中考数学函数型综合问题2
[例4](黄冈市,2000)已知关于x.y的方程组
( x 1)2 y2 2有一个实数解,且反比例函 y xb
数 y 1 b 的图像在每个象限内,y都随x的增
x
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
解:由 ( x 1)2 y2 2 y x b
(1 )(2)
把(2)代入(1)中得 : ( x 1)2 ( x b)2 2
(3)图象如图示
[例2](十堰市,2001)已知:关于x的函数
y (a2 3a 2)x2 (a 1)x 1 4
的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围
(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点
A、B,其坐标为 A( x1,0), B( x2 ,0), 当
1 1 a2 3时 ,求a的值. x1 x2
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m)x2 2nx ( p m) 0 有两个相等的实数根. (2n)2 4( p m)( p m) 0 即p2 m2 n2 则PMN为直角三角形 又由二次函数的对称性知PM PN 故这个三角形是等腰直角三角形.
( 2)抛物 线的 顶点 为( 2,1), 代入 解析 式中 得
1 3a
2
,
x1
x2
a2
4 3a
2
1 1 x1 x2 4(a 1) a2 3 x1 x2 x1 x2
a2 4a 1 0
a 2 3 a 1,而 2 3 1舍去
a 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
[例3](鄂州市 ,2001)已知抛物线
y x2 2mx m 7 与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
的方程 1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
即1+2m+m-7<0
所以m<2 (法二)设y x2 2mx m 7与x轴的两 个交点为( x1,0),( x2 ,0) 据题意则有: ( x1 1)( x2 1) 0 即x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 又x1 x2 2m, x1 x2 m 7 m 7 2m 1 0 m 2
整理得 : 2x2 2(1 b)x b2 1 0 由于原方程组只有一个实数解
方程2x2 2(1 b)x b2 1 0有 两个相等的实根
即 : [2(1 b)]2 4 2(b2 1) 0 化简求解得: b 1或b 3
反比例函数y 1 b的图象在每一个象限 x
都随x的增大而增大 1 b 0即b 1
b 3则反比例函数为y 2 x
(a,3)在y 2 上 x
3 2 a
a 2 3
[例5](甘肃,2001)抛物线y ax2 bx c(a 0) 的顶点为P,与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧), PMN的三个内角P,M和N 所对的边分别为p, m, n,若关于x的一元二次方 程( p m)x2 2nx ( p m) 0有两个相等的实 数根. (1)试判定PMN的形状. ( 2)当 顶 点P的 坐 标 为( 2,1)时, 求 抛 物 线 的 解 析 式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为 直 径 的 圆 恰 好 与x轴 相 切, 求 该 圆 的 圆 心 坐 标.
y ax2 4ax 4a 1 又由(1)知MPC为等腰直角三角形, 如图示, MN 2PQ 2
又MN x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2
( x1 x2 )2 4 x1 x2 MN 2 4
而x1
x2
4,
x1 x2
4a 1 a
42 4 4a 1 4 a
一定有两个不相等的实数根
(4)2 4(3 k) 0
求得 : k 1
以AB为直径的圆恰 好与x轴相切 AB 2 k 即AB2 4k 2
而AB x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 在方程x2 4 x 3 k 0中 x1 x2 4, x1 x2 3 k 42 4(3 k ) 4k 2 化简得: k2 k 1 0
(3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.
解(1)依题意 0,即(4)2 8t 0
t 2 (2)设方程的两根为x1, x2 ,且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t s 1 1 x1 x2 2
x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
2.b 0时,一次函数为y kx b,
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函数y ax2 bx c(a 0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下
2.对称轴 3.顶点坐标
x b 2a
4.与x轴的交点
由(
b 2a
,
4ac4a来b决2定)
5.与y轴的交点(0,c)
b2 4ac
三.反比例函数y k (k 0) x
[例1](陕西省,2001)已知关于x的方程
x2 4x 2t 0 有两个实数根.
(1)求t的取值范围
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式.
求得 : k 1 5 1 2
圆心O'的坐标为(2, 1 5 ) 2
函数型综合问题
曾庆坤
y ax2 bx c(a 0)
函数与方程 的综合问题
一.一次函数y kx b(k 0) 1.b 0时,函数为y kx,这时y叫做x的正比例函数.
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
解得 : a 1
抛物线的解析式为y x2 4 x 3
(3)设平行于x轴的直线为y k
则如图示,圆心o,坐标为(2, k )
y k与抛物线y x2 4x 3
相交于A, B两点
yk
一定有两个不相等的实数根
y x2 4x 3
方程x2 4x 3 k即x2 4x 3 k 0
解 : (1)i当a2 3a 2 0时, a 1或a 2,
当a 1时,原函数为y 1 与x轴平行,没有交点 4
当a 2时,原函数为y x 1 是一个一次函数, 4
与x轴有一个交点.
ii.当a2 3a 2 0时, a 1且a 2,此时函数为二次函数 如果图象与x轴有交点,则有
(a 1)2 4(a2 3a 2) 1 0 4
即a 1 0
a 1 又a 1且a 2,所以a 1且a 2时,二次函数
y (a2 3a 2) x2 (a 1) x 1的图象与x轴有两个交点. 4
综上所述,当a 1时,函数的图象与x轴有交点.
1
(2)
x1
x2
a2
a
对于方程1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
(m 1)2 4 1 (m2 5) 4
2m 4
2(m 2)
对于方程1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
(m 1)2 4 1 (m2 5) 4
2m 4 2(m 2)
m 2
2(m 2) 0 此方程无实数根.
中考数学难点：多种函数“混合”综合型问题
中考数学难点：多种函数“混合”综合型问题
一次函数、反比例函数以及二次函数是初中数学需要掌握的函数知识内容，也是中考必考的热门知识板块。
纵观近几年全国各地中考试题，我们发现二次函数基本上与一次函数结合的综合问题较多；二次函数与反比例函数基本不会涉及；一次函数与反比例函数的综合问题时一个“冷门”中考考点。
经典例题1：
解题反思：
此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．
经典例题2：
解题反思：
本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
经典例题3：
解题反思：
本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点、三角形的中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、数形结合、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．
经典例题4：
解题反思：
此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
经典例题5：
解题反思：
（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题
•2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A 在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．特例感悟：（1）已知：a=-2，b=4，c=6．①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．猜想论证：（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C 不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．•2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．••3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n（n≥0）个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S△MNC=2，求点M的坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，一次函数y=kx+b的图象l 与抛物线C1只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究：y轴上是否存在定点G满足∠EGF=90°？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．••4．（2020•梁园区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，-4）．点P是抛物线上一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B 为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．••5．（2020•广州模拟）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3=0．（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；（2）若抛物线y=ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；（3）在（2）的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．••6．（2020•清江浦区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；（3）当m=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．••7．（2020•历下区校级模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．••的值；（3）延长AE，BD相交于点F，求证：四边形ECDF是平行四边形．••9．（2020•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx-1经过点A （-2，1）和点B（-1，-1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．••10．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线交x轴于A（-2，0），B（3，0），交y轴于C（0，4）．（1）求抛物线解析式；（2）点D在第一象限的抛物线上，△ACD与△BDO的面积比为2：3，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在点C与D之间的抛物线上取点E，EF∥AD交AC于F，EH⊥EF交x轴于G、交FB延长线于H，当EF+HG=EG时，求点E的坐标．二次函数综合大题练习211．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y=-x2+（m-2）x+3与y轴交于点C，与直线y=mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．（1）当AC⊥AB时，求m的值；（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO=∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．••• •（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．••14．（2020•浙江自主招生）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是（请在横线上直接写出答案即可）．••C．二次函数y=x2+2径为r．②若n=4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．••16．（2020•浙江自主招生）若二次函数y=x2-（2b+2）x+b2+2b的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=ax+2（a+1）的图象恒过定点C．（1）求点C的坐标及|AB|的值；（2）若△ABC为等腰三角形，求b的值．••轴交于点P．（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b是，请求出定值；若不是，说明理由．18．（2020•长春模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y=（x+1）2（x≤0）与抛物线y=（x-1）2（x≥0）就是关于直线x=0（y轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线y=（x+1）2+3（x≤1.5）关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线y=mx2-2m2x+2（m≠0，m≠4）交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．••19．（2020•青山区模拟）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y 轴交于点C．20．（1）如图1，已知A（-1，0），B（3，0）．21．①直接写出抛物线的解析式；22．②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；23．（2）如图2，直线y=-1与抛物线y=-x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．24．