1998年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
0
x4 4
x3 3
x2
0 1
x4 4
x3 3
x2
2 0
0 (1 1 1) (4 8 4) 5 8 37 .
43
3
12 3 12
(3)【答案】 cot x ln sin x cot x x C.
【解析】因为 cot
x
csc2
x
1 sin 2
x
,所以
ln sin x sin2 x dx
x tf (x2 t2 )dt 0
u x2 t2
0
tf
x2
(u)
1 2t
du
0 x2
1 2
f
(u)du
1 2
x2
f (u)du ,
0
d x tf (x2 t2 )dt 1 d x2 f (u)du 1 f (x2 ) x2 1 f (x2 ) 2x xf (x2 ) .
由 yn
( xn
yn
)
1 xn
及
lim
n
xn
yn
0, lim 1 x n
n
0 可知 yn 为两个无穷小之积,故 yn 亦为无
穷小,应选(D).
方法2:排除法.
(A)的反例: xn
n,
yn
1 n2
,
lim
n
xn
yn
lim n
n
1 n2
lim
n
1 n
0 满足题设,但 lim n
yn
0
不发散；
(B)的反例:
dx 0
2 dx 0
2
2
(t)
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 F(t) f (x)dx ,(t) , (t) 均一 (t)
阶可导,则
F(t) (t) f (t) (t) f (t) .
(5)【答案】 y x 1 e
【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
计算积分 2 1 2
dx . x x2
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算 起)与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为 ,仪器所
4
由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供x 0 时, y 0 ；当 0 x 2 时, y 0,从而
A
0
ydx
2
ydx
0 (x3 x2 2x)dx
2 (x3 x2 2x)dx
1
0
1
四、(本题满分5分)
确定常数 a,b, c 的值,使 lim x0
ax sin x x ln(1 t3 ) dt
c(c
0).
bt
五、(本题满分5分)
利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简,并求出原方程的通 cos x
解.
六、(本题满分6分)
3
1 sin2 x sin2 x dx
cot
x
ln
sin
x
dx sin 2
x
1dx
cot x ln sin x cot x dx x
cot x ln sin x cot x x C .
【解析】作积分变量代换 u x2 t2 , t : 0 x u : x2 0 ,
du d x2 t2 2tdt dt 1 du , 2t
轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
设 y y(x) 是一向上凸的连续曲线,其上任意一点 (x, y) 处的曲率为 1 ,且此曲 1 y2
线上点 (0,1) 处的切线方程为 y x 1,求该曲线的方程,并求函数 y y(x) 的极值.
十一、(本题满分8分)
设 x (0,1) ,证明： (1) (1 x) ln2 (1 x) x2; (2) 1 1 1 1 1 .
xn
2k 1,
0,
n 2k 1, 0, n 2k, yn 2k,
n 2k 1, k 1, 2,
n 2k,
,
满足 lim n
xn yn
0
,但
yn 不是有界数列；
(C)的反例:
xn
:1,
1 2
,
1 3
,
,1, n
有界数列, yn 1(n 1, 2,
), 满足
lim
n
xn yn
lim
n
2 1 x2 1
lim
lim
x x0 2 1 x 1 x 2 x0
4x2
1 x2 1
1
2
1 x2
x2 lim x0
2 2x2
1. 4
方法2：采用洛必达法则.
原式 洛 lim
1 x
1 x 2 lim 2
1 1 x 2
1 1 x
x0
x2
x0
2x
1 1
lim 1 x 1 x lim 1 x 1 x 洛 lim 2 1 x 2 1 x
x0 4x 1 x2
x0
4x
x0
4
lim
x0
2
1 1 x 2
1 1 x 1 .
4
4
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 x2 项,
1
x
1
1 2
x1 8
x2
o1
x2
,
1 x
1
1 2
x1 8
x2
o2
x2
,
从而
原式
lim
1
1 2
x
1 8
x2
o1
x2
1
1 2
x
1 8
x2
o2
所以有斜渐近线 y x 1 . e
【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数
y
f (x) 在其间断点 x
x0
处有
lim
xx0
f (x) ,则
x x0 是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 lim f (x) a, (a为常数）,则 y a 为函数的水平渐近线. x
斜渐近线：若有 a lim f (x) ,b lim[ f (x) ax] 存在且不为 ,则 y ax b 为斜渐近线.
