点关于点对称
点关于点对称
xo-yo-2=0
即：7x+y+22=0
应用：
（1）已知两点A(–3，3)、B(5,1),在直线y = x PB最大 上求一点p使 AP —
2 2 （ x 3 ) ( x 3 ) （2）求
关于y轴对称
o
o
o
o
o
o
2m-X ___) y 点P( xo , yo ) P' (___, 关于直线y n对称 X 2n-y 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
o o o o
关于直线xm对称
? ? 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
关于直线l: Ax ByC 0对称
P(xo,yo )
几何条件： （1）垂直
（2）平分 方程组： Kpp’×kL= – 1
x xo y yo A( ) B( )C 0 2 2
L
M
P’(x,y)
练习：求点P(2,3)关于直线L:x-y-4=0的对称点p’。 答：p’(7,-2)
A(2a x) B(2b y) C 0
3．点关于直线对称
X -y 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
关于x轴对称
o
o
-X y 点P( xo , yo ) P' (___, ___) 关于直线y x对称 y X 点P( xo , yo ) P' (___, ___) 关于直线y x对称 -y -X 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
反比例函数两点关于原点对称
反比例函数两点关于原点对称
反比例函数两点关于原点对称，指的是在反比例函数图像上，存在两个点，它们关于原点对称。
以反比例函数y = k/x (k ≠0) 为例，当k>0时，函数图像在第一、三象限；当k<0时，函数图像在第二、四象限。
在第一、三象限内，假设有一点A(x1, y1)在反比例函数图像上，那么关于原点对称的点B(-x1, -y1)也在反比例函数图像上。
同理，在第二、四象限内，假设有一点C(x2, y2)在反比例函数图像上，那么关于原点对称的点D(-x2, -y2)也在反比例函数图像上。
例如，当k>0时，假设A(2, 3)在反比例函数图像上，那么B(-2, -3)也在反比例函数图像上；当k<0时，假设C(-2, 3)在反比例函数图像上，那么D(2, -3)也在反比例函数图像上。
总结来说，反比例函数两点关于原点对称，指的是在反比例函数图像上，存在两个关于原点对称的点。
点线对称问题
P(m,n)
M(x,y)
M′ (2m-x,2n-y)
法三： l 1 // l 2且P到两直线等距。
l2
l1
P(m,n) d2
d1
练习3、求直线l : 2x 3y 6 0关于点P（1，-1） 对称的直线方程。
2x 3y 8 0
三、点关于直线对称
M(x1,y1) l
P 例3.已知点M的坐标为(-4,4)，直
P O
M(3,x-1)
M′(1,-3) y=－x
练习7： 1、x R,求f (x) x2 4x 13 x2 2x 10的最小值； 2、已知l：3x y 1 0,在l上找点P,使 （1）P到A（4,1），B（3,4）的距离之和最小； （2）P到A（4,1），C（0,4）的距离之差最大。
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
例：求直线 l1 : 2x y 3 0 关于直线 l : x y 1 0
对称的直线 l２ 的方程
l 解：设 M x, y 为所求直线 l２ 上任意一点，则其关于 对
称的点 M ' x1, y1 在直线 l１ 上.
y x
点关于点的对称
中心对称问题
对
线关于点的对称
称
问
题
轴对称问题
点关于线的对称
线关于线的对称
一、点关于点对称
解题要点：中点公式的运用
例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。
一般地，点 A(x0,y0)关 于点 P(a,b)的对称点是 (2a-x0，2b-y0)
则 l 关于原点对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿ l 关于 x 轴对称的直线是＿＿Ax＿ ＿B(＿ y＿) ＿C 0 l关于 y 轴对称的直线是＿＿A(＿ x＿) ＿B＿y ＿C＿ 0
点关于原点对称的点的求法
点关于原点对称的点的求法点关于原点对称的点的求法在二维平面直角坐标系中，原点是一个特殊的点，它位于x轴和y轴的交点处，其坐标为(0,0)。
如果给定一个点P(x,y)，那么我们可以通过一定的方法求出它关于原点对称的点P'(-x,-y)。
本文将介绍两种方法来求解这个问题。
方法一：利用向量运算向量是一个有方向和大小的量，可以表示平面上的任意一条线段。
在二维平面直角坐标系中，我们可以用两个数x和y来表示一个向量V(x,y)。
