(完整word版)二次函数,矩形的存在性问题,含答案,推荐文档
二次函数与矩形存在性问题
二次函数与矩形存在性问题
在代数学中，我们经常会研究到二次函数以及矩形。
但是，你是否想过这两者之间存在什么联系呢？
首先，我们来回顾一下二次函数的定义。
二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中 $a\neq0$。
这个函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
接下来，我们来看一下矩形的概念。
矩形是一个有四条直线构成的图形，其特点是对角线相等且相交于中心点。
在平面直角坐标系中，我们可以用矩形来表示区域面积。
那么，这两者之间存在什么联系呢？
实际上，二次函数与矩形之间的联系可以从同一元素的不同表达方式进行联系。
具体来说，我们可以用一个平移后的矩形来表示一个二次函数的面积。
比如，对于函数 $y=x^2$，我们可以构造一个边长为 $x$ 的正方形，其面积为 $x^2$。
同理，对于函数 $y=-x^2+4$，我们可以构造一个边长为 $2$，中心在 $(0,4)$ 的矩形，其面积同样为 $x^2$。
因此，我们可以通过一个矩形的存在来说明对应的二次函数在某些条件下存在。
总的来说，二次函数与矩形在数学中可以有很多联系。
通过对它们的定义和性质的深入理解，我们可以更好地掌握这两个概念，并应用于实际问题中。
二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)
二次函数中的存在性问题姓名1.已知抛物线y=﹣x2+ x﹣3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4 相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x 轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D 坐标，如果不存在，说明理由．3.已知直线y=x﹣3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA 上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．解得：x=1 或 x=4，∴B （1，0），A （4，0），令 x=0，得到 y=﹣3，即 C （0，﹣3），设直线 AC 解析式为 y=kx+b ，将 A 与 C 坐标代入得：， 解得：k=，b=﹣3，∴直线 AC 解析式为 y=x ﹣3，设平行于直线 AC ，且与抛物线只有一个交点的直线方程为 y=x+m ，此时直线与抛物线交于点 D ，使得△ACD 的面积最大，与二次函数解析式联立消去 y 得：﹣x 2+x ﹣3= x+m ， 整理得：3x 2﹣12x+4m+12=0，∴△=144﹣12（4m+12）=0，解得：m=0，∴此时直线方程为 y=x ，点 D 坐标为（2，）．2．（2008•宁波校级自主招生）已知 y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象与直线 y=kx+4 相交于 A （1，m ），B （4，8）两点，与 x 轴交于原点及点 C ．（1） 求直线和抛物线解析式；（2） 在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 D ，使 S △OCD =2S △OAB ？如果存在，求出点 D 坐标，如果不存在，说明理由．解答： 解：（1）∵直线 y=kx+4 过 A （1，m ），B （4，8）两点，∴ ，解得 ，∴y=x+4，1. 已知抛物线 y=﹣ x 2+ x ﹣3 与 x 轴交于 A ，B 两点，2. 与 y 轴交于点 C ．在直线 CA 上方的抛物线上是否存在3. 一点 D ，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D4. 的坐标；若不存在，请说明理由．解答： 解：对于抛物线 y=﹣x 2+x ﹣3， 令 y=0，得到﹣ x 2+x ﹣3=0，和点 C ．（1） 求此抛物线的解析式；（2） 在直线 CA 上方的抛物线上是否存在点 D ，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由．解答： 解：（1）把 x=0 代入 y= x ﹣3 得 y=﹣3，则 C 点坐标为（0，﹣3），把 O 、A 、B 三点坐标代入抛物线解析式，得 ， ，∴y=﹣x 2+6x ；（2）存在．设 D 点纵坐标为 h （h ＞0），由 O （0，0），A （1，5），B （4，8），可知 S △OAB =6，∴S △OCD =2S △OAB =12， ×6×h=12，解得 h=4，由﹣x 2+6x=4，得 x=3±， ∴D （3+，4）或（3﹣，4）．3．（2014 春•昌平区期末）已知直线 y=x ﹣3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y=﹣x 2+mx+n 经过点 A 把 y=0 代入 y=x ﹣3 得x ﹣3=0，解得 x=4，则 A 点坐标为（4，0），把 A （4，0），C （0，﹣3）代入 y=﹣x 2+mx+n 得 ，解得 ，所以二次函数解析式为 y=﹣x 2+x ﹣3；（2）存在． 过 D 点作直线 AC 的平行线 y=kx+b ，当直线 y=kx+b 与抛物线只有一个公共点时，点 D 到 AC 的距离最大，此时△ACD 的面积最大，∵直线 AC 的解析式为 y=x ﹣3，∴k= ，即 y=x+b ，由直线 y=x+b 和抛物线 y=﹣x 2+ x ﹣3 组成方程组得 ，消去 y 得到3x 2﹣12x+4b+12=0，∴△=122﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，∴3x2﹣12x+12=0，解得x1=x2=2，把x=2，b=0 代入y=x+b 得y=，∴D 点坐标为（2，）．4．（2010•孝感模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1 上，∴2k+1=3．解得k=1．∴直线AC 的解析式为y=x+1．∵点A 在x 轴上，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c 过点A、C，∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．∴E（1，2）．根据题意，知点A 旋转到点B 处，直线l 过点B、E．设直线l 的解析式为y=mx+n．将B、E 的坐标代入y=mx+n 中，联立可得m=﹣1，n=3．∴直线l 的解析式为y=﹣x+3．∴P（0，3）．过点E 作ED⊥x 轴于点D．∴S△PAE=S△PAB﹣S△EAB= AB•PO﹣AB•ED= ×4×（3﹣2）=2．（3）存在，点F 的坐标分别为（3﹣，0），（3+，0），（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．5．（2013 秋•红安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程求出点B 的坐标，令x=0 求出点C 的坐标，设直线BC 的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线BC 与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ 最小的点Q，然后利用直线解析式求解即可；（4）过点P 作PD∥y 轴与BC 相交于点D，根据抛物线解析式与直线BC 的解析式表示出PD，再根据S△PBC=S△PCD+S△PBD 列式整理，然后利用二次函数最值问题解答．解答：解：（1）令y=0，则﹣x2+x+2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以，点B 的坐标为（3，0），令x=0，则y=2，所以，点C 的坐标为（0，2），设直线BC 的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC 的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y=﹣x2+ x+2，=﹣（x2﹣2x+1）+2+ ，=﹣（x﹣1）2+ ，∴顶点坐标为（1，），对称轴为直线x=1；（3）由轴对称确定最短路线问题，直线BC 与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ 最小的点，x=1 时，y=﹣×1+2=，所以，存在Q（1，），使线段AQ+CQ 最小；（4）如图，过点P 作PD∥y 轴与BC 相交于点D，则PD=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以，S△PBC=S△PCD+S△PBD，=×（﹣x2+2x）×3，=﹣x2+3x，=﹣（x﹣）2+ ，所以，当x=时，△PBC 的面积最大为，此时，y=﹣×（）2+ ×+2= ，所以，存在P（，），使S △PBC 最大= ．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x 轴的交点坐标的求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题．。
09 二次函数与矩形正方形存在型问题
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题09 二次函数与矩形正方形存在型问题【典例分析】【例1】我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y＝x2与y＝﹣x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线y＝x2﹣2x与y＝x2﹣2mx﹣3是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的函数关系式；（3）抛物线L1：y＝﹣x2+2x+1的图象如图所示，L1与L2：y＝﹣2x2+mx是“共点抛物线”；①求m的值；②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2的“共点”为Q，作点P关于点Q的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M或点N落在抛物线L1上时，直接写出点P的坐标．思路点拨（1）解方程x2＝﹣x2得出x＝0（2）因为两个抛物线的共点在x轴上，y＝0代入L1中求得交点坐标，分别代入L2中，求得m的值，获得抛物线的解析式．（3）①两抛物线为共点抛物线时，只有一个交点，运用判别式为零，求出m的值②设点P坐标（a，0），通过Q点坐标，获得P'点坐标，因为PP'为正方形，利用K型全等模型建立全等关系，从而求出点M和N的坐标，将M、N分别代入解析式，获得a的值，从而求出点P的坐标．满分解答解：（1）是，（0，0）x2＝﹣x2∴x＝0（2）令y ＝x 2﹣2x ＝0 解得x 1＝0，x 2＝2 当x ＝0时，﹣3≠0 ∴（0，0）不是共点 当x ＝2时，4﹣4m ﹣3＝0解得m ＝14 ∴y ＝2132x x --（3）①若两个抛物线是“共点抛物线”则方程﹣x 2+2x+1＝﹣2x 2+mx 有两个相等的实数根 即x 2+（2﹣m ）x+1＝0有两个相等的实数根 ∴△＝（2﹣m ）2﹣4＝0 解得m ＝0或m ＝4 ∴m 的值为0或4．②P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0） 设点P （a ，0）当m ＝0时，Q （﹣1，﹣2） ∴P'（﹣2﹣a ，﹣4）∵PM ＝MP'，∠A ＝∠B ，∠AMP ＝∠BP'M ∴△APM ≌△BMP'（AAS ） 设M （x ，y ），N （a ，b ）42y x a a x y +=-⎧⎨---=⎩解得13x y a =⎧⎨=--⎩24a m n n m a ---=-⎧⎨--=-⎩解得31m n a =-⎧⎨=-⎩ ∴可得M （1，﹣3﹣a ），N （﹣3，a ﹣1） 分别代入L 1解析式可得 a 1＝﹣5，a 2＝﹣13 当m ＝4时，Q （1，2） ∴P'（2﹣a ，4）∵PM ＝MP'，∠A ＝∠B ，∠AMP ＝∠BP'M ∴△APM ≌△BMP'（AAS ） 设M （m ，n ）N （x ，y ）240a m n n a --=⎧⎨-=-⎩解得24m n a =-⎧⎨=-⎩ 24a x y y x a --=-⎧⎨-=-⎩解得31x y a=⎧⎨=+⎩ ∴可得M （﹣2，4﹣a ），N （3，1+a ） 分别代入L 1解析式可得 a 1＝﹣3，a 2＝11（舍）∴P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0） 【名师点睛】本题考查了全等模型和抛物线的交点问题，难度适中，难点在于（3）②，需要根据正方形建立K 型全等，从而获得参数a 的值，是一道很好的压轴问题．【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．思路点拨（1）在223y ax ax a =--中，令y=0，得到11x =-，23x =，得到A （－1，0），B （3，0），由直线l经过点A ，得到b k =，故y kx k =+，令223ax ax a kx k --=+，即2(2)30ax a k x a k -+--=，由于CD ＝4AC ，故点D 的横坐标为4，即有314ka--=-⨯，得到k a =，从而得出直线l 的函数表达式； （2）过点E 作EF ∥y 轴，交直线l 于点F ，设E （x ，223ax ax a --），则F （x ，ax a +），EF ＝223()ax ax a ax a ---+=234ax ax a --，S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝21(34)2ax ax a --＝21325()228a x a --， 故△ACE 的面积的最大值为258a -，而△ACE 的面积的最大值为54， 所以25584a -= ，解得25a =-； （3）令223ax ax a ax a --=+，即2340ax ax a --=，解得11x =-，24x =，得到D （4，5a ），因为抛物线的对称轴为1x =，设P （1，m ），然后分两种情况讨论：①若AD 是矩形的一条边，②若AD 是矩形的一条对角线． 满分解答（1）∵223y ax ax a =--=(1)(3)a x x +-，令y=0，得到11x =-，23x =，∴A （－1，0），B （3，0）， ∵直线l 经过点A ， ∴0k b =-+，b k =， ∴y kx k =+，令223ax ax a kx k --=+，即2(2)30ax a k x a k -+--=， ∵CD ＝4AC ， ∴点D 的横坐标为4， ∴314ka--=-⨯， ∴k a =，∴直线l 的函数表达式为y ax a =+；（2）过点E 作EF ∥y 轴，交直线l 于点F ，设E （x ，223ax ax a --），则F （x ，ax a +），EF ＝223()ax ax a ax a ---+=234ax ax a --，S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝2211(34)(1)(34)22ax ax a x ax ax a x --+--- ＝21(34)2ax ax a --＝21325()228a x a --， ∴△ACE 的面积的最大值为258a -， ∵△ACE 的面积的最大值为54，∴25584a -= ，解得25a =-；（3）令223ax ax a ax a --=+，即2340ax ax a --=，解得11x =-，24x =， ∴D （4，5a ）， ∵223y ax ax a =--，∴抛物线的对称轴为1x =，设P （1，m ），①若AD 是矩形的一条边，则Q （－4，21a ），m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P （1，26a ）， ∵四边形ADPQ 为矩形， ∴∠ADP ＝90°， ∴222AD PD AP +=，∴2222225(5)(14)(265)(11)(26)a a a a ++-+-=--+，即217a = ， ∵0a <， ∴77a =-， ∴P 1（1，267-）；②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（32，52a），Q （2，3a -），m ＝5(3)8a a a --=，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°， ∴222AP PD AD +=，∴222222(11)(8)(14)(85)5(5)a a a a --++-+-=+，即214a = ， ∵0a <，∴12a =-，∴P 2（1，－4）． 