2.3.多项式的最大公因式(二)解析
《高等代数(上)》课程标准
《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。
本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。
（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。
2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。
提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。
培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。
使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。
（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。
熟练掌握行列式、矩阵的运算。
熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。
（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。
培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。
培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。
培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
2.3.多项式的最大公因式(二)
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例 6 令F是有理数域。求出 F x 的多项式
f x 4 x 4 2 x 3 16 x 2 5 x 9, g x 2 x 3 x 2 5 x 4
的最大公因式 d x 以及满足等式
f xux g xvx d x
8
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由倒数第二个等式移项得 : rk 1 ( x) rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x)
代入[1]式整理得 :
rk 3 ( x)v1 ( x) rk 2 ( x)(u1 ( x) v1 ( x)qk 1 ( x)) rk ( x)
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(1)设a, b, c Z，如果(a, c) 1， , c) 1, 那么(ab, c) 1 (b 。
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二、多项式互素的概念 1、定义3
如果 F x 的两个多项式除零次多项式外不再有 其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素。
2、f ( x)与g ( x)互素 ( f ( x), g ( x)) 1 。
因为h( x) h( x), h( x) f ( x) g ( x),
所以h( x) h( x)[u ( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x), 即：h( x) g ( x)。
2
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二、最大公因式的存在性、唯一性 定理 2.3.1(PartI): F [ x] 的任意两个多项式 f x 与 g x 一定有最大公因式。
定理 2.3.1(part II): 如果 d1 x 、d 2 x 是
f x 与 g x 的两个最大公因式，那么：
【全国百强校】四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学多项式专题讲义：4.多项式的因式
成都七中高一数学竞赛多项式专题讲义A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x7.设多项式1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.证明：(1)如果()x ϕ是(),()f x g x 的一个公因式,则()|(),()|(),x f x x g x ϕϕ于是()|()()(),x f x q x g x ϕ-即()|(),x r x ϕ于是()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式.如果()x ϕ是(),()g x r x 的一个公因式,则()|(),()|(),x g x x r x ϕϕ于是()|()()(),x q x g x r x ϕ+即()|(),x f x ϕ于是()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式.所以(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式.(2)若()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()g x r x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()g x r x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()g x 与()r x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()g x r x 的一个最大公因式.若()d x 是(),()g x r x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()f x g x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()f x g x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()f x 与()g x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()f x g x 的一个最大公因式.这就证明了(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.证明：设12(),()d x d x 是(),()f x g x 的两个最大公因式,因为()f x 与()g x 的公因式全是最大公因式的因式.所以1221()|(),()|(),d x d x d x d x 于是12()(),,0.d x cd x c P c =∈≠所以(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+证明：如果(),()f x g x 有一个为零多项式,不妨设()0,g x =则()f x 就是(),()f x g x 的一个最大公因式,所以存在()()[],d x f x P x =∈且()()1()1().d x f x f x g x ==⋅+⋅因为1,P ∈所以此时()() 1.u x v x ==如果(),()f x g x 均不为零多项式,按带余除法,用()g x 除(),f x 得到商1(),q x 余式1()r x ；如果1()0,r x ≠就再用1()r x 除(),g x 得到商2(),q x 余式2()r x ；又如果2()0,r x ≠就再用2()r x 除1(),r x 得到商3(),q x 余式3()r x ；如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即12(())(())(()),g x r x r x ∂>∂>∂>因此在有限次之后,必然有余式为零多项式.于是我们有一串等式：1121213232131212111()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()0.i i i i s s s s s s s s s s s f x q x g x r x g x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x ---------+=+=+=+=+=+=+=+因为()s r x 与0的最大公因式是()s r x ,由第1题知道()s r x 也就是1()s r x -与()s r x 的最大公因式,同样的理由,逐步推上去,()s r x 就是()f x 与()g x 的一个最大公因式()d x .这就证明了()d x 的存在性.由上面的倒数第二个等式,我们有21()()()(),s s s s r x r x q x r x --=-再由倒数第三式,1312()()()(),s s s s r x r x q x r x ----=-代入上式可消去1(),s r x -得到1123()(1()())()()().s s s s s s r x q x q x r x q x r x ----=+-然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去21(),,(),s r x r x -再并项就得到()()()()(),s r x u x f x v x g x =+于是即()()()()()().s d x r x u x f x v x g x ==+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.