向量加法、减法和数乘等运算可以方便地进行。
假设有一个点P(x,y)，我们要求它关于原点对称的点P'(-x,-y)。
首先，我们可以构造一个以原点为起点、以P为终点的向量V1(x,y)，如下图所示：然后，我们再构造一个以原点为起点、以P'为终点的向量V2(-x,-y)，如下图所示：根据向量的定义，两个相反方向的向量之和等于零向量，即V1+V2=0。
因此，我们可以得到以下公式：V2 = -V1即：(-x,-y) = -(x,y)这个公式告诉我们，要求一个点关于原点对称的点，只需要将它的坐标取相反数即可。
因此，P'(-x,-y)就是P(x,y)关于原点对称的点。
方法二：利用几何性质在二维平面直角坐标系中，如果一个点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)，那么它们的中心点一定位于原点。
因此，我们可以通过求出P和原点的中心点C(x/2,y/2)，然后将C的坐标乘以-2得到P'的坐标。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 求出P和原点O(0,0)之间的距离d(P,O)，即：d(P,O) = √(x^2+y^2)2. 求出P和O之间的中心点C(x/2,y/2)，即：C = (x/2,y/2)3. 将C乘以-2得到P'的坐标，即：P' = (-2x/2,-2y/2) = (-x,-y)这个方法也可以用来求解其他关于任意一点对称的问题。
点关于原点对称的点的求法
点关于原点对称的点的求法1. 引言在数学中，点的对称是一种基本的概念。
通过对称操作，我们可以将一个点关于某个中心点进行镜像，得到关于该中心点对称的点。
在这篇文章中，我们将探讨如何求解一个点关于原点的对称点的问题。
2. 对称性与点的对称对称性是几何学中一个重要的概念。
几何中的对象，比如点、线、面，都可以具有对称性。
对称性可以帮助我们进行问题的简化和求解。
在几何中，点的对称是最简单的一种对称形式。
一个点关于原点的对称点的求解，可以通过对点的坐标进行变换来实现。
接下来，我们将介绍两种常见的方法，一种是利用坐标轴的对称关系，另一种是利用点到原点的距离的对称特性。
3. 坐标轴对称的求解方法坐标轴是我们常见的一个数学工具，利用坐标轴的对称性可以简化一些几何问题的求解过程。
在坐标轴对称的求解方法中，我们需要注意以下几点：3.1 坐标轴的定义在平面几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系，也就是直角坐标系。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过两个相互垂直的坐标轴来确定一个点的位置。
这两个坐标轴分别称为X轴和Y轴，相交于原点。
3.2 坐标轴对称的性质在笛卡尔坐标系中，点关于X轴的对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数；点关于Y轴的对称点的纵坐标不变，横坐标取相反数。
3.3 求解过程根据坐标轴对称的性质，我们可以利用以下步骤来求解一个点关于原点的对称点：1.已知点的坐标为(x, y)；2.对于点关于X轴的对称点，横坐标保持不变，纵坐标取相反数，即对称点的坐标为(x, -y)；3.对于点关于Y轴的对称点，纵坐标保持不变，横坐标取相反数，即对称点的坐标为(-x, y)；4.对于点关于原点的对称点，横纵坐标均取相反数，即对称点的坐标为(-x, -y)。
4. 距离对称的求解方法除了坐标轴对称的方法，我们还可以利用点到原点的距离的对称特性来求解点关于原点的对称点。
4.1 距离对称的性质点关于原点的对称点与原点的距离是相等的。
换句话说，如果一个点到原点的距离为d，则该点关于原点的对称点到原点的距离也为d。
点与线的四种对称关系
点与线的四种对称关系直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,12y 3,12x 200解得⎩⎨⎧-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。
解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.13|b 16|13|416|22+++=+-+解得10b -=，或4b -=（舍）。
则直线l 的方程为.010y x 3=--评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
点关于y=x的的对称点
点关于y=x的的对称点篇一：关于 y=x 的对称点是指一个点与 y=x 的对称点，即在 x 轴上取一个点，将该点关于 y=x 的对称点找出来。
首先，将 y=x 写成 x=y 的形式，得到 x^2=y^2。
然后，将点 (y,x) 代入该式中，得到 y^2=x^2，即 y^2=x^2=|x|。
因为 y=x 是关于 y=x 的对称点，所以 y^2=x^2 也是关于 y=x 的对称点。