①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；25．②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？•••二次函数综合大题练习321．（2020•兴化市模拟）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y=kx-k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．••交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连••23．（2020春•雨花区校级月考）若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y=x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．••24．（2020春•沈河区校级月考）已知抛物线y=x2+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C．（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，抛物线上存在一点E，使△ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PM∥x直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式．••25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA=∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．•与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且S△PBD=S△BDQ，求满足条件的点P的横坐标．•27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知抛物线y=ax2-3ax+m与x轴交于A（-1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC=5．（1）求此抛物线的对称轴和解析式；（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD 的最小值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC=180°？若存在，请你求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．••28．（2020•长春模拟）定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．29．例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为()()⎩⎨⎧<+-≥+=11xxxxy.（1）直接写出函数y=x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．（3）点M是函数G：y=-x2+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．①当m=1时，若函数值y的范围是-1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1）为顶点的正方形ABCD 与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．••29．（2020•江岸区校级模拟）如图，已知直线AB：y=x-3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y=x2-2x-m与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD=∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD=CE，求m值．••30．（2020•福建模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，（1）求a、b满足的关系式；①求抛物线的解析式；②点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，线段MN 上有一点H，若∠HBA+∠MAB=90°，求证：HN的长为定值．•••二次函数综合大题练习431．（2020•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系x O y中，将抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+1相交于点A（0，1）和点B（3，-2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．••32．（2020•河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；•33．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=ax2-4ax+c的图象经过点A（0，-4）．（1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式．（2）已知点B（1，-4a），点C在直线AB上，且点C的横坐标为4，请直接写出点C的纵坐标（用含a的式子表示）．（3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围．••34．（2020春•沙坪坝区校级月考）阅读下面材料，回答问题材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；••35．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．••36．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B 两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y=ax+a交y正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y 轴交AD于E，求证：AF=DE．（3）如图2，直线DE：y=kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF=FE．若a=1，求点F坐标．••37．（2020•荔城区校级模拟）已知抛物线y=x2-2mx+m2-3（m是常数）（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点．（2）设抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别为B、D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．①若点P为△ABD的外心，求点P的坐标（用含m的式子表示）；请说明理由．••A（0，2），与x轴交于B（-3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ=OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．••39．（2020•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线y =x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y =x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若ABC PAB S S ∆∆=2，求点P 的坐标；（3）如图2，若点M 是位于直线AB 下方抛物线上一动点，以MA 、MB 为邻边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，请直接写出平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标．••40．（2020•山西模拟）综合与探究连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）连接OD，CD，求△OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．•。
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题
•2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A 在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．特例感悟：（1）已知：a=-2，b=4，c=6．①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．猜想论证：（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C 不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．•2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．••3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n（n≥0）个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S△MNC=2，求点M的坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，一次函数y=kx+b的图象l 与抛物线C1只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究：y轴上是否存在定点G满足∠EGF=90°？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．••4．（2020•梁园区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，-4）．点P是抛物线上一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B 为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．••5．（2020•广州模拟）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3=0．（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；（2）若抛物线y=ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；（3）在（2）的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．••6．（2020•清江浦区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；（3）当m=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．••7．（2020•历下区校级模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．••的值；（3）延长AE，BD相交于点F，求证：四边形ECDF是平行四边形．••9．（2020•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx-1经过点A （-2，1）和点B（-1，-1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．••10．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线交x轴于A（-2，0），B（3，0），交y轴于C（0，4）．（1）求抛物线解析式；（2）点D在第一象限的抛物线上，△ACD与△BDO的面积比为2：3，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在点C与D之间的抛物线上取点E，EF∥AD交AC于F，EH⊥EF交x轴于G、交FB延长线于H，当EF+HG=EG时，求点E的坐标．二次函数综合大题练习211．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y=-x2+（m-2）x+3与y轴交于点C，与直线y=mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．（1）当AC⊥AB时，求m的值；（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO=∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．••• •（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．••14．（2020•浙江自主招生）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是（请在横线上直接写出答案即可）．••C．二次函数y=x2+2径为r．②若n=4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．••16．（2020•浙江自主招生）若二次函数y=x2-（2b+2）x+b2+2b的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=ax+2（a+1）的图象恒过定点C．（1）求点C的坐标及|AB|的值；（2）若△ABC为等腰三角形，求b的值．••轴交于点P．（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b是，请求出定值；若不是，说明理由．18．（2020•长春模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y=（x+1）2（x≤0）与抛物线y=（x-1）2（x≥0）就是关于直线x=0（y轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线y=（x+1）2+3（x≤1.5）关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线y=mx2-2m2x+2（m≠0，m≠4）交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．••19．（2020•青山区模拟）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y 轴交于点C．20．（1）如图1，已知A（-1，0），B（3，0）．21．①直接写出抛物线的解析式；22．②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；23．（2）如图2，直线y=-1与抛物线y=-x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．24．①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；25．