(5) 设 A 是任一 n(n 3) 阶方阵, A 是其伴随矩阵,又 k 为常数,且 k 0, 1,则必有
(kA) (A) kA
(B) k n1A
(C) k n A
()
(D) k 1A
三、(本题满分5分)
x tan( x )
求函数 f (x) (1 x) 4 在区间 (0, 2 ) 内的间断点,并判断其类型.
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1) lim x0
1 x 1 x 2 x2
.
(2) 曲线 y x3 x2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A
.
(3)
ln sin x sin2 x dx
x x
x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
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ln 2 ln(1 x) x 2
十二、(本题满分5分)
设 (2E C1B) AT C1 ,其中 E 是4阶单位矩阵, AT 是4阶矩阵 A 的转置矩阵,
求A.
1 2 3 2 1 2 0 1
B 0 1 2 3 ,C 0 1 2 0 , 0 0 1 2 0 0 1 2
0 0 0
1
0
0
0
1
十三、(本题满分8分)
x (a , a ) 时,必有
()
(A) (x a)[ f (x) f (a)] 0
(B) (x a)[ f (x) f (a)] 0
(C) lim f (t) f (x) 0(x a) ta (t x)2
(D) lim f (t) f (x) 0(x a) ta (t x)2
.
(4) 设 f (x) 连续,则 d x tf (x2 t2 )dt
dx 0
(5) 曲线 y x ln(e 1 )(x 0) 的渐近线方程为 x
. .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)
考察 f (x) 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由
(x2 x 2)x(1 x2 ),
f
(x)
( x 2
(
x2
x x
2) 2)
x(x2 x(1
1), x2 ),
(x2 x 2)x(x2 1),
x2
2
x0
x2
lim
x0
1 4
x2
o1
1998考研数学真题
1998考研数学真题考研数学是研究生入学考试中重要的一部分，对于数学专业的考生来说尤为重要。
为了帮助考生更好地备考，下面将介绍1998年考研数学真题，并进行详细的解析与讲解。
一、多选题1.设集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5,6}，C={1,3,5}，则(A∪B)*C的结果是：A. {1,3,5,6}B. {1,2,3,4,5,6}C. {1,2,3,4,5}D. {2,3,4,5}答案：C解析：首先计算A∪B，得到{1,2,3,4,5,6}，然后将结果与C计算得到的{1,3,5}进行运算，得到{1,2,3,4,5}，故选项C为正确答案。
2.设集合A={x|x=a^2, a∈N}，B={y|y=b^2, b∈N}，若A∩B={9}，则a,b分别为：A. a=√3, b=√3B. a=√3, b=3C. a=3, b=√3D. a=3, b=3答案：C解析：由题意可知，A是平方数集合，B也是平方数集合，且A∩B={9}，则可推断9=a^2=b^2，因此a=3，b=3，故选项C为正确答案。
二、填空题1.若1+2+3+...+1998= ？，则填写中间那个数答案：1999003解析：该题是求1到1998的等差数列的和，使用等差数列求和公式Sn=(a1+an)n/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数，代入a1=1，an=1998，n=1998，得到Sn=(1+1998)1998/2，计算结果为1999003。
2.设正整数n满足n^2-10n+9=0，那么n= ？答案：9解析：根据题意可得到n^2-10n+9=0，进行因式分解得到(n-9)(n-1)=0，因此n=9或n=1，但由题意要求正整数n，所以n=9为解。
三、计算题计算2sin45°+sin60°+cos30°的值。
答案：1.866解析：根据三角函数的定义和数值，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2，cos30°=√3/2，带入计算得到2sin45°+sin60°+cos30°=2*√2/2+√3/2+√3/2=√2+√3=1.866。
考研数学历年真题(1998-2007)年数学二
最新整理2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1ex- （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）函数在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ]（A ）0（B ）1（C ）2π-（D ）2π （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（ ）（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F =（C ））（）（2433F F =-（D ））（）（2453-=-F F [ ] （4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（A ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =（B ）若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.（5）曲线()1ln 1e xy x=++渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3. [ ]（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =）（Λ,2,1=n ，则下列结论正确的是： (A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛.(D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂.（B ） 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222yu y x u ∂∂=∂∂∂.(D) 222xu y x u ∂∂=∂∂∂. [ ]（12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则（ ）（A ）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.（C ）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.（D ）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ.(C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ] （A ）交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；3C 的方程32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a-⎛⎫⎪--⎪⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.