综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，2677-）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．【例3】如图1，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A ，B ，C ，已知点A 和C 的坐标分别是（﹣4，0）和（0，4），点P 在抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 上．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图2，当点P 在线段AC 的上方，点P 的横坐标记为t ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，当PM ＝2时，求点P 的坐标；（3）若点E 是抛物线对称轴上与点D 不重合的一点，F 是平面内的一点，当四边形CPEF 是正方形时，求点P 的坐标．思路点拨（1）根据题意直接将A 、C 点坐标代入二次函数表达，即可求解；（2）由题意求出PE＝PMsin45︒＝2PM＝2，即可求解；（3）根据题意分当CE为正方形一条边、CE为正方形的对角线两种情况，求解即可．满分解答（1）将A、C点坐标代入二次函数表达式得：01644b cc=--+⎧⎨=⎩，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4，则点D的坐标为（﹣32，254）；（2）设：直线AC的表达式为：y＝kx+4，将点A坐标代入上式得：0＝﹣4k+4，解得：k＝1，则直线AC的表达式为：y＝x+4，过点P作y轴的平行线，交AC于点EM，∵OA＝OC，∴∠CAB＝45°，则∠EPM＝45°，∴PE＝PMsin45︒2PM＝2，设：点P坐标为（x，﹣x2﹣3x+4），则点E坐标为（x，x+4），PE＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝2，解得：x＝﹣2±2（舍去﹣22），则点P的坐标为（﹣22+16﹣2）；（3）当点P′在对称轴左侧时（左侧图），同①所证，设CH ＝a ，则点P′坐标为（﹣a ﹣32，4﹣a ）， 将点P′坐标代入二次函数表达式并解得：a ＝1522+（负值已舍去）， 点P′的坐标为（4522--，7522-）， 同理当点P′′在对称轴右侧时（右侧图）， 点P″的坐标为（142﹣1，7142-）或（4522--，7522-）．备注：本题如果是这样表述：当四边形C ，P ，E ，F 是正方形时，求点P 的坐标． 则需要考虑：CE 为正方形一条边时， 过点E 作EG ⊥y 轴，交y 轴于点G ，∠ECG+∠PCG ＝90°，∠CEG+∠ECG ＝90°，∴∠CEG ＝∠PGC ， 而∠EGC ＝∠CPF ＝90°，EC ＝PC ，∴△ECG ≌△CPH ， ∴EG ＝CH ＝32，则点P 153-，52）． 【名师点睛】本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数运用、正方形基本性质、三角形全等等相关知识，其中（3）中，分情况画图确定点的位置时本题的难点．【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点(4,0)B 、(8,0)C 、(8,8)D .抛物线的解析式为2y ax bx =+.（1）如图一，若抛物线经过A ，D 两点，直接写出A 点的坐标 ；抛物线的对称轴为直线 ； （2）如图二：若抛物线经过A 、C 两点， ①求抛物线的表达式.②若点P 为线段AB 上一动点，过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ，过点E 作EF AD ⊥于点F 交抛物线于点G .当线段EG 最长时，求点E 的坐标；（3）若1a =-，且抛物线与矩形ABCD 没有公共点，直接写出b 的取值范围. 思路点拨（1）根据矩形的性质即可求出点A 的坐标，然后根据抛物线的对称性，即可求出抛物线的对称轴； （2）①将A 、C 两点的坐标代入解析式中，即可求出抛物线的表达式；②先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后设点E 的坐标为(),216x x -+，根据坐标特征求出点G 的坐标，即可求出EG 的长，利用二次函数求最值即可；（3）画出图象可知：当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B 的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D 点上方时，抛物线与矩形ABCD 没有公共点，将x=4和x=8分别代入解析式中，列出不等式，即可求出b 的取值范围． 满分解答（1）∵矩形ABCD 的三个顶点(4,0)B 、(8,0)C 、(8,8)D∴点A 的横坐标与点B 的横坐标相同，点A 的纵坐标与点D 的纵坐标相同 ∴点A 的坐标为：（4,8）∵点A 与点D 的纵坐标相同，且A 、D 都在抛物线上 ∴点A 和点D 关于抛物线的对称轴对称∴抛物线的对称轴为：直线4862x +==． 故答案为：（4,8）；x=6；（2）①将A 、C 两点的坐标代入2y ax bx =+，得81640648a ba b =+⎧⎨=+⎩ 解得：124a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故抛物线的表达式为2142y x x =-+； ②设直线AC 的解析式为y=kx ＋c 将A 、C 两点的坐标代入，得8408k ck c =+⎧⎨=+⎩解得：216k c =-⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为216y x =-+ 设点E 的坐标为(),216x x -+， ∵EG ⊥AD ，AD ∥x 轴 ∴点E 和点G 的横坐标相等 ∵点G 在抛物线上 ∴点G 的坐标为21,42x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴EG=()2142162x x x -+--+ =216162x x -+- =()21622x --+∵102-<∴当6x =时，EG 有最大值，且最大值为2， 将6x =代入E 点坐标，可得，点E 坐标为（6,4）． （3）当1a =-时，抛物线的解析式为2y x bx =-+如下图所示，当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B 的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D 点上方时，抛物线与矩形ABCD 没有公共点，故1640b -+<或6488b -+> 解得：4b <或9b >． 【名师点睛】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握矩形的性质、利用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式、利用二次函数求最值问题和数形结合的数学思想是解决此题的关键．【例5】在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣4x +n （x ＞0）的图象记为G 1，将G 1绕坐标原点旋转180°得到图象G 2，图象G 1和G 2合起来记为图象G ． （1）若点P （﹣1，2）在图象G 上，求n 的值． （2）当n ＝﹣1时．①若Q （t ，1）在图象G 上，求t 的值．②当k ≤x ≤3（k ＜3）时，图象G 对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k 的取值范围． （3）当以A （﹣3，3）、B （﹣3，﹣1）、C （2，﹣1）、D （2，3）为顶点的矩形ABCD 的边与图象G 有且只有三个公共点时，直接写出n 的取值范围． 思路点拨（1）先确定图像G2的顶点坐标和解析式，然后就P 分别在图象G1和G2上两种情况讨论求解即可； （2）①先分别求出图象G1和G2的解析式，然后就P 分别在图象G1和G2上两种情况讨论求解即可；②结合图像如图1，即可确定k的取值范围；（3）结合图像如图2，根据分n的取值范围分类讨论即可求解．满分解答（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，∴顶点坐标为（2，n﹣4），∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），∴图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，若点P（﹣1，2）在图象G1上，∴2＝9+n﹣4，∴n＝﹣3；若点P（﹣1，2）在图象G2上，∴2＝﹣1+4﹣n，∴n＝1；综上所述：点P（﹣1，2）在图象G上，n的值为﹣3或1；（2）①当n＝﹣1时，则图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣5，图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+5，若点Q（t，1）在图象G1上，∴1＝（t﹣2）2﹣5，∴t＝，若点Q（t，1）在图象G2上，∴1＝﹣（t+2）2+5，∴t1＝﹣4，t2＝0②如图1，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣2时，y＝5，对于图象G1，在y轴右侧，当y＝5时，则5＝（x﹣2）2﹣5，∴x＝10＞3，对于图象G2，在y轴左侧，当y＝﹣5时，则﹣5＝﹣（x+2）2+5，∴x＝﹣210，∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，∴﹣210k≤﹣2；（3）如图2，∵图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2+n﹣4，∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），与y轴交点为（0，﹣n），图象G1的顶点坐标为（2，n﹣4），与y 轴交点为（0，n），当n≤﹣1时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD最多1交点，当﹣1＜n＜0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有3交点，当n＝0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当0＜n≤1时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有1交点，当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当3≤n＜7时，图象G1与矩形ABCD有2个交点，当3≤n＜5时，图象G2与矩形ABCD有2个交点，n＝5时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，∴n＝5，当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，综上所述：当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．【名师点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图像的性质、二次函数的解析式以及二次函数图像上的点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知直线1:6l y x =-+与直线2l 相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点O 、点A 和点B ，已知点A 到x 轴的距离等于2.（1）求抛物线的解析式；（2）点H 为直线2l 上方抛物线上一动点，当点H 到2l 的距离最大时，求点H 的坐标；（3）如图，P 为射线OA 的一个动点，点P 从点O 出发，沿着OA 方向以每秒5个单位长度的速度移动，以OP 为边在OA 的上方作正方形OPMN ，设正方形POMN 与△OAC 重叠的面积为S ，设移动时间为t 秒，直接写出S 与t 之间的函数关系式.思路点拨（1）根据题意求出A 、B 坐标，由图像可知，图像经过原点，则c=0，设出抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠，将A （4,2）、B （6,0）代入2(0)y ax bx a =+≠，即可得到答案.（2）设H （a , 21342a a -+）,作HD ∥2l ,当HD ∥2l 时，点H 到2l 的距离最大.设直线HD 的解析式12y x c =+，并与抛物线解析式联立，得到一元二次方程，因为由函数图像可知，直线HD 与2l ，有且只有一个交点，所以△=0，求出c,进而求出H 坐标，得到答案.(3)通过运动过程中，分情况讨论，并将不规则图像利用分割法求解即可. 满分解答（1）由点A 到x 轴的距离等于2得知，A 的纵坐标是2 当y=2时，代入6y x =-+，得4x =，则A （4,2） 当x=0时，代入6y x =-+，得y=6,则B （6,0）由图像可知，图像经过原点，则c=0，则抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠ 将A （4,2）、B （6,0）代入2(0)y ax bx a =+≠21640366a b a b =+⎧⎨=+⎩解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以抛物线的解析式21342y x x =-+（2）设H （a , 21342a a -+）,作HD ∥2l ,当HD ∥2l 时，点H 到2l 的距离最大.设直线HD 的解析式12y x c =+，则 2134212y x x y x c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2131422x x x c -+=+化简得：2440x x c -+= 由函数图像可知，直线HD 与2l ，有且只有一个交点，所以△=()244140c --⨯=g 所以c=1当c=1时，2440x x c -+=即为2440x x -+=，2x =即2a =,则213242a a -+=所以H （2,2）综上所述，点H 为直线2l 上方抛物线上一动点，当点H 到2l 的距离最大时，点H 的坐标H （2,2）. （3）第一种情况：下图：P 点由O 点运动到图（2）位置（M 正好在AC 上）轴时.1tan tan 2MN AOB NOM ON ∠=∠==,由题意得：OP=ON=5t ，则MN=5t. S 重叠的面积=POMN S 正方形-MNO S ∆=()212OP ON MN -g =()25t-1552tt ⨯g=22554t t - =2154t作CD ⊥AO,于点D ，交y 轴于点Q由1l ：6y x =-+，可知B （6,0），C （0,6），则OC=6， 由（1）可知A(4,2),可知：224225OA =+=，22442AC =+=通过解直角三角形方法可知：2222OC OD AC AD -=-即：()(222262AO AD AD --=-()(22226542ADAD -=-解得AD=455,利用勾股定理得()2222412425555CD AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴3CDAD= ∵CD ⊥2l ，MP ⊥2l∴3MP AP =即53255t t=-解得32t =所以2153(0)42S t t =<≤ 第二种情况：下图：P 点图（1）位置（M 正好在AC 上）轴运动到O 点运动到时.