xn→y(n→∞)，由定义知：∀ε>0,∃N∈N，当n>N时，有d(xn,x)<,d(xn,y)<，22故当εεn>N时，我们有d(x,y)≤d(xn,x)+d(xn,y)<ε2+ε2=ε．1.1度量空间的定义与极限由ε的任意性知，d(x,y)=0，从而x=y．（2）设xn→x(n→∞)，{xnk}是{xn}的子列．,xn，{xn}：x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,{xnk}：xn1，xn2，xn3，xnk,，当,由定义，∀ε>0,∃N∈Nn>N时，有d(xn,x)<ε，由于k>N时，nk≥k>N，故d(xnk,x)<ε，即xnk→x(k→∞)．（3）设xn→x0(n→∞)，由定义知：对ε0=1，∃N∈N，当n>N时，d(xn,x0)<ε0=1，于是．取M=maxd{1x(0x,)d,2x(0x,)N,d,x0+(x，,则),∀1n}∈N1．即{xn}作为点集有界．□d(xn,x0)<M∀n,m∈N，d(xn,xm)≤d(xn,x0)+d(xm,x0)<2M例 1.1.8设|f(t)-g(t)|)中的点列，那么{fn(x)}是连续函数空间C[a,b](d(f,g)=maxt∈[a,b]fn(x)⇒f(x)(函数列一致收敛)当且仅当fn(x)→f(x)(度量空间中的点列收敛)．证明fn(x)→f(x)(n→∞)等价于∀ε>0,∃N∈N，当n>N时，有d(fn(x),f(x))<εf(x))<ε，等价于d(fn,．其中d(fn(x),f)=max|fn(x)-f(x)|<ε．进一步等价于x∈[a,b]∀x∈[a,b]，有|fn(x)-f(x)|<ε于是．fn(x)→f(x)(n→∞)等价于∀ε>0,∃N∈N，当n>N时，∀x∈[a,b]，有|fn(x)-f(x)<|ε，即fn(x)⇒f(x)．□例1.1.9 设d(x,y)是X上的一个距离，则d1(x,y)=d(x,y)也是X上的距离．1+d(x,y)d(x,y)是X上的距离，所以证明显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式．由于∀x,y,z∈X，有d(x,y)≤d(x,z+)d(z,．y)又知函数f(t)=t1(f'(t)=>0)为单调递增函数，于是1+t(1+t)d1(x,y)=d(x,y)d(x,z)+d(z,y)(f(t)单调递增)≤1+d(x,y)1+d(x,z)+d(z,y)=≤d(x,z)d(z,y)+1+d(x,z)+d(z,y)1+d(x,z)+d(z,y)因此d1(x,d(x,z)d(z,y)=d1(x,z)+d1(z,y)+1+d(x,z)1+d(z,y)y)是X上的距离．□第二篇：极限操作定义极限操作定义：在对手技能释放的瞬间用自己的技能或者道具化解对手技能。