长方体体积公式推导过程完整
等底等高的圆柱正方体长方体的体积等式
等底等高的圆柱正方体长方体的体积等式
等底等高的圆柱、正方体、长方体是几何学中的基本图形，它们的体积计算公式也是初中数学中的重要知识点。
在本文中，我们将探讨这三种图形的体积计算公式，并证明它们的体积是相等的。
我们来看圆柱的体积计算公式。
圆柱的体积等于底面积乘以高，即V=πr²h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高。
这个公式的推导可以通过将圆柱展开成一个矩形来得到。
接下来，我们来看正方体的体积计算公式。
正方体的体积等于边长的立方，即V=a³，其中a为正方体的边长。
这个公式的推导可以通过将正方体分解成若干个小立方体来得到。
我们来看长方体的体积计算公式。
长方体的体积等于底面积乘以高，即V=ab×h，其中a和b分别为长方体的两个底边的长度，h为长方体的高。
这个公式的推导可以通过将长方体分解成若干个小立方体来得到。
现在，我们来证明等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积是相等的。
假设它们的底面积都为A，高都为h，则它们的体积分别为V1=Ah，V2=a³，V3=abh。
将它们代入等式中，得到：
V1=Ah=V2=V3=abh
因此，等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积是相等的。
等底等高的圆柱、正方体、长方体是几何学中的基本图形，它们的体积计算公式也是初中数学中的重要知识点。
通过本文的介绍和证明，我们可以更好地理解这些公式的推导过程和应用方法。
长方体正方体的所有公式
长方体正方体的所有公式：
长方体正方体的公式主要就是体积和表面积的计算公式，分别如下：1、长方体体积公式：v=abc（体积=长x宽x高），因为长x宽是长方体的底面积，所以这个公式又可以演变为：长方体体积=底面积×高，即V=Sh（S是底面积）
2、长方体表面积公式：S=2(ab+bc+ca)
3、因为长方体一共有6个面，ab、bc、ca分别代表面积不同的三个面，与之对应的面是相等的，所以乘以了一个2。
4、正方体表面积公式：S=6（a²），其中a*a为一个面的面积，正方体每个面的面积相等，所以是6倍。
5、正方体体积公式：V=a³
6、因为正方体的底面积为a*a，所以这个公式又可以演变成为：V=Sa。
圆柱的体积等于底面积乘高面积计算公式长方体的计算公式过程
圆柱的体积等于底面积乘高面积计算公式长方体的计算公式过程1. 引言1.1 概述在几何学中，圆柱和长方体是常见的立体图形。
计算这些立体图形的体积是解决实际问题或进行数学推导的重要步骤。
本文将介绍圆柱和长方体的体积计算公式，探讨其推导过程，并给出应用举例。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、圆柱的体积计算公式、长方体的体积计算公式、应用举例以及结论与总结。
1.3 目的本文旨在向读者介绍圆柱和长方体的求解方法，帮助读者理解并掌握计算这些几何图形的体积所需的基本概念和公式。
同时，通过应用举例，展示如何运用这些公式解决实际问题，并对其进行总结与结论。
通过阅读本文，读者将能够深入了解圆柱和长方体的性质以及它们的相关公式和应用场景。
2. 圆柱的体积计算公式：2.1 底面积计算方法：圆柱的底面是一个圆形。
要计算圆柱的底面积，可以使用下面的公式：底面积= π* r^2其中，r表示底面半径，π约等于3.14159。
2.2 高面积计算方法：圆柱有一个侧面，该侧面是一个矩形，长为底边周长，宽为圆柱的高度（h）。
因此，可以计算出圆柱的侧面积：侧面积= 底边周长* h底边周长= 2 * π* r2.3 圆柱体积计算公式推导过程：根据定义，圆柱的体积等于其底面积乘以高度。