②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？•••二次函数综合大题练习321．（2020•兴化市模拟）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y=kx-k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．••交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连••23．（2020春•雨花区校级月考）若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y=x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．••24．（2020春•沈河区校级月考）已知抛物线y=x2+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C．（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，抛物线上存在一点E，使△ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PM∥x直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式．••25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA=∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．•与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且S△PBD=S△BDQ，求满足条件的点P的横坐标．•27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知抛物线y=ax2-3ax+m与x轴交于A（-1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC=5．（1）求此抛物线的对称轴和解析式；（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD 的最小值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC=180°？若存在，请你求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．••28．（2020•长春模拟）定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．29．例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为()()⎩⎨⎧<+-≥+=11xxxxy.（1）直接写出函数y=x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．（3）点M是函数G：y=-x2+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．①当m=1时，若函数值y的范围是-1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1）为顶点的正方形ABCD 与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．••29．（2020•江岸区校级模拟）如图，已知直线AB：y=x-3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y=x2-2x-m与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD=∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD=CE，求m值．••30．（2020•福建模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，（1）求a、b满足的关系式；①求抛物线的解析式；②点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，线段MN 上有一点H，若∠HBA+∠MAB=90°，求证：HN的长为定值．•••二次函数综合大题练习431．（2020•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系x O y中，将抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+1相交于点A（0，1）和点B（3，-2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．••32．（2020•河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；•33．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=ax2-4ax+c的图象经过点A（0，-4）．（1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式．（2）已知点B（1，-4a），点C在直线AB上，且点C的横坐标为4，请直接写出点C的纵坐标（用含a的式子表示）．（3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围．••34．（2020春•沙坪坝区校级月考）阅读下面材料，回答问题材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；••35．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．••36．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B 两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y=ax+a交y正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y 轴交AD于E，求证：AF=DE．（3）如图2，直线DE：y=kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF=FE．若a=1，求点F坐标．••37．（2020•荔城区校级模拟）已知抛物线y=x2-2mx+m2-3（m是常数）（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点．（2）设抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别为B、D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．①若点P为△ABD的外心，求点P的坐标（用含m的式子表示）；请说明理由．••A（0，2），与x轴交于B（-3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ=OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．••39．（2020•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线y =x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y =x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若ABC PAB S S ∆∆=2，求点P 的坐标；（3）如图2，若点M 是位于直线AB 下方抛物线上一动点，以MA 、MB 为邻边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，请直接写出平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标．••40．（2020•山西模拟）综合与探究连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）连接OD，CD，求△OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．•。
中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析
27． （江苏模拟）如图，在梯形纸片 ABCD 中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H， BC＝BH＝2．动点 F 从点 D 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿 DH 运动到点 H 停止，在运动过程中，过点 F 作 FE⊥AD 交折线 D－C－B 于点 E，将纸片沿直线 EF 折叠，点 C、D 的对应点分别是点 C1、D1．设 F 点运动的时间是 t（秒） ． （1）当点 E 和点 C 重合时，求 t 的值； （2）在整个运动过程中，设△EFD1 或四边形 EFD1C1 与梯形 ABCD 重叠部分面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式和相应自变量 t 的取值范围； （3）平移线段 CD，交线段 BH 于点 G，交线段 AD 于点 P．在直线 BC 上是否存在点 Q，使 △PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段 BQ 的长；若不存在，说明理由． B C E B C
数学专题之【动点综合型问题】精品解析 ———————————————————————————————————————
中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析
23． （江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从 A（1， 3） 、B（6，0）两点同时出发，点 O 为坐标原点．甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行走，t h 后，甲到达 M 点， 乙到达 N 点． （1）请说明甲、乙两人到达 O 点前，MN 与 AB 不可能平行． （2）当 t 为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长，设 s＝MN ，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、 乙两人之间距离的最小值． y A
A
H
D1
F
D
A
H
中考数学-函数与几何综合问题(共25题)(解析版)
专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D 3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y =a (x -1)(x -5)a >12的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点M 3，1 的直线将△ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．【答案】910或2+25或2+12【分析】先求得A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，直线BM 解析式为y =-12x +52，直线AM 的解析式为y =12x -12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM 过BC 中点，②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线ME ∥AC ，⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得AE AB =12，进而根据tan ∠MEN =tan ∠CBO ，即可求解．【详解】解：由y =a (x -1)(x -5)，令x =0，解得：y =5a ，令y =0，解得：x 1=1,x 2=5，∴A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，设直线BM 解析式为y =kx +b ，∴5k +b =03k +b =1解得：k =-12b =52 ∴直线BM 解析式为y =-12x +52，当x =0时，y =52，则直线BM 与y 轴交于0,52，∵a >12，∴5a >52，∴点M 必在△ABC 内部．1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线AM 的解析式为y =mx +n∴k +b =03k +b =1解得：m =12n =-12 则直线AM 的解析式为y =12x -12①如图1，直线AM 过BC 中点，，BC 中点坐标为52, 52a ，代入直线求得a =310<12，不成立； ②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，∴△CEN ∽△COA∴CE CO =CN CA =12，∴5a -15a =12，解得a =2+25；⑤如图5，直线ME∥AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO∴BE AB =12，又AB=4，∴BE=22，∵BN=5-3=2<22，∴不成立；⑥如图6，直线ME∥BC，同理可得AEAB=12，∴AE=22，NE=22-2，tan∠MEN=tan∠CBO，∴1 22-2=5a5，解得a=2+12；综上所述，a=910或2+25或2+12．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B-4,0(2)tan∠MND=13(3)存在，等腰三角形的个数是8个，Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4 -4,3【分析】(1)解方程得到OB，OC的长，从而得到点B的坐标；(2)由OD:OC=2:1，OC=2，得OD=4．由AD=BC=6，M是AD中点，得到点M的坐标，代入直线y =-x+b中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得∠FEO= 45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．从而△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2: 1，进而得到NK=2CK，易证∠KEN=∠KNE=45°，可得EK=NK=2CK，因此EC=CK，由EC=OC -OE=2-1=1可得CK=1，NK=2，EK=2，从而通过解直角三角形在Rt△ENK中，得到EN=EK cos∠KEN =22，在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=22，因此求得NH=EN-EH=322，最终可得结果tan∠MND=CHNH=13；(3)分PN=PQ，PN=NQ，PQ=NQ三大类求解，共有8种情况．【详解】(1)解方程x2-6x+8=0，得x1=4，x2=2．∵OB>OC，∴OB=4，OC=2．∴B-4,0；(2)∵OD:OC=2:1，OC=2∴OD=4．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6．