取中间过程图分析面积：作CD ⊥AO,于点D ，交MN 轴于点E ，MN 交AC 于点F,MP 交AC 于点I. 由情况一可知13AP AD PI CD ==则13AO OP PI -=,25513t -= 所以，6535PI t =∴()565354565MI MP PI t t t =-=-=-∵CD ⊥2l ，AP ⊥2l ∴MP ∥CD,13AD CD =∴13FM AD MI CD ==，则()145653FM MI MP PI t ==-=- ∴()()11145654565223FMI S FM MI t t ∆=⋅=⨯-⋅-S 重叠的面积=POMN S 正方形-NOQ S ∆-FMI S ∆=2154t -()()114565456523t t ⨯-⋅- =2115403012t t -+-当AO=OP 时，是临界点，此时525t =，t=2 综上所述：211534030(2)122S t t t =-+-<≤ 第三种情况：下图：P 点图（1）位置（P 与A 点重合）运动到MN 经过点C 时.取中间过程图分析面积：MN 交y 轴于点Q ，交BC 于点D ，由题意知：525AP t =-，5525MC t t =-+()1+2APMV S AP MD MP =梯形 =15525+525523t t t t ⎛⎫--+ ⎪ ⎪ 此时S 重叠的面积=POMN S 正方形-NOQ S ∆-APMV S 梯形=2154t -15525+525523t t t t ⎛⎫--+ ⎪ ⎪ =2251012t t -+ 临界点范围求值：作CG ⊥OP 于点G ， 1255t 555t =解得：125t = 2251210(2)125S t t t =-+<≤ 第四种情况：下图：当△AOC 完全被正方形覆盖时：此时正方形边长＞△AOC 中AO 5t ＞1255,得t ＞125S 重叠的面积=AOC S ∆=12CO g A 点横坐标=164122⨯⨯=即当t ＞125，S=12综上所述222153(0)4211534030(2)122251210(2)1251212()5t t t t t S t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪-+-<≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪⎪>⎩【名师点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、面积问题，最值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题． 【变式训练】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，L ，n A 在y 轴的负半轴上，点1B ，2B ，3B ，L ，n B 在二次函数2y x =-位于第三象限的图象上，若四边形111OB AC ，四边形1222A B A C ，四边形2333A B A C ，L ，四边形1n n n n A B A C -都是正方形，则正方形1n n n n A B A C -的面积为（ ）．A ．2nB ．2nC ．22nD ．212n【答案】C 【解析】 ∵在2y x =-上，四111OB AC 为正方形得1(1,1)C -， ∴112A C y x =-，∴2(2,4)B --，2(0,6)A -， ∴226B A y x =--， ∴1112221OB A C S ==⨯正，12222822A B A C S ==⨯正， 233321823A B A C S ==⨯正，MM M M ∴122n n n n A B A C S n -=⨯正． 故选C.点睛：本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键．2．如图，P 是抛物线24y x x =--在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形OAPB 周长的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．7.5D ．53【答案】A 【解析】 【分析】设P （x ，x 2-x-4），利用矩形的性质得到四边形OAPB 周长=2PA+2OA=-2x 2+4x+8，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：设P （x ，x 2-x-4），则 PA=-（x 2-x-4）= -x 2+x+4，OA=x,∴四边形OAPB 周长=2PA+2OA=-2x 2+2x+8+2x=-2x 2+4x+8=-2（x-1）2+10， ∴当x=1时，四边形OAPB 周长有最大值，最大值为10． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．3．如图，边长为1的正方形ABCD 顶点A （0，1），B （1，1）；一抛物线y=ax 2+bx+c 过点M （﹣1，0）且顶点在正方形ABCD 内部（包括在正方形的边上），则a 的取值范围是（ ）A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a≤﹣14C．﹣1≤a≤﹣12D．﹣1≤a≤﹣14【答案】C【解析】【分析】当顶点与A点重合，可以知道顶点坐标为（0，1）且抛物线过（-1，0），由此可求出a；当顶点与C点重合，顶点坐标为（1，2）且抛物线过（-1，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．【详解】解：∵顶点是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点与A点重合，顶点坐标为（0，1），则抛物线解析式y=ax2+1，∵抛物线过M（-1，0），∴0=a+1，解得a=-1，当顶点与C点重合，顶点坐标为（1，2），则抛物线解析式y=a（x-1）2+2，∵抛物线过M（-1，0），∴0=4a+2，解得a=-12∵顶点可以在矩形内部，∴-1≤a≤-12．故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．4．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2的图象上，则a的值为（)A．23-B．2-C．6-D．12-【答案】B【解析】【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出∠BOD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得12BD OB=，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．【详解】如图，连接OB，∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴45122BOC OB∠===o，，过点B作BD⊥x轴于D，∵OC与x轴正半轴的夹角为15o，∴451530BOD∠=-=o o o，∴122BD OB==()2226222OD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴点B 的坐标为62,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， ∵点B 在抛物线y =ax 2(a <0)的图象上，∴26222a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得a =23- 故选B. 【点睛】考查正方形的性质，勾股定理，二次函数图象上点的坐标特征等，求出点B 的坐标是解题的关键. 6．如下图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （﹣4，0），B （﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P ，使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”，则n 的值为_____．【答案】-3或6 【解析】 【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ，求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n 的值即可. 【详解】连接AC 、BD 交于点E ，作EF ⊥AB 交AB 于点F ， 由题意得，抛物线必经过点E ，∵A （﹣4，0），B （﹣2，0）， ∴AB =2，BO =2， ∵正方形ABCD ，∴∠ABE =45°，AE ⊥BE ，AE =BE ， ∴AF =BF =EF =1， ∴E （﹣3，﹣1）， ∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1， 解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6. 【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A ，点M 是x 轴上方抛物线上一点，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ，以MP 为对角线作矩形MNPQ ，连结NQ ，则对角线NQ 的最大值为_________．【答案】4 【解析】∵四边形MNPQ 是矩形， ∴NQ=MP ，∴当MP 最大时，NQ 就最大.∵点M 是抛物线24y x x =-+在x 轴上方部分图象上的一点，且MP ⊥x 轴于点P ，∴当点M 是抛物线的顶点时，MP 的值最大. ∵224(2)4y x x x =-+=--+，∴抛物线24y x x =-+的顶点坐标为（2，4）， ∴当点M 的坐标为（2，4）时，MP 最大=4， ∴对角线NQ 的最大值为4.8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= 13x 2与y=﹣ 13x 2的图象，则阴影部分的面积是________．【答案】8 【解析】试题解析：∵函数213y x =与213y x =-的图象关于x 轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8. 故答案为：8.9．如图，抛物线2y ax c =+的顶点为B ，O 为坐标原点，四边形ABCO 为正方形，则ac =______.【答案】-2 【解析】【分析】抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），由四边形ABCO 是正方形，则C 点坐标为标为（2c -，2c），代入抛物线即可解答． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），四边形ABCO 是正方形， ∴∠COB=90°，CO=BC ， ∴△COB 是等腰直角三角形，∴C 点横纵坐标绝对值相等，且等于BO 长度一半， ∴C 点坐标为（2c -，2c ）， 将点C 代入抛物线方程中得：2·()22c ca c -+= 解得：ac=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．10．如图，已知二次函数22y x a =-+的图象经过点()0,10，矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为________．【答案】254【解析】 【分析】根据点（0,10）求出抛物线的解析式，根据矩形长和宽的比为2∶1判断四边形OECD 是正方形，求出C 点的坐标，根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等于正方形OECD 的面积， 即可求得阴影部分的面积.【详解】∵此二次函数的图象经过点()0,10， ∴10a =．∵此二次函数图象的对称轴是y 轴，且矩形ABCD 的长和宽的比为2:1，阴影部分的面积等于正方形OECD 的面积，设点C 的坐标为()2,210n n -+， ∵四边形OECD 是正方形，∴2210n n -+=-，解得12x =-（舍去负值），252x =， ∴点C 的坐标是55,22⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴5525224OECD S S ==⨯=阴影矩形． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的对称性及其性质是关键.错因分析：中等题．失分原因：①没有掌握二次函数图象对称的性质；②解一元二次方程出错． 11．如图，C ，D 是抛物线y ＝56（x +1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E ，CD ∥x 轴，四边形ABCD 为正方形，AB 边经过点E ，则正方形ABCD 的边长为_____．【答案】245【解析】 【分析】首先设AB ＝CD ＝AD ＝BC ＝a ，再根据抛物线解析式可得E 点坐标，表示出C 点横坐标和纵坐标，进而可得方程2524a ﹣5﹣a ＝﹣5，再解即可．【详解】设AB ＝CD ＝AD ＝BC ＝a ， ∵抛物线y ＝56（x +1）2﹣5， ∴顶点E （﹣1，﹣5），对称轴为直线x ＝﹣1，∴C 的横坐标为2a ﹣1，D 的横坐标为﹣1﹣2a， ∵点C 在抛物线y ＝56（x +1）2﹣5上，∴C 点纵坐标为56（2a ﹣1+1）2﹣5＝2524a ﹣5，∵E 点坐标为（﹣1，﹣5）， ∴B 点纵坐标为﹣5， ∵BC ＝a ，∴2524a ﹣5﹣a ＝﹣5，解得：a 1＝245，a 2＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：245．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、正方形的性质. 12．如图，在平面直角坐标系中，过点P （m ，0）作x 轴的垂线，分别交抛物线y ＝12x 2+2与直线y ＝﹣12x 于A 、B ，以线段AB 为对角线作正方形ACBD ，则正方形ACBD 的面积的最小值为_____．【答案】225128【解析】 【分析】根据点P （m ，0）得到点A ，B 的坐标，求得线段AB 的长度，当线段AB 最短时，正方形面积最小． 【详解】由题可知，A （m ，12m 2+2），B （m ，﹣12m ） ∴AB ＝12m 2+12m +2＝12（m +12）2+158，当m ＝﹣158时，AB min ＝158，∴S min ＝12•AB •CD ＝12×158×158＝225128，故答案是：225128．【点睛】考查了二次函数的应用，解题关键是将12m 2+12m +2化成12（m +12）2+158的形式，从而求得AB 的最小值. 13．如图，在平面直角坐标系中，点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心．函数y ＝（x ﹣h ）2的图象与正方形ABCD 有公共点，则h 的取值范围是_____．【答案】22h -≤≤ 【解析】 【分析】由于函数y=（x-h ）2的图象为开口向上，顶点在x 轴上的抛物线，故可先分别得出点A 和点B 的坐标，因为这两个点为抛物线与与正方形ABCD 有公共点的临界点，求出即可得解． 【详解】∵点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心， ∴点A 和点B 坐标分别为（1，1）和（-1，1），∵函数y=（x-h ）2的图象为开口向上，顶点在x 轴上的抛物线，∴其图象与正方形ABCD有公共点的临界点为点A和点B，把点B坐标代入y=（x-h）2，得1=（-1-h）2∴h=0（舍）或h=-2；把点A坐标代入y=（x-h）2，得1=（1-h）2∴h=0（舍）或h=2．函数y=（x-h）2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是-2≤h≤2．故答案为-2≤h≤2．【点睛】本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．14如图1,抛物线y = ax2+bx-3经过A、B、C三点，己知点A(-3,0)、C (1, 0).（1）求此抛物线的解析式.（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合)，①过点F作x轴的垂线，垂足为D,交直线AB于点E,动点P在什么位置时，PE最大,求出此时P点的坐标.