两种新的长方体重力异常正演公式及其理论推导

对长长方体重力场（3）式的积分求解，许多学者都进行了研究[7~12]。最早可能从 1830 年[11]开始，就不断有文献给出长方体重力场（3）式积分解的解析形式，到目前为止长方体 重力场理论表达式归纳起来有下面 4 种基本形式[7~12]：
g(x, y, z) = G ||| ( x) ln{( y) + R} + ( y) ln{( x) + R}
x)2 + ( z)2 + ( x)R}2 ( y)2 ( z)2
d
x)2 + ( z)2 + ( x)R}2
z) 2 d (( 1 1+ (
y)( y)2 (
z) /{( x)2 + ( z)2 + ( x)R}) z)2 /{( x)2 + ( z)2 + ( x)R}2
z) arctan (
( y)( z) x)2 + ( z)2 + (
1. 引 言
在地球物理勘探中，重力异常的正演计算在重磁异常的解释中有着重要的意义，它反映 场源与场分布特征之间的联系，是地质解释的基础。长方体是位场正演计算中最为常用的三 度体模型，可以用平行于直角坐标面的平面对任意形状的三维地质体进行分割，将三维复杂 地质形体重力异常的正演计算转化为一系列长方体体元重力异常的迭加；所以，长方体重力 异常的正演计算是重力勘探中最基本的问题。同时，随着高精度重磁资料处理解释工作的开 展，二维重磁反演已难以满足全方位确定地质构造精细展布的要求，重磁反演逐渐发展到三 维；重磁三维反演分为形态模型反演和物性模型反演，限于形态反演中存在的较大困难，近 年来物性反演成为三维重磁反演中的主要形式[1~6]。重磁三维物性反演中要将地质场源区域 离散化成离散的长方体单元，长方体重力异常的正演计算成为重磁三维物性反演中最为基本 的问题。因此，研究长方体重力异常的正演是一项基础性工作，具有重要的理论和实际意义。
1
11
（12）
按照与前面所述相类似的推过程对（12）式进行积分求解，可以得到 g 的另一种形式：
g(x, y, z) = G ||| ( +(
x) ln{( y) + R} + ( y) ln{(
z) arctan (
( x)( z) y)2 + ( z)2 + (
x) + R} | 2| 2| 2
y)R 1 1 1
（13）
其中， R = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 。其具体的推到过程十分类似不再进行重复。
对比现有的长方体重力场理论表达式（4）~（7）式，可以发现导出的长方体重力场理 论表达式（11）式和（13）式是一种全新的长方体重力场理论表达式形式。表达式（11）式 和（13）式均是长方体的长、宽边分别与 X、Y 坐标轴平行情况先重力场的正演计算公式， 通过坐标的旋转和平移变换[17~18]还可以计算任意倾斜情况下长方体所产生的重力场；因此， 表达式（4）~（7）式、（11）式和（13）式共同构成了长方体重力场正演计算的理论通式。
z) arctan (
( y)( z) x)2 + ( z)2 + (
x) + R} | 2| 2| 2
x)R 1 1 1
（11）
其中， R = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2
如果求解（8）式时，先对 进行积分[13]，则有
g(x, y, z) = G || 1 ln{( x) + R}d | 2 | 2
V R3 zdv
（2）
其中， R = {( x)2 + ( y)2 + ( z)2}1/2 。
于是，如图 1 所示的均匀密度长方体产生的重力场可以表示为：
g(x, y, z) = G
2 1
2 1
2 1
R3zd d d
(3)
其中 (x, y, z) 为观测点的坐标，( , , ) 为长方体场源点的坐标，其对应的积分限变化范围
+(
z) arctan ( z)R | 2 | 2 | 2 ( x)( y) 1 1 1
g(x, y, z) = G ||| ( x) ln{( y) + R} + ( y) ln{( x) + R}
( z) arctan ( x)( y) | 2 | 2 | 2 ( z)R 1 1 1
g(x, y, z) = G ||| ( x) ln{( y) + R} + ( y) ln{( x) + R}
+2(
z) arctan (
x) + ( y) + R | 2 | 2 | 2
( z)
111
g(x, y, z) = G ||| (x ) ln{( y ) + R} + ( y ) ln{(x ) + R}
(z ) arcsin ( y )2 + (z )2 + ( y )R | 2 | 2 | 2 {( y ) + R} ( y )2 + (z )2 1 1 1
（4） （5） （6） （7）
其中， R = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 。4 种长方体重力场理论表达式中主要不同在于
公式中的最后一项，公式（4）~（6）中最后一项均为反正切项，而公式（7）中最后一项为 反正弦项；值得指出的是公式（4）和（6）实际上是等价的，可以通过
arctan( ) = / 2 arctan(1/ ) 关系来进行证明[11]。
2. 长方体重力异常
位于空间中 P ' 点 ( , , ) 具有密度 的质量单元在 P 点 (x, y, z) 处产生的重力场为：
g =G
z R3
v，
（1）
式中 R 是点 P ' 到 P 的距离， v 质量单元的体积，G 是万有引力常数。通过对体积V 的积
分可得到均匀密度体的重力场：
g(x, y, z) = G
-4-