∵M是AD中点，∴MD=3．∴M-3,4．将M-3,4代入y=-x+b，得3+b=4．∴b=1．∴E1,0，F0,1．∴∠FEO=45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．∵△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2:1．∴NK=2CK∵∠KEN=∠FEO=45°∴∠KNE=90°-∠KEN=45°∴∠KEN=∠KNE∴EK=NK=2CK∴EC=CK∵EC=OC-OE=2-1=1∴CK=1，NK=2，EK=2∴在Rt△ENK中，EN=EKcos∠KEN =2cos45°=22在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=1⋅cos45°=22∴NH =EN -EH =22-22=322∴tan ∠MND =CH NH =22322=13(3)解：由(2)知：直线EF 解析式为y =-x +1，N 3,-2 ，设P 0,p ，Q q ,-q +1 ，①当PN =QN =5时，3-0 2+-2-p 2=52，3-q 2+-2+q -1 2=52，解得p =-6或p =2，q =6+522或q =6-522，∴Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，P 10,-6 ，P 20,2 ，如图，△P 1Q 1N 、△P 1Q 2N 、△P 2Q 1N 、△P 2Q 2N 都是以5为腰的等腰三角形，；②当PQ =QN =5时，由①知：Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，∵6+522>5，∴PQ 2不可能等于5，如图，△P 3Q 1N ，△P 4Q 1N 都是以5为腰的等腰三角形，；③当PN=PQ=5时，由①知：P10,-6，P20,2，当P10,-6时，0-q2+-6+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=4，∴Q34,-3，如图，当P20,2时，0-q2+2+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=-4，∴Q4-4,3，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4-4,3【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是⊙O 的切线，证明见解析(2)1+52(3)y =x 0<x ≤1【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB =90°，从而∠CAB +∠ABC =90°，然后根据∠DBC =∠CAB ，可以得解；(2)由题意，据S 1⋅S =S 2 2得CD CD +AC =AC 2，再由tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC ，进而进行变形利用方程的思想可以得解；(3)依据题意，连接OM ，分别在Rt △OFM 、Rt △AFE 、Rt △BFN 中，找出边之间的关系，进而由FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，可以得解．【详解】(1)解：BD 是⊙O 的切线．证明：如图，在△ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∴∠ACB =90°．又点A ，B ，C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°．又∠DBC =∠CAB ，∴∠DBC +∠ABC =90°．∴∠ABD =90°．∴BD 是⊙O 的切线．(2)由题意得，S 1=12BC ⋅CD ，S 2=12BC ⋅AC ，S =12AD ⋅BC ．∵S 1⋅S =S 2 2，∴12BC ⋅CD ⋅12AD ⋅BC =12BC ⋅AC 2．∴CD •AD =AC 2．∴CD CD +AC =AC 2．又∵∠D +∠DBC =90°，∠ABC +∠A =90°，∠DBC =∠A ，∴∠D =∠ABC ．∴tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC．∴CD =BC 2AC．又CD CD +AC =AC 2，∴BC 4AC2+BC 2=AC 2．∴BC 4+AC 2⋅BC 2=AC 4．∴1+AC BC 2=AC BC4．由题意，设tan D 2=m ，∴AC BC2=m ．∴1+m =m 2．∴m =1±52．∵m >0，∴m =1+52．∴tan D 2=1+52．(3)设∠A =α，∵∠A +∠ABC =∠ABC +∠DBC =∠ABC +∠N =90°，∴∠A =∠DBC =∠N =α．如图，连接OM ．∴在Rt △OFM 中，OF =OM 2-FM 2=1-x 2．∴BF =BO +OF =1+1-x 2，AF =OA -OF =1-1-x 2．∴在Rt △AFE 中，EF =AF ⋅tan α=1-1-x 2 ⋅tan α，AE =AF cos α=1-1-x 2cos α．在Rt △ABC 中，BC =AB ⋅sin α=2sin α．(∵r =1，∴AB =2)AC =AB ⋅cos α=2cos α．在Rt △BFN 中，BN =BF sin α=1+1-x 2sin α，FN =BF tan α=1+1-x 2tan α．∴y =FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=x 2⋅12+21-x 2+12-21-x 2=x 2⋅2-21-x 2+2+21-x 24-41-x 2 =x 2⋅1x 2=x 2⋅1x=x ．即y =x ．∵FM ⊥AB ，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴0<x ≤1．综上，y =x 0<x ≤1 ．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】(1)k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2(2)①函数y 2的图像的对称轴为x =-13；②函数y 2的图像过两个定点0，1 ，-23,1 ，理由见解析(3)能构成正方形，此时S >2【分析】(1)根据题意得到a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0即可解答；(2)①求出y 1的对称轴，得到s =-3r ，表示出y 2的解析式即可求解；②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0求解即可；(3)由题意可知y 1=ax 2+bx +c ，y 2=cx 2-bx +a 得到A 、B 的坐标，表示出CD ，EF ，根据CD =EF 且b 2-4ac >0，得到a =c ，分a =-c 和a =c 两种情况求解即可．【详解】(1)解：由题意可知：a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0，∴m =3，n =2，k =-1．答：k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2．(2)解：①∵点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，∴对称轴为x =r +s 2=-2r 2，∴s =-3r ，∴y 2=sx 2-2rx +1，∴对称轴为x =--2r 2s =r s =-13．答：函数y 2的图像的对称轴为x =-13．②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0，解得x 1=0,x 2=-23，∴过定点0，1，-2 3 ,1．答：函数y2的图像过定点0，1，-2 3 ,1．(3)解：由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a，∴A-b2a ,4ac-b24a,B b2c,4ac-b24c，∴CD=b2-4aca ，EF=b2-4acc，∵CD=EF且b2-4ac>0，∴a =c ；①若a=-c，则y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD=2y A ，∴b2+4a2|a|=2⋅-4a2-b24a，∴2b2+4a2=b2+4a2，∴b2+4a2=4，∴S正=12CD2=12⋅b2-4aca2=12⋅b2+4a2a2=2a2，∵b2=4-4a2>0，∴0<a2<1，∴S正>2；②若a=c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB C Q．(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB C C的面积；(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB C C的面积为S，求S关于x的函数表达式．【答案】(1)43+8(2)S=323xx2+12+43【分析】(1)连接BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得△BDC为等边三角形，根据∠QPB=45°，可得△PBQ为等腰直角三角形，则PB=23，PQ=26，根据翻折的性质，可得∠BPB =90°，PB=PB ，则BB =26，PE=6；同理CQ=2，CC =22，QF=2；进而根据S四边形BB C C=2S梯形PBCQ-S△PBB+S △CQC，即可求解；(2)等积法求得BE =23x x 2+12，则QE =12x 2+12，根据三角形的面积公式可得S △QEB =123x x 2+12，证明△BEQ ∼△QFC ，根据相似三角形的性质，得出S △QFC =43x x 2+12，根据S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC 即可求解．【详解】(1)如图，连接BD 、BQ ，∵四边形ABCD 为菱形，∴CB =CD =4，∠A =∠C =60°，∴△BDC 为等边三角形．∵Q 为CD 中点，∴CQ =2，BQ ⊥CD ，∴BQ =23，QB ⊥PB ．∵∠QPB =45°，∴△PBQ 为等腰直角三角形，∴PB =23，PQ =26，∵翻折，∴∠BPB =90°，PB =PB ，∴BB =26，PE =6；.同理CQ =2，∴CC =22，QF =2，∴S 四边形BB C C =2S 梯形PBCQ -S △PBB +S △CQC =2×12×2+23 ×23-12×23 2+12×22=43+8；(2)如图2，连接BQ 、B Q ，延长PQ 交CC 于点F ．∵PB =x ，BQ =23，∠PBQ =90°，∴PQ =x 2+12．∵S △PBQ =12PQ ×BE =12PB ×BQ ∴BE =BQ ×PB PQ =23x x 2+12，∴QE =12x 2+12，∴S △QEB =12×23x x 2+12×12x 2+12=123x x 2+12．∵∠BEQ =∠BQC =∠QFC =90°，则∠EQB =90°-∠CQF =∠FCQ ，∴△BEQ ∼△QFC ，∴S △QFC S △BEQ =CQ QB 2=223 2=13，∴S △QFC =43x x 2+12．∵S △BQC =12×2×23=23，∴S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC =2123x x 2+12+23+43x x 2+12=323x x 2+12+43．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x 轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．【答案】(1)A2，0，B1，3；(2)①∠EDA的大小不变，理由见解析；②线段BF的长度存在最大值为12；(3)239【分析】(1)y=0得-3x2+23x=0，解方程即可求得A的坐标，把y=-3x2+23x化为顶点式即可求得点B的坐标；(2)①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，证明△AED是等边三角形即可得出结论；②由BM= AB-AF=2-AF，得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，证四边形OACB是菱形，得BC∥OA，进而证明△MBE≌△MHD得DH=BE，再证△BME∽△NAM，得ANBM=MNBE=AMME即1BM=MNBE=3，结合三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵y=-3x2+23x=-3x-12+3，∴顶点为B1，3，令y=0，-3x2+23x=0，解得x=0或x=2，∴A2，0；(2)解：①∠EDA的大小不变，理由如下：在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，∵y=-3x-12+3，∴抛物线对称轴为x=1，即ON=1，∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴△BAC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠C=60°，∵A2，0，B1，3，O0，0，ON=1，∴OA=2，OB=12+32=2，AB=2-12+32=2，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2，∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，∵∠MBE=60°，BM=BE，∴△BME是等边三角形，∴∠BME=60°=∠ABE，ME=BE=BM，∴∠AME=180°-∠BME=120°，BD∥EM，∵∠DBE=∠ABO+∠ABC=120°，∴∠DBE=∠AME，∵BD∥EM，∴∠FEM+∠BED=180°-120°=60°=∠AEF=∠MEA+∠FEM，∴∠BED=∠MEA，∴△BED≌△MEA，∴DE=EA，又∠AED=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°，即∠ADE的大小不变；②，∵BF=AB-AF=2-AF，∴当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，∵△DAE是等边三角形，∴∠DAF=12∠DAE=30,∴∠OAD=60°-∠DAF=30°，∴AD⊥OB，∴AD=OA×cos∠OAD=2×cos30°=3，∴AF=AD×cos∠DAF=2×cos30°=32，∴BF=AB-AF=2-32=12，即线段BF的长度存在最大值为12；(3)解：设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，∵OA=OB=AC=BC=2，∴四边形OACB是菱形，∴BC∥OA，∵DH⊥BN，AN⊥BN，∴DH∥BC∥OA，∴∠MBE=∠MHD，∠MEB=∠MDH，∵DE的中点为点M，∴MD=ME，∴△MBE≌△MHD，∴DH =BE ，∵∠ANM =90°，∴∠MBE =180°-90°=90°=∠ANM ，∠NMA +∠NAM =90°，∵DE 的中点为点M ，△DAE 是等边三角形，∴AM ⊥DE ，∴∠AME =90°，∴∠BME +∠NMA =180°，∴∠BME =∠NAM ，∴△BME ∽△NAM ，∴AN BM =MN BE =AM ME 即1BM =MN BE=3，∴BM =33， ∴MN =BN -BM =233，∴DH =BE =MN 3=23，∴S △BDE =S △BDM +S △BEM =12×33×23+12×33×23=239，故答案为239．