②如图2,连接AP.以AP为边作图示一侧的正方形APMN,当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标.【答案】（1）y = x2+2x﹣3；（2）①（﹣32，15-4），②2－1，2）或（-1-172，1-172）【解析】【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；（2）①由抛物线解析式y = x 2+2x ﹣3，令x=0，y=﹣3，求出点B （0，-3），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （﹣3,0）和B （0，﹣3）代入y =kx+b 求出k=-1，b=-3，直线AB 的解析式为y=﹣x ﹣3，设E （x ，﹣x ﹣3），则PE=﹣（x+32）2+94，从而得当PE 最大时，P 点坐标为（﹣32，15-4）；②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A （﹣3,0），正方形APMN 的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种情况，i) 当点N 在抛物线对称轴直线x=﹣1上；ii ）当点M 在抛物线对称轴直线x=﹣1；根据这两种情况，作出图形，找到线段之间的等量关系，解之即可．. 【详解】（1）把A （﹣3,0）和C （1,0）代入y = ax 2+bx ﹣3得，09a-3b-30a b-3=⎧⎨=+⎩，解得a 1b 2=⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y = x 2+2x ﹣3；（2）设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y=kx+b ， ①由抛物线解析式y = x 2+2x ﹣3，令x=0，y=﹣3， ∴B （0，﹣3），把A （﹣3,0）和B （0，﹣3）代入y =kx+b 得，0-3k b -3b =+⎧⎨=⎩解得k -1b -3=⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y=﹣x ﹣3， ∵PE ⊥x 轴， ∴E （x ，﹣x ﹣3）， ∵P 在直线AB 下方，∴PE=﹣x ﹣3﹣（ x 2+2x ﹣3）=﹣x 2﹣3x=﹣（x+32）2+94，当x=﹣32时，y= x 2+2x ﹣3=15-4，∴当PE 最大时，P 点坐标为（﹣32，15-4）.②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A （﹣3,0），正方形APMN 的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种： i)当点N 在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，作PR ⊥x 轴于点R ，设对称轴与x 轴的交点为L ，如图①，∵四边形APMN 为正方形， ∴AN=AP ，∠PAR+∠RAN=90°， ∵∠PAR+∠APR=90°， ∴∠APR=∠RAN ， 在△APR 和△NAL 中90AP NA APR NALARP NAL =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△APR ≌△NAL （AAS ）， ∴PR=AL ，∵AL=﹣1－（﹣3）=2，∴PR=2，此时 x 2+2x ﹣3=2，解得x 12－1，x 2=2－1， ∵P 在直线AB 下方， ∴x=2－1， ∴P 21，2）；ii)当点M 在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，如图②，过点P 作PH ⊥对称轴于点H 、作AG ⊥HP 于点G ，∵四边形APMN 为正方形， ∴PA=PM ，∠APM=90°， ∴∠APG+∠MPH=90°， ∵∠APG+∠GAP=90°， ∴∠GAP=∠HPM ， 在△APG 和△PMH 中90GAP MPH AGP PHM AP PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△APG ≌△PMH （AAS ）， ∴AG=PH ，PG=MH ， ∴GH=PG+PH ∵P(x ，x 2+2x-3)∴x+3+（-x 2-2x+3）=2，解得x 1-117+，x 2-1-17∵P 在直线AB 下方， ∴-1-17∴P（-1-17，1-17）终上所述，点P对应的坐标为（﹣2－1，2）或（-1-17，1-172）.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、配方法求二次函数最值、全等三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问的两种情况当中，根据图形，构造全等三角形是关键．15．如图，抛物线l：y=﹣x2+bx+c（b，c为常数），其顶点E在正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1）．（1）直接写出点D的坐标_____________；（2）若l经过点B，C，求l的解析式；（3）设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD 内或边上时，直接写出线段MN的取值范围；（4）若l经过正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值．【答案】（1）D点的坐标为（2，2）；（2）y=﹣x2+3x﹣1；（3）2≤MN≤22（4）所有符合条件的c的值为﹣1，1，﹣2．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得D点的坐标；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据顶点横坐标纵坐标越大，与x轴交点的线段越长，根据顶点横坐标纵坐标越小，与x轴交点的线段越短，可得答案；（4）根据待定系数法，可得c的值，要分类讨论，以防遗漏．【详解】解：（1）由正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1），得D点的横坐标等于C点的横坐标，即D点的横坐标为2，D点的纵坐标等于A点的纵坐标，即D点的纵坐标为2，D点的坐标为（2，2）；（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得：11142b cb c=-++⎧⎨=-++⎩，解得：31 bc=⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣1；（3）由此时顶点E的坐标为（2，2），得：抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+2 把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+2=0解得：x1=2x2，即N（，0），M（2，0），所以MN﹣（2）．点E的坐标为B（1，1），得：抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1把y=0代入得：﹣（x﹣1）2+1=0解得：x1=0，x2=2，即N（2，0），M（0，0），所以MN=2﹣0=2．点E在线段AD上时，MN最大，点E在线段BC上时，MN最小；当顶点E在正方形ABCD内或边上时，2≤MN；（4）当l经过点B，C时，二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣1，c=﹣1；当l经过点A、D时，E点不在正方形ABCD内或边上，故排除；当l经过点B、D时，11 422b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：42bc=⎧⎨=-⎩，即c=﹣2；当l经过点A、C时，12 421b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得21bc=⎧⎨=⎩：，即c=1；。
二次函数压轴题之矩形存在性问题
矩形存在性问题矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有14,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、214,03C ⎛⎫⎪⎝⎭、()32,0C 、()43,0C在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形： A C B D A C B D x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．【分析】设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB为对角线时，14120a bc+=+⎧⎨+=+⎩，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：323abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩或233abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC为对角线时，14 102a bc +=+⎧⎨+=+⎩，另外AC=BD，综合以上可解得：143531abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．故C14,03⎛⎫⎪⎝⎭、D5,13⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）AD为对角线时，14 120b ac+=+⎧⎨+=+⎩，另外AD=BC，综合以上可解得：431331abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故C14,03⎛⎫⎪⎝⎭、D13,13⎛⎫⎪⎝⎭．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．【2018·铁岭中考（删减）】如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．点B 的坐标为（3，0）点C 的坐标为（0，3），点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线对称轴上一点，连接BD ，以PD ，PB 为边作平行四边形PDNB ，是否存在这样的点P ，使得平行四边形PDNB 是矩形？若存在，请求出tan ∠BDN 的值；若不存在，请说明理由．备用图【分析】（1）抛物线：223y x x=-++；（2）作平行四边形PDNB易，但要其成为矩形，还需再使得∠P=90°，问题求tan∠BDN，考虑到∠BDN=∠PBD，tanPDPBDPB∠=，所以本题关键还是要求得P点坐标．已知点P在对称轴直线x=1上，不难求得P点坐标使得∠P=90°．如图，记对称轴与x轴交点为E点，过点D作DF垂直对称轴于F点，当P点满足PF FDBE EP=时，即可得：△PFD∽△BEP．设PE=a，PF=b，则312a bba+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12ab=⎧⎨=⎩或21ab=⎧⎨=⎩．当P点坐标为（-1，2）时，tan∠BDN=tan∠PBD=12；当P点坐标为（-1，1）时，tan∠BDN=tan∠PBD=1．【2019南充中考（删减）】如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3，0），且OB =OC ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m +4．点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E ． ①求DE 的最大值；②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形．【分析】（1）抛物线：243y x x =---；（2）①像DE 这样的线段的最大值，就是当D 点在MN 水平位置的中点处时最大，假如我们知道这个结论的话．如果不知道，就只能一步步算了，由题意可知：M ()2,43m m m ---、N ()24,1235m m m +---，点斜式求直线MN ：()()22123543284MN m m m m k m m m-------==-++-直线MN ：()()22843y m x m m m =-+----， 整理得：()22843y m x m m =-+++-设D 点坐标为()2,43d d d ---，则E 点坐标为()()2,2843d m d m m -+++-，()()()2222243284324424DE d d m d m m d m d m m d m ⎡⎤=-----+++-⎣⎦=-++--=--++⎡⎤⎣⎦故当d =m +2时，DE 取到最大值为4．②若四边形MDNF 是矩形，根据对角线互相平分，则E 点必为MN 中点， 故E 点横坐标为m +2，则D 点横坐标也为m +2， 且由①可知，此时DE =4，又矩形对角线相等，因此只要满足MN =8，则有矩形MDNF ．8MN ===解得：14m =-24m =-． 故当m 的值为4-+或4-时，四边形MDNF 是矩形．考虑到第①问中已经得到了DE =4，故本题优先考虑利用对角线相等求解，事实上，构造三垂直使△MDN 是直角三角形，也可以解决问题． 构造△MED ∽△DFN ，4m +20-4m -1222E FMNDME DE DF NF =，即41222420m m --=+， 同样可解得：14m =-24m =-【2018·辽阳中考（删减）】如图，直线y =x -3与坐标轴交于A 、B 两点，抛物线214y x bx c =++经过点B ，与直线y =x -3交于点E （8，5），且与x 轴交于C ，D 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以点P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 （1）抛物线：2134y x x =--； （2）B 、C 为定点，P 在抛物线上，Q 在平面中，即为“2定+1半动+1全动”类型．先确定P 点使得由P 、B 、C 构成的三角形为直角三角形， 设P 点坐标为21,34m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当∠PBC =90°时，构造三垂直相似：△PEB ∽△BFC()22113344PE m m m m =----=-，BE m =-，606BF =-=，()033CF =--=，由相似可知：PE EB BF CF=，即21463m mm --=， 解得：14m =-，20m =（舍），代入得P 点坐标为（-4，5）， 根据点的平移可知对应的Q 点坐标为（2，8）． ②当∠PCB =90°时，同理可构造相似：2611234m m m -=--，解得：110m =-，26m =（舍） 代入得P 点坐标为（-10，32），根据点的平移可知对应的Q 点坐标为（-16，29）． 另外以BC 为直径作圆，与抛物线并无交点，故不存在以P 点为直角顶点的情况． 综上所述，Q 点坐标为（2，8）或（-16，29）．【小结】对于“2定+1半动+1全动”类题型，先求半动点，再得全动点，把矩形存在性转化成直角三角形存在性问题了，当然其直角顶点除了构造三垂直相似外也可以用勾股定理或者解析式来计算．【2018·曲靖中考（删减）】如图：在平面直角坐标系中，直线14:33l y x=-与x轴交于点A，经过点A的抛物线23y ax x c=-+的对称轴是32x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．l【分析】（1）由题意得：A （4，0），根据对称轴可知：a =1，将（4，0）代入解析式得：c =-4，故抛物线：234y x x =--．（2）易证△PCF ∽△PBE ，可得：PE ⊥PF ．（3）P 点为定点（6，2），E 是x 轴上动点，F 是y 轴上动点，Q 是抛物线上动点，且四边形为PEQF ，确定了点的顺序，省去了分类讨论的麻烦．法一：设E （a ，0）、F （0，b ）、Q ()2,34c c c --，又A （6，2），由矩形可列方程组：2602340c a c c b⎧+=+⎪⎪+--=+⎨= 解得：842a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或482a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，故Q 点坐标为（2，-6）、（-2，6）．这种做法思路并不麻烦，难点在于解方程组，将式1、式2代入式3中，两边平方之后移项构造平方差，可简便得解．法二：有问题（2）作铺垫，当PE ⊥PF 时，始终有△PCF ∽△PBE ，且相似比为3：1， ①当E 点在B 点左侧时，F 点在C 点上方，不妨设BE =m ，则CF =3m ，根据点的平移可得：Q 点坐标为(),3m m -，代入抛物线解析式：()()2334m m m =----，解得：12m =，22m =-（舍）．此时Q 点坐标为（2，-6）；②当E 点在B 点右侧时，F 点在C 点下方，同理可得m 的值为-2，对应Q 点坐标为（-2，6）．综上所述，Q 点坐标为（2，-6）、（-2，6）．。