(A) 求曲线 )(x f y =的方程；(B) 已知曲线x y sin =在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线)(x f y =的弧长s .九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)任意常数k 必有( )（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关； (B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关；(D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设.1001.)1(232)(22≤≤<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=x x e xe x x x f x x ，，，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在），（∞+0内可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足 x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次抛物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h 应为多少米？三、（本题满分6分）求⎰++1)12(22x xdx．四、（本题满分7分）求极限sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（在直角坐标系下曲率公式为K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）设函数)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([.1、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在],[a a -上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且矩阵X 满足X E E BXA AXB BXA AXA 阶单位矩阵，求是其中3,++=+．十二、（本题满分6分）已知4321,,,αααα是线性方程组0=AX 的一个基础解系，若144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，讨论实数t 满足什么关系时， 4321,,,ββββ也是0=AX 的一个基础解系．2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1） ()=+-→30x 21ln arctan limx xx _____________.-（2）设函数()x y y =由方程y x xy+=2所确定，则=-0x dy _____________.（3）()=-+⎰+∞227x x dx_____________.（4）曲线()xe x y 112-=的斜渐进线方程为_____________.（5）设E A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=7000650004300021为4阶单位矩阵，且()()()=+-+=--11,B E A E A E B 则_____________.10.具有特解xx x e y xe y e y 3,2,321===--的3阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（A ）.0=+'-''-'''y y y y （B ）.0=-'-''+'''y y y y（C ）.06116=-'+''-'''y y y y （D ）.022=+'-''-'''y y y y 三、解答题 11.设()()()⎰+=.,1ln ln dx x f xx x f 计算12.设xOy 平面上有正方形{}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ）（及直线()()t S t t y x l 若.0:≥=+表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求()().00⎰≥xx dt t S13.求函数()()()().3001ln 2≥=+=n f n x x x x f x阶导数处的在14.设函数(),cos 0dt t x S x⎰=（1）当n 为正整数，且()()();1221+<≤+<≤n x S n n x n 时，证明：ππ （2）求().lim xx S x +∞→15.某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ，流入湖泊内不含A 的水量为6V，流出湖泊的水量为3V.已知1999年年底湖中A 的含量为05m ，超过国家规定指标，为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过.0Vm问至多需经过多少年，湖泊中污染物A 的含量将至0m 以内？（注：设湖水中A 的浓度是均匀的.）1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1） 曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在点（0,1）处的法线方程为_____________. （2）设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，则=-0x dxdy _____________.（3）=+-+⎰dx x x x 13652_____________.（4）函数221x x y -=在区间]23,21[上的评价值为_____________. （5）微分方程xe y y 24=-''的通解为_____________.三、（本题满分5分） 求()21ln sin 1tan 1limxx x xx x -++-+→四、（本题满分6分） 计算.arctan 12dx x x⎰+∞五、（本题满分7分）求初值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧=>=-++=00,0122x y x xdy dx y x y 的解六、（本题满分7分） 为清楚井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，已知井深30m ，抓斗自重400N,缆绳每米重500N ，抓斗抓起的污泥重2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N ×1m=1J ；m,N,s,J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）七、（本题满分8分）已知函数(),123-=x x y 求 （1）函数的增减区间及极值； （2）函数图形的凸凹区间及拐点；（3）函数图形的渐近线。
1998年考研数学试题详解及评分参考
解：取沉放在原点 O, OY 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得
m
d2y dt 2
=
mg
-
Br
-
kv
，
将
d2y dt 2
=
v
dy dt
代入以消去 t
，得 v与y
之间的微分方程 mv
=
y - b3 b1 - b2
=
z - c3 与直 线 c1 - c2
x - a1 a2 - a3
=
y - b1 b2 - b3
=
z - c1 c2 - c3
(A) 相交于一点 (B) 重合
(D) 平行但不重合
(D) 异面
【答】 应选 (A) .
éa1 b1 c1 ù
a1 b1 c1
【解】 因 êêa2
则 ( A* ) 2 + E 必有特征值
.