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．【答案】(1)C (3,1)，D (0,2)，E (6,0)(2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)①设F (m ,0),然后利用勾股定理求解，m =2，过点C 作CG ⊥x 轴，垂足为G ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan ∠PFK =13，设点P 的坐标为t ,-t 2+3t +1 ，根据题意得13<t <3．分两种情况分析：(i )当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，tan ∠P 1FK =13,13<t <2．(ii )当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，tan ∠P 2FK =13,2<t <3．求解即可．【详解】(1)解：∵直线y =-13x +2交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当x =0时，y =2,∴D 0,2 ，当y =0时，x =6,∴E 6,0 ．∵直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点，∴-x 2+3x +1=-13x +2，∴3x 2-10x +3=0，解得x 1=13,x 2=3．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当x =3时，y =1．∴C (3,1)；(2)如图，①抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，当x =0时，y =1,．∴A (0,1),∴OA =1,在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，由勾股定理得AF 2=OA 2+OF 2，设F (m ,0),∴OF =m ,∴AF 2=1+m 2，∵E (6,0),．∴OE =6,∴EF =OE -OF =6-m ，∵AF 2+EF 2=21,∴1+m 2+(6-m )2=21,∴m 1=2,m 2=4，∵OF <EF ,∴m =2,∴OF =2，∴F (2,0)．∵D (0,2),∴OD =2，∴OD =OF ．∴△DOF 是等腰直角三角形，∴∠OFD=45°．过点C作CG⊥x轴，垂足为G．∵C(3,1),∴CG=1,OG=3，∵GF=OG-OF=1,∴CG=GF,∴△CGF是等腰直角三角形，∴∠GFC=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是直角三角形．②∵FK平分∠DFC,∠DFC=90°,∴∠DFK=∠CFK=45°∴∠OFK=∠OFD+∠DFK=90°,∴FK∥y轴．∵3tan∠PFK=1，∴tan∠PFK=13．设点P的坐标为t,-t2+3t+1，根据题意得13<t<3．(i)当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13,13<t<2．过点P1作P1H⊥x轴，垂足为H．∴P1H∥KF,∠HP1F=∠P1FK，∴tan∠HP1F=13．∵HF=OF-OH,∴HF=2-t，在Rt△P1HF中，∵tan∠HP1F=HFP1H =13,∴P1H=3HF，∵P1H=-t2+3t+1，∴-t2+3t+1=3(2-t),∴t2-6t+5=0,∴t1=1,t2=5(舍去)．当t=1时，-t2+3t+1=3,∴P1(1,3)(ii)当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13,2<t<3．过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M．∴P2M∥KF,∴∠MP2F=∠P2FK，∴tan∠MP2F=13,∵MF=OM-OF,∴MF=t-2在Rt △P 2MF 中，∵tan ∠MP 2F =MF P 2M=13,∴P 2M =3MF ，∵P 2M =-t 2+3t +1，∴-t 2+3t +1=3(t -2),∴t 2=7,∴t 3=7,t 4=-7(舍去)．当t =7时，-t 2+3t +1=37-6,∴P 2(7,37-6)∴点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】(1)4-x ；x(2)y =4x 2-12x +160<x ≤2 -4x +162<x ≤4(3)x =43或x =83【分析】(1)根据正方形中心对称的性质得出OM =OP ,OQ =ON ，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明△ANP ≌△CQM 即可；(2)分0<x ≤2，2<x ≤4两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；(3)根据(2)的图形，分类讨论即可求解．【详解】(1)解：依题意，AP =x ×1=x cm ，则PB =AB -AP =4-x cm ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ,∠DAB =∠DCB =90°，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴OM =OP ,OQ =ON ，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ =PN ，MQ ∥NP ，∴∠PNQ =∠MQN ，又AD ∥BC ，∴∠ANQ =∠CQN ，∴∠ANP =∠MQC ，在△ANP ,△CQM 中，∠ANP =∠MQC∠NAP =∠QCM NP =MQ，∴△ANP ≌△CQM ，∴MC =AP =x cm故答案为：4-x ；x ．(2)解：当0<x ≤2时，点Q 在BC 上，由(1)可得△ANP ≌△CQM ，同理可得△PBQ ≌△MDN ，∵PB =4-x ,QB =2x ,MC =x ，QC =4-2x ，则y =AB 2-2S △MCQ -2S △BPQ=16-4-x ×2x -x 4-2x=4x 2-12x +16；当2<x ≤4时，如图所示，则AP =x ，AN =CQ =2x -CB =2x -4，PN =AP -AN =x -2x -4 =-x +4，∴y =-x +4 ×4=-4x +16；综上所述，y =4x 2-12x +160<x ≤2-4x +162<x ≤4 ；(3)依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时∠PQM =90°，∴∠PQB +∠CQM =90°，∵∠BPQ +∠PQB =90°，∴∠BPQ =∠CQM ，又∠B =∠BCD ，∴△BPQ ~△CQM ，∴BP CQ =BQCM ，即4-x 4-2x =2x x，解得：x =43，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ =MQ ，∴4-x 2+2x 2=x 2+4-2x 2，解得：x =0(舍去)；②如图所示，当PB =CQ 时，四边形PQMN 是轴对称图形，4-x =2x -4，解得x =83，当四边形PQMN 是菱形时，则PN =PQ=4，即-x +4=4，解得：x =0(舍去)，综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，x =43或x =83．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45°，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A(4,3)，求FC的长；(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1-S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．【答案】(1)22.5°(2)FC=154(3)S=1n22【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出∠AOG=∠AOE，再由题意得出∠EOG=45°，即可求解；(2)过点A作AP⊥x轴，根据勾股定理及点的坐标得出OA=5，再由相似三角形的判定和性质求解即可；(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN=ON，∠FNO=90°，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出CG=OQ,CO=QG，结合图形分别表示出S1，S2，得出S=S1-S2=NQ2，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵正方形OABC，∴OA=OC，∠A=∠C=90°，∵OE=OF，∴Rt△OCF≌Rt△OAE(HL)，∴∠COF=∠AOE，∵∠COF=∠AOG，∴∠AOG=∠AOE，∵AB交直线y=x于点E，∴∠EOG=45°，∴∠AOG=∠AOE=22.5°，即∠COF=22.5°；(2)过点A作AP⊥x轴，如图所示：∵A (4,3)，∴AP =3,OP =4，∴OA =5，∵正方形OABC ，∴OC =OA =5，∠C =90°，∴∠C =∠APO =90°，∵∠AOP =∠COF ，∴△OCF ∽△OPA ，∴OC OP =FC AP即54=FC 3，∴FC =154；(3)∵正方形OABC ，∴∠BCA =∠OCA =45°，∵直线y =x ，∴∠FON =45°，∴∠BCA =∠FON =45°，∴O 、C 、F 、N 四点共圆，∴∠OCN =∠FON =45°，∴∠OFN =∠FON =45°，∴ΔFON 为等腰直角三角形，∴FN =ON ，∠FNO =90°，过点N 作GQ ⊥BC 于点G ，交OA 于点Q ，∵BC ∥OA ，∴GQ ⊥OA ，∵∠FNO =90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△FGN ≌△NQO (AAS )∴GN =OQ ,FG =QN ，∵GQ ⊥BC ，∠FCO =∠COQ =90°，∴四边形COQG 为矩形，∴CG =OQ ,CO =QG ，∴S 1=S ΔOFN =12ON 2=12OQ 2+NQ 2 =12GN 2+NQ 2 =12GN 2+12NQ 2，S 2=S ΔCOF =12CF ⋅CO =12GC -FG GN +NQ =12GN 2-NQ 2 =12GN 2-12NQ 2，∴S =S 1-S 2=NQ 2，∵∠OAC =45°，∴△AQN 为等腰直角三角形，∴NQ =22AN =22n ，∴S =NQ 2=22n 2=12n2【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，-1,0 ，12(2)2,3(3)m =217，13≤k <17【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可求得b =32、c =2，从而可得OB =4，OC =2，由y =0，可得-12x 2+32x +2=0，求得A -1,0 ，在Rt △COB 中，根据正切的定义求值即可；(2)过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，由tan ∠OCA =tan ∠ABC =12，即∠OCA =∠ABC ，再由∠PCB =2∠ABC ，可得∠EPC =ABC ，证明△PEC ∼△BOC ，可得EP OB=EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，可得t4=-12t 2+32t 2，再进行求解即可；(3)①作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．根据SAS 证明△BQE ≌△HDF ，可得BE +QF =FH +QF ≥QH ，即Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，设G (n ,0)，则Q n ,-12n 2+32n +2 ，根据QG =BG 求出点Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，求出BC 解析式，设T a ,-12a +2 ，P a ,-12a 2+32a +2 ，利用三角形面积公式表示出S ，利用二次函数的性质求出S 的取值范围，结合①中结论即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点B (4,0)，C (0,2)，∴-8+4b +c =0c =2 ，解得：b =32c =2 ，∴抛物线解析式为：y =-12x 2+32x +2，∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B (4,0)两点，∴y =0时，-12x 2+32x +2=0，解得：x 1=-1，x 2=4，∴A -1,0 ，∴OB =4，OC =2，在Rt △COB 中，tan ∠ABC =OC OB=24=12，故答案为：32，2，-1,0 ，12；(2)解：过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，∵AO =1，OC =2，OB =4，∴tan ∠OCA =AOCO=12，由(1)可得，tan ∠ABC =12，即tan ∠OCA =tan ∠ABC ，∴∠OCA =∠ABC ，∵∠PCB =2∠OCA ，∴∠PCB =2∠ABC ，∵CD ∥x 轴，EP ∥x 轴，∴∠ACB =∠DCB ，∠EPC =∠PCD ，∴∠EPC =ABC ，又∵∠PEC =∠BOC =90°，∴△PEC ∽△BOC ，∴EP OB =EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，则EP =t ，EC =-12t 2+32t +2-2=-12t 2+32t ，∴t4=-12t 2+32t 2，解得：t =0(舍)，t =2，∴点P 坐标为2,3 ．(3)解：①如图2，作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．∵∠BQD +∠BDQ =90°，∠HDF +∠BDQ =90°，∴∠QD =∠HDF ，∵QE =DF ，DH =BQ ，∴△BQE ≌△HDF (SAS )，∴BE =FH ，∴BE +QF =FH +QF ≥QH ，∴Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，∵OB =OD ，∠BOD =90°，∴∠OBD =45°，∵∠QBD =90°，∴∠QBG =45°，∴QG=BG．设G(n,0)，则Q n,-12n2+32n+2，∴-12n2+32n+2=4-n，解得n=1或n=4(舍去)，∴Q(2,3)，∴QG=BG=4-1=3，∴BQ=DH=32，QD=52，∴m=QH=322+522=217；②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，待定系数法可求BC解析式为y=-12x+2，设T a,-12a+2，P a,-12a2+32a+2，则S=12-12a2+32a+2+12a-2×4=-a-22+4，∴0<S≤4，∴0<14m2-k≤4，∴0<17-k≤4，∴13≤k<17．