中考复习专题8二次函数与矩形存在性问题(含解析)
专题8二次函数与矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形．2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C 或D的坐标.【例1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；（3）设P（t，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴AB的解析式为：y＝2x+4，设直线DE的解析式为：y＝mx，∴2x+4＝mx，∴x＝，当x＝3时，y＝3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴•3•（﹣3m）＝•4•，∴9m2﹣18m﹣16＝0，∴（3m +2）（3m ﹣8）＝0，∴m 1＝﹣，m 2＝（舍），∴直线DE 的解析式为：y ＝﹣x ；（3）存在，B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形有两种情况：设P （t ，﹣t 2+t +4），①如图1，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵四边形BPGF 是矩形，∴BP ＝FG ，∠PBF ＝∠BFG ＝∴∠CFG +∠BFO ＝∠BFO +∠OBF ＝∠CFG +∠CGF ＝∠OBF +∠PBH ＝90°，∴∠PBH ＝∠OFB ＝∠CGF ，∵∠PHB ＝∠FCG ＝90°，∴△PHB ≌△FCG （AAS ），∴PH ＝CF ，∴CF ＝PH ＝t ，OF ＝3﹣t ，∵∠PBH ＝∠OFB ，∴＝，即＝，解得：t 1＝0（舍），t 2＝1，∴F （2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，∵∠OFB＝∠FPM，∴tan∠OFB＝tan∠FPM，∴＝，即＝，解得：t1＝，t2＝（舍），∴F（，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．【例2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），列出交点式，再将点A（0，﹣4）可得出抛物线的解析式；（2）根据可得出△ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；（3）若存在，则△BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，∴a＝．∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），∴点B的坐标为（4，﹣4）．∵D（4，0），∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．∵AE＝m，∴AF＝EF＝m，∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．∵四边形EGFH是正方形，∴△EHF是等腰直角三角形，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．∵B（4，﹣4），C（6，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．解得m＝．∴G（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，∴分以下三种情况：①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，解得m＝，∴G（，﹣）；②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，∴20+（6﹣m ）2+（﹣4+m ）2＝（4﹣m ）2+（m ）2，解得m ＝，∴G （，﹣）；③当点G 为直角顶点时，BG 2+CG 2＝BC 2，∴（4﹣m ）2+（m ）2+（6﹣m ）2+（﹣4+m ）2＝20，解得m ＝或2，∴G （3，﹣3）或（，﹣）；综上，存在以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G 的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．【例3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y ＝ax 2+2x +c 的对称轴是直线x ＝1，与x 轴交于点A ，B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC ．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为点M ，DM 交直线BC 于点N ，是否存在这样的点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F ，使以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线经过点B （3，0），可得A （﹣1，0），用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①当AC＝AN时，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（2，1）；②当AC＝CN时，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（，3﹣）；③当AN＝CN时，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴点F的坐标为（2，）或（2，）；②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．【例4】（2022•梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x ﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．1．（2022•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A （﹣6，0）、B（2，0）两点．（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C 关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）存在，根据题意求得抛物线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣6，0）、B（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+12；（2）存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）+16，∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣（x+2﹣4）2+16＝﹣（x﹣2）2+16＝﹣x2+4x+12，令﹣x2﹣4x+12＝﹣x2+4x+12，解得：x＝0，当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x+12＝12，∴点C的坐标为（0，12），∵点D是点C关于x轴的对称点，∴点D坐标为（0，﹣12），①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则y M＝y C，即﹣x2+4x+12＝12，解得：x1＝0，x2＝4，∴M1（4，12）；②当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则y M＝y D，即﹣x2+4x+12＝﹣12，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，M2（2+2，﹣12），M3（2﹣2，﹣12）．综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为（4，12）或（2+2，﹣12）或（2﹣2，﹣12）．2．（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：四边形OBED是矩形；（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE ＝90°，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可知抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），再将两个点代入解析式即可求解；（2）由旋转是性质，可得OB＝AB，则设A（﹣m，m），求出A点坐标，由此可得BE＝OD，再由BE ∥OD，OB⊥OD即可证明；（3）设N（n，0），则F（n，n），则S＝﹣（n﹣1）2+，可知当n＝1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），通过已知可推导出∠OPN＝∠POE，从而得到PF＝OF，设P（1，t），则|t﹣|＝，求出t的值即可求点P的坐标．【解答】（1）解：∵当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2，∴抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），∴，解得，∴y＝﹣x﹣1；（2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，﹣1），∴OD＝2，OC＝1，∵AB⊥y轴，∴△ABC是直角三角形，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，∴OB⊥BE，AB＝OB，设A（﹣m，m），∴m＝m2﹣m﹣1，解得m＝﹣1或m＝，∴A（﹣1，1），∴BO＝1，∴BC＝BE＝2，∴BE＝OD，∵∠BOD＝90°，∴BE∥OD，∴四边形OBED是矩形；（3）∵E（2，1），∴直线OE的解析式为y＝x，设N（n，0），则F（n，n），∴S＝×DN×FN＝×（2﹣n）×n＝﹣（n﹣1）2+，∵N在线段OD上，∴0≤n≤2，∴当n＝1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），∵∠PNO＝90°，∴∠EOD+∠POE＝90°，∵∠OPD+∠DOE＝90°，∴∠POE+∠OPN＝∠OPD，∵O点与D点关于l对称，∴∠OPN＝∠NPD，∴∠OPN＝∠POE，∴PF＝OF，设P（1，t），∴|t﹣|＝，∴t＝+或t＝﹣+，∴P点坐标为（1，+）或（1，﹣+）．3．（2022•石家庄二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．（1）点C的纵坐标为b+1（用含b的式子表示），∠OBC＝45度；（2）当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．【分析】（1）将（﹣1，0）代入解析式可得c与b的关系，从而可得OB＝OC，进而求解．（2）由b＝1可得抛物线解析式及点B，C坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，由S△BCP＝S△CEP+S△BEP求解．（3）①将二次函数解析式化为顶点式可得点Q坐标，由点A，Q坐标可得A，Q中点坐标，进而求解．②根据抛物线与y轴交点的位置及抛物线对称轴的位置，结合图象求解．【解答】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣1﹣b+c，解得c＝b+1，∴y＝﹣x2+bx+b+1，设点B坐标为（x2，0），则抛物线对称轴为直线x＝＝，解得x2＝b+1，∴点B坐标为（b+1，0），∴OC＝OB＝b+1，∴∠OBC＝45°，故答案为：b+1，45．（2）当b＝1时，y＝﹣x2+x+2，作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（2，0），（0，2）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x+2．设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），则点E坐标为（m，﹣m+2），∴PE＝﹣m2+2m，＝S△CEP+S△BEP＝PE•x P+PE（x B﹣x P）＝PE•x B＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵S△BCP∴m＝1时，△BCP面积的最大为1，此时点P坐标为（1，2）．（3）①∵y＝﹣x2+bx+b+1＝﹣（x﹣）2++b+1，∴点Q坐标为（，+b+1），∵A（﹣1，0），∴点A，Q中点坐标为（﹣+，++），∴++＝2，解得b＝2或b＝﹣6，当b＝2时，点Q坐标为（1，4），当b＝﹣6时，点Q坐标为（﹣3，4）．②∵E（3，2），∴点F坐标为（0，2），将（0，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得b+1＝2，解得b＝1，将E（3，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得2＝﹣9+4b+1，解得b＝，∴1≤b＜，满足题意．当抛物线顶点Q（，+b+1）落在y轴上时，＝0，解得b＝0，当抛物线经过原点时，0＝b+1，解得b＝﹣1，∴﹣1＜b≤0符合题意．综上所述，1≤b＜或﹣1＜b≤0．4．（2022•滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B （4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．