大学物理练习题_C1-1质点运动学

《大学物理AI 》作业

运动的描述

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、选择题

1．一质点沿x 轴作直线运动，其v ~ t 曲线如图所示。若t ＝0时质点位于坐标原点，则t ＝ s 时，质点在x 轴上的位置为 [ ] (A) 0 (B) 5 m

(C) 2 m (D) －2 m (E) －5 m 解：因质点沿x 轴作直线运动，速度t

x v d d =

， ??==?2

1

2

1

d d t t x x t v x x

所以在v ~ t 图中，曲线所包围的面积在数值上等于对应时间间隔内质点位移的大小。横轴以上面积为正，表示位移为正；横轴以下面积为负，表示位移为负。由上分析可得t ＝ s 时, 位移 ()()()m 21212

125.2121

=?+-?+=

=?x x 选C

2．如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、

湖水静止，则小船的运动是

[ ] (A) 匀加速运动 (B) 匀减速运动 (C) 变加速运动 (D) 变减速运动 (E) 匀速直线运动

解：以水面和湖岸交点为坐标原点建立坐标系如图所示，且设定滑轮到湖面高度为h ，则

小船在任一位置绳长为 22x h l +=

题意匀速率收绳有

022d d d d v t x x

h x t l =+-= 故小船在任一位置速率为 x

x h v t x 220d d +-= 小船在任一位置加速度为 32

220222d d x

x h v t x a +-==，因加速度随小船位置变化，且与速度方向相同，故小船作变加速运动。 选C 3．一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,?

的端点处，其速度大小为 [ ]

(A) t r d d

(B) t

r d d ?

(C) t

r d d ?

(D)

2

2d d d d ??

? ??+??? ??t y t x )

-

解：由速度定义t r

v d d ??= 及其直角坐标系表示j t y i t x j v i v v y x ?????d d d d +=+=可得速度大

小为2

2

d d d d ??

?

??+??? ??=t y t x v ?

选D

4．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ?

，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v ?

，平均速率为v ，它们之间的关系必定有 [ ]

(A) v v v v ==??

,

(B) v v v v =≠?

?,

(C) v v v v ≠=??, (D) v v v v ≠≠??,

解：根据定义，瞬时速度为t r v d d ?

?=，瞬时速率为t

s v d d =，由于s r d d =?，所以v v =?

。

平均速度t r v ??=?

?，平均速率t

s v ??=，由于一般情况下s r ?≠??

，所以v v ≠?。 选C

5．一条河在某一段直线岸边同侧有A 、B 两个码头，相距1 km 。甲、乙两人需要从码头A 到码头B ，再立即由B 返回。甲划船前去，船相对河水的速度为4 km/h ；而乙沿岸步行，

步行速度也为4 km/h 。如河水流速为 2 km/h ，方向从A 到B ，则 [ ] (A) 甲比乙晚10分钟回到A (B) 甲和乙同时回到A

(C) 甲比乙早10分钟回到A (D) 甲比乙早2分钟回到A

解：由相对速度公式有甲回到A 处所需时间为

从码头A 到码头B 所需时间

241+加上从码头B 回到码头A 所需时间2

41- 即 )h (3

2

241241=-++=甲t

同理有乙回到A 处所需时间为 )h (21

4141=+=甲t

甲乙所用时间差为(min)10)h (6

1

2132==+=-=?乙甲t t t

由此知甲比乙要多用10分钟回到A 处

选A

6．一飞机相对空气的速度大小为1h km 200-?，风速为1

h km 56-?，方向从西向东。地面雷达测得飞机速度大小为1

h km 192-?，方向是

[ ] (A) 南偏西° (B) 北偏东° (C) 向正南或向正北 (D) 西偏北°

(E) 东偏南°

解：风速的大小和方向已知，飞机相对于空气的速度和飞机对地的速度只知大小，不知方向。由相对速度公式

地空气空气机地机→→→+=v v v ?

??

如图所示。又由2

2

2

20019256=+，所以地机地空气→→⊥v v ?

?，

飞机应向正南或正北方向飞行。 选C

机→v ?

地

地

空气→?

二、填空题 1．一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的关系曲线如图所示。则该质点在第 秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。

解：由图知坐标x 与时间t 的关系曲线是抛物线，其方

程为)6(9

5

--=t t x ,由速度定义t x v d d =

有：)62(9

5

--=t v ，故第3秒瞬时速度为零。0-3秒速度沿x 正方向，3-6秒速度沿x 负方向。由加速度定义2

2d d t x a =有：910

-

=a ，沿x 正方向，故在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。

2．在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2

Ct

a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v _________________________，运动学方程为=x __________________。 解: 本题属于运动学第二类类问题，由2d d Ct t

v

a ==得??=t v v t Ct v 02d d 0有

速度与时间的关系3

03

1Ct v v += 再由3031d d Ct v t x v +==

得??+=t x x t Ct v x 030)d 31

(d 0有

运动学方程4

0012

1Ct t v x x ++=

3．一质点在y o 平面内运动，运动方程为t x 2=和2

219t y -= (SI)，则在第2秒内

质点的平均速度大小v ρ

= ， 2秒末的瞬时速度大小

=2v 。

解: 在第2秒内，质点位移的x 、y 分量分别为本

()m 2122212=?-?=-=?x x x

()()()m 6121922192212-=?--?-=-=?y y y

平均速度大小为())s m (32.6621

2)()(12

222-?=-+=-?+?=??=y x t r v ?