将上述得到的底面积和侧面积代入公式中，可以得到圆柱体积的计算公式：V = 底面积* h + 侧面积V = (π* r^2) * h + (2 * π* r) * h简化后可得到最终的圆柱体积公式：V = π* r^2 * h这是用于计算任意给定半径和高度的圆柱体积的数学公式。
请注意：上述公式中的所有长度单位必须统一，例如，如果半径使用厘米（cm），则高度也应该使用相同的单位。
3. 长方体的体积计算公式长方体是一种具有6个矩形面的立体图形，它的底面和顶面都是长和宽相等的矩形，而侧面也是长和宽相等的矩形。
在这一部分中，我们将讨论长方体的体积计算公式及其推导过程。
立方的计算公式
立方的计算公式
立方体的计算公式：长方体体积=长×宽×高；正方体体积=棱长x 棱长x棱长。
一个数的立方等于这个数字自己连续乘上三次，例如a的立方=a×a×a，记做a3。
扩展资料
数学定义
1、立方也叫三次方。
三个相同的数相乘，叫做这个数的立方。
如5×5×5叫做5的立方，记做5。
2、量词，用于体积，一般指立方米。
3、在图形方面，立方是测量物体体积的'，如立方米、立方分米、立方厘米等常用单位，步骤如下：
（1）求出立方体的棱长
（2）棱长=体积（注意：如果棱长单位是厘米，体积单位是立方厘米，写作cm；如果棱长单位是米，体积单位是立方米，写作m，以此类推。
）。
关于长方体体积公式的证明
关于长方体体积公式的证明作者：吴来源：《考试周刊》2013年第88期摘要：长方体的体积等于长乘以宽乘以高，但对于它的证明仅停留在长、宽、高都为整数.本文对此做了补充，并给出长、宽、高为实数的长方体体积的完整证明.关键词：棱长长方体体积乘积极限长方体的体积公式：v=a×b×c，其中a，b，c分别是长方体的长，宽，高.高中立体几何书把这个公式作为公理来推算体积的基础，那么长方体的体积公式是怎样得到的呢？对此，笔者曾作过调查，发现大多数学生不知道，甚至很多数学老师也不以为然.初中教师以学生听不懂为由，课堂上略讲或不讲，高中数学教师认为那是初中数学教师的事.所以关于长方体体积公式的教学成为教学中的薄弱环节，长此以往对学生的发展极为不利.高中《立体几何》介绍长方体体积公式的时候，首先要单位体积作为标准，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就是这个几何体的体积数值.通常我们取棱长等于单位长度的正方体的体积作为单位体积.对于棱长都是10的正方体可将棱长10等分，过分点向面作平行平面，形成10×10×10个单位正方体，因此它的体积是1000个单位体积.将长、宽、高分别为3、4、5的长方体，用同样的方法剖分成许多个单位正方体，数一数它们的个数，正好是3×4×5=60个，所以它的体积是60个单位体积.这样，如果长方体的长、宽、高分别是正整数a，b，c，那么，其体积等于a×b×c.后来，我们把数的范围扩大到了有理数、实数范围后，仍然应用这个公式，它的进一步证明很少有人问津.如果长方体的长、宽、高不是整数怎么办？比如长、宽、高分别为3.2、4.5、6.7，一个顺理成章的办法就是把体积单位变小.例如，把棱长为0.1的正方体的体积0.001看做单位体积，用上述的方法进行分割，得到许多个小正方体，数一数它们的个数，正是32×45×67个，所以它的体积为0.001×32×45×67=3.2×4.5×6.7.对于长、宽、高为有理数的长方体，我们总可以选择适当小的体积单位，将体积分成整数个小单位体积然后数一数，就可以得到长方体的体积公式：体积=长×宽×高.如果长方体的长、宽、高不是有理数，要计算长方体的体积就不那么好办了.因为无论将棱长怎么等分，都不可能将其等分成整数个小正方体，由此可以看出用上述方法证明长方体体积公式是有很大的局限性的.我们必须重新寻找一种在实数范围内都适用的长方体体积公式的证明方法.要证明长、宽、高为实数的长方体体积，先得作以下几条规定：第一，长方体的体积与长、宽、高相关，相同的长方体的体积相等；第二，衡量一个长方体的体积要有一个单位；第三，长方体的长、宽、高相互调换，不影响它的体积；第四，如果将一个长方体分割成两个长方体，原长方体的体积相当于分割后所得的两个长方体体积之和.