（1）求抛物线的表达式：（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，即知抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；（2）由y＝﹣x2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，从而可得E（，），PE＝﹣＝，即可得△PBC的面积是；（3）①过点N作NG⊥EF于点G，求得直线BM的表达式为：y＝2x﹣8即知M（0，﹣8），设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），证明△NEG≌△BFH（AAS），可得NG＝BH，EG＝FH，即有a＝4﹣a，解得F（2，﹣4），E（2，1），从而可得N（0，﹣3）；②取MN的中点D，由QN＝QM，知点Q在MN的垂直平分线上，又C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5最小，只需BQ+MQ最小，即点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂＝BQ+MQ+5，故要使C△QNB直平分线与直线BM的交点，由N（0，﹣3），M（0，﹣8），得D（0，﹣），即可得Q（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；（2）如图：∵点P落在抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴上，∴P为抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴P（，），在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴C（0，2）由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，∴E（，），∴PE＝﹣＝，＝PE•|x B﹣x C|＝××4＝，∴S△PBC答：△PBC的面积是；（3）①过点N作NG⊥EF于点G，如图：∵y＝2x+m过点B（4，0），∴0＝2×4+m，解得m＝﹣8，∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，∴M（0，﹣8），设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），∵四边形BENF为矩形，∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，又∠NGE＝90°＝∠BHF，∴△NEG≌△BFH（AAS），∴NG＝BH，EG＝FH，而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，∴a＝4﹣a，解得a＝2，∴F（2，﹣4），E（2，1），∴EH＝1，∵EG＝FH，∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，∵F（2，﹣4），∴G（2，﹣3），∴N（0，﹣3）；②取MN的中点D，如图：∵QN＝QM，∴点Q在MN的垂直平分线上，又∵B（4，0），N（0，﹣3），∴BN＝5，＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，∴C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，∴要使C△QNB∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），∴D（0，﹣），在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：﹣＝2x﹣8，解得x＝，∴Q（，﹣）．5．（2022•石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，三根支杆的总长度w＝﹣m2+2m+16，【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，由题意得，E（0，8），A（﹣6，4），设抛物线的解析式为y＝ax2+c，代入可得，解得，∴y＝﹣x2+8；（2）依题意可得﹣x2+8＝7，解得x＝±3，∴3﹣（﹣3）＝6（米），答：这两根立柱之间的水平距离是6米；（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，∴三根支杆的总长度w＝PQ+PN+MN+2m+2（﹣m2+8）＝﹣m2+2m+16，∵a＝﹣＜0，∴m＝﹣＝4.5时，w最大＝20.5，∴三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米．6．（2022•朝阳区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围．（2）求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．（3y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），分两种情况：当m+5＞﹣2m，即m＞﹣时，当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，分别根据“点M在线段AD上”，列出不等式求解即可；（2）由题意得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，根据根的判别式即可证得结论；（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，分三种情况：①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，③当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，分别画出图形讨论即可；（4）由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，根据“抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的”分三种情况：①当m ＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m ﹣，﹣2m ），②当﹣5≤m ＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m +，﹣2m ），③当m ＞﹣，且16﹣9m ≥m +5，即﹣＜m ≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m +，m +5），分别代入抛物线解析式求解即可．【解答】（1）解：由题意得：M （0，﹣m ），A （0，m +5），D （0，﹣2m ），当m +5＞﹣2m ，即m ＞﹣时，∵点M 在线段AD 上，∴﹣2m ＜﹣m ＜m +5，∴m ＞0；当m +5＜﹣2m ，即m ＜﹣时，∵点M 在线段AD 上，∴m +5＜﹣m ＜﹣2m ，∴m ＜；综上所述，m 的取值范围为m ＞0或m ＜．（2）证明：当x 2﹣2mx ﹣m ＝+5时，整理得：x 2﹣2mx ﹣2m ﹣5＝0，Δ＝（﹣2m ）2﹣4×1×（﹣2m ﹣5）＝4（m +1）2+16，∵4（m +1）2≥0，∴4（m +1）2+16＞0，∴抛物线y ＝x 2﹣2mx ﹣m 与直线y ＝m +5恒有两个交点．（3）解：∵y ＝x 2﹣2mx ﹣m ＝（x ﹣m ）2﹣m 2﹣m ，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝m ，顶点坐标为（m ，﹣m 2﹣m ），开口向上，与y 轴的交点M （0，﹣m ），①当m +5＜﹣2m ，即m ＜﹣时，如图1，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，如图2，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；③当m＞0时，如图3，令x＝4，则y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；综上，m的取值范围为m＜﹣或﹣＜m≤0或m≥．（4）解：由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，当x＝4时，y＝16﹣9m，∵抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，∴抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，﹣2m），∴﹣2m＝（﹣m﹣）2﹣2m（﹣m﹣）﹣m，解得：m＝，∵m＜﹣5，∴m＝﹣；②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），∴﹣2m＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，解得：m＝﹣1，∵﹣5≤m＜，∴m＝﹣1﹣；③当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m +，m +5），∴m +5＝（m +）2﹣2m （m +）﹣m ，解得：m ＝﹣3，∵﹣＜m ≤，∴m ＝﹣3+；综上所述，m 的值为﹣或﹣1﹣或﹣3+．7．（2022•长春一模）已知抛物线y ＝x 2﹣2mx +2m +1．（1）写出抛物线y ＝x 2﹣2mx +2m +1的顶点坐标（用含m 的式子表示）．（2）当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是m ≤1．（3）当﹣1≤x ≤2时，函数y ＝x 2﹣2mx +2m +1的图象记为G ，设图象G 的最低点的纵坐标为y 0．当y 0＝﹣1时，求m 的值．（4）当m ＞0时，分别过点A （2，1）、B （2，4）作y 轴垂线，垂足分别为点D 、点C ，抛物线在矩形ABCD 内部的图象（包括边界）的最低点到直线y ＝﹣2的距离等于最高点到x 轴的距离，直接写出m 的值．【分析】（1）由y ＝（x ﹣m ）2﹣m 2+2m +1，即可求解；（2）由抛物线的图象可得m ≤y 随x 的增大而增大；（3）分三种情况讨论：当m ＜﹣1时，y 0＝2+4m ＝﹣1，解得m ＝﹣（舍）；当m ＞2时，x ＝2，函数有最小值，y 0＝5﹣2m ＝﹣1，解得m ＝3；当﹣1≤m ≤2时，y 0＝﹣m 2+2m +1＝﹣1，解得m ＝+1（舍）或m ＝﹣+1；（4）分五种情况讨论：当0＜m ≤时，﹣m 2+2m +1+2＝4，解得m ＝1（舍）；当＜m ≤1时，﹣m 2+2m +1+2＝4﹣2m +1，解得m ＝+2（舍）或m ＝﹣+2；当1＜m ≤时，﹣m 2+2m +1+2＝2m +1，解得m ＝或m ＝﹣（舍）；当＜m ≤2时，﹣m 2+2m +1+2＝4，解得m ＝1（舍）；当m ＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，此时不符合题意．【解答】解：（1）∵y ＝x 2﹣2mx +2m +1＝（x ﹣m ）2﹣m 2+2m +1，∴顶点坐标为（m ，﹣m 2+2m +1）；（2）∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2+4m，∵y0＝﹣1，∴2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2+2m+1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；综上所述：m的值为3或﹣+1；（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．8．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M 在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），∴＝0，解得b＝1．∴抛物线解析式为：．（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，∴P点的坐标为（m，），∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，∴Q点的坐标为（3，），∵M点的坐标为（3，﹣m+），∵Q点与M点重合，∴＝﹣m+，解方程得：m＝0或m＝4．（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．∵N点的坐标为N（m，﹣m+），要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，∴﹣m+＞2，得m＜﹣．∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．∵四边形PQMN是正方形，∴m2﹣2m＝3﹣m，解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．∴当m＝1﹣时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．（4）∵M点的纵坐标﹣m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图4﹣2；综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．9．（2022•白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b为常数，b≠0）与y轴交于点A，且点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为﹣m+1．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点Q与点M的横坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．（4）当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则有﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；当点Q在点M右边时，存在两段，不合题意；当0＜m＜2时，点P在l的上方，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有＜m＜2．【解答】解：（1）把点A（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b，得到b＝3．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴P（m，﹣m2+2m+3），∵PQ⊥l，且l⊥y轴，∴PQ∥y，∴Q（m，3）；∵点M（﹣m+1，3）与点Q重合，∴﹣m+1＝m，解得m＝．（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），由题意PQ＝MQ，∴|﹣m2+2m+3﹣3|＝|﹣m+1﹣m|解得，m＝1或m＝﹣1或m＝2+或m＝2﹣．（4）根据题意可知，需要分类讨论：当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，如图1，此时﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；当点P在直线l的下边，点Q在点M右边时，如图2，存在两段，不合题意；当点P在l上方时，如图3和4，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有＜m＜2．综上，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，﹣1≤m＜0或＜m＜2．10．（2021•吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线AB．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标；（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值．【分析】（1）把点A（5，0）代入抛物线y＝x2+bx﹣中可解答；（2）根据配方法可得抛物线顶点B的坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式；（3）分两种情况：①点P在对称轴的左侧；②点P在对称轴的右侧；根据该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2列方程可解答；（4）先求抛物线与y轴交点的坐标，根据该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等可知：点Q的纵坐标为﹣，将y＝﹣代入直线AB的解析式可得答案．【解答】解：（1）把点A（5，0）代入抛物线y＝x2+bx﹣中得：+5b﹣＝0，解得：b＝﹣2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）∵y＝x2﹣2x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴B（2，﹣），设直线AB的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x﹣；（3）由题意得：P （m ，m 2﹣2m ﹣），∴Q （m ，m ﹣），分两种情况：①如图1，当点P 在对称轴的左侧时，∵抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，∴m 2﹣2m ﹣+＝2，解得：m 1＝0，m 2＝4（舍），∴P （0，﹣）；②如图2，当点P 在对称轴的右边时，∵抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，∴m 2﹣2m ﹣﹣m +＝2，解得：m 1＝6，m 2＝1（舍），∴P （6，3.5）；综上，点P 的坐标为（0，﹣）或（6，3.5）；（4）如图3，当x ＝0时，y ＝﹣∵该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ 的距离相等，即点D 与C 到直线MQ 的距离相等，∴点Q的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，m﹣＝﹣，解得：m＝．11．（2021•南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P 不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：m＝+a﹣a，∴m＝．（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），当﹣a2﹣a＝时，解得a＝﹣，当﹣a2﹣a＝﹣时，解得a＝或a＝．。