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①t=3；②t=6；③D125,6 5【分析】(1)由A(0,2),B(2,0)得到OA=OB=2，又由∠AOB=90°，即可得到结论；(2)由∠EOD=90°，∠AOB=90°得到∠AOE=∠BOD，又有AO=OB，OD=OE，利用SAS即可证明△AOE≌△BOD；(3)①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2-t+3x+3t=0，由Δ=(t+3)2-4×3t= (t-3)2=0即可得到t的值；②抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，则抛物线y2的顶点Pt-22,(t-2)22t，将顶点P t-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2得到t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,根据t>2即可得到t的值；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设EM=2OM=2m,由OA∥EM得到OC:CM=OA:EM,则tt+m =22m,求得m=tt-1,得到D2tt-1,tt-1，由抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3=-2tx2+2t(t-2)x-2(t-1)2,把D2tt-1,tt-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,得到3t2-19t+6=0,解得t1=13,t2=6,由t>2，得t=6,即可得到点D的坐标．【详解】(1)证明：∵A(0,2),B(2,0)，∴OA=OB=2，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形(2)如图，∵∠EOD=90°，∠AOB=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠DOE-∠AOD，∴∠AOE=∠BOD，∵AO=OB,OD=OE，∴△AOE≌△BOD(SAS)；(3)①设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(0,2),C(t,0)，∴b=2kt+b=0 ，∴y AC=-2tx+2，将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1=ax2+bx-4得，0=at2+bt-40=4a+2b-4，解得a=-2t,b=2t(t+2)，∴y1=-2t x2+2t(t+2)x-4，∵直线y AC=-2t x+2与抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4有唯一交点∴联立解析式组成方程组解得x2-t+3x+3t=0∴Δ=(t+3)2-4×3t=(t-3)2=0∴t=3②∵抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到y2，∴抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，∴抛物线y2的顶点P t-22,(t-2)22t，将顶点Pt-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2，∴t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,∵t>2，∴t=6；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N,∴∠EMO=∠OND=90°，∵∠DOE=90°，∴∠EOM+∠MEO=∠EOM+∠NOD=90°，∴∠MEO=∠NOD，∵OD=OE，∴△ODN≌△EOM(AAS)，∴ON=EM,DN=OM，∵OE的解析式为y=-2x，∴设EM=2OM=2m,∴DN=OM=m，∵EM⊥x轴,∴OA∥EM,∴△CAO~△CEM，∴OC:CM=OA:EM,∴t t+m =2 2m,∴m=tt-1,∴EM=ON=2OM=2m=2tt-1，DN=OM=m=tt-1，∴D2tt-1,t t-1,∵抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3，∴抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴D2tt-1,t t-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴3t2-19t+6=0,解得t 1=13,t 2=6,由t >2，得t =6,∴2t t -1=126-1=125,t t -1=66-1=65，∴D 125,65．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)S =-32x 2+23x(2)当x =2时，S 的最大值为23【分析】(1)过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，证明△AOC 是等边三角形，可得DE =x ，进而证明△CDF ∽△COB ，得出DF =34-x ，根据三角形面积公式即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：如图所示，过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，∵顶点A 的坐标为2,23 ，∴OA =22+232=4，OG =2，AG =23∴cos ∠AOG =OG AO=12，∴∠AOG =60°∵四边形OABC 是菱形，∴∠BOC =∠AOB =30°，AC ⊥BD ,AO =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO =60°，∵DE ⊥OB ，∴DE ∥AC ,∴∠EDO =∠ACO =60°∴△EOD 是等边三角形，。
2018中考数学-二次函数性质综合题
第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．考向2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18)针对演练1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由．5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)．(1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)；(2) 在x >0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k )x －1－k (k 是实数)，探索发现了以下四条结论：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)； ③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32； ④当k ≠0时，函数图象总经过两个定点．请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8， ①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16，∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)， ∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2，∴A (0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m 2m＝1， ∴B (1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1，当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x ≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2，∴－m －2＝－3，∴m ＝1，当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.故m 的值为1或－18. (3)易得A 点关于对称轴直线x ＝1的对称点A ′(2，－2)，则直线l 经过A′、B ，设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2， ∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称，则抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方， ∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1，当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4，∴抛物线过点(－1，4)，当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4，解得m ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－4x －2.3. 解：(1)∵直线y ＝x －1与x 轴的交点为(1，0)，y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2经过点(1，0)， ∴0＝k ＋3k ＋2＋2k ＋2，∴6k ＋4＝0，即k ＝－23. ∴抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋23. (2)∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是二次函数图象上两个点，∴y 1＝kx 21＋(3k ＋2)x 1＋2k ＋2，y 2＝kx 22＋(3k ＋2)x 2＋2k ＋2，两式相减，得y1－y2＝[kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2] ＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，当x1＞x2时，y1＞y2；当x 1＝x 2时，y 1＝y 2；当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；4. 解：(1)∵点A (1，k )在反比例函数图象上，∴设反比例函数为y ＝k x ， ∵k ＝－2，∴y ＝－2x； (2)要使得反比例函数是y 随着x 的增大而增大，∴k <0.而对于二次函数y ＝kx 2＋kx －k ，其对称轴为x ＝－12， 要使二次函数满足上述条件，在k <0的情况下，则x 必须在对称轴的左边，即x <－12时，才能使得y 随着x 的增大而增大； 综上所述，则k <0，且x<－12时，反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大； (3)由(2)可得Q (－12，－54k )；第4题解图∵A 点与B 点关于原点对称，∴原点O 平分AB .又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，∴OQ ＝OA ＝OB .作AD ⊥OC ，QC ⊥OC ，OQ ＝CQ 2＋OC 2＝2516k 2＋14. 而OA ＝AD 2＋OD 2＝1＋k 2， ∴14＋2516k 2＝1＋k 2，则k ＝233或k ＝－233.考向2 函数类型不确定型针对演练1. 解：k只有取－1时，才有最大值，当k＝1，函数为y＝－4x＋4，是一次函数，一次函数无最值，当k＝2，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值；当k＝－1，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为y＝－2(x＋1)2＋8，则当x＝－1时，y max＝8.2. 解：(1)当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，则此函数为二次函数，它的图象与x轴交于点(1，0)、(－3，0)，与y轴的交点为(0，3)，顶点为(－1，4)，利用描点法所画函数的图象如解图：第2题解图(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可)(3)k＝2时，函数y2＝(x－1)2，此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3图象的顶点坐标为(－3，－2)，则y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数的最小值等于－2.3. 解：(1)如两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，画出函数图象如解图，第3题解图(2)不论k 取何值，函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x 轴至少有1个交点. 证明如下：由y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1，得k (x 2＋2x )＋(x －y ＋1)＝0.当x 2＋2x ＝0且x －y ＋1＝0，即x ＝0，y ＝1或x ＝－2，y ＝－1时，上式对任意实数k 都成立，所以函数的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)．又因为当k ＝0时，函数y ＝x ＋1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，∵Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，所以函数图象与x 轴有两个交点．所以函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出m ≤－1的数都可以.∵k <0， ∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴x ＝－2k ＋12k的左侧时，y 随x 的增大而增大. 4. (1)证明：若k ＝1时，函数为一次函数，与x 轴有交点，若k≠1时，函数为二次函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2Δ＝1－4(k －1)(2－k )＝(2k －3)2≥0，∴不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)解：∵函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2过原点，∴－k ＋2＝0，∴k ＝2，∴y ＝x 2＋x ，令y ＝x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，∴函数图象与x 轴的另一个交点为(－1，0)；(3)解：①k －1＝0即k ＝1时，函数y ＝x ＋1为一次函数，无最小值． ②当k －1＞0即k ＞1时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即4（k －1）（2－k ）－14（k －1）＝－3，解得k＝3±152，均符合题意．故此时k的值为3±15 2.5. 解：(1)将x ＝－2代入，得y ＝k (－2)2＋(2k －1)·(－2)－2＝0， 故不论k 取何值，此函数图象一定经过点(－2，0).(2)①若k ＝0，此函数为一次函数y ＝－x －2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴k ＝0符合题意．②若k ≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过(－2，0)、(0，－2)， ∴要使当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，开口向下，需满足k ＜0即可． 综上，k 的取值范围是k ≤0. (3)由题意可知2×|2k －1－2k|＝4. 解得k ＝－12或k ＝16. 故此时k 的值为－12或16.第5题解图6. 解：①假命题；理由：当k ＝0时，y ＝x －1为一次函数，与坐标轴只有两个交点；②真命题；理由：当k ＝－3时，y ＝－6x 2＋4x ＋2＝－6(x －13)2＋83， ∴顶点坐标是(13，83)； ③真命题；理由：当k >0时，令y ＝0得：Δ＝(1－k )2－4×2k (－1－k )＝(3k ＋1)2， ∴x ＝k －1±（3k ＋1）4k ，∴x 1＝1，x 2＝－12－12k ，∵|x 1－x 2|＝32＋12k >32，∴函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④真命题；理由：当k ≠0时，y ＝2kx 2＋(1－k)x －1－k ＝(2x 2－x －1)k ＋x －1， 当2x 2－x －1＝0时，y 的值与k 无关，此时x 1＝1，x 2＝－12； 当x 1＝1时，y 1＝0；当x 2＝－12时，y 2＝－32， ∴函数图象总经过两个定点(1，0)，(－12，－32)．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