证明：[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的⇔有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()() 1.u x f x v x g x +=证明：()⇒由裴蜀定理知道显然成立.()⇐若有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1,u x f x v x g x +=设()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则()|(),()|(),d x f x d x g x 于是()|()()()(),d x u x f x v x g x +所以()|1.d x所以(())0,d x ∂=所以(),()f x g x 互素的5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x证明：(1)如果((),())1,f x g x =则()()()() 1.u x f x v x g x +=于是()()()()()()().u x f x h x v x g x h x h x +=因为()|()(),f x g x h x 又()|()(),f x f x h x 所以()|()()()()()()().f x u x f x h x v x g x h x h x +=(2)由1()|()f x g x ,则11()()(),g x f x h x =又2()|(),f x g x 于是211()|()(),f x f x h x 因为12((),())1,f x f x =由(1)知道21()|(),f x h x 即122()()().h x f x h x =所以11122()()()()()(),g x f x h x f x f x h x ==于是12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x证明：如果()|(),p x f x 则结论已经成立.如果()(),p x f x Œ则((),())1,p x f x =因为()|()()p x f x g x ,所以()|().p x g x7.设多项式1110()nn n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.证明：(1)由条件()()(),()().k f x p x g x p x g x =Œ因此1()()(()()()()).k f x p x kg x p x p x g x -'''=+这说明1()|().k px f x -'令()()()()(),h x kg x p x p x g x ''=+假设()|(),p x h x 注意到()|()(),p x p x g x '于是()|()()(),p x h x p x g x '-即()|()().p x kg x p x '因为()p x 是不可约多项式,所以()|()p x g x 或者()|().p x p x '而这两种情况都不能成立.于是假设错误.所以()(),p x h x Œ这就证明了()|(),kp x f x '所以()p x 是()f x '的1k -重因式. (2)()⇒如果不可约多项式()p x 是()f x 的重因式,则2()|(),p x f x 于是2()()(),f x p x q x =2()2()()()()()(2()()()),f x p x q x p x q x p x q x p x q x '''=+=+所以()|(),p x f x '显然()|(),p x f x 于是()p x 是()f x 与()f x '的公因式.()⇐若()p x 是()f x 与()f x '的公因式,则()()()(1),()().k f x p x q x k p x q x =≥Œ,若1,k =则()()(),f x p x q x = 于是()()()()(),f x p x q x p x q x '''=+因为()|(),p x f x '显然有()|()(),p x p x q x '所以()|()().p x p x q x '因为()p x 是不可约因式,所以()|(),p x p x '或者()|().p x q x 而这两种情况都不能成立.所以 2.k ≥这就是证明了不可约多项式()p x 是()f x 的重因式.(3)()⇒设多项式()f x 没有重因式,如果()f x 与()f x '不互素,则()f x 与()f x '有公因式(),x ϕ设()p x 是整除()x ϕ的不可约多项式(),p x 由(2)知道()f x 有重因式矛盾.()⇐设()f x 与()f x '互素,若多项式()f x 有重因式(),p x 则由(2)知道()p x 是()f x 与()f x '的公因式矛盾.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.解：竖式除法得22()(1)(1)5 6.f x x x x =+-++()5 6.r x x =+ 法2设()()()().f x q x g x r x =+可设().r x ax b =+于是432235()(1).x x x q x x ax b +++=+++令1x =-,则1.a b =-+两边求导得322463()(1)2(1)().x x q x x x q x a '++=++++ 令1,x =-则5.a =所以 6.b =所以()5 6.r x x =+2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =证明： 因为((),())|(),((),())|(),f x g x f x f x g x g x于是存在12(),()q x q x 使得12()((),())(),()((),())().f x f x g x q x g x f x g x q x ==所以()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=即为12()((),())()()((),())()((),()).u x f x g x q x v x f x g x q x f x g x +=因为多项式(),()f x g x 不全为零多项式,所以((),())f x g x 不是零多项式.所以12()()()() 1.u x q x v x q x +=所以((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.解：设()p x x =是不可约多项式,()()11,k k f x p x x =-=-则1()k f x kx -'=显然是()p x x =的1k -重因式,但 ()p x x =却不是()1k f x x =-的k 重因式.。
因式分解提公因式法(二)
因式分解提公因式法第2课时课题：3.2提公因式法(二) 课型：新授 备课人：唐思梁教学目标：A层、理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解。
B层、初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方法。
C层、在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣。
教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解。
教学难点: 运用提公因式法把多项式分解因式找到多项式的最大公因式.教学过程:一、自主学习1、阅读教材P60-612、用短除法分解因式。
二、师生共探1、怎样分解因式？ 如何把 分解因式？2、如何把分解因式？3、在草稿上检验例4、例5.4、例6.把因式分解。
三、归纳总结1、当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
2、提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式。
四、拓展提高1、把因式分解。
2、先变形，再分解因式。
.五、课堂检测A层.选择题（1）多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+（2）下列因式分解不正确的是（ ）A．-2ab²+4a²b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）C．-5ab+15a²bx+25ab³y=-5ab（-3ax-5b²y） D．3ay²-6ay-3a=3a（y²-2y-1）（3）将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）B层．把下列各式分解因式：C层.如何把。
最大公因式
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
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8 8
