奥数知识点：三角形的四心之重心
三角形四心定理以及相关证明
引言概述：在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。
而三角形四心定理是关于三角形内四个特殊点的定理，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这个定理不仅有着重要的理论价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形四心定理以及相关的证明。
正文内容：一、重心（G）重心是三角形内部三条中线的交点，也称为质心。
重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得。
设三角形的顶点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则重心的坐标为G（(x₁+x₂+x₃)/3，(y₁+y₂+y₃)/3）。
大点1：重心的性质小点1：重心与顶点的连线成比例小点2：重心与重心连线中点的连线平行于底边小点3：重心是内心和外心连线的中点大点2：重心的应用小点1：稳定平衡问题小点2：质心的分割线小点3：质心的建模应用二、外心（O）外心是可以通过三角形的三个顶点构造出的唯一圆的圆心。
外心到三角形的每个顶点距离相等。
大点1：外心的性质小点1：外心是垂直平分线的交点小点2：外心到各顶点的距离相等小点3：外心是三角形内切圆的圆心大点2：外心的应用小点1：计算三角形的外接圆半径小点2：设计圆形邮票小点3：构造圆锥曲线三、内心（I）内心是可以通过三角形的三条内切圆的切点构造出的唯一点。
大点1：内心的性质小点1：内心到三边的距离相等（接切性质）小点2：内心是角平分线的交点小点3：内心是三角形外角平分线的交点大点2：内心的应用小点1：计算三角形的内切圆半径小点2：解决三角形的内接问题小点3：优化布局问题四、垂心（H）垂心是通过三角形的三条高的交点构造出的唯一点。
大点1：垂心的性质小点1：垂心是中线的垂直平分线的交点小点2：垂心到各边的距离相等小点3：垂心是三角形外心的反演点大点2：垂心的应用小点1：计算三角形的三条高的长度小点2：解决三角形与圆的位置关系问题小点3：优化三角形的面积总结：三角形四心定理是几何学中重要的定理，包括重心、外心、内心和垂心。
三角形的四心
三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
三角形的“四心”是初中三角形的重难点，也与高中向量、三角函数等知识联系甚紧，需要认真学懂。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC 的重心一般用字母O 表示。
性质：1、外心到三顶点等距，即OC OB OA 。
2、外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ,,. 3、AOB C AOC B BOC A 21,21,21。
二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ,,；CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC B CIA 2190，C AIB 2190。
三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC 的垂心一般用字母H 表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GFGC GE GB GD GA 2,2,23.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x .4.ABC AGB CGA BGC S S S S 31。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
(完整版)三角形四心及其性质总结
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC的重心一般用字母O表示。
性质：1.外心到三顶点等距，即OA OB OC。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC,OE AC,OF AB.3. A 1BOC,B1AOC,C1AOB。
2 2 2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23. AEAF,BF BD,CD CE；AE BF CD三角形的周长的一半。
4. BIC1A,CIA1B，AIB1C。
90 90 902 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC的重心一般用字母H表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CH AB。
2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。
2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA2GD,GB2GE,GC2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x G x A x B xC,y Gy A y B yC .334.向量性质：（1）GAGB GC0 ；（2）PG 1(PAPB PC)，31S5.S BGC SCGASAGBABC 。
3五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为 ABC 所在的平面内一点，满足OAOB OBOC OCOA ，则点O 为 ABC 的垂心。
最新三角形四心及其性质总结
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形的四心
A
O
A
O
B
C
B
C
二、垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心 垂心。 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
C′ F
AE DBiblioteka B′证明垂心定理B
A′
证明: 三条高， 证明 AD、BE、CF为∆ABC三条高， 、 、 为 三条高 过点A、 、 分别作对边的平行线 过点 、B、C分别作对边的平行线 相交成∆A′B′C′，AD为B′C′ 相交成 ， 为 的中垂线；同理BE、 也分别为 的中垂线；同理 、CF也分别为 C A′C′、A′B′的中垂线， 的中垂线， 、 的中垂线 由外心定理，它们交于一点， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证． 命题得证．
F G B D C E
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心， 内心。
证明内心定理
的平分线相交于I, 证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, ID⊥BC，IE⊥AC， 过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID IE=IF=ID． IF⊥AB，则有IE=IF=ID． A 因此I也在∠ 的平分线上， 因此I也在∠C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点． 交于一点． I
三角形的“四心” 三角形的“四心”
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心， 外心。 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点 ， 的中垂线交于点O， 证明 、 的中垂线交于点 则有OA=OB=OC， 则有 ， 也在AC的中垂线上 故O也在 的中垂线上， 也在 的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等 到三顶点的距离相等， 因为 到三顶点的距离相等， 故点O是∆ABC外接圆的圆心． 故点 是 外接圆的圆心． 外接圆的圆心 因而称为外心． 因而称为外心．
三角形的四心
三角形的四心
重心：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
3、外心到三顶点的距离相等
垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
内心：三角形的三条内角平分线交于一点，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、内心到三角形三边距离相等。
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三角形的四心之—重心
三角形重心是三角形三边中点与对角连线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
在求阴影部分的面积问题中时常会用到它的性质。
性质一：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
AO= 2OD，BO= 2OE，CO= 2OF
初中生可以证明：(提示：EH是三角形ABF的中位线。
)
性质二：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等S△BOC=S△AOC=S△AOB=1/3S△ABC
利用性质一就可以证明。
顺口溜：
三条中线必相交，交点命名为“重心”
重心分割中线段，线段之比二比一；。