【答】 应填 [ A ]2 +1. l
【解】 因 A 有特征值 l ，故 A-1 必有特征值 1 , 从而 A* = A A-1 必有特征值 | A | ，
l
l
因此 ( A* ) 2 + E 必有特征值 ( A )2 +1. l
(5) 设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随机变量 ( X ,Y ) 在
【解】
¶z ¶x
=
-
1 x2
f (xy) +
y x
f ¢(xy) +
yj ¢(x +
y) = yf ¢¢( xy) + j ¢(x +
y) +
yj ¢¢(x +
考研高数二真题及答案97年到12年
又由于 D3 , D4 关于 x 轴对称，可知在 D3 D4 上关于 y 的奇函数为零， 故
D3 D4
x 5 ydxdy 0 。
5 2 因此 x y 1 dxdy dxdy dx D D 2
1
sin x
dy ，故选（D） 。
2 2 2
dx
ey
dy ， x 0 、y 0 代入可得， 将 所以 dy dx dx
0 代入可得
x 0
0
x 0
再次求导得 2 d y e y dy e y d y ，再将 x 0 、 y 0 、 dy 2 2
dx dx dx Nhomakorabeadx
d2y dx 2
(A) x1 x2 , y1 y2 (C) x1 x2 , y1 y2 【答案】 ：(D) 【解析】 ： (B) x1 x2 , y1 y2 (D) x1 x2 , y1 y2
f ( x, y ) f ( x, y ) 0， 0 表示函数 f ( x, y ) 关于变量 x 是单调递增的，关于变量 y 是 x y
1
故选（B） 。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9）设 y y ( x) 是由方程 x y 1 e 所确定的隐函数，则 d
2 y
2
y
2 x 0
dx
【答案】 1 ：
________。
【解析】 ：将 x 0 代入原方程可得 y 0 方程 x 2 y 1 e y 两端对 x 求导， 2 x dy 有
1。
x 0
（10）计算 lim n
考研数学历年真题(1998-2007)年数学二
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1ex- （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）函数在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ]（A ）0（B ）1（C ）2π-（D ）2π （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（ ）（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F =（C ））（）（2433F F =-（D ））（）（2453-=-F F [ ] （4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（A ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =（B ）若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.（5）曲线()1ln 1e xy x=++渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3. [ ]（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =）（ ,2,1=n ，则下列结论正确的是： (A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛.(D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是[ ] （A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.α均为n ,,s,,s α线性相关，则,,s A α线性相关,,s α线性相关，则,,s A α线性无关,,s α线性无关，则,,s A α线性相关,,s α线性无关，则,,s A α线性无关阶矩阵，将A 行得B ，再将2,)（A ）F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.（C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.（D ）F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-.(D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab. (C) π)(b a +.(D)π2ba + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则（ ）（A ）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.（C ）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.（D ）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ.(C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ] （A ）交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2Ta =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）22(1)nn+1试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a-⎛⎫⎪--⎪⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年考研数学（二）真题(A) 求曲线 )(x f y =的方程；(B) 已知曲线x y sin =在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线)(x f y =的弧长s .九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.+++1cos四、（本题满分７分）设.11.)1(232)(22≤≤<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=xxexexxxfxx，，，求函数⎰-=x dttfxF1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(xf在），（∞+0内可导，0)(>xf，1)(lim=+∞→xfx，且满足xh exfhxxfh11))()((lim=+→，求)(xf．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dxyxxdy的一个解)(xyy=，使得由曲线)(xyy=与直线2,1==xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次抛物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h应为多少米？八、（本题满分８分）设31<<x，)3(1nnnxxx-=+（n＝1,2，…）．证明：数列｛nx｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设ba<<0，证明不等式abababbaa1lnln222<--<+．1、设1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f ，，则)]}([{x f f f =( ) （ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比()12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）（ A ）1； （B ）2；（C ）3； （D ）4．