11 问题详解 二次函数-矩形的存在性问题
参考答案1. (2015 省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ．（1）求直线BD 的解析式；（2）求△OFH 的面积；（3）点M 在坐标轴上，平面是否存在点N ，使以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得直线BD 的解析式；（2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积；（3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ，把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ，把E 点坐标代入可求得m=，∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ，解得x=，∴H 点到y 轴的距离为，又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=；（3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，∴△DFM 为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ，∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0），设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）；②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2，则有△FOD ∽△DOM ，∴=，即=，解得OM=6，∴M （0，﹣6），且F （0，），∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=，∴G （0，﹣），设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3，∵四边形MFND 为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 市綦江县) 如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.xyxyxy26题备用图226题备用图126题图1CBAOCAOHGEDCBAOFM M答案解：⑴AD：1y x=+⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM故FGH FGMC C=△△设2(,23)F m m m-++则FM=2223(1)2m m m m m-++-+=-++则C=219922(12)(12)()242FMFM FM m++⨯=+=-+-+故最大周长为9+924⑶①若AP为对角线如图，由△PMS∽△MAR可得9(0,)2P由点的平移可知1(2)2Q-，故Q点关于直线AM的对称点T为1(0,)2-②若AQ为对角线如图，同理可知P1(0,)2-由点的平移可知Q7(2,)2故Q点关于直线AM的对称点T为9(0,)23. (2016 省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．解答解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=，x2=，∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．4. (2016 省地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上，∴8=2a+4，解得a=2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，∴8=22+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x；（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，，∴B点坐标为（﹣2，0），如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，∴OC=AQ=4，∴C点坐标为（0，4），又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，∵P点在抛物线线上，∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，∵P点在A、B之间的抛物线上，∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，∴P点坐标为（﹣1，4），∴PC=﹣1﹣0=﹣1；（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，∵C、E都在直线y=2x+4上，∴C（m，2m+4），E（，n），∵PC∥x轴，∴P点纵坐标为2m+4，∵P点在抛物线上，∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），∴P点坐标为（﹣1，2m+4），∴DE=﹣m ，CP=﹣1﹣m ，∵四边形PCDE 为矩形，∴DE=CP ，即﹣m=﹣1﹣m ， 整理可得n 2﹣4n ﹣8m ﹣16=0，即m 、n 之间的关系式为n 2﹣4n ﹣8m ﹣16=0． 5. (2013 省市) 如图，已知二次函数的图象过点A (0，－3)，B （3,3），对称轴为直线12x =-，点P 是抛物线上的一动点， 过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ， 在四边形PMON 上分别截取1111,,,.3333PC MP MD OM OE ON NF NP ==== （1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为2y ax bx c =++,将点A （0，-3）、B （3,3）、对称轴方程分别代入可得：3,3331.22c a b c b a ⎧-=⎪⎪=++⎨⎪-=-⎩，解得1,1,3.a a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴此二次函数的解析式为23y x x =+-.（2）证明：如图连接CD ，DE ，EF ，FC.∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形OMPN 是矩形.∴MP =ON ，OM =PN.又1111,,,,3333PC MP MD OM OE ON NF NP ==== ∴,DMFN MC NE ==∴△CMD ≅△ENF,同理△ODE ≅△FPC(SAS), ∴CF =ED ，CD =EF.,∴四边形CDEF 是平行四边形.（3）如图，作CQ ⊥y 轴于点Q ，设P 点坐标为()2,3x x x +-， 则1.3QN PC OE MP ===∴()2133EQ x x =-+-.∴在Rt △ECQ 中，()22222213.9CE EQ CQ x x x =+=+-+当CD⊥DE时，()()()()()()22222222222222222222222222221333413,99143,994114339999553.99DE OD OEx x xx x xCD DM CMx x xCE DE CDx x x x x xx x x=+⎛⎫⎡⎤=-+-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++-=+=++-∴=+=++-+++-=++-Q()()()222222222215533,999443,993.x x x x x xx x xx x x∴+-+=++-=+-+-=±()()()()212122121233,3,3,3;331,3 1.33333311.x x x x xy yx x x x xy yP+-===-==-+-=-=-===-∴-当时,此时，当时,，此时，，综上可知符合条件的点有四个，分别是，，，-，-，，，-本题用相似更简单！6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．。
专题05 二次函数中的矩形存在性问题(老师版)
专题05 二次函数中的矩形存在性问题【例题讲解】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E，点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴∴C（0，﹣3）把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3∴a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3（2）如图，∵D、F关于点E对称，∴DE＝EF∵四边形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN与DF互相平分∴DE＝MN，E为MN中点∴x D＝x E＝＝m+2由①得当d＝m+2时，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．【模型解读】矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有、、、在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．A CB D AC B Dx x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=14,03C ⎛⎫⎪⎝⎭214,03C ⎛⎫⎪⎝⎭()32,0C ()43,0C思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C 点坐标为（a ，0），D 点坐标为（b ，c ），又A （1，1）、B （4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB 为对角线时，，满足此条件的C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：或．故C （3，0）、D （2，3）或C （2，0）、D （3，3）．（2）AC 为对角线时，，另外AC=BD ，得．故C 、D ．（3）AD 为对角线时，，另外AD=BC综合以上可解得：．故C 、D ．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算．A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=14120a bc +=+⎧⎨+=+⎩=323a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩233a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩14102a bc+=+⎧⎨+=+⎩=143531a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩14,03⎛⎫ ⎪⎝⎭5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭14120b ac +=+⎧⎨+=+⎩=431331a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩14,03⎛⎫ ⎪⎝⎭13,13⎛⎫⎪⎝⎭【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），设直线PB的表达式为y＝kx+t，则，解得，∵CQ∥BP，故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），则BQ＝4﹣＝，设△PBQ面积为S，则S＝×BQ×（﹣y P）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，∵﹣2＜0，故S有最大值，当m＝2时，△PBQ面积为8，此时点P的坐标为（2，﹣6）；（3）存在，理由：将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），设点F（s，t），①当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），则或，解得或，故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；②当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．2．如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），得＝2，即m＝4，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在，理由如下：∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，联立①②解得，或，∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，∴点F的横坐标为，①若BG为边，不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，∴＝，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质，得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E横坐标向左平移m+2个单位，得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴＝﹣m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F（0，﹣），这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；②若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得，，∴M的坐标为（，），∵矩形对角线BG、EF互相平分，∴M也是EF的中点，∴E的横坐标为，∴E的坐标为（，），∵∠BEG＝90°，∴EM＝，∴＝，整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，换元，令t＝（m+2）2，得：t2﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）2＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4），综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴，自变量x为全体实数；（2）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3，（2）存在，∵A（﹣3，0），B（0，3），设N（n，﹣n2﹣2n+3），则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：n1＝，，∴N的横坐标为或，若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，∴N的横坐标是﹣1，若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，解得n＝﹣3（与点A重合，舍去）或n＝2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为，，﹣1，2．