大学数学教案

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 高等数学教案湖北职业技术学院第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

具体的要求如下：1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求）。

2．掌握极限四则运算法则。

3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。

能够正确运用等价无穷小求极限。

5.理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。

6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共12学时，课时安排如下绪论§1.1、函数§1.2初等函数2课时§1.4数列极限及其运算法则2课时§1.4函数极限及其运算法则2课时§1.4两个重要极限无穷小与无穷大2课时§1.4函数的连续性2课时第一章习题课2课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。

华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。

航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

数学一下子到了前台。

数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二）初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。

高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。

用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

本学期教学内容：第一章函数、极限与连续第二章导数与微分第三章导数学的应用第四章不定积分参考书：高等数学（同济大学应用数学系主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编电子阅览室（网络）高等数学精品课程学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。

第一节函数、第二节初等函数1.掌握区间、邻域的概念。

2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

5.掌握基本初等函数的性质及其图形。

一．邻域 ，以a 为中心的邻域(,)(,)(,)U a a a a a δδδ⇔-+，以a 为中心的去心邻域二．函数：定义1 设和是两个变量，是一个数集。

如果对于中的每一个，按照某个对应法则，都有确定的值和它对应，那么称为定义在数集上的的函数，记作。

叫做自变量，叫做因变量，，数集叫做函数的定义域。

为因变量的函数也可表示为，，，…… 函数的两个要素：对应法则、定义域。

三．分段函数 1． 称为“分界点”。

2．符号函数3．取整函数：不超过的最大整数，记做：，如：，。

四．反函数的定义：设有函数其定义域，值域为，如果对于中的每一个值，都可以从关系式确定唯一的值（）与之对应，这样所确定的以为自变量的函数叫做函数的反函数，它对定义域为，值域为。

习惯上，函数的自变量都用表示，所以反函数通常表示为 五．函数的几种特性1．有界性：设，定义域为D ， D ，，恒有。

则称函数在D 上有界。

否则称函数在D 上无界。

例如：函数，在内有界；在内无界。

2．单调性：设，定义域为D ， D ，当时，单调递增；当时，单调递减。

单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

3． 奇偶性：偶函数 ，奇函数 。

4．周期性：周期函数 D ， D ，例1．狄里克莱函数。

狄里克莱函数是周期函数，但它没有最小正周期。

2．符号函数 六．复合函数定义 如果是的函数，而是的函数，且的值全部或部分地落在的定义域内，那么通过的联系也是发函数。

称这个函数是由及复合而成的，称为复合函数，记作，其中叫做中间变量。

注：设、，如果的值部分地落在的定义域内，则复合函数的定义域是的定义域的子集；如果的值全部落在的定义域内，则复合函数的定义域与的定义域相同。

如果的值全部落在的定义域外，则不能构成复合函数。

例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数： ，，七．基本初等函数与初等函数： 1、 常数函数 2、 幂函数 3、 指数函数4、 对数函数 ),1,0(log 为常数a a a x y a ≠>=5、 三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======6、 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。

八．双曲函数与反双曲函数 ，，。

作业P20~21 习题 2（3）、（4）、（6）；5；7。

第四节数列的极限数列极限的定义数列的定义：数列实质上是整标函数，正整数集（i ）：1，，，...，， 0（ii ）：2，，，...，1+， (1)确定：要使<0.01，只要>100；要使<0.0001，只要>10000；要使<，只要>[]。

（iii）：1，-1，1，…，，…不存在数列极限描述性定义（P27）：如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数，那么就叫做数列的极限，或称数列收敛于，记作或当数列极限的定义：如果存在常数，使得对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数，只要，绝对值不等式<恒成立，则称数列{}以常数为极限，记为=（或，）。

数列极限的分析（）定义：设，，，当时，恒成立，则将数列{}以常数为极限，记为=（或，）。

例1．证明数列2，，，，…，，…的极限是1。

证：[分析]令=，记a=1，要使===<，只要>，取N=。

[证明]，，当n>N时，恒有，故=1。

例2．若，证明：。

证：[分析] = = < <，要使<，只要，取N=，再放大[证明]当n>N时，恒成立，故。

例3．设，证明数列：1，，，…，，…的极限是0。

证：[分析]令，记a=0，由于==，要使，只要，只要，只要，只要，取N=。

[证明] ，，当n>N 时，恒有，故=0（当时）。

例4． 数列{} 有界，又，证明=0。

证：，对一切n 均有，又，对于，，当n>N 时，恒有，，所以=0。

收敛数列的性质性质1（有界性）收敛数列一定有界。

注：有界数列不不一定收敛。

性质2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。

数列极限的运算法则 如果，，那么 （1）+ （2） （3）特别地，如果C 为常数，那么由（2）得无穷递缩等比数列的和（P30）qa q a q a q a a S n -=++++=-11112111 化循环小数为分数例（P29例3）作业P32第2题（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题（2）第五节 函数的极限一、当时函数极限函数极限的描述性定义：设函数当||时有定义（为某个常数），如果当自变量的绝对值无限增大（记作）时，其函数值无限接近于某确定的常数，则称为函数当时的极限，记作或 当时，函数在当时（）定义：，，当时，恒成立，则称为函数当时的极限，记作注意：或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇔=-∞→+∞→-∞→+∞→∞→)(lim )(lim .3)(lim .2)(lim .1)(lim x f x f x f x f a x f x x x x x 存在存在二、当时函数极限引例：，当时，，时，即研究：在点的某个去心邻域内有定义，当时，定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，当时，恒成立，记作。

，，当时，恒成立。

例1． 证明下列极限：（1）；（2）；（3）。

证：（1）[分析]这里，恒成立[证明]，任取一个正数，当时，恒成立，证之。

（2）[分析]由于，只要，取[证明]，，当时，恒成立，故（3）[分析]由于，要使，只要，只要，即，取[证明]，，当，恒成立，故例2． 证明。

证：[分析]，，由于===要使，只要，即，只要，取[证明]，，当时，恒成立，证之。

例3． 证明。

证：[分析]由于，要使，只要，只要，即，取[证明]，{})1ln(,)1ln(min εεδ-+=∃，当时， 恒成立，证之。

左极限)0()(lim )(lim 000-==-→-→x f x f x f x x x x右极限)0()(lim )(lim 000+==+→+→x f x f x f x x x x极限存在例4． 当时，讨论的极限三、极限的性质具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。

性质1．（唯一性）如果存在，则极限唯一。

证：反证法。

设，，且。

，，当时，有；，，当时，有。

取，上面两式均成立，由[()][()]()()22b a b ab a f x a f x b f x a f x b b a ---=---≤-+-<+=- 矛盾！性质2．（局部有界性）：如果存在，则在点的某个去心邻域内，函数有界。

证：令=a ，由定义，，（对于=1），，当，， ()()()f x f x a a f x a a a ε=-+≤-+<+。

推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。

性质3．（局部保号性）如果且（或），则在点的某个去心邻域内，函数（或）。

证：不妨令，取，，当时，，， 022)(>=-=->aa a a x f ε。

性质4．（函数极限与数列极限的关系）设存在，设是函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：（），那么相应的函数值数列必收敛，且。