第一章 多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章 多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
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3 3
第一章 多项式
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数02多项式
注意： 注意：
定理2.3.2的逆命题不成立.但是当（2）式成立，而d(x)是f(x)与 g(x)的一个公因式时， d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 定义3 定义3 F[X]的两个多项式 与 互素的充分必要条件是： F[X]的两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是：在 的两个多项式 互素的充分必要条件是 F[X]中可以求得多项式u(x)与v(x)，使 中可以求得多项式u(x) 中可以求得多项式u(x)与v(x)， f(x)u(x)+g(x)v(x)=1
最大公因式的定义可以推广到n（n>2）个多项式的情形： n n>2） 若是多项式h(x)整除多项式中 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的每一个，那么 h(x)叫做这n个多项式的一个公因式.若是 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的公因式d(x)能被这n多个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫 做 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的一个最大公因式。 容易推出：若d0 ( x)是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x ) 的一个最大公因式 容易推出 那么 d 0 ( x) 与多项式f(x)的最大公因式也是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的最大公因式。
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
多项式长除法精讲精练
多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷x = x2).2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) = x3− 3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。
((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项5.重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。
考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。
然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），这种变换叫做除法变换，是从算数等式.[1]得到的。
应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。
如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。
简单来说，Q(x)就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。
相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。
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新课
四、数域的改变对多项式的最大公因式的影响 从数域 F 过渡到数域 F , f ( x)与g ( x) 的最大公因式 本质上没有改变
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五、最大公因式的表示
定理 2.3.2
若 d x 是 F [ x] 的多项式 f x 与 g x 的最大公因 式，那么在 F [ x] 里可以求得多项式 u x 与 v x ， 使以下等式成立:
如果h( x)是f ( x)与g ( x)的任意一个公因式， 则由f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1知h( x) 1。 所以( f ( x), g ( x)) 1。
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三、互素的性质 从定理2.3.3我们可以推出关于互素多项式 的以下重要事实。
1.若多项式 f x 和 g x 都与多项式 hx 互素， 那么乘积 f x g x 也与 hx 互素.
即： ( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1 ( f ( x) g ( x), h( x)) 1 。
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二、最大公因式的存在性、唯一性 定理 2.3.1(PartI): F [ x] 的任意两个多项式 f x 与 g x 一定有最大公因式。
定理 2.3.1(part II): 如果 d1 x 、d 2 x 是
f x 与 g x 的两个最大公因式，那么：
问题： ( f ( x) g ( x), h( x)) 1 ( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1是否成立？
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2.若多项式 hx 整除多项式 f x 与 g x 的乘积，而 hx 与 f x 互素. 那么 hx 一定整除 g x
设 d x 是多项式 f x 与 g x 的一个公因式。若是
d x 能被 f x 与 g x 的每一个公因式整除,那么
d x 叫做 f x 与 g x 的一个最大公因式。
即设f ( x), g ( x), d ( x) F [ x],如果 (1)d ( x) f ( x), d ( x) g ( x); (2)h( x) f ( x), h( x) g ( x) h( x) d ( x)。 就称d ( x)为f ( x)与g ( x)的最大公因式。
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由倒数第二个等式移项得 :
rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x)
令u1 ( x) 1，v1 ( x) qk ( x), 那么上面的等式 可以写成： [1] rk 2 ( x)u1 ( x) rk 1 ( x)v1 ( x) rk ( x)
[k ] f ( x)uk ( x) g ( x)vk ( x) rk ( x)
因为d ( x) crk ( x), c F , c 0 因此取u( x) cvk ( x)，v( x) cvk ( x),即可得：
f ( x)u( x) g ( x)v( x) d ( x)
即：h( x) f ( x) g( x)且(h( x), f ( x)) 1 h( x) g( x)。
证明：因为 (h( x), f ( x)) 1, 所以存在u( x), v( x)使得 h( x)u( x) f ( x)v( x) 1 。
两边同乘g ( x)得h( x)[u( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x) g ( x)。
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例 6 令F是有理数域。求出 F x 的多项式
f x 4 x 4 2 x 3 16 x 2 5 x 9, g x 2 x 3 x 2 5 x 4
的最大公因式 d x 以及满足等式
f x ux g xvx d x
由带余除法得：
6
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f ( x) g ( x)q1 ( x) r1 ( x) g ( x) r1 ( x)q2 ( x) r2 ( x) r1 ( x) r2 ( x)q3 ( x) r3 ( x)
……
rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x) rk 1 ( x) rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x) rk 1 ( x) rk ( x)qk 1 ( x)
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解：由辗转相除法可得： f x g x 2 x 6 x 2 3x 9 , 1 1 g x 6 x 3x 9 x x 1, 3 3 6 x 2 3x 9 x 16 x 9.