3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为( ) （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、已知函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内具有二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则( ) （A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内，有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内，有)(x f x <．5、已知函数)(x f y =在其定义域内可导，它的图形如图所示：则其导函数)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++1)12(22x xdx．四、（本题满分7分）求极限sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型．1、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在],[a a -上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且矩阵X 满足X E E BXA AXB BXA AXA 阶单位矩阵，求是其中3,++=+．十二、（本题满分6分）已知4321,,,αααα是线性方程组0=AX 的一个基础解系，若144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，讨论实数t 满足什么关系时， 4321,,,ββββ也是0=AX 的一个基础解系．2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1） ()=+-→30x 21ln arctan limx xx _____________.-（2）设函数()x y y =由方程y x xy+=2所确定，则=-0x dy _____________.（3）()=-+⎰+∞227x x dx_____________.（4）曲线()xe x y 112-=的斜渐进线方程为_____________.（5）设E A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=7000650004300021为4阶单位矩阵，且()()()=+-+=--11,B E A E A E B 则_____________.（C ）()().00的拐点）是曲线，点（x f y f = （D ）()()()()00.0f x f f ，点的极值不是也不是曲线()x f y =的拐点8.设函数()()x g x f ，是大于零的可导函数，且()()()()时，有则当b x a x g x f x g x f <<<'-',0（ ） （A ）()()()().x g b f b g x f > （B ）()()()().x g a f a g x f > （C ）()()()().b g b f x g x f > （D ）()()()().a g a f x g x f >9.若()()为则20306lim ,06sin lim x x f x x xf x x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+→→（ ） （A ）0.（B ）6.（C ）36.（D ）∞10.具有特解xx x e y xe y e y 3,2,321===--的3阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（A ）.0=+'-''-'''y y y y （B ）.0=-'-''+'''y y y y（C ）.06116=-'+''-'''y y y y （D ）.022=+'-''-'''y y y y 三、解答题 11.设()()()⎰+=.,1ln ln dx x f xx x f 计算12.设xOy 平面上有正方形{}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ）（及直线()()t S t t y x l 若.0:≥=+表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求()().00⎰≥xx dt t S13.求函数()()()().3001ln 2≥=+=n f n x x x x f x阶导数处的在14.设函数(),cos 0dt t x S x⎰=（1）当n 为正整数，且()()();1221+<≤+<≤n x S n n x n 时，证明：ππ21.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,1211032,1b a βββ，与向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=7691033213,2,1ααα，，具有相同的秩，且3β可由321ααα，，线性表示，求b a ,的值。
1998年考研数学二试题答案与解析
dx
1 4
−⎛⎜⎜⎜⎝ x
−
1 2
⎞⎠⎟⎟⎟2
=
lim
ε→0+
arcsin
(2x
−1)
1−ε 1
2
= arcsin1= π . 2
3
∫2 1
∫ dx
= lim
3 2
x2 − x ε→0+ 1+ε
M yn < xn yn < ε, 即
yn
<
1 M
ε,
所以 yn 必为无穷小。
（2） 函数 f (x) = (x2 − x − 2) x3 − x 不可导点的个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答 应选 C
分析 由按定义求导方法可知， x 在x = 0 不可导， x x 在 x = 0 处一阶可
π
（A） πe 4 （B） 2π
答 应选 A
（C） π
π
（D） e 4
分析
由微分与增量的关系可知， yΔx 1+ x2
的系数应是 dy
，从而 Δx
的系数
应是
y'
，即
y'
=
y 1+ x2
.
解此微分方程：
dy y
=
dx 1+ x2
.
得 ln y = arctan x + C1, y = Cearctan x , 由 y(0) = π知C = π ， 于 是
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（3）
已知函数 y =
y
(
1998年考研数学真题
1998年考研数学真题1998年考研数学真题以其难度较大、题型多样而广为人知。
以下将对该年的数学考题进行分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这一挑战。
一、选择题1998年考研数学选择题涵盖了代数、几何、概率和数学分析等多个领域。
这是一种常见的题型，要求考生在给出的选项中，选择一个或多个正确的答案。
对于选择题来说，提供合理的解题思路是非常重要的。
在解析问题之前，我将给出一些解决选择题的技巧：1. 循序渐进：仔细阅读题干和选项，首先选出易于解答的问题，然后逐步推进解决较难的问题。
2. 排除错误答案：通过逐个排除选项中显然错误的答案，减少解题的难度。
3. 合理估计：有时候，我们可以通过合理的估计将选项进行简化，从而更容易找到正确的答案。
二、解答题1998年考研数学的解答题主要涉及代数、几何和数学分析等领域。
以下是该年度的两个典型题目和解答过程。
1. 解答题一：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，且 f(a) = f(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f' (ξ) = 0.解答过程：根据题目的条件，我们可以得知 f(x) 在[a, b] 上连续，因此满足介值定理。
又因为 f(a) = f(b) ，那么函数 f(x) 当中一定存在一个极小值或者极大值点。
1. 若 f(x) 是单调递增函数，那么 f(a) < f(b)，则在 (a,b) 之间一定存在一个点ξ，使得f' (ξ) = 0.2. 若 f(x) 是单调递减函数，那么 f(a) > f(b)，则在 (a,b) 之间一定存在一个点ξ，使得f' (ξ) = 0.3. 若 f(x) 是既递增又递减的函数，那么存在一个极小值或者极大值点 c。
在 (a, c) 或者 (c, b) 区间中的一定存在一个点ξ，使得f' (ξ) = 0. 根据极值点的定义，ξ 一定存在。
因此，根据以上的推理和符合数学知识的解题思路，我们可以得出结论：存在一个点ξ∈(a，b)，使得f' (ξ) = 0.2. 解答题二：设向量a ≠ 0，b ≠ 0，证明a·b = |a||b|cosθ (θ 表示 a 和b 之间的夹角)。
1998-数二真题、标准答案及解析
（C） 若 xn 有界，则 yn 必有无穷小.