二次函数新定义型综合问题 中考数学
抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 新定义型二次函数之共生或伴随抛物线【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线20.5y x =与22y x =-是共生抛物线，已知抛物线()212:213C y x =-++的顶点是点P ，它的共生抛物线2C 的顶点是Q ；(1)点P 的坐标是 ，点Q 的坐标是_________，抛物线2C 的函数关系式是 ．(2)直线y m =与抛物线1C 、2C 均有两个交点，这些交点从左到右分别是A 、B 、C 、D ．①求m 的取值范围 ；②若AB CD =，求m 的值；【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数21y ax bx c =++，其中a 、b 、c 为常数，a c ≠，定义：函数22y cx bx a =++是21y ax bx c =++的衍生函数，点(),M a c 是函数21y ax bx c =++的衍生点，设函数21y ax bx c =++与其衍生函数的图象交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)若函数21y ax bx c =++的图象过点()13C -，、 ()15D -，，其衍生点()1M c ，，求函数21y ax bx c =++的解析式；(2)①若函数21y ax bx c =++的衍生函数为221y x =-，求A 、B 两点的坐标；②函数21y ax bx c =++的图象如图所示，请在图中标出点A 、B 两点的位置；(3)是否存在常数b ，使得无论a 为何值，函数21y ax bx c =++的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．1．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”，例如，抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为2321y x x =++已知抛物线1C ：2443(0)y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，1C 与y 轴交于点E．本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．(1)若点E 的坐标为()0,1-，求1C 的解析式；(2)设2C 的顶点为F ，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；(3)过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C ，于点M ，N ．①当MN =6时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线()y a x h k =-+称为抛物线()2y a x h k =-+的伴随直线，如直线()12y x =-+-为抛物线()212y x =-+-的伴随直线．(1)求抛物线2245y x x =-+的伴随直线；(2)无论a 取何值，抛物线1G ：()2212y ax a x a =--+-总会经过某定点，抛物线2G ：()()13y m x x m =---的伴随直线经过该定点，求m 的值；(3)顶点在第一象限的抛物线()214y a x a =--+与它的伴随直线交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，当90BAC ∠=︒时，y 轴上存在点P ，使得APB ∠取得最大值，求此时点P 的坐标．题型二 新定义型二次函数之特殊形状问题【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．【概念理解】（1）抛物线()()1212y x x =--与抛物线2232y x x =-+是否围成“月牙线”？说明理由．【尝试应用】（2）抛物线211(1)22y x =--与抛物线2212y ax bx c a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭组成一个如图所示的“月牙线”，与x 轴有相同的交点M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为,A B ．①求::a b c 的值．②已知点()0,P x m 和点()0,Q x n 在“月牙线”上，m n >，且m n -的值始终不大于2，求线段AB 长的取值范围．【例2】二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：…()1,3B -()0,0O ()1,1C -A （___，___）()3,3D ……()5,3B '-()4,0O '()3,1C '()2,0A '()1,3D '-…①补全表格；本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线1y =-与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”1L ：2y x =-与直线1y =-相交于P ，Q ．(1)抛物线1L 的“反碟长”PQ =________．(2)抛物线随其顶点沿直线12y x =向上平移，得到抛物线2L ．①当抛物线1L 的顶点平移到点()6,3，抛物线2L 的解析式是________．抛物线2L 的“反碟长”是________．②若抛物线2L 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）A ．15B ．16C ．24D ．25③当抛物线2L 的顶点A 和抛物线2L 与直线1y =-的两个交点B ，C 构成一个等边三角形时（点B 在点C 左右），求点A 的坐标．题型三 新定义型二次函数与其他函数的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x 与函数值y 满足：当()()0x m x n --≤时，()()0y m y n --≤（,m n 为实数，且)m n <，我们称这个函数在m n →上是“民主函数”．比如：函数1y x =-+在12-→上是“民主函数”．理由： 由[(1)](2)0x x ---≤，得12x -≤≤． 1x y =-，112y ∴-≤-≤，解得12y -≤≤，[(1)](2)0y y ∴---≤，∴是“民主函数”．(1)反比例函数6y x=是23→上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：(2)若一次函数y kx b =+在m n →上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含,m n 的代数式表示）；(3)若抛物线2(0,0)y ax bx c a a b =++>+>在13→上是“民主函数”，且在13x ≤≤上的最小值为4a ，设抛物线与直线3y =交于,A B 点，与y 轴相交于C 点．若ABC 的内心为G ，外心为M ，试求MG 的长．【例2】（2023·江苏南通·一模）定义：若函数图象上存在点()1M m n ，，()21M m n '＋，，且满足21n n t -=，则称t 为该函数的“域差值”．例如：函数23y x =+，当x m =时，123n m =+；当1x m =+时，221252n m n n =+-=，则函数23y x =+的“域差值”为2(1)点12'1M m n M m n +（，），（，）在4y x =的图象上，“域差值”4t =-，求m的值；本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．ABC(2)已知函数220y x x =-（＞），求证该函数的“域差值”2t <-；(3)点A a b （，）为函数22y x =-图象上的一点，将函数22y x x a =-≥（）的图象记为W 1，将函数22y x x a =-≤（）的图象沿直线y b =翻折后的图象记为2W 当12W W ，两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”1t ≤时，求a 的取值范围．1．（2023·江苏南通·一模）定义：若函数1G 的图象上至少存在一个点，该点关于x 轴的对称点落在函数2G 的图象上，则称函数1G ，2G 为关联函数，这两个点称为函数1G ，2G 的一对关联点．例如，函数2y x =与函数3y x =-为关联函数，点()1,2和点()1,2-是这两个函数的一对关联点．(1)判断函数2y x =+与函数y =-3x是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；(2)若对于任意实数k ，函数2y x b =+与5y kx k =++始终为关联函数，求b 的值；(3)若函数21y x mx =-+与函数224n y x =-(m ，n 为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求2226m n m -+的取值范围．2．（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y 关于x 的函数，函数在 ()1212x x x x x ≤≤<范围内的最大值，记作 []12,M x x 如函数2y x =，在13x -≤≤范围内，该函数的最大值是6， 即，[]1,36M -=．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数 ()22141y a x x a =--+-（a 为常数）(1)若2a =．①直接写出该函数的表达式，并求 []1,4M 的值；②已知 5,32M p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求p 的值．(2)若该函数的图象经过点()0,0， 且[]3,M k k -=， 求k 的值．题型四 新定义型二次函数与几何图形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+（或满足11y kx b ≥+且22y kx b ≤+），则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“界线”．例如：直线4y x =-+是函数4(0)y x x=>的图象与抛物线2y x =-的一条“界线”．已知点(,2),(,2),(4,2),(4,2)A m B m C m D m -+-+．(1)若2m =-，在直线①3y x =+，②4y x =-+，③27y x =-+中，是函数6(0)y x x=>的图象与正方形ABCD 的“界线”的有______（填序号）；(2)若点E 的坐标是(0,4),E的半径为E 与正方形ABCD 的“界线”有且只有一条，求“界线”l 的函数关系式；(3)若存在直线2y x b =+是函数223(22)y x x x =++-≤≤的图象与正方形ABCD 的“界线”，求m 的取值范围．【例2】（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q为平面内不重合的两个点，其本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．1．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠的图象顶点为P （不与坐标原点重合），以OP 为边构造正方形OPMN ，则称正方形OPMN 为二次函数2y ax bx c =++的关联正方形，称二次函数2y ax bx c =++为正方形OPMN 的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．(1)如图，直接写出二次函数2(1)2y x =+-的关联正方形OPMN 顶点N 的坐标___,并验证点N 是否为伴随点___（填“是”或“否”）：(2)当二次函数24y x x c =-++的关联正方形OPMN 的顶点P 与N 位于x 轴的两侧时，请解答下列问题：①若关联正方形OPMN 的顶点M 、N 在x 轴的异侧时，求c 的取值范围：②当关联正方形OPMN 的顶点M 是伴随点时，求关联函数24y x x c =-++的解析式；③关联正方形OPMN 被二次函数24y x x c =-++图象的对称轴分成的两部分的面积分别为1S 与2S ，若1213S S ≤，请直接写出c 的取值范围．2．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2y ax bx c =++的“衍生直线”．如图1，抛物线2y x bx c =-++与其“衍生直线”交于A ，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点()3,0C -．(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；(2)如图2，抛物线2y x bx c =-++的“衍生直线”与y 轴交于点1D ，依次作正方形111DEFO ，正方形2221D E F F ，…，正方形1n n n n D E F F -（为正整数），使得点1D ，2D ，3D ，…，n D 在“衍生直线”上，点1F ，2F ，3F ，…，n F 在x 轴负半轴上．①直接写出下列点的坐标：1E ______，2E ______，3E ______，n E ______；②试判断点1E ，2E ，…，n E 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．3．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
中考数学真题- 函数与几何综合问题