6．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线的解析式；（2）E在抛物线对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+1；（2）设点E（1，m）、点F（s，t），当BC为边时，点C向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点B，同样E（F）向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点F（E），且BE＝CF（CE＝BF），∴或，解得或，当BC为对角线时，由中点公式和BC＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，3）或（2，﹣1）或（2，2）；7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B，C两点，且交x 轴于另一点A（﹣1，0）．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DQ∥CO，交BC于点P，交x轴于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C，B，E，F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）．将C（0，3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）．得a＝﹣1，11∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3．（2）存在，点E 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．若CE ⊥BC ，直线CE 的解析式为：y ＝x+3，∴，∴（舍去），，∴点E 的坐标为：（1，4）．若BE ⊥BC ，直线BE 解析式为：y ＝x ﹣3，∴，∴，，∴点E 的坐标为：（﹣2，﹣5），综上所述，当点E （1，4）或（﹣2，﹣5）时，存在以C ，B ，E ，F 为顶点且以CB为边的矩形．。
二次函数中的存在性问题(最新整理)
二次函数中的存在性问题1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：x M=2﹣或x M=2+，∴x N=x M﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．2．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函数解析式为：y=x2+2x．（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D1（﹣3，3），若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）．综上可得点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=13，x2=﹣2（舍去）．当x=13时，y=59，即P（13，59），②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（13，59）或（3，15）．3. 如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．8、解答：解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得：，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得：a1=1，a2=﹣2M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．∵M在第一象限，（，）；∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．4．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形（2）和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．10、解答：解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．6．（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．21教育网（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y 轴的距离，即B的坐标；21（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）练习：1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ,交抛物线于点F ,是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.2．已知抛物线经过A （2，0）． 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． 36232++=bx x y （1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐标；（2）如图，在直线 y=x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，3求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．4. 如图，已知抛物线y ＝x2＋bx ＋3与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m （m ＞3），过点P 作y 轴的平行线PM ，交直线AB 于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）若以AB 为直径的⊙N 与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．3. 已知：如图一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；21二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝x ＋1的图象交于B 、C 两点，2121与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标.。
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1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E . （1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.xxx26题备用图226题备用图126题图13. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A (0，－3)，B （3,3），对称轴为直线12x =-，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取1111,,,.3333PC MP MD OM OE ON NF NP ====（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1.分析：（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．解答：解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，把E点坐标代入可求得m=，∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，解得x=，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××=；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；则有△FOD ∽△DOM ，∴=，即=，解得OM=6，∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=，∴G （0，﹣）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣， 解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）； 综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E . （1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.xy xy xy 26题备用图226题备用图126题图1CBAOCAOHGE DC BAOFMM答案解：⑴AD ：1y x =+⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD 于点M ，易证△FGH ≌△FGM 故FGH FGM C C =△△ 设2(,23)F m m m -++则FM =2223(1)2m m m m m -++-+=-++则 C=219922(12)(12)()22FM FM m ++⨯=+=-+-+故最大周长为9+92⑶①若AP为对角线如图，由△PMS∽△MAR可得9(0,)2P由点的平移可知1(2)2Q-，故Q点关于直线AM的对称点T为1(0,)2-②若AQ为对角线如图，同理可知P1(0,)2-由点的平移可知Q7(2,)2故Q点关于直线AM的对称点T为9(0,)23. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．解答解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=，x2=，∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上，∴8=2a+4，解得a=2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，∴8=22+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x；（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，，∴B点坐标为（﹣2，0），如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，∴OC=AQ=4，∴C点坐标为（0，4），又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，∵P点在抛物线线上，∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，∵P点在A、B之间的抛物线上，∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，∴P点坐标为（﹣1，4），∴PC=﹣1﹣0=﹣1；（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，∵C、E都在直线y=2x+4上，∴C（m，2m+4），E（，n），∵PC∥x轴，∴P点纵坐标为2m+4，∵P点在抛物线上，∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），∴P点坐标为（﹣1，2m+4），∴DE=﹣m，CP=﹣1﹣m，∵四边形PCDE为矩形，∴DE=CP，即﹣m=﹣1﹣m，整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0．5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A(0，－3)，B（3,3），对称轴为直线12x=-，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取1111,,,.3333 PC MP MD OM OE ON NF NP ====（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为2y ax bx c =++,将点A （0，-3）、B （3,3）、对称轴方程分别代入可得：3,3331.22c a b c ba ⎧-=⎪⎪=++⎨⎪-=-⎩，解得1,1,3.a ab =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴此二次函数的解析式为23y x x =+-.（2）证明：如图连接CD ，DE ，EF ，FC.∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形OMPN 是矩形.∴MP =ON ，OM =PN.又1111,,,,3333PC MP MD OM OE ON NF NP ====∴,DM FN MC NE ==∴△CMD ≅△ENF,同理△ODE ≅△FPC(SAS),∴CF =ED ，CD =EF.,∴四边形CDEF 是平行四边形.（3）如图，作CQ ⊥y 轴于点Q ，设P 点坐标为()2,3x x x +-，则1.3QN PC OE MP ===∴()2133EQ x x =-+-.∴在Rt △ECQ中，()22222213.9CE EQ CQ x x x =+=+-+当CD ⊥DE 时， ()()()()()()22222222222222222222222222221333413,99143,994114339999553.99DE OD OE x x x x x x CD DM CM x x x CE DE CD x x x x x x x x x =+⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++-=+=++-∴=+=++-+++-=++-Q()()()222222222215533,999443,993.x x x x x x x x x x x x ∴+-+=++-=+-+-=±()()()()212122121233,3,3,3;331,3 1.33333311.x x x x x y yx x x x x y y P +-===-==-+-=-=-===-∴-当时,此时，当时,，此时，，综上可知符合条件的点有四个，分别是，，，-，-，，，-本题用相似更简单！6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．。