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2.3.2
多项式的互素
一、整数的互素
1、设a, b Z，如果(a, b) 1 ，则称a与b互素。 2、设a, b Z，那么
(a, b) 1 存在u, v Z，使得au bv 1 。
3、互素的性质
(1)设a, b, c Z，如果(a, c) 1 ， (b, c) 1, 那么(ab, c) 1 。
2
(1)互素 (2)不互素 (3)互素
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3、定理2.3.3 设f ( x) F[ x], g ( x) F[ x], 那么( f ( x), g ( x)) 1 存在u ( x), v( x) F[ x]使f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1 。
因为h( x) h( x), h( x) f ( x) g ( x),
所以h( x) h( x)[u( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x), 即：h( x) g ( x)。
证明： (1)( f ( x), g ( x)) 1 存在u ( x), v( x) F [ x]使f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1。 由定理2.3.2立即可得。
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(2)存在u( x), v( x) F[ x]使f ( x)u( x) g ( x)v( x) 1 ( f ( x), g ( x)) 1 。 首先， 1显然是f ( x)与g ( x)的公因式, 其次，
2、f ( x)与g ( x)互素 ( f ( x), g ( x)) 1 。
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例7：考察下列各组多项式 是否互素？ (1) f ( x) x 1, g ( x) x 1; (2) f ( x) x 2 1, g ( x) x 1; (3) f ( x) 3, g ( x) x 2 x 1。
d1 x cd 2 x 。其中c F , c 0。
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三、辗转相除法原理
f ( x) g ( x)q1 ( x) r1 ( x) g ( x) r1 ( x)q2 ( x) r2 ( x) r1 ( x) r2 ( x)q3 ( x) r3 ( x)
证明：因为 ( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1
所以存在u1 ( x), v1 ( x), u2 ( x), v2 ( x)使 f ( x)u1 ( x) h( x)v1 ( x) 1, g ( x)u2 ( x) h( x)v2 ( x) 1 。
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注意：定理2.3.2的逆命题不成立。
例如：对于f ( x) x, g ( x) x 1，有 x( x 2) ( x 1)(x 1) 2 x 2 2 x 1 但是2 x 2 2 x 1显然不是f ( x)与g ( x)的最大公因式。
f xux g xvx d x
证明：若f ( x) g ( x) 0, 那么d ( x) 0, 显然有 0 u( x) 0 v( x) 0, u( x), v( x) F[ x] 若f ( x)与g ( x)不全为0, 不妨假定g ( x) 0,
的多项式 u x 与 vx 。
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对 f x 与 g x 施行辗转相除法。但是现在不允许 用一个零次多项式乘被除式或除式。因为在求多
项式 u x 与 vx 时，不仅要用到余式，同时也要
用到商式。施行除法的结果，我们得到以下一串
等式：
2
由此得出， x Βιβλιοθήκη 1 是 f x 与 g 的最大公因式，而
x
回代
1 1 u x x 1, vx 2 x 2 2 x 3 3 3
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思考：满足定理2.3.2的多项式u x 和vx 是否唯一？
令u2 ( x) v1 ( x)，v2 ( x) u1 ( x) v1 ( x)qk 1 ( x), 那么上面的等式可以写 成： [2] rk 3 ( x)u2 ( x) rk 2 ( x)v2 ( x) rk ( x)
9
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这样继续往上利用等式组，最后可以得到：
两式相乘可得 f ( x) g ( x)u1 ( x)u2 ( x) h( x)[ f ( x)u1 ( x)v2 ( x) g ( x)u2 ( x)v1 ( x) h( x)v1 ( x)v2 ( x)] 1 。