函数与几何综合问题一、解答题1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ． （1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ． ①若BA BO =，求证：CD CO =．①若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，分别交x 轴、y 轴于()2,0A ，()0,8B ，连结AB ．直线CM 分别交M 于点D ，E （点D 在左侧），交x 轴于点()17,0C ，连结AE ．（1）求M 的半径和直线CM 的函数表达式．（2）求点D ，E 的坐标．（3）点P 在线段AC 上，连结PE ．当AEP ∠与OBD 的一个内角相等时，求所有满足条件的OP 的长．3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与y 轴的正半轴交于点A ，与反比例函数4y x=的图像交于,P D 两点．以AD 为边作正方形ABCD ，点B 落在x 轴的负半轴上，已知BOD 的面积与AOB 的面积之比为1:4．（1）求一次函数y kx b =+的表达式： （2）求点P 的坐标及CPD △外接圆半径的长．4．（2021·江苏中考真题）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，90AEF ∠=︒，设BE m =．（1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ， ①当13m =时，求线段CF 的长；①在PQE ¢V 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M -、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B 、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围； （3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:42l y x =+分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，点(),P x y 为直线l 在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作PAO的外接圆C，延长PC交C于点Q，当POQ△的面积最小时，求C的半径．7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B （0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F 的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数33y x42=+的图象与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点(),3A a ，与x 轴相交于点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C ，交x 轴正半轴于点D ，当ABD △是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0ky k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值． 10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点B ，求k 的值．11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1k y x=（0x >）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点E 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，点P 的坐标为______．12．（2021·广西中考真题）如图①，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，14BC =，8AD =，6BD =点E 是AD 上一动点（不与点A ，D 重合），在ADC 内作矩形EFGH ，点F 在DC 上，点G ，H 在AC 上，设DE x =，连接BE ．（1）当矩形EFGH 是正方形时，直接写出EF 的长；（2）设ABE △的面积为1S ，矩形EFGH 的面积为2S ，令12S y S =，求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）如图①，点(,)P a b 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P 的直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于M ，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由．13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． （理解）（1）如图1，,AC BC CD AB ⊥⊥，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ．已知AD a =，()0BD b a b =<<．①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；①比较大小：CE __________CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()10y x x=>的图像上，横坐标分别为m 、n ．设11,p m n q m n =+=+，记14l pq =． ①当1,2m n ==时，l =__________；当3,3m n ==时，l =________；①通过归纳猜想，可得l 的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数my x=的图象经过点(2,3)A ．（1）求该反比例函数的表达式； （2）如图，在反比例函数my x=的图象上点A 的右侧取点C ，作CH ①x 轴于H ，过点A 作y 轴的垂线AG 交直线CH 于点D ．①过点A ，点C 分别作x 轴，y 轴的垂线，交于B ，垂足分别为为F 、E ，连结OB ，BD ，求证：O ，B ，D 三点共线；①若2AC OA =，求证：2AOD DOH ∠=∠．15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD 的两边,AB BC 的长分别为3，8，C ，D 在y 轴上，E 是AD 的中点，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点E ，与BC 交于点F ，且1CF BE -=． （1）求反比例函数的解析式； （2）在y 轴上找一点P ，使得23CEPABCD SS =矩形，求此时点P 的坐标．16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·湖北中考真题）抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点C 的坐标是()0,3，点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标； ①如图（2），若点D 在抛物线上，且ACDE 的面积是12，求点E 的坐标；（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点，若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证FG FH +的值是定值． 18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；①连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值．19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点． （1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时， ①求点M 的坐标： ①若点15,4B y ⎛⎫⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．20．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．21．（2021·四川中考真题）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D ¢处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D ¢左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．23．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F 的坐标；①过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值；（3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．24．（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()()14y x x n =-+-与x 轴交于点A 和点()(),04B n n ≥-，顶点坐标记为()11,h k ．抛物线()222229y x n n n =-+-++的顶点坐标记为()22,h k ．（1）写出A 点坐标；（2）求1k ，2k 的值（用含n 的代数式表示）； （3）当44n -≤≤时，探究1k 与2k 的大小关系； （4）经过点()229,5M n n+-和点()22,95N n n -的直线与抛物线()()14yx x n =-+-，()222229y x n n n =-+-++的公共点恰好为3个不同点时，求n 的值．25．（2021·山西中考真题）如图，抛物线21262y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D ． ①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；①设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．26．（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”． （1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时． ①求c 的取值范围； ①求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式； （2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．28．（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．29．（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()()0,2,4,0A B -两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为,G DG 分别交直线,BC AB 于点,E F ．（1）求抛物线212y x bx c =++的表达式； （2）当12GF =，连接BD ，求BDF 的面积；（3）①H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标；①在①的条件下，第一象限有一动点P ，满足2PH PC =+，求PHB △周长的最小值．30．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．①设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．31．（2021·江苏中考真题）如图，二次函数()21y x m x m =-++（m 是实数，且10m -<<）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其对称轴与x 轴交于点C ，已知点D 位于第一象限，且在对称轴上，OD BD ⊥，点E 在x 轴的正半轴上，OC EC =．连接ED 并延长交y 轴于点F ，连接AF ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）； （2）已知点Q 在抛物线的对称轴上，当AFQ △的周长的最小值等于125，求m 的值．32．（2021·贵州中考真题）如图，抛物线()2=2+0y ax x c a -≠与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线的顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P 、Q 的坐标；（3）已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与①BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y m x x -++⋅=->与x 轴交于()()1,0,,0A B m -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC 面积最大时，求点P 的坐标； （3）设直线12y x b =+与抛物线交于,B G 两点，问是否存在点E （在抛物线上）．点F （在抛物线的对称轴上），使得以,,,B G E F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F 的坐标；若不存在，说明理由． 34．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标； （3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．35．（2021·湖北中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A 出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ①sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．36．（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O 的半径为，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．37．（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，OA AB =，且线段OA 的长是方程2450x x --=的根，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，4tan 3BAE ∠=，动点M 以每秒1个单位长度的速度，从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，到达点B 停止．过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，以MD 为边作正方形MDCF ，点C 在线段OA 上，设正方形MDCF 与AOB ∆重叠部分的面积为S ，点M 的运动时间为()0t t >秒．（1）求点B 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当点F 落在线段OB 上时，坐标平面内是否存在一点P ，使以M A O P 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．。