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，（a，b，c是非负实数），它的体积是a，b，c的一个函数，记为V（a，b，c），V（a，b，c）取非负实数值，并具有下列性质：（1）V（1，1，1）=1（2）V（a，b，c）=V（b，c，a）=V（c，a，b）=V（a，c，b）=V（b，a，c）=V（c，b，a）（3）V（a+d，b，c）=V（a，b，c）+V（d，b，c）V（a+d，b+e，c）=V（a，b+e，c）+V（d，b+e，c）=V（a，b，c）+V（a，e，c）+V （d，b，c）+V（d，e，c）现在，我们就长方体的体积的概念出发，推导长方体的体积公式：v=a×b×c（1）V（0，b，c）=0∵V（0+0，b，c）=V（0，b，c）+V（0，b，c）=2V（0，b，c）∴V（0，b，c）=0，即长、宽、高只要有一个为0的长方体体积为0.（2）设a=n，b=m，c=h，n，m，h为正整数V（n，m，h）=V（■，m，h）=nV（1，m，h）=nV（■，h，1）=mnV（h，1，1）=mnV（■，1，1）=mnhV（1，1，1）=n×m×h（3）设a=■，b=■，c=■，n，m，h为正整数1=V（■，1，1）=nV（■，1，1）=nV（1，1，■）=nV（■，1，■）=nmV（1，■，■）=nmV（■，■，■）=nmhV（■，■，■）得到V（■，■，■）=■=■×■×■（4）设a，b，c∈Q■，a=■，b=■，c=■V（■，■，■）=pV（■，■，■）=pqV（■，■，■）=pqRV（■，■，■）=p×q×R×■×■×■=■×■×■这样，对任何非负有理数a，b，c，都能得到v=a×b×c.（5）设a，b，c为非负实数.对于任何实数都有两个有理数列从左右两边无限的逼近它.设有理数列{a■}，{a■}无限逼近a，{b■}，{b■}无限逼近b，{c■}，{c■}无限逼近c.a■≤a■≤a■≤…≤a≤…≤a′■≤a′■≤a′■b■≤b■≤b■≤…≤b≤…≤b′■≤b′■≤b′■c■≤c■≤c■≤…≤c≤…≤c′■≤c′■≤c′■因为V是非负实数，故有如下结论：当a■≤a■，b■≤b■，c■≤c■时，V（a■，b■，c■）≤V（a■，b■，c■）于是有如下不等式V（a■，b■，c■）≤V（a，b，c）≤V（a′■，b′■，c′■）因为a■，b■，c■，a′■，b′■，c′■都是有理数，上述不等式可化为a■b■c■V（1，1，1）≤V（a，b，c）≤a′■b′■c′■V（1，1，1）即a■b■c■≤V（a，b，c）≤a′■b′■c′■∵■a■=a，■a′■=a；■b■=b，■b′■=b；■c■=c，■c′■=c∴■a■·b■·c■=■a′■·b′■·c′■=a·b·c.即abc=■a■b■c■≤■V（a，b，c）≤■a′■b′■c′■=abc.由两边夹定理得V（a，b，c）=abc.因此，对所有非负实数a，b，c都恒有V（a，b，c）=abc成立，这就给出了长方体体积公式的严格证明.以上通过对长方体体积公式的证明过程探究，不仅能使初学者认识长方体体积公式，更能让他们了解公式的来龙去脉，很好地把握数学思想，为以后进一步学习好数学打下坚实的思想基础.数学具有严密的逻辑性，教学时尽量不要破坏其严谨性，但我们同时要照顾到学生的量力性，数学的严谨性往往不能一步到位.这就是数学教师与其他学科教师的不同之处.总之，长方体体积公式的教学不能只靠某一阶段的教学解决问题，而要在数学的全程学习中分步实施，这也是笔者写这篇短文的初衷.参考文献：[1]人民教育出版社数学室编写.立体几何（全一册）[M].北京：人民教育出版社，1990.[2]刘玉琏，傅沛仁，等著.数学分析讲义（下册）[M].北京：高等教育出版社，2003.。
长方体体积公式推导
长方体体积公式推导
长方体是一个立方体，它的体积可以通过计算它的长、宽和高的乘积得到。
假设长方体的长为l、宽为w、高为h，则其体积V可以表示为：