ρ

5

由2

2,4d d ,2d d y x y x v v v t t

y v t x v +=-====

s 2=t 时，())s (m 25.88212

22-?=-+=v

4．一质点从静止(t = 0)出发，沿半径为R = 3 m 的圆周运动，切向加速度大小保持不变，为-2s m 3?=τ

a ，在t 时刻，其总加速度a ?恰与半径成45°角，此时t = 。

解：由切向加速度定义t v

a d d =τ，分离变量积分

??

=t

v

t a v 0

d d τ得质点运动速率 t a v τ=

法向加速度 R

t a R v a n 2

2

2τ== 由题意a ?

与半径成45°角知：τa a n =

由此式解得s)(13

3===t a R t

5．一船以速度0v ?

在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速1v ?

在船中竖直向上抛出一石子，则站在岸上的观察者看石子运动的轨迹是_______________。取抛出点为原点，x 轴沿0v ?

方向，y 轴沿竖直向上方向，石子的轨迹方程是_______________________________。 解：取抛出点为原点，x 轴沿0v ?

方向，y 轴沿竖直向上方向，以河岸为参考系，石子运动

的参数方程为2

1021,gt t v y t v x -==，消去t ，得轨迹方程 2

0121???

?

??-=v x g x v v y ，故运动轨迹为抛物线。

6．当一列火车以10 m/s 的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于地面的速率是______________________；

相对于列车的速率是____________________。

解：由题意可画出各速度矢量如右图所示，它们构成直角三角形且

地火火雨地雨→→→+=v v v ?

??

故雨滴相对于地面的速率)s /m (3.1730tg /10==→ο

地雨v

雨滴相对于列车的速率)s /m (2030sin /10==→ο

火雨v

雨→v ?

地

雨→地

火→

三、计算题

1．一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为y k a -=，式中k 为常数，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标0y 处的速度为0v ，试求：速度v 与坐标y 的函数关系式。 解：加速度 ky y

v v t y y v t v a -=?=?==

d d d d d d d d ，分离变量积分得

()

22

02022

12121d d 0

ky ky v v y

ky v v y

y v

v -=--=??

所以速度v 与坐标y 的函数关系式为

(

)

22

02

02y y k v v -+=

2．一张致密光盘（CD ）音轨区域的内半径R 1＝2.2 cm ，外半径为R 2＝5.6 cm （如图），径向音轨密度N ＝650条/mm 。在CD 唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v ＝1.3 m/s 的恒定线速度运动的。

(1) 这张光盘的全部放音时间是多少

(2) 激光束到达离盘心r ＝5.0 cm 处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少

解：(1) 以r ?

表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的矢径，则在r d 宽度内的音轨长度为r rN d 2π。 激光束划过这样长的音轨所用的时间为v

r

rN t d 2d π=。 由此得光盘的全部放音时间为

)(d 2d 212

2 2

1

R R N r

rN t T R R -=

==?

?ν

πν

π

3

.1)

022.0056.0(10650223-???=

π

(m in)4.69s 1016.4 3=?= (2) 所求角速度为

rad/s)(2605

.03

.1==

=

r

ν

ω 所求角加速度为

3

2

2222d d d d Nr

rN r t r r t πνπνννωβ-=-=-== 3

3205.01065023.1???-=π )(rad/s 1031.323-?-=

3．有一宽为l 的大江，江水由北向南流去。设江中心流速为u 0，靠两岸的流速为零。江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比。今有相对于水的

速度为0v ?

的汽船由西岸出发，向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点。

解：以出发点为坐标原点，向东取为x 轴，向北取为y 轴，因流速为 y 方向，由题意可得任一点水流速

202)(

0?

?? ?

?

-=--=l x k u u u y x

即

2

2

0u l x k u u y x -??? ?

?

-== 将 x = 0, x = l 处0=y u , 代入上式定出比例系数20

4l

u k =， 从而得

()x l x l

u u y -=

20

4 由相对运动速度关系有船相对于岸的速度v ?

(v x ，v y )为

2/45cos 00v u v v x x =+=ο

y y y u v u v v +=+=2/45sin 00ο 将上二式的第一式进行积分，有 t x 2

0v =

还有，

x y

v t x x y t y v y d d 2d d d d d d 0?=?==

代入y v 有

()x l x l u v x y v -+=?20

0042d d 2 即 ()x l x v l u x y

-+=0

20241d d

因此，此式积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：

3

2020032422x v l u x lv u x y +-

= 到达东岸的地点(x ，y )为

???

? ??-

====003221

v u l y y l x l x

东