4. 新长方体重力场表达式模型计算验证
为了检验新导出的长方体重力场正演理论表达式的正确性，对表达式（4）~（6）式、 （11）式和（13）式分别取相同的长方体模型（模型顶面四个顶点在计算平面上的垂直投影 点与计算的网格点重合，并用黑点标出）进行正演计算比较，图 2 中 a、b 分别是应用原表 达式和新表达式正演所获得的长方体重力场等值线图。模型正演计算表明二者正演计算的重 力场数据（精确到六位小数点的情况下）完全一致，这充分说明新推导出的长方体重力场正 演计算理论表达式（11）式和（13）式是正确的。
z
y)} )2}R
d
=
2
1(
( x)2 x)2 + (
z)2 d
2 ( x)2 ( 1 {( x)2 + (
y) z)2
}R
d
=
2 {1
1
(
( z)2 x)2 + (
z)2
}d
2 1
R yd
+
2 ( z)2( 1 {( x)2 + (
y) z)2
}R
d
= ( 2 1) | ( z) arctan
x | 2 |( z1
x) + z)2
R}d
=
2 ( z)2( 1 {( x)2 + (
y) {( z)2 + (
x)2 / R + 2( x)R}2 + (
x) y)2
+ (
R} z
)2
d
-3-

=(
=( = |(
(
z) 2
1
z)( {(
1+ {(
y) {( x)2 / R + 2( x) + R}
为 ( 1 , 2 ) ， ( 1 , 2 ) ， ( 1 , 2 ) ； R = {( x)2 + ( y)2 + ( z)2}1/2 。
-1-

X
2 1
0 12
Y
1
2
Z
图 1.长方体模型 Fig1. The right rectangular prism model.
线数据单位为 g.u.
Fig2. The cubic model gravity contour map
5. 结论
综合前人对长方体重力场正演理论表达式的推导过程，并借鉴长方体磁场及其梯度场理 论表达式的推导，推导出了两种新的长方体重力场正演理论表达式（11）式和（13）式，对 比模型正演计算结果表明，新导出长方体重力场正演理论表达式是完全正确的。
||| ( x) ln{( y) + R} | 2 | 2 | 2 11 1
|| 2
(
x)2
d | 2| 2
1 {( y) + R}R 1 1
（10）
令
1=
2 ( x)2 d 1 {( y) + R}R
，根据 (
1 y)
+
R
=
(
R( x)2 + (
y) z)2 ，则有[14]：
1=
2( 1 {(
x)2{R ( x)2 + (
3. 新长方体重力场正演公式及其理论推导
长方体重力场 g(x, y, z) = G
2 1
2 1
2 1
R3zd d d
首先对
进行积分[13]，有：
g(x, y, z) = G
再对（8）式中 进行积分[13]，有：
| 2 2 1d d | 2
R 1
1
1