V = l * w * h
推导过程如下：
1. 假设长方体可以被划分为n层，每一层的体积都相同。
2. 第一层的体积为lw，第二层的体积也为lw，以此类推，直到第n层。
3. 将这些层的体积相加，得到总体积。
总体积 = lw + lw + lw + ... + lw (共有n个lw)
= nlw
4. 当n趋近于无穷大时，每一层的高度趋近于无穷小。
5. 此时，每一层的体积也趋近于无穷小。
6. 由于无穷小的体积是可以忽略的，我们可以认为每一层的体积为0。
7. 因此，长方体的体积在数学上可以表示为：
V = lim(n→∞) nlw = lwh
所以，长方体的体积公式为V = lwh。
长方体正方体体积计算公式
长方体正方体体积计算公式
长方体和正方体都是我们生活中常见的立体图形。
在日常生活中，很多物体都是长方体或正方体的形状，比如说糖果盒、鞋盒、书本、
电视机等等。
计算长方体和正方体的体积是我们在应用数学中经常碰
到的问题。
首先，我们来了解一下长方体和正方体的定义。
长方体是一种由
六个矩形围成的立体图形，其中相邻的矩形之间有四个直角，也就是说，每个角都是九十度。
正方体是一种由六个正方形围成的立体图形，也是有八个顶点、十二个棱和六个面。
计算长方体的体积的公式是：体积 = 长× 宽× 高，其中长、宽和高分别是长方体的三条边。
例如，一个盒子的长是15cm、宽是
10cm、高是20cm，那么它的体积就是15cm × 10cm × 20cm =
3000cm³。
计算正方体的体积的公式是：体积 = 边长³，其中边长是正方
体的一条边长。
例如，一个立方体的边长是5cm，那么它的体积就是
5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
需要注意的是，长方体和正方体的计算公式完全不同，因为它们
的形状和大小也完全不同，每个立方体的计算方法都是独立的。
同时，我们也要确保使用正确的单位来计算体积，比如说用 cm³或 m³来
表示体积。
最后，了解长方体和正方体的体积计算公式对我们日常生活中的
应用非常有帮助，帮助我们更好地理解立体图形的性质和特点，提高
我们的数理能力。
长方体体积的计算公式
长方体体积的计算公式
长方体体积的计算公式：长方体的体积=长×宽×高。
长方体(又称矩体，cuboid)是底面为长方形的直四棱柱（或上、下底面为矩形的直平行六面体）。
其由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形。
长方体(cuboid)是底面是长方形的直棱柱。
正方体是特殊的长方体，正方体是六个面都是正方形的长方体。
长方体的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点。
长方体六个面面积的和，叫作长方体的表面积。
长方体的体积是对长方体的一种度量，长方体的体积等于长、宽、高之积。
特征：
(1) 长方体有6个面。
每组相对的面完全相同。
(2) 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。
按长度可分为三组，每一组有4条棱。
(3) 长方体有8个顶点。
每个顶点连接三条棱。
三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。
(4) 长方体相邻的两条棱互相垂直。
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6
正
方
30
体
0.4
高/分米 2 5 4
.
体积/分米 3
10 60 80
体积/米 3
216 27000 0.064
14
2、判断正误并说明理由。 （ 1）0.2 3=0.2×0.2×0.2；( √ ）
（ 2）5X 3=10X；（ × ）
( 3 )一个正方体棱长4分米,它的体
积是:4 3=12(立方分米)( × )
.