对于 y^2=x^2 这个方程，可以发现它是一个圆，圆心坐标为 (0,0),半径为1。
因为 y=x 是关于 y^2=x^2 的对称点，所以 y=x 也是该圆上的一点。
具体来说，y=x 位于该圆的圆心，即 y^2=x^2 中心的一点，该点坐标为 (√2/2,√2/2)。
因此，点关于 y=x 的对称点就是位于圆心 (0,0) 和点 (√2/2,√2/2) 之间的任意一点。
篇二：关于 y=x 的对称点是指一个点与 y=x 的对称点，即在 x 轴上取一个点p(x,y),然后找到 y=x 上的对应点 q，则 q 点的坐标就是 p 点的对称点。
例如，点 p(3,4) 关于 y=x 的对称点 q 的坐标应该是在 y 轴上的点(0,4),因为 y=x 上的点 q 的坐标是 (0,4),且 q 点是 p 点的对称点。
对称点的概念在数学中广泛应用，特别是在几何和代数中。
对称点的概念可以帮助我们解决许多问题，例如求对称点、求对称轴、求对称面等。
对称点是指一个点与某个面的对称点，即在面上取一个点 p(x,y),然后找到该面上的对应点 q，则 q 点的坐标就是 p 点的对称点。
例如，面 y=x+1 上的点 p(2,3) 的对称点 q 应该在面 y=x 上的点 (0,3),因为 q 点是 p 点的对称点。
对称点在几何和代数中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解几何和代数的概念和性质。
两点关于一点对称公式
两点关于一点对称公式对称是数学中常见的概念，而“两点关于一点对称公式”（又称过点作对称轴公式）是对称的一种表现形式。
在解决几何问题时，这一公式常常会被用到，因此对它的理解显得至关重要。
什么是对称？对称是指一个几何图形按照某种变换规律的变形后，与它原来的位置和形状完全相同。
例如，在平面直角坐标系中，如果一个图形沿着直线 y = x 进行对称，那么它的形状就会完全翻转，并且它与原图形完全相同。
对称有很多种表现形式，涉及到旋转、平移、镜像等操作。
其中，“两点关于一点对称公式”的表现形式是为对称而生的。
什么是“两点关于一点对称公式”？“两点关于一点对称公式”是指一个点在坐标轴上的位置已知，而所求点关于这个点的对称点和已知点的距离、角度和斜率等信息已知，那么所求点的坐标可以通过这些信息进行计算而得到。
在平面直角坐标系中，设有一点 A（x1,y1）和一点 B （x2,y2），以点 C（a,b）为对称中心（即对称轴），点A 和点 B 对称。
此时可以运用“两点关于一点对称公式”进行计算，得到点 B 的坐标。
求解过程如下：1. 计算对称轴与直线 AB 之间的夹角θ。
假设直线 AB 的斜率为 k1，则有：k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)那么对称轴的斜率 k2，可以列出方程：k2 = -1/k1该方程通常称为两条直线垂直的条件。
在计算机求解时，需要注意斜率不存在时的情况。
如果直线 AB 与 x 轴平行，则有 k1 = 0；如果直线 AB 与y 轴平行，则有 k1 不存在。
这时需要作出相应的特判操作。
夹角θ 可以用反正切函数求得：θ = arctan(k2)其中，arctan 函数是正切函数的反函数。
在实际计算中，需要注意θ 的单位与 arctan 函数的取值范围。
2. 计算点 A 到对称轴的距离 h。
因为点 B 在点 A 关于对称轴对称，所以 A 和 B 之间的距离与 A 到对称轴的距离相等。
即：h = |(b - y1) - k2 * (a - x1)| / sqrt(1 + k2^2)其中，|·| 表示取绝对值，sqrt 表示计算平方根。
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x0 2n-y 关于点C ( xo ,n ) 对称 0 点P(x0,y0) P ’ (___, ___)
2．直线关于点对称
例.求直线L: 4x+y –1 =0 关于点M(2,3)对称的直线 L’的方程。 L’ L 一般地，直线L:Ax+By+C=0 关于M(a,b)的对称直线L’为
关于y轴对称
o
o
o
o
o
o
2m-X ___) y 点P( xo , yo ) P' (___, 关于直线y n对称 X 2n-y 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
o o o o
关于直线xm对称
? ? 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
关于直线l: Ax ByC 0对称
P(xo,yo )
几何条件： （1）垂直
（2）平分 方程组： Kpp’×kL= – 1
x xo y yo A( ) B( )C 0 2 2
L
M
P’(x,y)
练习：求点P(2,3)关于直线L:x-y-4=0的对称点p’。 答：p’(7,-2)
ห้องสมุดไป่ตู้
L1