（D）
若
1 xn
为无穷小，则
yn
必为无穷小.
【答】 应选（D） 【详解】 方法一： 由极限运算性质知
【】
( ) lim
n→∞
yn
=
lim
n→∞
xn yn
⋅ lim 1 = 0, x n→∞
n
所以（D）为正确选项.
方法二：
取数列 yn = 0 ，排除（A）
4
t →⎛⎜⎝
5π 4
⎞+ ⎟⎠
故 x = π ， 5π 处， f ( x) 为第二类间断点.
44
在 x = 3π 处， lim f ( x) = 1,
4
t →⎛⎜⎝
3π 4
⎞+ ⎟⎠
在 x = 7π 处， 7π 为 f ( x) 的可去间断点.
4
4
但相应的函数在上两点处无定义，故 x = 7π ， 7π 为 f ( x) 的可去间断点.
dx 0
.
( ) 【答】 xf x2 .
【详解】 令 u = x2 − t2 , dy = −2tdt,
当 t = 0 时， u = x2; 当 t = x 时， u = 0 ；
故
( ) ( ) ∫ ∫ d
x
tf
x2 − t2 dt = d
x2 1 f (u )du = xf x2
dx 0
dx 0 2
(kA* ) = .
（A） kA*
（B） k n−1 A*
（C） k n A*
【答】 应选（B） 【详解】 方法一：
采用加条件的技巧，设 A 可逆，则由 AA* = A* A = A E
考研数学历年真题(1998-2007)年数学二
[]
-1-
（7）二元函数 f (x, y) 在点 0, 0 处可微的一个充分条件是[ ]
（A） lim f (x, y) f (0, 0) 0 . (x, y)0,0
（B） lim f (x, 0) f (0, 0) 0, 且lim f (0, y) f (0, 0) 0 .
x0
x
（22）(本题满分 11 分)
设二元函数
f
(x,
y)
x2, 1, x2 y2
| x | | y |1
1 | x | | y | 2 ，计算二重积分 f (x, y)d ，其中 D
D x, y | x | | y | 2 .
（23） (本题满分 11 分)
x0
x
（D）3.
[]
（6）设函数 f (x) 在 (0, ) 上具有二阶导数，且 f (x) 0 ，令 un f (n)（n 1,2,），则下列结论正确的是：
(A) 若 u1 u2 ，则un 必收敛.
(B) 若 u1 u2 ，则un 必发散
(C) 若 u1 u2 ，则 un 必收敛.
(D) 若 u1 u2 ，则un 必发散.
y0
y
（C） lim f (x, y) f (0, 0) 0 .
(x, y)0,0
x2 y2
（D） lim x0
f
x
(
x,
0)
f
x
(0,
0)
0,
且lim y0
f
y
(0,
y)
f
y
(0,
0)
0
.
1
（8）设函数 f (x, y) 连续，则二次积分 dx f (x, y)dy 等于
1998年全国硕士研究生招生考试数学(二)真题(含解析)
0
JC
x-*0
X
x-*o JC
/^(0) = 2,/；(0) = — 2,因为/^(O) H /；(0),所以无=0为/(工)的不可导点；
/(J7 ) — /(I) lim ------------ :------ =
]h. m(/ H +|11、)(/ 工一2c、)・
II
\t \ •
I | 1 I I工一1I | j: + 1 | • --------- ---
x-*0
x2
=
, 1,6
0 ,c
1_
x
(13)【解]y =沖斗込£
COS X
代入并化简得u" + 4% = e°
〃 (/ + %) cosG + 2z/sin jc cos x + 2usm x y =--------------------- cos3 JC
特征方程为A2 +4 = 0,特征根为右,2 = ±2i,
1
3
故
2
1/
-2
-
=—+ ln(2 + V3~).
方法二
=arcsm 2工 f =弓
o
2
• 45
:
In C+ J/_ + ) L = h(l + V3 —In = ln(2 + V3~), 2
故 ~2
dj
=——ln( 2 + .
7 V \ x — x2
（15）【解】 取沉放点为原点O,Oy轴正向为铅直向下，则由牛顿第二定律得
dj：
dx
■i d（7T）
i
=2
■ — x2