1
1、什么叫做物体的体积呢?
每个物体都占有一定的空间,我们把“物 体所占空间的大小,叫做物体的体积”.
2、体积单位的认识.
1分米
长度单位
;量一次 一条线段
1平方分米
面积单位
量两次 一个平面
1立方分米
体积单位
量三次 是个立体图形(6个面)
.
2
填空:
用多么大的体积单位表示下面物体的体积比 较适当?
长5厘米
长方体的体积正好等于它的长、宽、高的乘积.
即:长方体的体积=长×宽×高
V=abh
.
7
例1:一个长方体,长7厘米,宽4厘米,高3厘
米,它的体积是多少?
米3
7×4×3=84(厘米 3)
厘
答:它的体积是84厘米.
7厘米
练习:一块水泥板,长5分米,宽3分米,厚2
分米,这块水泥板的体积是多少分米 3? 米 2
表示出摆了3排.
表示高的数,除了表示2厘米高外,还
3
表示出摆了2层.
4
一排摆出4个1厘米的正方体 一共摆了3排 摆2层
长/厘米 宽/厘米 高/厘米 体积/厘米
4
3
2
24
.
6
想一想:如果要摆一个长5厘米,宽4厘米,
高3厘米的长方体,该如何摆?体积是多少?
一排摆5个
米高
一共摆4排
3 厘
上下摆3层
这些数据与长方体的体积 有没有关系?是什么关系?
( 4 )一个长方体,长5分米,宽4分米,高3厘
米,它的体积是60分米 3.( × )
.
15
.
16
这节课我们学习了什么? 懂得了什么?
.
17
.
10
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a·a·a V=a3
.
11
例2：一块正方体的石料，棱长是6dm，这块石料
的体积是多少立方分米？
63=6×6×6=216（立方分米）
答：体积是216立方分米。
做一做：
1、用棱长1厘米的正方体木块摆成下面的长方体和正方体。 （1）它们的长、宽、高各是多少？ （2）算出它们的体积各是多少？
2、为什么这些长方体的长、宽、高不同, 即形状不同而体积相同呢?
因为它们都含有同样多的体积单位:12 个1dm3 。
.
5
观察:右图这个长方体,长、宽、高的数,除
了表示出长、宽、高的长度外,还表示什么?
表示长的数,除了表示4厘米长外,还表示
出一排摆了4个1厘米的正方体.
2
表示宽的数,除了表示3厘米宽外,还
.
12
米4 厘
3
米2
厘
厘
米
3厘米
6厘米
3厘米
3×2×4=24 6×2×2=24 3×3×3=27
（dm3）
（ dm3）
（ dm3）
2、写出下面各式的结果。
63
x+x+x
x×x×x
3x·x
=6×6×6 =3x
=x3
=3x2
=216
.
13
练习:
1、口答填表:
长/分米
宽/分米
5
1
长
方
4
3
体
10
2
棱长/米
(1)一块橡皮擦的体积约是8( 立方厘米 );
(2)一台录音机的体积约是20( 立方分米 );
(3)运货集装箱的体积约是40( 立方米 );
.
3
长/厘米 宽/厘米 高/厘米 体积/厘米 3
4
3
1
12
3
2
2
12
12
1
1
12
6
2
1
12
.
4
1、这些长方体有什么共同点?不同点?
体积都相同，而长、宽、高不同。
分
5×3×2=30(分米3 )
5分米
答:这块水泥板的体积是30立方分米.
.
8
长5厘米,宽4厘米,高3
米高
厘米的长方体,长缩短1厘
3
米(图上从右边去掉一排),
厘Hale Waihona Puke 高增加1厘米(图上在上边增加一排),此时的长、宽、
高各是多少?变成了什么 图形?
长5厘米
.
9
因为正方体是长、宽、高都相等的长方体,所以
这个正方体的体积是 4×4×4=64（立方厘米）