x
M
解： 设Q(x,y)为L3上任意一点, 它关于L2的对称点为 P(xo,yo)在L1上,故xo-yo-2=0 （*）
由
y yo 3 1 x xo
3 x xo y y o 3 0 2 2
y
Q(x,y)
L3 ？ L2
P(xo,yo)
L1 x
得 xo 4 x 3 y 9
5
代入（*）得：
3x 4 y 3 yo 5 4 x 3 y 9 3x 4 y 3 20 5 5
xo-yo-2=0
即：7x+y+22=0
应用：
（1）已知两点A(–3，3)、B(5,1),在直线y = x PB最大 上求一点p使 AP —
2 2 （ x 3 ) ( x 3 ) （2）求
A(2a x) B(2b y) C 0
3．点关于直线对称
X -y 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
关于x轴对称
o
o
-X y 点P( xo , yo ) P' (___, ___) 关于直线y x对称 y X 点P( xo , yo ) P' (___, ___) 关于直线y x对称 -y -X 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
( x 1) 2 ( x 5) 2
的最小值
传统意义上的红包也叫压岁钱，是过农历春节时长辈给小孩儿用红纸包裹的钱。据传明清时，压岁钱大多数是用红绳串着赐给孩子。民国以后， 则演变为用红纸包裹 qq红包群 qq红包群 dvh17eyc 现在泛指包着钱的红纸包；用于喜庆时馈 赠礼金。也指奖金、贿赂他人的钱。在中国粤语区红包被称为利市（俗作利是、利事、励事），是将金钱放置红色封套内做成的一种礼品。 全没有。更可惜南宫大爷虽自称大爷，腰包里却没有几个大子儿。于是明柯笑咪咪抱起这坛昂贵的云子，就好像全城最帅的蛐蛐已经抱在了自 己手里：“我真等不及叫你姐夫了。”措词不是不粗俗，但在大喜的心情里，唐静轩忍了。太守夫人跟福珞，几乎是同一天到苏家的。宝音却 恰好在这一天，跟丫头乐韵一起开始上吐下泻，被疑为传染病疾，不得不搬离老太太的院子。明柯说得对，宝音真是个麻烦人。她这病，病得 真不巧。老太太好不容易对她产生的欣赏、怜惜、重视，一下子又全都要打消了。宝音自己却一副不识相的样子，哭着向老太太求情，不敢回 自己原来的院子。她倒没指责明蕙，大约知道没有证据的话，指责也没有用，只好另找个理由，说她不敢回花卉有灵异的院子。老太太头也要 炸了！真想不睬她。“不妥当哪，奶奶，”明秀轻言慢语，“笙妹妹病成这样，恕孙女儿说句不吉利的话，还逆着她、吓着她，怕要出岔子的。 她若有个万一，外头传说，是被花妖克的，咱们家的名声置于何地？”苏府出个花妖，还克死人„„是够难听的。说不定连宫里的明诗都会受 牵累。老太太道：“依你，该当如何？”明秀道：“请笙妹妹到我屋里休养罢？她应该乐意的。”老太太大摇其头：“珞儿住你那里了，再搬 个病人进去，成何样子？”这是明摆着的。明秀便道：“那末„„”“你母亲那儿，录事夫人去住了，”老太太又道，“总不能又叫珞儿挤过 去，不如陪你，也有个照应。”明秀脸通红。太守的长子，作了本城录事，录事夫人就是唐静轩的母亲，这次来作客，明摆着是过来看看准媳 妇儿的。她早就见过明秀，对明秀印象还是不错的，但还是要再看看，婚约有谱之后，明秀的表现是否仍然稳重可靠？明秀通过她的考验几无 悬念。录事夫人将把很多精力放在大太太身上，看苏府整体表现是否跟明秀本人一样好，各方面的嫁妆是否能让太守家满意。这里的嫁妆，取 广意，不止指金银珠宝，还指官场、农庄、甚至商事等安排。苏家好歹是锦城数得着的大家，太守有很多方面，指望着苏家，当然，太守方面 的聘礼，也将作出很有诚意的表示。录事夫人代表了太守家前来，大太太代表唐家接洽，在非常大家风范的仪态下，展望两家前景，像商人谈 合作条件一样的谈，大约要用上好几天的时间，达到初步合意，然后太守家就可以正式来向苏家提亲了。这样，录事夫人住到了大太太那边。 挨下来，福珞跟明秀同住同起，是很自然的事。准儿媳跟准婆婆晨夕碰面，身边是该有个外姓同龄女伴作陪，以免尴尬。明秀红着脸低着头， 不再评价客人的住宿，老太太却谈起福珞来：“珞儿这孩子，我记得比你小两岁。”“虚龄是小两岁。”明秀回道，“我比珞表妹大上二十个 月。”“她也没
4.直线关于直线对称
例.求直线L1:x – y–2 = 0关于直线L2 : 3x – y +3 = 0对称 的直线L3的方程。 y
解法一：先求得L1,L2交点 M的坐标，再由到角公式 求得L3的斜率K3，最后由 点斜式写出方程。 解法二：先求得L1,L2交点M，再在 L1上取一点p，求出其关于L2的对称 点Q，由两点式得方程 L3 ？ L2
对称性
点关于点对称
直线关于点对称
中心对称 点关于直线对称 轴对称 直线关于直线对称
1、点关于点对称
2a-x0 2b-y P’(___, 点P(x0,y0) ___) 0
关于点C ( a ,b ) 对称
-x0 -y 0 点P(x0,y0) ___) P’(___,
关于原点 ( o,o ) 对称